【文档说明】2024届高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材） 课后提升练3　高考情境题的数学建模 Word版含答案.docx，共(5)页，299.731 KB，由小赞的店铺上传

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课后提升练3高考情境题的数学建模一、选择题1.在北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺

,则春分的日影长为()A.9.5尺B.10.5尺C.11.5尺D.12.5尺2.(2023山东滨州一模)《九章算术》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体

,它的体积V=112×(底面圆的周长的平方×高),则由此可推得圆周率π的取值为()A.3B.3.1C.3.14D.3.23.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v=12log3𝑄100,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑

鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为()A.2600B.2700C.2D.274.2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把202

00202这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有9个(11,22,…,99),则在三位数的回文数中,出现偶数的概率为()A.13B.49C.59D.235.(2023广西部分学校3月测试)在一节数学研究性学习的课堂上,老师要求大家利用超级画

板研究空间几何体的体积,步骤如下:第一步,绘制一个三角形;第二步,将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体;第三步,测算三个空间几何体的体积.若小明同学绕着△ABC的三条边AB,BC,AC旋

转一周所得到的空间几何体的体积分别为2,83,4,则cos∠BAC=()A.-14B.78C.1116D.5166.(2023山西校联考模拟预测)中国古代四大名楼之一的鹳雀楼,位于山西省运城市永济市蒲州镇

,因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名.如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为()A.64

mB.74mC.52mD.91m7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就

是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A(-12,0)和点B(0,12),点M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为()A.52B.√172C.32D.√228.(2023山东日照一模)如图

1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高,若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积S=2πRh.如图1,

已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()图1图2A.1940πcm2B.2350πcm2C.2400πcm2D.2540πcm29.(2023广

西梧州一模)我们可以把(1+1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(1-1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的1.013650.99

365≈1481倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,则“进步”是“落后”的1000倍至少经过的天数为()(lg3≈0.477,lg11≈1.041)A.31B.33C.35D.3710.(2023山西大同名校联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1

的☉O上逆时针做匀速圆周运动,同时出发.点P的角速度大小为2rad/s,起点为☉O与x轴正半轴的交点;点Q的角速度大小为5rad/s,起点为射线y=-√3x(x≥0)与☉O的交点.则当点Q与点P重合时,点Q的坐标不可以为()A.(cos2π9,sin2π9)B.(-cos5π9,-sin5π9

)C.(cosπ9,-sinπ9)D.(-cosπ9,sinπ9)二、填空题11.如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,记圆柱的体积和表面积分别为V1,S1,球的体积和表面积分别为V2,S2,则𝑉1𝑉2×𝑆2𝑆1=.12.(2023江西

九江二模)根据祖暅原理,界于两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.如图1所示,一个容器是半径为R的半球,另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥,这两个

容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面,注入等体积的水,则其水面高度也相同.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为10cm,里面注入高为1cm的水,将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内,当球沉到容器底端时,水

面的高度为cm.(注:√23≈1.26)图1图213.(2023北京丰台一模)三等分角是“古希腊三大几何问题”之一,目前尺规作图仍不能解决这个问题.某位古希腊数学家借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法.如图,以角的顶点C为

圆心作圆交角的两边于A,B两点,取线段AB的三等分点O,D,以B为焦点,A,D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E,连接CE,则∠BCE=13∠ACB.(1)双曲线H的离心率为;(2)若∠ACB=π2,|AC|=3√2,CE交AB于点P,则|OP|=.课

后提升练3高考情境题的数学建模1.D解析设从冬至到芒种这十二个节气的日影长构成等差数列{an},公差为d,由题意冬至的日影长为a1=18.5,立春的日影长a4=15.5,则a4-a1=3d=15.5-18.5=-3,所以d=-1.则春分的日影长a7=a1+6d=18.5-6=12.5.

2.A解析设圆柱体的底面半径为r,高为h,由圆柱的体积公式V=πr2h.由题意知V=112×(2πr)2×h.所以πr2h=112×(2πr)2×h,解得π=3.故选A.3.D解析由12log3𝑄100=0,得𝑄100=1,Q=100;由12log

3𝑄100=1.5,得𝑄100=33=27,Q=2700.故鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为2700100=27.4.B解析3位回文数的特点是百位和个位数字相同且不能为0,十位数字可以为从0到9的任意一个数,当百位和个位数字同时为

1,2,3,…,9时,各有10个回文数,共90个回文数.若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2,中间一位数有10种可能,同理可得,如果末(首)位为4或6或8,中间一位数均有10种

可能,所以三位数的回文数是偶数,有4×10=40个,所以在三位数的回文数中,出现偶数的概率为P=4090=49.5.C解析令△ABC的三边长AB,BC,AC分别为c,a,b,边AB上的高为hc,△ABC的面积为S,则以直线AB为轴所得旋转体体积13πℎ𝑐2c=2

,有ℎ𝑐2c2=6𝑐π,于是S2=3𝑐2π,同理可得S2=2𝑎π,S2=3𝑏π,则有a=32b,c=2b,由余弦定理得cos∠BAC=𝑏2+4𝑏2-94𝑏24𝑏2=1116.故选C.6.B解析因为在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=37m,∠ACB=30°,所以AC=2AB=74

m,又因为在Rt△MNC中,NC⊥MN,∠MCN=45°,所以MN=MC·sin45°=√22MC,又因为∠MAC=45°,∠MCA=180°-45°-30°=105°,故∠AMC=180°-105°-45°=30°,在△ACM中,由正弦定理得𝑀𝐶sin∠𝑀𝐴𝐶=𝐴�

�sin∠𝐴𝑀𝐶,即𝑀𝐶sin45°=74sin30°,故MC=74sin45°sin30°=74√2m,故MN=√22×74√2=74m.故选B.7.B解析设M(x,y),令2|MA|=|MC|,则|𝑀𝐴||𝑀𝐶|=12

,由题知圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=12,设点C(m,n),则|𝑀𝐴||𝑀𝐶|=√(𝑥+12)2+𝑦2√(𝑥-𝑚)2+(𝑦-𝑛)2=12,整理得x2+y2+2𝑚+43x+2𝑛3y=𝑚2+𝑛2-13,比较两方程可得2

𝑚+43=0,2𝑛3=0,𝑚2+𝑛2-13=1,即m=-2,n=0,点C(-2,0).如图所示,设直线BC与圆O的交点分别为M1,M2,当点M位于点M1时,2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|的值最大,最大为|BC|=

√172.故选B.8.C解析由题意得R2-(58-102)2=72,所以R=25cm,所以h=25-58-102=1cm,所以两个球冠的面积为2S=2×2πRh=2×2×π×25×1=100πcm2,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为

4πR2-2S=4×π×252-100π=2400πcm2.9.C解析根据题意,如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,假设经过n天后,“进步”是“落后”的1000倍,得1.1𝑛0.9𝑛≥1000,即n(lg1

1-lg9)≥3,所以n(lg11-2lg3)≥3,即n≥3(1.041-2×0.477)=30.087≈34.5,所以至少经过35天后,“进步”是“落后”的1000倍.故选C.10.C解析由题意,点Q的初始位置Q1的坐标为(12

,-√32),锐角∠Q1OP=π3,设t时刻两点重合,则5t-2t=π3+2kπ(k∈N),即t=π9+2𝑘3π(k∈N),此时点Q(cos(-π3+5t),sin(-π3+5t)),即Q(cos(2π9+

10𝑘3π),sin(2π9+10𝑘3π))(k∈N),当k=0时,Q(cos2π9,sin2π9),故A不符合题意;当k=1时,Q(cos32π9,sin32π9),即Q(-cos5π9,-sin5π9),故B不符合题意;当k=2时,Q(cos

62π9,sin62π9),即Q(-cosπ9,sinπ9),故D不符合题意.故选C.11.1解析设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以V1=πR2·2R=2πR3,V2=43πR3,S1=2πR×2R+2πR2=6πR2,S2=4πR2,故�

�1𝑉2×𝑆2𝑆1=2π𝑅343π𝑅3×4π𝑅26π𝑅2=1.故答案为1.12.1.48解析设实心球沉到容器底端时,水面的高度为h.由题图2知,容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积,由题图1知相应

圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积,故容器内水的体积等于相应圆台的体积.因为容器内水的体积为V水=π×42×1=16π,相应圆台的体积为13×π×42×4-13×π×(4-h)2×(4-h)

=64π3−(4-ℎ)3π3,∴16π=64π3−(4-ℎ)3π3,解得h=4-√163=4-2√23≈4-2×1.26=1.48cm.13.(1)2(2)7-3√3解析(1)由题可得|OA|=a,|OB|=c,则c=2a,∴双曲线H的离心

率为2.(2)∵∠ACB=π2,且|AC|=|BC|=3√2,∴|AB|=√18+18=6,|OB|=4.又∠BCE=13∠ACB,∴∠ACP=π3,∠BCP=π6,∴𝑆△𝐴𝐶𝑃𝑆△𝐵𝐶𝑃=12|𝐴𝐶|·|𝐶𝑃|sin∠𝐴𝐶𝑃12|𝐵𝐶|·|𝐶𝑃|

sin∠𝐵𝐶𝑃=√3212=|𝐴𝑃||𝐵𝑃|,∴|AP|=√3|BP|.∵|AB|=|AP|+|BP|=(√3+1)|BP|=6,解得|BP|=3√3-3,∴|OP|=|OB|-|BP|=7-3√3.