【文档说明】湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含答案.docx，共(17)页，1.293 MB，由小赞的店铺上传

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雅礼教育集团2023年上学期期中考试试卷高二数学时量：120分钟；分值：150分命题人：龙检罗审题人：卿科陈朝阳彭熹一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合22{44},loglog3AxxBxx=−=∣∣，则

AB=（）A.()4,3−B.()0,3C.()0,4D.()3,42.如图所示，单位圆上有动点,AB，当OAOB−取得最大值时，OAOB−等于（）A.0B.-1C.1D.23.已知1i1ixy=−+，其中,xy是实数，i是虚数单位，则xy+=（）A.1B.2

C.3D.44.已知2:,:01xpxkqx−+„，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A.)2,+B.()1,+C.)1,+D.(),1−−5.函数()2sin2xfxx=的图像最有可能的是（）A.B.C.D.6.已知函数()sin3fxx=+

在0,t上有且仅有2个零点，则t的取值范围是（）A.53B.83C.5833D.58337.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗漏､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨

量（单位：mm）.24h降雨量的等级划分如下表：等级24h降雨量（精确到0.1).小雨0.19.9中雨10.024.9大雨25.049.9暴雨50.099.9...在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为30

0mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示），则这24h降雨量的等级是（）A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.已知,mn为实数，()e1xfxmxn=−+−，若()

0fx对xR恒成立，则nm的最小值是（）A.-1B.0C.1D.2二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知AB､是随机事件，则下列结论正确的是（）A.若A､B是互斥

事件，则()()()PABPAPB=B.若A､B是对立事件，则AB､是互斥事件C.若事件AB､相互独立，则()()()PABPAPB+=+D.事件AB､至少有一个发生的概率不小于AB､恰好有一个发生的概率10.已知24CCnn=，则在二项式12nxx−的展开式

中，正确的说法是（）A.6n=B.常数项是第3项C.各项的系数和是1D.第4项的二项式系数最大11.已知数列na为等比数列，首项10a，公比()1,0q−，则下列叙述正确的是（）A.数列na的最大项为1aB.数列na的最小项为2aC.数

列1nnaa+为递增数列D.数列212nnaa−+为递增数列12.已知0,0ab，且21ab+=，则下列不等式成立的是（）A.18abB.218ab+C.62ab+D.33ab+三，

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.计算：71log351log72−+=__________.14.写出命题“,xZxN”的否定：__________.15.假设某市场供应的95N口罩中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙

其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一95N口罩，用123,,AAA分别表示买到的口罩为甲品牌､乙品牌､其他品牌，B表示买到的是优质品，则()2PAB=∣__________.16.如

图所示，已知双曲线()22121104xybb−=和椭圆()22222109xybb+=有共同的右焦点F，记曲线Ω为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若,MN分别在曲线中的双曲线和椭圆上，则MNF周长的最小值等于__________

.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列na是等差数列.（1）若1252,2aa==，求10S；（2）若()15265kSaaa=++，求k.18.（12分）已

知函数()()2ln23fxxaxaa=−−+R.（1）若3a=，求函数()fx在1x=处的切线方程；（2）求函数()fx的最大值.19.（12分）如图，ABCD为圆柱OO的轴截面，EF是圆柱上异于AD，BC的母线.（1）证明：BE⊥平面DEF；（2）若2,2A

BBCBE===，求二面角BDFE−−的余弦值.20.如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，,2OAOBOAOB⊥==，记BAP=.（1）当15=时，求OP的长；（2）当PAO面积最大时，求.21.

已知抛物线2:2(04)Typxp=的焦点为,FM为T上一动点，N为圆22:(4)1Exy+−=上一动点，MNMF+的最小值为171−.（1）求T的方程；（2）直线l交T于,AB两点，交x轴的正半轴于点C，点D与

C关于原点O对称，且12OAOB=，求证ADBDkk+为定值.22.某班级共有50名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成25组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分5分为满分.最后

25组同学得分如下表：组别号12345678910111213男同学得分5455455444554女同学得分4345554555535分差1110-101-1-1-102-1组别号1415161718192

02122232425男同学得分434444555433女同学得分534543553455分差-100-1010020-2-2（1）列出22列联表，依据0.10=的独立性检验，能否认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关联？（2）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从

正态分布()2,N，首先根据前20组男女同学的分差确定和，然后根据后面5组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面5组男女同学分差与的差的绝对值分别为(1,2,3,4,5)ixi=，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.①存在3ix；②记满足23ix的i

的个数为k，在服从正态分布()2,N的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中落在区间(3,2)(2,3)−−++内的个体数大于或等于k的概率为P，0.003P.试问该课题研究小组是否会接受该模型.()

2PKk0.100.050.010k2.7063.8416.635参考公式和数据：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++540.80.894,0.90.949,0.9570

.803,430.95736，3343430.9571.6210；若()2~,XN，有(22)0.9544PX−+，(33)0.9974PX−+.雅礼教育集团2023年上学期期中考试试卷高二数学时量：120分钟；分值

：150分命题人：龙检罗审题人：卿科陈朝阳彭熹一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.【答案】D【解析】因为22{44},loglog3{3}AxxBxxxx=−==∣

∣∣，所以{34}ABxx=∣2.【答案】D【详解】因为OAOBBA−=，,AB是单位圆上的动点，所以OAOB−的最大值为2，此时OA与OB反向.3.【答案】C【解析】由1i1ixy=−+，得()()()1i1i1i1ixy−=−+−，得i1i22xxy−=−，得122xxy=−=

−，得21xy==，所以3xy+=.4.【答案】A【详解】q：201xx−+„，即:1qx−或2x，又:,pxkp是q的充分不必要条件，所以2k，即k的取值范围是)2,+.5.【

答案】A【详解】函数()2sin2xfxx=的定义域为()()()R,2sin2xfxxfx−−=−=−，即函数()fx是奇函数，D不正确；当0x时，由()0fx=得：sin20x=，而022x，因此2x=，解得2x=，于是得()fx

在()0,上有且只有一个零点，B,C不正确，A正确.6.【答案】D【解析】当0xt时，333xt++，因为()fx在0,t上有且仅有2个零点，则有233t+，解得5833.7.【答案】B【解析】因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一

半，所以圆锥内积水部分水面的半径为1120050mm22=，故积水量()23150150125000mm3V==水，所以此次降雨在平地上积水的厚度()212500012.5mm100h==，因为10.012.524.9，所以这一天的雨水属于中雨.8.

【答案】B【详解】()()e1,exxfxmxnfxm=−+−=−，当0m时，()0fx恒成立，则()fx单调递增，()0fn=，显然()0fx不恒成立，当0m时，(),lnxm−时，()0fx，函数()fx单调递

减；()ln,xm+时，()0fx，函数()fx单调递增，()min()lnln1fxfmmmmn==−+−()0fx恒成立，ln10mmmn−+−，ln1nmmm−+，ln11ln1nmmmmmmm−

+=+−令()1ln1,0,hmmmm=+−()()22111,mhmhmmmm−=−=在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+上单调递增，()min()10hmh==.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得

5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BD【详解】对于A选项，若AB､是互斥事件，则AB=，则()()()0,APABPAPB=错；对于B选项，若AB､是对立事件，则AB､是互斥事件，B对；对于C选项，若事件A

B､相互独立，则()()()()()()()()()(),CPABPAPBPABPAPBPAPBPAPB+=+−=+−+错；对于D选项，事件AB､至少发生一个包含三种情况：,,ABABAB，事件AB､恰好发生一个包含两种情况：,ABAB，因此，事件AB､至少有

一个发生的概率不小于AB､恰好有一个发生的概率，D对.10.【答案】ACD【解析】由24CCnn=得6,An=对；二项式12nxx−的展开式通项6621661C(2)C(1)2kkkkkkxkkTxxx−−−+=−=−

，令620k−=，可得3k=，故常数项是第4项，B错；对于C选项，各项的系数和是6(21)1,C−=对；对于D选项，展开式共7项，第4项二项式系数最大，D对.11.【答案】ABC【解析】对于A，由题意知：当n为偶数时，10naa；当n为奇数时，0na，()2211

0,nnnaaaqa+−=−最大；综上所述：数列na的最大项为1,Aa正确；对于B，当n为偶数时，()2220,10,nnnnaaaaqa+−=−最小；当n为奇数时，20naa；综上所述：数列na的最小项为2,B

a正确；对于C，()()22222211211211,,1nnnnnnnnnnnnnaaaqaaaqaaaaqaaqqa++++++++==−=−=−，212110,10,0,nnnnqqaaaa+++−−−数列1nnaa+为递增数列，C正确；对于

D，()()212212122211,1nnnnnnaaaqaaaq−−++++=++=+，()()()()()()2212221221212111121nnnnnnnaaaaqaaqa++−+−−+−+=+−=+−210,10,10qqq−

+−，又210na−，()()21222120,nnnnaaaa++−+−+数列212nnaa−+为递减数列，D错误.故选：ABC12.【答案】AC【解析】对于A，2112122228ababab+==，当且仅当122ab==时取“=”，A正确；对于B，

()21214424428babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=，即122ab==时取“=”，B不正确；对于C，因()2233()2222222aaabbabbab++−=+++=+=，则有2

3()2ab+，即62ab+，当且仅当22ab=，即4ab=时取“=”，由214abab+==得21,36ab==，所以当21,36ab==时，max6()2ab+=，C正确：对于D，由21,0,0abab+=得，110,1,122babb+=

−，而函数3xy=在R上单调递增，因此，333,Dab+不正确.三，填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】1【详解】()71log3551log7log2312−+=+=.14.【答案】00,xZxN

.15.【答案】13【解析】()()()()()()()112233PBPAPBAPAPBAPAPBA=++∣∣∣50%80%30%90%20%70%81%=++=()()()2227%181%3PABPABPB===∣.16.【答案】2【详解】设双曲线和椭圆共同的左焦点为1

F，根据双曲线和椭圆定义可知14MFMF−=，16NFNF+=，得MNF周长为：MNFCMNMFNF=++1146MNMFNF=+−+−()112MNNFMF=+−−根据三角形性质可知，当1,,MNF三点共线时11NFMF−取最大值，此时MNF周长最小，当1,,MNF三点共线时11

,NFMFMNMNF−=最小周长为()11222MNFCMNNFMFMNMN=+−−=+−=四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【详解】（1）解：因为1252,2aa==，所以12d=.根据公式()112nnnSnad−=+，可得()1

010101185102222S−=+=（2）因为()15265kSaaa=++，所以()()115261552kaaaaa+=++，即()826155kaaaa=++，因此8263kaaaa=++，所以()()1

1113751adadadakd+=+++++−，由题意知0d，所以151k=−，所以16k=18.【详解】（1）解：当3a=时，()()()113ln315,x0,,3xfxxxfxxx−=−−+=−=，()12f=−，又()118f=−则函数()fx在x1=处

的切线方程为：2160xy++=（2）解：当0a时，()10fxax=−，此时函数()fx在()0,+上单调递增，无最大值；当0a时，由()110axfxaxx−=−==可得1xa=.当10xa时，()0fx，此时函数()

fx单调递增，当1xa时，()0fx，此时函数()fx单调递减，所以，2max1()2ln2fxfaaa==−−.综上，当0a时，函数()fx无最大值；当0a时，2max1()2ln2fxfaaa==−−

.19.【解析】（1）证明：如图，连接AE，由题意知AB为O的直径，所以AEBE⊥.因为,ADEF是圆柱的母线，所以ADEF∥且ADEF=，所以四边形AEFD是平行四边形.所以AEDF∥，所以BEDF⊥.因为EF是圆柱的母线，所以EF⊥平面ABE，又因为

BE平面ABE，所以EFBE⊥.又因为,,DFEFFDFEF=平面DEF，所以BE⊥平面DEF.（2）由（1）知,,EAEBEF两两相互垂直，如图，以点E为原点，,,EAEBEF所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Exyz−，则()()()()0,2,0,2,0

,2,0,0,0,0,0,2BDEF.由（1）知BE⊥平面DEF，故平面DEF的法向量可取为()0,2,0EB=.设平面BDF的法向量为(),,nxyz=，由()2,0,0DF=−，()0,2,2BF=−，得00nDFn

BF==，即20220xyz−=−+=，即02xyz==，取1z=，得()0,2,1n=.设二面角BDFE−−的平面角为，则226coscos,332nEBnEBn

EB====，由图可知为锐角，所以二面角BDFE−−的余弦值为63.20.【详解】（1）由题意，在AOB中，90,,2AOBOAOBOAOB=⊥==，AOB为等腰直角三角形，45BAOO=在以AB为直径

的圆上，取AB的中点C，连接CO，45,90APOACO==，在APO中，60,2PAOOA==，由正弦定理，22sin60sin45OPOA==，解得：6OP=（2）由题意及（1）知，,45BAPBAO==，在APO中，45,2APOOA==，

由余弦定理，2222cosOAPAPOPAPOAPO=+−即2224PAPOPAPO+−=，即()22422222PAPOPAPOPAPOPAPOPAPO=+−−=−，422PAPO+，当且仅当P

APO=时，等号成立，又1sin452PAOSPAPO=，当且仅当PAPO=时，PAO的面积最大，此时1804567.52PAO−==，67.54522.5PAOBAO=−=−=.21

.【详解】（1）由题得(),0,0,42pFE，当点,MN，,FE四点共线且点,MN在,EF中间时，MNMF+取得最小值，最小值为221411712pFE−=+−=−，又0p，解得2p=，所以T的方程为24yx=.（2）当直线l的斜率为0时，显然不适合题意；

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为()()1122(0),,,,xtymmAxyBxy=+，联立24,yxxtym==+得2440ytym−−=，则21212Δ16160,4,4tmyytyym=++==−，所以222121244yyxxm==

，又12OAOB=，所以21212412xxyymm+=−=，所以24120mm−−=，解得6m=或2m=−（舍去），即()6,0C，所以()6,0D−，所以()()()12211212121266666ADBDxyxyyyyykkxxxx+++

+=+=++++，又()()()()()1221121221121212666621248480xyxyyytyytyyyytyyyytt+++=+++++=++=−+=，所以ADBDkk+为定值..22.【详解】（1）由表可得

男同学女同学总计该次大赛得满分101424该次大赛未得满分151126总计252550零假设为0H：“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”之间无关联.220.1050(10111415)1.2822.70624262525xx−==依据小概率0.10a

=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，所以可认为0H成立，即认为“该次大赛是否得满分”与“同学性别”之间无关联；（2）由表格可得2210,(1111111121111)0.820==++++++++++++=；由题知123450,2,0,2,2xxxxx=====，而21.

788,32.682，故不存在3ix，而满足23ix的i的个数为3，即3k=当()2~,,XN(32)(23)PXPX−−+++0.99740.95440.043−设从服从正态分布()

2,N的总体（个体数无穷大）中任意取5个个体，其中值属于(3,2)(2,3)−−++的个体数为Y，则~(5,0.043)YB，所以，51422355(3)10.9570.0430.9570.0430.9570.00080.003PYCC=−−−

，综上，第②种情况出现，所以该小组不会接受该模型.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com