【文档说明】陕西师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中理科数学试题含解析.docx，共(25)页，1.287 MB，由管理员店铺上传

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陕西师大附中2022-2023学年度第一学期期中考试高三年级（理科数学）试题注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟.2.答卷前将答

题卡上的姓名､班级､考场填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰，并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，

每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1,4,7}为()A.M∩(∁UN)B.∁U(M∩N)C.∁U(M∪N)D.(∁UM)∩N【答案】

C【解析】【详解】由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，则M∩(∁UN)={1,2,3,4,5,7};∁U(M∩N)={1

,3,4,5,6,7};∁U(M∪N)={1,4,7};(∁UM)∩N={2,6}，故选C.点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的

交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知复数z的共轭复数为z，若(1i)2i−=z（i为虚

数单位），则z=（）A.iB.－1＋iC.－1－iD.－i【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解.【详解】由已知可得2i2i(1i)22i1i1i(1i)(1+i)2z+−+====−+−−，则1iz=−−，故选：C.3.设0auur为单位向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则0||aaa=；②若a与0auur平行，则0||aaa=；③若a与0auur平行且||1a=，则0aa=，假命题的个数是（）A0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由向量是既有大小又有方向的量，两个非零向量平行的方向有两种情况：一是同向，二是反向，

可判断【详解】向量是既有大小又有方向的量，a与0||aa的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与0auur平行，则a与0auur的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时0||aaa=−，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是

3．故选：D4.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光

线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C：2yx=，一束平行于抛物线对称轴的光线经过()5,2A，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则Q点的坐标为（）A.11,42−B.11,84−C.11,164−

D.11,648−【答案】D【解析】.【分析】求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结果.【详解】设从点()5,2A沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点P，易知2Py=，将(),

PPxy代入抛物线方程得4Px=，即()4,2P，设焦点为F，则1,04F，设()2,QQQyy，由P，F，Q三点共线，有202011444QQyy−−=−−，化简得281520QQyy−−=，解得18Qy=−或2Qy=(舍)，即11,648Q−.故选：D

5.设nS为等差数列na的前n项和．若525S=，348aa+=，则na的公差为（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式和题设条件，求得345,3aa==，进而求解数列的公差，得到答案．【详解】依题意，可得()15355522522aaaS

+===，解得35a=，又348aa+=，所以43a=，所以公差43352daa=−=−=−，故选A．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6.

已知3sin()coscos()sin5−−−=，为第三象限角，则cos4+=（）A.210−B.7210−C.210D.7210【答案】A【解析】【分析】由两角差的正弦公式化简可得sin，利用同角三角函数关系及两角和的余弦公式即可求解.【详解】因为3s

in()coscos()sin5−−−=，所以3sin()5−−=，即3sin5=−，由为第三象限角知，4cos5=−，所以22432coscoscossinsin(cossin)()444225510

+=−=−=−+=−，故选：A【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.7.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶

点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上，设外围第1个正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度(蜘蛛网中正方形的周长之和)为Sn，则（）A.Sn无限大B.Sn<3(3＋5)mC.Sn＝3(3＋5)mD.Sn可以取100m【答案】B【解析】【分析】先找出规律，再用等比数

列的求和公式可求解.【详解】由题意可得，外围第2个正方形的边长为2212()()33mm+＝53m；外围第3个正方形的边长为221525()()3333mm+＝59m；……外围第n个正方形的边长为15()3n−

m.所以蜘蛛网的长度Sn＝4m1555[1()39]3n−++++＝4m×51()3513−−<4m×1513−＝3(3＋5)m.故选:B.8.已知函数()()()sin0,0,fxAxA=+是奇函数，且()fx的

最小正周期为，将()yfx=的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为()gx．若24g=，则38f=（）A.2−B.2−C.2D.2【答案】C【解析】【

分析】先根据原函数的奇偶性及周期性确定,的值，然后得到()gx的解析式，再根据24g=确定A，最后求解38f的值.【详解】因为函数()()()sin0,0,fxAxA

=+是奇函数，且其最小正周期为，所以0,2==，则()sin2fxAx=，得()singxAx=．又sin244gA==，所以2A=，故()2sin2fxx=，所以，332sin284f==.故选：C.【点

睛】本题考查()()()sin+0,0fxAxbA=+型函数的图象及性质，难度一般.解答时先要根据题目条件确定出A、及的值，然后解答所给问题.9.双曲线22221(0,0)xyabab−=的左，右焦点分别是12,FF，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线的右支于

点M，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】将xc=代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【详

解】由于2MFx⊥轴，且M在第一象限，设(,)Mxy所以将xc=代入双曲线的方程得2222(),0,bbyyyaa==即2(,)bMca，在△12MFF中，2212tan302bMFaFFc==，即22323caac−=,解得3=

=cea,故选：B10.已知函数()3log,03πcos,393xxfxxx=−，若存在实数1x，2x，3x，4x，当1234xxxx时，满足()()()()1234fxfxfxfx===，则1234xxxx

的取值范围是（）A.297,4B.13521,4C.)27,30D.13527,4【答案】D【解析】【分析】作出()fx的图象，由图象可知3132loglogxx=，则可得出

121xx=，()fx在3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412xx+=，且393,2x，那么()12343312xxxxxx=−，利用二次函数的性质求出其值域即可.【详解】作出函数()fx的图象如图所示，可以发现3132loglogxx=，即31

32loglogxx−=，所以()3132312logloglog0xxxx+==，121xx=.由余弦函数的图象可知，()fx在3,9上的图象关于直线6x=对称，所以3412xx+=，且393,2x，因此123

4xxxx变形为()()()223333331212636gxxxxxx=−=−+=−−+，所以当33x=时，()3min27gx=；当392x=时，()3max1354gx=.所以1234xxxx的取值范围是13527,4.故选

：D.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数与方程思想的运用，难度一般,准确画出函数的图象是关键.11.已知在三棱锥SABC−中，ABBC⊥，2ABBC==，22SASC==，二面角BACS−−的大小为23，则三棱锥SABC−的外接球的表面积为（）A.1249B.105

4C.1059D.1049【答案】D【解析】【分析】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，则可得SDB为二面角BACS−−的平面角，得23BDS=，过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设

球的半径为R，连接OB，OS，然后在△OSD中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.【详解】如图，取AC的中点D，连接BD，SD，因为2ABBC==，22SASC==，所以,BDACSDAC⊥⊥，所以SDB为二面角BACS−−的平面角，所以23BDS=，因

为AB⊥BC，2ABBC==，所以22AC=，2BDCD==因为22SASC==，所以826SD=−=，过点D作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得()2222ODR=−，在△OSD中，∠OD

S＝6，利用余弦定理可得()22223262262RRR=−+−−，解得R2＝269，所以其外接球的表面积为210449R=.故选：D12.函数()fx满足()()1,,2xefxfxxx=++，()1f

e=−，若存在2,1a−，使得31232faaem−−−−成立，则m的取值A.2,13B.2,3+C.)1,+D.12,23【答案】A【解析】【详解】由题意设()()xfxgxe=，，则()()1()xfxfxgxex−==，，所以

()lngxxc=+，（c为常数）．∵()1fe=−，∴(1)(1)1fgce==−=，∴()()(1ln)xxfxgxeex==−+，∴1()(ln1)xfxexx=+−．令1()ln1hxxx=+−，则22

111()xhxxxx−=−=，故当112x时，()0,()hxhx单调递减；当1x时，()0,()hxhx单调递增．∴()(1)0hxh=，从而当1,2x+时，()0fx，∴()fx在区间1,2+上单调递增．设3()3

2,2,1aaaea=−−−−，则2()333(1)(1)aaaa=−=+−，故()a在(2,1)−−上单调递增，在(1,1)−上单调递减，所以max()(1)ae=−=−．∴不等式31232faaem

−−−−等价于12(1)fefm−−=，∴1211122mm−−，解得213m，故m的取值范围为2[,1]3．选A．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中

首先要根据含有导函数的条件构造函数()()xfxgxe=，并进一步求得函数()fx的解析式，从而得到函数()fx在区间1,2+上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)ffm−，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第II卷（非

选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相成的横线上.）13.已知向量()()()2,1,1,,20abkaab==−−=，则k=___________.【答案】12【解析】【分析】根据向量的坐标运算求解即可.【详

解】()()()24,21,5,2abkk−=−−=−，由()20aab−=，得()()2,15,20k−=，1020k+−=，解得12k=.故答案为：1214.若不等式组0220xyxyyxya−++表示的

平面区域是一个三角形，，则a的取值范围是_____．【答案】4013aa或【解析】【分析】画出前三个不等式构成的不等式组表示的平面区域，求出A，B的坐标，得到当直线x+y=a过A，B时的a值，再由题意可得a的取值范

围．【详解】如图，联立022xyxy−=+=解得A22,33当x+y=a过B（1，0）时，a=1；当x+y=a过A22,33时，a=43∴若不等式组0220xyxyyxya−++表示的平面区域是一个三角形

，则0＜a≤1或a≥43.故答案为0＜a≤1或a≥43.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知2(1)na+的展开式中各项系数之和等于25161()5xx+的展开式的常数项，而2(1

)na+的展开式中系数最大的项等于54，则正数a的值为__________.【答案】3【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据224(1)(1)naa+=+展开式的系数最大的项等于24

4C54a=，求得a的值．【详解】25161()5xx+展开式的通项为:51051025221551616C()()C5,05,Z5rrrrrrrrTxxxrr−−−−−+==，令51002r−

=，解得4r=，故展开式的常数项为165165=．由题意可得216n=，故有4n=．由于224(1)(1)naa+=+展开式的系数最大的项等于244C54a=，23a=，解得3a=．由于0a，所以3a=故答案为：316.如图，四边

形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，,2FBEDABEDFB==∥，记三棱锥EACD−，FABC−，FACE−的体积分别为123,,VVV，则下列四个结论：①322VV=；②31VV=；③312VVV=+；④3123VV=.其

中正确结论的序号为__________.（写出所有正确结论的序号）【答案】③④【解析】【分析】根据三棱锥的体积公式和等积性，结合正方体的性质、线面垂直的判定定理逐一判断即可.【详解】设22ABEDFB==

=，222222DB=+=，则1114222323V==，2112221323V==，如图所示，连接BD交AC于点M，连接EM、FM，因为ED⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以EDBD⊥，

而FBED，所以四边形EDBF是直角梯形，则有22112232FM=+=，22122262EM=+=，()()2221223EF=−+=，所以有FMEM⊥，故1323622EMFS==，因为ED⊥平面ABCD，AC平面A

BCD，所以EDAC⊥，又因为ABCD为正方形，所以BDAC⊥，而,,EDBDDEDBD=平面EDBF，所以AC⊥平面EDBF，即AC⊥平面EMF，31132222332EMFVSAC===,所以

312VVV=+，3123VV=，故答案为：③④.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，120C=.（1）若2ab=，求tanA的值；（2）若ACB的平分线交AB于点D，

且1CD=，求ab+的最小值；【答案】（1）32；（2）4【解析】【分析】（1）由2ab=，利用正弦定理将边转化为角得到sin2sinAB=，再根据120C=，有()sin2sin60AA=−，然后利用两角差的正弦公式展开求解.（

2）根据ACB的平分线交AB于点D，且1CD=，由+=ACDBCDABCSSS，可得111sin60sin60sin120222baab=+，化简得到111ab+=，则()11ababab+=++，再利用基本不等

式求解.【详解】（1）解法一由2ab=及正弦定理，知sin2sinAB=即()sin2sin60AA=−，sinco3sinsAAA−=，3tan2A=.解法二22222212cos42272cababCbbbbb=+−=+−−=

，7cb=，222222742227c7osbcabAbbbbcb+−+−===，2431cos1si7n7AA=−=−=，sintancos32AAA==.（2）ACDBCDABCSSS+=，111sin60sin60sin12022

2baab+=，abab+=，即111ab+=，()1124abtabababba=+=++=++，当且仅当2ab==时等号成立，ab+的最小值为4.【点睛】本题主要考查正弦定理，基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.为了让税收政

策更好的为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后，发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》，明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育大病医疗、住房贷款利息、住房租金赠养老人等费用，并公布了相应的定额扣除标准，决定自2019年1月

1日起施行，某机关为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下2×2列联表：40岁及以下40岁以上合计基本满意153045很满意251035合计404080（1）根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?（2）为了帮助年龄在40岁

以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟员工贡献积分x（单位：分）给予相应的住房补贴y（单位：元）,现有两种补贴方案，方案甲：1000700yx=+;方案乙：3000,055600,5109000,10xyxx=.已知这8名员工的

贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，求恰好抽到3名“A类员工”的概率．附：()()

()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参考数据：()20PKk0.500.400.250.150.100.0500250.0100k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【

答案】（1）见解析（2）37【解析】.【分析】（1）由列联表计算2K的观测值即可求解；（2）由题得8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况，进一步得到“A类员工”的人数，再利用古典概型求解即可【详解】（1）根据列联表可以求得2K的观测值：()22802530101580K11.4293

54540407−==.∵11.4296.635.∴有99%的把握认为满意程度与年龄有关（2）据题意，该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为：积分23677111212方案甲24003100520059005900870094009400方案乙30003000

560056005600900090009000由表可知，“A类员工”有5名.设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈，恰好抽到3名“A类员工”的概率为P.则315348CCPC=37=【点睛】本题考查独立性检验，古典概型计

算，熟练计算是关键，是基础题19.已知在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为4的正方形，PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，,,,EFGO分别是,,,PCBCPDAD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的

大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明POAD⊥和POCD⊥，结合线面垂直的判定定理证明出PO平面ABCD；（Ⅱ）先求解出平面EFG和平面ABCD的法向量，然后求解出法向量夹角的余弦值，由此确定出锐二面角的余弦值，从而锐二面角的大小可求.【详解】（Ⅰ）因为

PAD是正三角形，O是AD的中点，所以POAD⊥，又因为CD⊥平面PAD，PO平面PAD，所以POCD⊥，ADCDD=，,ADCD平面ABCD，所以PO⊥面ABCD；（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以,,OAOGOP所在

直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)OABCDGP−−，(1,2,3),(1,0,3)EF−−，(0,2,0),(1,2,3)EFEG=−

=−，设平面EFG法向量为(,,),mxyz=因为00mEFmEG==，所以20230yxyz−=+−=，令1z=，则(3,0,1)m=，又平面ABCD法向量(0,0,1)n=，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，所以||11cos2||||311mnmn===+

.所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3.【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标；的的（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，

直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值.20.如图，经过点()2,3P，且中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12.（1）求椭圆C

的方程；（2）若椭圆C的弦,PAPB所在直线交x轴于点,CD，且PCPD=.求证：直线AB的斜率为定值.【答案】（1）2211612xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab+=，12cea

==，即2ac=，22223bacc=−=，将点(2,3)P，代入即可求得a和b的值，求得椭圆C的方程；（2）联立直线,PAPB的方程与椭圆方程,可得,AB坐标，进而根据两点斜率公式即可求解.【小问1详解】由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆的标

准方程为：22221(0)xyabab+=，由椭圆的离心率12cea==，即2ac=，22223bacc=−=，将(2,3)P代入椭圆方程：2249143cc+=，解得：24c=，216a=，212b=，椭圆的标准方程为：2211612xy+=；

【小问2详解】由题意可知：直线PA有斜率，且0k，设直线PA方程为()32ykx−=−，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，222311612ykxkxy=−++=，整理得：()()222(34)823423480k

xkkxk+−+−−=−，()()()22228234(34)42348016210kkkkk−−−+−−+=，故12k−由韦达定理可知：()()211222412382324343kkkkxx

kk−−−+==++，由PCPD=得：0PCPDkk+=,故直线PB方程为()32ykx−=−−()22224+12343kkxk−=+，因此()212212244348,4343kkxxxxkk−+−==++所以()()()()222121212121

212443443224148243ABkkkkxkxkxxyykkxxxxxxk−−−+−−−−−+−−=====−−−+因此12ABk=，为定值.21.已知函数()()lnRxfxaxa=+，曲线()yfx=在点()()1

,1f处的切线与直线10xy++=垂直.（1）试比较20232022与20222023的大小，并说明理由；（2）若函数()()gxfxk=−有两个不同的零点12,xx，证明：212exx.【答案】（1）2023202220222023，证明见解析；（2）证明见解析.【解

析】【分析】（1）利用导数的几何意义可求得a，在分析判断函数()lnxfxx=的单调性，从而得到(2022)(2023)ff，即得2023202220222023；（2）将212exx逐步转化为证明22ln1ttt−+的问题，利用导数证明22()ln1thttt−=−+在(

1,)+上的单调性，从而得证.【小问1详解】由题可知：2ln()()xaxxfxxxa+−=+，()()2111afa++=，而直线10xy++=的斜率1k=−，所以有21(1)1(1)afa+==+，解得：1a=−或0a=，又因为函数()fx在1

x=处有意义，所以1a−，故0a=，所以()lnxfxx=，()21lnxfxx−=，(0,e)x时，()0fx，(e,)x+时，()0fx，所以()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减，所以(2022)(

2023)ff，即ln2022ln202320222023，即2023ln20222022ln2023，即有20232022ln2022ln2023，所以2023202220222023.【小问2详解】不妨设120xx，所以有12()()0gxgx==，化简得1122ln0,ln0,

xkxxkx−=−=即1212lnln()xxkxx+=+，1212lnln()xxkxx−=−，要证212exx，即证12lnln2xx+，即证12()2kxx+，因为1212lnlnxxkxx−=−，所以即证：121212lnln2xxxxxx−−+，即111221

2122222()ln1xxxxxxxxxx−−=++，设12xtx=，因为120xx，所以1t，即证22ln1ttt−+(1t)设22()ln1thttt−=−+(1t)，22214(1)()0(1)(1)thttttt−=−=++，所以函数()h

t在(1,)+上单调递增，所以()(1)0hth=，即22ln01ttt−−+，即22ln1ttt−+，即212exx.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应

用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4

)考查数形结合思想的应用．请考生在第22､23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22.在直角坐标系中，

以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为22124cos=−，直线l的参数方程为2525535xtyt=−=+（t为参数）（1）求曲线C的

参数方程与直线l的普通方程；（2）设点P为曲线C上的动点，点M和点N为直线l上的点，且5MN=,求PMN面积的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）[25,65]PMNS.【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化公式即可求得曲线C的直角坐标方程，进而可

得椭圆的参数方程，直线参数方程消参即得普通方程；（2）由点到直线距离公式的范围即可求得三角形面积的取值范围.【小问1详解】由22124cos=−得：2224cos12−=，又因为222cossinxyxy=

=+=，即得2224()12xyx+−=，化简得：22143xy+=，故曲线C的参数方程为：2cos3sinxy==（为参数），由2525535xtyt=−=+，消参可得：280xy+−=，直线l普通方程为：280xy+−=.【小问2详解】设(2

cos,3sin)P，则点P到直线280xy+−=的距离4sin()82cos23sin8655d+−+−==，当sin()16+=时，d有最小值455，当sin()16+=−时，d有最大值1255，的而5MN=，所

以1[25,65]2PMNSMNd=.故[25,65]PMNS选修4-5不等式选讲.23.设函数()211fxxx=++−.（1）当)0,x+，总有()fxaxb+，求ab+的最小值t；（2）若正数,m

n满足33165mnt+=，求证；4mn+.【答案】（1）5t=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据分段函数，分类讨论求解()gx的最大值，即可；（2）利用立方和公式以及均值不等式即可求解.【小问1详解】记()()()()3,112,

01axxgxfxaxaxx−=−=−+，当3a时，3010a,a-<-<，此时()gx在)0,x+单调递减，故()()max02gxg==，则()bgx恒成立，故2b，此时5ab+，当13a时，301

0a,a->-<，此时()gx在)0,1x单调递减，在)1,x+单调递增，此时()gx无最大值，不符合题意，当3a=时，此时()gx在)0,1x单调递减，在)1,x+时，()0gx=，此时()()max02gxg==，则()bgx恒成立，故2b，此时5ab+，当

1a时，3010a,a->->，此时()gx在)0,x+单调递增，此时()gx无最大值，不符合题意，当1a=时，在)01x，时，()2gx=，当)1,x+，()gx单调递增，此时()gx无最大值，不

符合题意，综上可知：5ab+，故ab+的最小值为5，即5t=，【小问2详解】由（1）知5t=，所以3316=165mnt+=，又()()()()2333316163mnmnmnmnmnmnmn+=++−=+−=+，由于0,0mn，所以22mnm

n+，因此()()()3232163mnmnmnmnmn=++−++，即()()()33331616444mnmnmnmn+++−+，当且仅当=2mn=时，取等号，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.c

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