【文档说明】四川省遂宁市船山区第二中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.295 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x＝（）A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】由向量平

行的性质，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，选B考点：本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.2.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，45B=，60C=，1c=，则最短边的长等于（）A.6

3B.62C.12D.32【答案】A【解析】【分析】由三角形内角和求出A，再根据大边对大角可知最短边的边长为b，由正弦定理可得1sin60sin45b=，解得b的值，从而得出结论.【详解】180456075,,AACB=−−=边b最短.由正弦定理得sinsincBbC==sin4

56sin603=.故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见方法有：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角和锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证

明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.3.已知四边形ABCD中，ABDC=，)()=0ABADABAD+−（，则其形状为（）A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形【答案】D【解析】【分析】推导出

//ABDC且=ABDC，||||ABAD=，由此能求出四边形ABCD是菱形．【详解】解：四边形ABCD中，ABDC=，()()0ABADABAD+−=，∴//ABDC且=ABDC，220ABAD−=，||||ABAD=，四边形ABCD是菱形，故选：D．【点睛】本题主

要考查四边形形状的判断，考查向量的数量积、向量相等等基础知识，属于基础题．4.已知(2,5)a=−，||2||ba=，若b与a反向，则b等于()A.(4,10)−B.(1,10)−C.(1,10)−D.(4,10)−【答案】D【解析】【分析】根据2ba=−rr

以及(2,5)a=−可得答案.【详解】因为||2||ba=，且b与a反向，所以2ba=−rr2(2,5)(4,10)=−−=−.故选：D【点睛】本题考查了向量共线问题，考查了向量的数乘运算的坐标表示，属于基础题.5.已知函数()31sin2cos222fxxx=+，则其单调递增区间为（）A.,36

kk−+，kZB.2,63kk++，kZC.5,1212kk−+，kZD.2,236kk−+，kZ【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的

图像与性质,即可求得其单调递增区间.【详解】由辅助角公式,化简三角函数式()31sin2cos222fxxx=+可得()31sin2cos222fxxx=+sin26x=+由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足222,

262kxkkZ−+++解得,36kxkkZ−++即单调递增区间为,36kk−+,kZ故选:A【点睛】本题考查了三角函数式的化简应用,正弦函数图像与性质的简单应用,属于基础题.6.如图

，从高为h的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(B)的俯角是，桥头(C)的俯角是，则桥BC的长为A.sin()coscosh−B.cos()sinsinh−C.sin()sinsi

nh−D.cos()coscosh−【答案】A【解析】【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出CD与BD，由CDBD−求出BC的长即可.【详解】由题意得：,,ACDABDADh===，在RtAC

D中，tanADACDCD=，即tanhCD=，整理得：tanhCD=；在RtABD中，tanADABDBD=，即tanhBD=，整理得：tanhBD=，则coscostantanhhBCC

DBDhsinsin=−=−=−()coscossinsinsinhhsinsinsinsin−−==，故选A.【点睛】此题属于解三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，两角和与差的正弦函数公式

，以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.7.22tan241tan24a=−，()2sin3cos32b=+，1cos942c−=，则下列结论正确的是（）A.cab

B.cbaC.bcaD.bac【答案】B【解析】【分析】根据正切函数二倍角公式化简a;由辅助角公式化简b,由余弦函数的降幂公式化简c,即可比较化简后的三角函数值大小.【详解】根据正切二倍角公式可知()22tan24tan22

4tan481tan24a===−由辅助角公式可得()()22sin3cos32sin3cos45sin45cos322b=+=+sin48=由余弦降幂公式可知()2112sin471cos94sin4722c−−−===因为t

an48tan451=,sin47sin481所以tan48sin48sin47即abc故选:B【点睛】本题考查了三角函数式的化简,正切二倍角公式的应用,辅助角公式化简三角函数式,余弦函数的降幂公

式应用,函数值大小比较,属于中档题.8.在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则ECEM的取值范围是()A.1,22B.30,2C.13,22D.0,1【答案】C【解析】【详解】将正方

形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x,0)，0≤x≤1.又11,2M，C(1,1)，所以()11,,1,12EMxECx=−=−，所以()()2111,1,1122ECEMxxx=−−=−+，因为0≤x≤1，所以

()21131222x−+，即ECEM的取值范围是13,22.故选C.点睛：计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．9.在ABC中，,,abc分别是三内角,,AB

C的对边，且()22sinsinsinsinsinACABB−=−，则角C等于（）A.6B.3C.56D.23【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得()22222sinsinsinsinsinACABBacacb−=−−=−，又由余弦定理得2221cos223abcCCa

b+−===，故选B．考点：正弦定理与余弦定理的应用．10.已知数列na中，11a=，23a=且对*nN，总有21nnnaaa++=−，则15a=（）A.1B.3C.2D.3−【答案】C【解析】【分析】根据21nnnaaa+

+=−，证明na是周期数列，然后根据数列周期以及已知条件，即可求解出15a的值.【详解】因为21nnnaaa++=−，所以321nnnaaa+++=−，所以3nnaa+=−，所以63nnnaaa++=−=，所以na是周期为6的数列，所以152633212aaaaa

+===−=.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的周期性进行求值，对于分析和转化的能力要求较高，难度一般.11.P是ABC内的一点，()13APABAC=+，则ABC的面积与ABP△的面积之比为（）A.32B.2C.3D.6【答

案】C【解析】【分析】设ABC边BC的中点为D,则有()12ADABAC=+,因为()13APABAC=+,则32ADAP=,即32ADAP=,因为22ABCABDABPABPSSADSSAP==△△△△,即可求出结果.【详

解】设ABC边BC的中点为D，则22ABCABDABPABPSSADSSAP==△△△△.∵()1233APABACAD=+=，∴32ADAP=，∴32ADAP=.∴3ABCABPSS=△△.故选:C.【点睛】本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般.12.已知ABC的三条边的边长分别

为4米、5米、6米，将三边都截掉x米后，剩余的部分组成一个钝角三角形，则x的取值范围是（）A.0x5B.1x5C.1x3D.1x4【答案】C【解析】试题分析：新三角形的三边分别为4,5,6xxx−−−，其中边长为6x−的

边对的角最大记为角C，所以角C为钝角．所以()()()()()222456cos0245xxxCxx−+−−−=−−，即()()()2224560xxx−+−−−，整理可得2650xx−+，解得15x．因为4,5,6xxx−−−均为三

角形的三边长，且最短边长为4x−，最长边长为6x−所以()()40{3456xxxxx−−+−−，综上可得13x．故C正确．考点：1余弦定理；2三角形中边与角的关系及三边间的关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5

分，共20分.把答案填在题中横线上）13.若4sin35x−=，则2cos23x−的值为________.【答案】725−【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式计算可得结果.【详解】2cos23x−cos[2()]3x=−21

2sin()3x=−−2412()5=−725=−.故答案为：725−.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.14.已知数列5，3，13，17，…，41n+，…，则35是它的第________项.【答案】

11【解析】【分析】由41n+=35解方程即可得到结果.【详解】令41n+=35，解得11n=.故答案为：11.【点睛】本题考查了数列的概念，属于基础题.15.在ABC中，60A=，1b=，面积为3，则s

insinsinabcABC++=++________．【答案】2393【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】60A=，1b=，

面积为31133sin1222bcAc==,解得4c=，由余弦定理可得：2212cos116214132abcbcA=+−=+−=，所以13239sinsinsinsin332abcaA

BCA++===++,故答案为：2393【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.如图，已知P是半径为2，圆心角为3的一段圆弧AB上一点，2ABBC=

，则PCPA的最小值为_______．【答案】5﹣213【解析】【分析】设圆心为O,AB中点为D,先求出2221944PCPAPMACPM=−=−，再求PM的最小值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得22sin2,36ABAC

===.取AC中点M，由题得2PAPCPMPCPAAC+=−=,两方程平方相减得2221944PCPAPMACPM=−=−，要使PCPA取最小值，就是PM最小，当圆弧AB的圆心与点P、M共

线时，PM最小.此时DM=221113,()3222DM=+=,所以PM有最小值为2﹣132，代入求得PCPA的最小值为5﹣213．故答案为5﹣213【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面

向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，其余每小题12分，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知sin2cos022xx−=，（1）求tanx的值；

（2）求cos22cossin4xπxx+的值．【答案】（Ⅰ）43−；（Ⅱ）14．【解析】【详解】解：（Ⅰ）由sin﹣2cos=0，得tan=2．∴tanx=；（Ⅱ）===（﹣）+1=．18.已知a，b，c在同一平面内，且()1,2a=r.（1）若||25c=，且//c

arr，求c；（2）若5||2b=，且()()22abab+⊥−，求a与b的夹角.【答案】（1）(2,4)c=或(2,4)c=−−（2）.【解析】【分析】（1）设(),cxy=，根据//ca，得到20xy−=，再根据||25c=，建立方程组

求解.（2）根据22abab+⊥−，得到(2)(2)0abab+−=，结合2||5a=，5||2b=，求得ab，再求夹角.【详解】（1）设(),cxy=，//ca，(1,2)a=，∴20xy−=，∴2yx=，∵||25c=，∴22

25xy+=，∴2220xy+=，即22420xx+=，∴24xy==，或24xy=−=−∴(2,4)c=或(2,4)c=−−.（2）∵22abab+⊥−，∴(2)(2)0abab+−=，∴22

2320aabb+−=，即222||32||0aabb+−=又∵2||5a=，2255||()24b==，∴5253204ab+−=，∴52ab=−，∵||5a=，5||2b=∴52cos1||||552abab−===−

∵0,，∴=.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知4313sin(),cos(),07142−=−=，（1）求sin()3+的值

；（2）求角的大小.【答案】（1）5314；（2）3【解析】【分析】（1）先通过诱导公式和同角三角函数基本关系求出sin,cos，进而可求出sin()3+；（2）先通过cos()−求出si

n()−，再通过coscos[()]=−−展开可得答案．【详解】解：（1）因为43sin()7−=，所以43sin7=.因为02，所以21cos1sin7=−=.所以4311353sin()sincoscossi

n333727214+=+=+=；（2）因为13cos()14−=，且02，所以02−，所以233sin()1cos()14−=−−=.11343331coscos[()]coscos()sinsin()7147142

=−−=−+−=+=因为02，所以3=.【点睛】本题考查三角恒等变形公式的应用，是中档题．20.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,abc已知sin3cos0,27,2AAab+===.（

1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC⊥,求ABD的面积.【答案】（1）23，4；（2）3.【解析】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tan3A=−从而可得A的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC，求出CD的长，可得12C

DBC=，从而得到12ABDABCSS=，进而可得结果.试题解析：（1）sin3cos0,tan3AAA+==−，20,3AA=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，即21284222cc=+−−，即22240cc+

−=，解得6c=−（舍去）或4c=，故4c=.(2)2222coscbaabC=+−，162842272cosC=+−，22cos,72cos77ACCCDC====，12CDBC=，1134223222ABCSABACsinBAC===，132ABDABCSS

==.21.已知向量()2sin,2cosaxx=，()3sin4cos,cosbxxx=+−，设函数()fxab=.（1）求函数()fx的最大值；（2）已知在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别

是a，b，c，且满足4224Bcfa+=+，求sinsinBC的取值范围.【答案】（1）()422maxfx=+；（2）22+2,24【解析】【分析】（1）根据坐标形式下向量的数量积运算，结合辅助角公式将()fx化简成()()si

nfxAxb=++的形式，即可确定出最大值；（2）根据4224Bcfa+=+结合正弦定理得到,BC之间的等量关系，即可将sinsinBC转变为关于B或C的三角函数形式，根据对应角度的范围即可求解出sins

inBC的取值范围.【详解】（1）()()2222sin3sin4cos2cos6sin8sincos2cosfxxxxxxxxx=+−=+−()4sin2cos2242sin224xxx=−+=−+，则()422maxfx=+，此时22,42

−=+xkkZ即3,8xkkZ=+；（2）由()4c4sin42sin+2=24sincossincos244sinBcCfBBBBBaaA+=+++=+=，()s

insincossinsinsinsincossinABBAABABAB+=+=，由()0,B，则sin0B，sincostan14AAAA===，34BC+=，由2322sinsinsinsinsincossin422BCBBBBB

=−=+，()2212sin21cos2sin244244BBB=+−=−+，由3334400,2,2424244402BCBBBB−−

，则2sin2,142B−，则22+2sinsin,24BC.【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、正弦定理的综合应用，难度一般.已知三角形的形状，求解三角函数的取值范围时，要注意根据三角形的形状先求解出角度

的范围，然后再考虑根据角度范围求解三角函数的取值范围.22.如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段,ABAC和以BC为直径的半圆弧BC组成，其中AC为2百米，,ACBCA⊥为3．若在半圆弧BC，线段AC，线段AB上各建一个观赏亭,,DEF，再修两条栈道,DEDF，使//,//DEA

BDFAC.记32CBD=．（1）试用表示BD的长；（2）试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大.【答案】（1）23cos；（2）E与C重合.【解析】分析：（1）解直角三角形BDC用表示BD的长.(2)先利用正弦定理求

出DF＝4cosθsin(π6＋θ)，再求出DE＝AF=4－42cosθ，再利用三角函数求DE＋DF的最大值.详解：（1）连结DC．在△ABC中，AC为2百米，AC⊥BC，∠A为3，所以∠CBA＝6，AB＝4，BC＝23．因为BC为直径，所以∠BDC＝

2，所以BD＝BCcosθ＝23cosθ．（2）在△BDF中，∠DBF＝θ＋6，∠BFD＝3，BD＝23cosθ，所以62DFBFBDsinBFDsinsin==+−，所以DF＝4cosθsin

(6＋θ)，且BF＝42cos，所以DE＝AF=4－42cos，所以DE＋DF＝4－42cos＋4cossin(6＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－6)＋3．因为3≤θ＜2，所以2≤2θ－6

＜56，所以当2θ－6＝2，即θ＝3时，DE＋DF有最大值5，此时E与C重合．答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大．点睛：（1）本题主要考查解三角形和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、计算能力,意在考查学生函数思想方法.(2

)本题的关键是想到函数的思想方法，先求出DE＋DF3=sin2θ－cos2θ＋3＝2sin(2θ－6)＋3，再根据3≤θ＜2，利用三角函数的图像性质求函数的最大值.