【文档说明】重庆市铜梁区巴川中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷【精准解析】.doc，共(18)页，1.027 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年重庆市铜梁区巴川中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∩B等于（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，﹣

1]∪（1，+∞）C．[3，4）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）2．已知a∈R，若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位）是纯虚数，则a＝（）A．0B．1C．﹣1D．23．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是（

）A．众数B．中位数C．平均数D．都不会4．在△ABC中，已知D为AC上一点，若，则＝（）A．B．C．D．5．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）A．0.3B

．0.5C．0.7D．0.96．近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势，某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查，已知这几所学校

的小学生、初中生、高中生的人数比为5：6：7，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝（）A．250B．300C．800D．9007．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱

锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π8．已知非等腰△ABC的内角A，B，C的对边

分别是a，b，c，且＝2c2，若c为最大边，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，]D．（，]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形

，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°10．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α

⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则能确定B为钝角的是（）A．B．A，C均为锐角，且sinA＞cosCC．A，C均为锐角，且tanA+

tanB+tanC＜0D．a2+c2＞b212．设A，B，C，D是两两不同的四个点，若，，且m+n＝2mn，则下列说法正确的有（）A．点C可能是线段AB的中点B．点B可能是线段AC的中点C．点C，D不可能同时在线段AB上D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上三、填空题（本大

题共4小题，每小题5分，共20分）13．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为．14．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中

，最长的对角线的长度是．15．若定义在R上的非零函数f（x），对任意实数x，存在常数λ，使得f（x+λ）＝λf（x）恒成立，则称y＝f（x）是一个“f▫λ函数”，试写出一个“f▫1函数”：．16．已知函数

f（x）满足∀x∈R，有f（x）＝f（6﹣x），且f（x+2）＝f（x﹣2），当x∈[﹣1，1]时，．当x∈（﹣1，11）时，方程的所有根的和为．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每题各12分，共70分．解答题写出必要的文字说

明、推演步骤）17．已知向量，，设，．（1）求的值；（2）求，夹角的大小．18．在①，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，

B，C对边分别为a，b，c且，而且_____．（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值．19．对某班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中[10，20），[20，30），[30，40），[

40，50），[50，60）在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示．（1）求实数m的值并估计每位同学每天参加课外活动的平均时间；（2）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．

20．如图，多面体EFABCD中，FA⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，，EF∥AC，且EF＝2．（1）求证：CE∥平面BDF；（2）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值．21．如图

，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形木板，按如下方式切割一平行四边形：在弧上任取一点P（异于A、B），过点P分别作PC、PD平行于OB、OA，交OA、OB分别于C、D两点，记∠AOP＝α．（1）当点P位于何处时，使得平行四边形OCPD的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD的面积是

否存在最大值？若存在，求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f（1）＜0，不等式对∀x∈R恒成立，求实数t的取值范围；（3）若，在x∈[

1，+∞）上的最小值为0，求实数m的值；参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合，B＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，则A∩B等于（）A．（﹣1，1]B．（﹣∞，﹣1]∪（1，+∞）C．[3，4）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）解：∵集合＝{x|1＜x＜4}，B＝

{x|x2﹣2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x＜4}＝[3，4）．故选：C．2．已知a∈R，若复数z＝（a2﹣a）+ai（i是虚数单位）是纯虚数，则a＝（）A．0B．1C．﹣1D．2解：∵a∈R，若复数z＝（a2﹣a

）+ai（i是虚数单位）是纯虚数，则a2﹣a＝0，a≠0，求得a＝1，故选：B．3．下列数字特征一定会在原始数据中出现的是（）A．众数B．中位数C．平均数D．都不会解：众数指出现次数最多的数，故一定会在原始数据中出现．对于一组数据：1，2，3，4，中位数为2.5，平均数为2.5，都不在原始数

据．故选：A．4．在△ABC中，已知D为AC上一点，若，则＝（）A．B．C．D．解：如图，＝＝+＝（）+＝+，故选：D．5．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至

少1人需使用这种设备的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.7D．0.9解：根据题意，设甲使用设备为事件A，乙使用设备为事件B，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，则有P（）＝1﹣0.4＝0.6，P（）

＝1﹣0.5＝0.5，甲乙都没有使用设备的概率p（）＝0.6×0.5＝0.3，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率P＝1﹣p（）＝1﹣0.3＝0.7；故选：C．6．近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大

的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势，某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查，已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5：6：7，现用分层抽样的方法抽取一

个样本容量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝（）A．250B．300C．800D．900解：这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5：6：7，现用分层抽样的方法抽取一个样本容量

为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n（）＝50，解得n＝900．故选：D．7．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球

O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．8．已知非等腰△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝2c2

，若c为最大边，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，]D．（，]解：由＝2c2，得＝2c2，即a2+b2+＝c2+c2，则a2+b2﹣c2＝c2﹣，a2+b2﹣c2＝，通分得＝0，故（a2+b2﹣c2）2＝a2b2，故（）2＝，因为C为最大角，所以cosC＝﹣，由

余弦定理c2＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2＝（a+b）2，当且仅当a＝b时，取等号，故c≥（a+b），则≤，由a+b＞c，得＞1，所以的取值范围是（，]，故选：A．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解：在A中

，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，∴B1E⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，∴CC1与B1E是共面直线，故A错误；在B中，∵AE∩平面BCC1B1＝E，CC1⊂平面BCC1B1，且E∉

CC1，∴CC1与AE是异面直线，故B错误；在C中，∵AE∩平面BCC1B1＝E，B1C1⊂平面BCC1B1，且E∉B1C1，∴AE与B1C1是异面直线，故C正确；在D中，∵AE⊥B1C1，BC∥B1C

1，所以AE⊥B1C1，故D错误．故选：ABD．10．已知α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩

β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β解：α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故

B错误；对于C，若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则由线面平行的性质得m∥l，故C正确；对于D，若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则直线m与β相交不一定垂直，故D错误．故选：AC．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

c，则能确定B为钝角的是（）A．B．A，C均为锐角，且sinA＞cosCC．A，C均为锐角，且tanA+tanB+tanC＜0D．a2+c2＞b2解：，即，可得cosB＜0，又B为三角形的内角，所以B为钝角，则A正确．A，

C均为锐角，sinA＞cosC等价于，又因为y＝sinx在上单调递增，所以，即，，故B错误，A，C均为锐角，可得tanA＞0，tanC＞0，又tanA+tanB+tanC＜0，所以tanB＜0，故B为钝角，故C正确．a2+c2＞b2，所以，所以B为锐角，故D错误，故选：AC．12．设A，

B，C，D是两两不同的四个点，若，，且m+n＝2mn，则下列说法正确的有（）A．点C可能是线段AB的中点B．点B可能是线段AC的中点C．点C，D不可能同时在线段AB上D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上解：若点C可能是线段AB的中点，则m＝，代入m+

n＝2mn得+n＝2×n，无解，∴A错；若点B是线段AC的中点，m＝2，代入m+n＝2mn得2+n＝2×2n，解得n＝，有解，∴B对．当m＝n＝1时满足m+n＝2mn，此时C，D都与B重合，与已知矛盾，∴C对；若点C，D同时在线段AB延长线上，

则m＞1，n＞1，则+＜2，这与＝2矛盾，∴D错．故选：BC．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为1．解：根据题意，一组样本数据x1，x2，•••，xn的方差S2＝

0.01，则数据10x1，10x2，•••，10xn的方差为102×S2＝1；故答案为：114．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是．解：有以下三种情形：（1）重叠

的是长、宽分别为5cm，4cm的面，则新长方体的对角线长为cm（2）重叠的是长、高分别为5cm，3cm的面，则新长方体的对角线长为cm（3）重叠的是宽、高分别为4cm，3cm的面，则新长方体的对角线长为cm故在这些新长方体中，最长的对角线的长度是cm．故答案为cm．15

．若定义在R上的非零函数f（x），对任意实数x，存在常数λ，使得f（x+λ）＝λf（x）恒成立，则称y＝f（x）是一个“f▫λ函数”，试写出一个“f▫1函数”：y＝sin（2πx）（答案不唯一）．解：由题意，“f▫1函数”是非零函数，且对任意x∈R，都有f（x+1）＝f（x）恒成

立，所以f（x）是周期为1的非零函数，例如非零常函数，y＝sin（2πx），y＝cos（2πx）等．故答案为：y＝sin（2πx）（答案不唯一）．16．已知函数f（x）满足∀x∈R，有f（x）＝f（6﹣x），且f（x+2）＝f（

x﹣2），当x∈[﹣1，1]时，．当x∈（﹣1，11）时，方程的所有根的和为30．解：由题设，知，故f（x）在x∈[﹣1，1]上为奇函数且单调递减，又f（x+2）＝f（4﹣x）＝f（x﹣2），即关于x＝2k+1、（2k，0），k

∈Z对称，且最小周期为4，由题意，只需确定f（x）与在x∈（﹣1，11）的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于x＝5对称，则x1+x6＝x2+x5＝x3+x4＝10，∴所有根的和为30．故答案为：30．四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18

-22题每题各12分，共70分．解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17．已知向量，，设，．（1）求的值；（2）求，夹角的大小．解：（1）∵，，∴＝﹣sinαcosα+sinαcosα＝0，||＝1，||＝1，∴＝＝＝＝．（2）•＝（+）•（+）＝+4+＝2，||＝

＝＝＝2，同理可得，||＝2，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝，故，的夹角为．18．在①，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c且，而且_____．（1）求∠C

；（2）求△ABC面积的最大值．解：（1）选①，∵a＝csinA−acosc，∴sinA＝sinCsinA−sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC−cosC＝1，即sin（C−）＝，又0＜C＜π，∴−＜C−＜，故C−＝，即C＝；选②，∵（2a﹣b）sin

A+（2b﹣a）sinB＝2csinC，∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（2）由（1）可知，C＝，在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+

b2﹣ab＝3，∴ab＝a2+b2﹣3≥2ab﹣3，∴ab≤3，当且仅当那个a＝b时取等号，∴S△ABC＝absinC≤×3×sin＝．19．对某班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中[10，20），[20，30），[30，40），[40，

50），[50，60）在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示．（1）求实数m的值并估计每位同学每天参加课外活动的平均时间；（2）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．解：

（1）由题意，10m+0.02×10+0.0375×10+0.0175×10+10m＝1，解得m＝0.0125，每位同学每天参加课外活动的平均时间为：＝15×0.125+25×0.2+35×0.374+45×0.175+55×0.125＝

34.75分钟；（2）设每天参加活动不少于50分钟的5个人分别为a，b，c，d，甲，从中任选3人，可能的基本事件为：abc，abd，ab甲，acd，ac甲，ad甲，bcd，bc甲，bd甲，cd甲，共10种，男生甲被选中，则可能的基本事件为：ab甲

，ac甲，ad甲，bc甲，bd甲，cd甲，共6种，所以其中的男生甲被选中的概率为＝．20．如图，多面体EFABCD中，FA⊥平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，∠ABC＝60°，，EF∥AC，且EF＝2．（1）求证：CE∥平面BDF；（2

）求二面角C﹣BE﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB⋅BC⋅cos60°＝9，∴AC＝3．设AC∩BD＝M，连结FM，∵AD∥BC，∴，∴MC＝2．∴FE＝MC＝2，又EF∥AC，所以四边形CMFE为平行四边形，∴CE∥FM

，又CE⊄平面BDF，FM⊂平面BDF，∴CE∥平面BDF．（2）解：由（1）知AC＝3，AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，以AB，AC，AF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则C（0，3，0），，，，，

，，设平面CBE的法向量为，则即，令，则y＝1，，∴．设平面DBE的法向量为，则即，令x＝1，则，z＝﹣1，∴．∴，所以二面角C﹣BE﹣D的余弦值为．21．如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形木板，按如下方式切割一平

行四边形：在弧上任取一点P（异于A、B），过点P分别作PC、PD平行于OB、OA，交OA、OB分别于C、D两点，记∠AOP＝α．（1）当点P位于何处时，使得平行四边形OCPD的周长最大？求出最大值；（2）试问平行四边形OCPD的面积是否存在最大值？若存在，

求出最大值以及相应的α的值；若不存在，请说明理由．解：过点P作OC的垂线，垂足为H，因为OP＝2，∠AOP＝α，则PH＝2sinα，OH＝2cosα，PC＝＝，CH＝PC＝，所以OC＝OH﹣CH＝2cosα﹣，（1）设

平行四边形OCPD的周长为f（α），则f（α）＝2（OC+PC）＝4cosα﹣+＝4cosα+＝sin（α+），因为点P异于A，B两点，所以0＜α＜，所以α＝，即点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形OCPD的周长最大，最大

值为．（2）设平行四边形OCPD的面积为S（α），则S（α）＝OC•PH＝（2cosα﹣）•2sinα＝4sinαcosα﹣＝2sin2α﹣＝sin（2α+）﹣，由（1）得，0＜α＜，所以＜2α+＜，所以当2α+＝，即α＝，所以点P位于弧AB的中点时，使得平行四边形O

CPD的面积最大，最大值为．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f（1）＜0，不等式对∀x∈R恒成立，求实数t的取值范围；（3）若，在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求实数m的值

；解：（1）∵f（x）为奇函数，∴，可得：k＝1；（2）由解得﹣1＜a＜1，又a＞0，∴0＜a＜1，任取x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）＝＝＜0，∴f（x）为减函数，∴恒成立等价于恒成立，令d＝，则，∵sinx∈[﹣1，1]，∴d∈[﹣

1，0]∴t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，故t的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；（3）∵，∴a＝2，∴f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）+1＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+3令t＝2x﹣2﹣x，∵x

∈[1，+∞），∴，令y＝t2﹣2mt+3＝（t﹣m）2+3﹣m2（i）当时，y＝t2﹣2mt+3＝（t﹣m）2+3﹣m2在上单调递增，，解得，不合题意，舍去；（ii）当时，，解得（负舍），综上所述，．