【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题9.4 用样本估计总体（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(17)页，757.869 KB，由小赞的店铺上传

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专题9.4用样本估计总体（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2023·高一课时练习）关于样本平均数和中位数的说法中，不正确的是（）A．平均数是表示样本数据平均水平

的量，它到各数据点的距离的平方和最小B．中位数是表示样本数据平均水平的量，它到各数据点的距离和最小C．样本的平均数和中位数都能反映总体的“平均水平”，但平均数对样本的极端数据反映灵敏，而中位数则相对稳健D．样本的平均数和

中位数都能反映总体的“平均水平”，但中位数对样本的极端数据反映灵敏，而平均数则相对稳健【解题思路】根据平均数和中位数的性质逐一判断即可.【解答过程】由平均数和中位数的性质可知选项ABC均正确，从小到大排列的数

据中，中位数是中间的数（或者是中间两数的平均数），因此不可能反映出极端数据的情况，因此选项D不正确，故选：D.2．（3分）（2023秋·山东威海·高一期末）某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分组依次为[20,

40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若高于60分的人数是350，则高一学生人数为（）A．1000B．750C．500D．250【解题思路】先由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率，再根据比例计算可得高一学生人数.【解答过程】由频率分布

直方图得高于60分的人数所占频率为(0.02+0.015)×20=0.7，所以高一学生人数为3500.7=500人故选：C.3．（3分）（2023·高一课时练习）已知一组数据𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛，c是非零常数，则对于数据𝑥1−𝑐，𝑥2−�

�，…，𝑥𝑛−𝑐，以下说法中正确的是（）A．平均数与方差都不变B．平均数变了，方差不变C．平均数不变，方差变了D．平均数与方差都变了【解题思路】根据平均数与方差的定义直接计算，逐项检验即可得到答案．【解答过程】设𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛的平均数为𝑥，即𝑥=𝑥

1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛𝑛，则其方差为：𝑠2=1𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2]，所以𝑥1−𝑐,𝑥2−𝑐,⋯,𝑥𝑛−𝑐的平均数为：(𝑥1−𝑐)+(𝑥2−𝑐)+⋯+(𝑥𝑛−𝑐)𝑛=�

�−𝑐，𝑥1−𝑐,𝑥2−𝑐,⋯,𝑥𝑛−𝑐的方差为：1𝑛[(𝑥1−𝑐−𝑥+𝑐)2+(𝑥2−𝑐−𝑥+𝑐)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑐−𝑥+𝑐)2]=1𝑛[(𝑥1−𝑥)2+(𝑥2−𝑥)2+⋯+(𝑥𝑛−𝑥)2]=𝑠2，所

以平均数变了，方差不变．故选：B．4．（3分）（2023秋·山东东营·高一期末）十名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其中位数为a，众数为b，第一四分位数为c，则a，b，c大

小关系为（）A．𝑎<𝑏<𝑐B．c<a<bC．𝑐<𝑏<𝑎D．𝑎<𝑐<𝑏【解题思路】根据中位数、众数、分位数的定义求解.【解答过程】对生产件数由小到大排序可得：10,12,14,14,15,15,16,

17,17,17，所以中位数𝑎=15+152=15,众数为𝑏=17，10×0.25=2.5，所以第一四分位数为第三个数，即𝑐=14，所以c<a<b，故选:B.5．（3分）（2023春·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）为了加深师生对党史的

了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）①

a的值为0.005；②估计成绩低于60分的有25人；③估计这组数据的众数为75；④估计这组数据的第85百分位数为86A．①②③B．①②④C．①③④D．②③【解题思路】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、

众数及百分位数的求法可得结果.【解答过程】对于①，由(𝑎+2𝑎+3𝑎+3𝑎+5𝑎+6𝑎)×10=1，得𝑎=0.005.故①正确；对于②，估计成绩低于60分的有1000×(2𝑎+3𝑎)×10=50000𝑎=250人.故②错

误；对于③，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故③正确；对于④，设这组数据的第85百分位数为m，则(90−𝑚)×5×0.005+0.005×10=1−85%=0.15，解得：𝑚=86，故④正

确.故选：C.6．（3分）（2023·四川泸州·统考二模）某地区2022年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：根据图表判断，以下结论正确的

是（）A．8月每天最高气温的极差小于15∘CB．8月每天最高气温的中位数高于40∘CC．8月前15天每天最高气温的方差大于后16天最高气温的方差D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差【解题思路】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图，结合平均数、中位数、方差的意义逐

项判断即可.【解答过程】对于A选项，8月每天最高气温的极差大于40−25=15∘C，A错；对于B选项，8月每天最高气温不低于40∘C的数据有8个，其它都低于40∘C，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40∘C，B错；对于C选项，8月前15天每天最高气温的数据极差小，

波动较小，后16天每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前15天每天最高气温的方差小于后16天最高气温的方差，C错；对于D选项，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的

方差大于每天最低气温的方差，D对.故选：D.7．（3分）（2023·全国·高一专题练习）2020年全国城镇私营单位就业人员平均工资为57727元，比上年增加4123元，增长率为7.7%，增速比2019年回落0.4个百分点.图1为2011年

至2020年城镇私营单位就业人员平均工资及增速图，图2为2020年四大区域（东部、中部、西部、东北四个区域）平均工资的增速图.则下列说法正确的是（）A．2011年至2020年城镇私营单位就业人员的平均工资逐年递增B．2011年

至2020年城镇私营单位就业人员的平均工资的增长率逐年递减C．2020年中部地区的平均工资最高D．2020年东北地区平均工资的增速最高【解题思路】根据柱形图，折线图，饼图所给的数据分析求解.【解答过程】由图1

可知，柱状图（平均工资）从左到右逐步升高，说明A正确；红色折线图（增长率）总体趋势下降，但中间也有上升，所以B错误；由图2可知，中部地区2020年的工资的平均增速最高，工资不一定最高，所以C错误、D错误

.故选:A.8．（3分）（2023·河南信阳·高三期末）冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3℃人数的

统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2（2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4（4）均值为2，标准差为√2A．（1）（3）B．（3）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）【解题思路】将7个数据有小到大依次排列，举出反例证明（1）（3）不

满足，假设（2）不满足，根据计算得到平均数大于1，矛盾，假设（4）不满足，计算标准差大于√2，矛盾，得到答案.【解答过程】将7个数由小到大依次记为𝑥1、𝑥2、𝑥3、𝑥4、𝑥5、𝑥6、𝑥7.对于（

1）选项，反例：2、2、2、3、3、4、6，满足中位数为3，众数为2，与题意矛盾，（1）选项不合乎要求；对于（2）选项，假设𝑥7≥6，即该公司发生了群体性发热，因中位数为1，则𝑥6≥𝑥5≥𝑥4=1，平均数为𝑥̅=∑𝑥𝑖7𝑖=17≥0×

3+1+1+1+67>1，矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（2）选项合乎要求；对于（3）选项，反例：0、1、2、4、4、4、6，满足众数为4，均值为3，与题意矛盾，（3）选项不合乎要求；对于（4）选项，假设𝑥7≥6，即该

公司发生群体性发热，若均值为2，则方差为𝑠2=∑(𝑥𝑖−2)27𝑖=17≥(𝑥7−2)27=167>2，即𝑠>√2，与（4）选项矛盾，故假设不成立，即该公司没有发生群体性发热，（4）选项合乎要求.故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）

9．（4分）（2022秋·山西运城·高三阶段练习）第一组样本数据：𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛，由这组数据得到第二组样本数据：𝑦1,𝑦2,⋯,𝑦𝑛，其中𝑦𝑖=𝑎𝑥𝑖+𝑏(𝑖=1,2,⋯,𝑛)，其中𝑎,𝑏为正数，则下列命题正确的是（）A．当𝑎=1时，两组样本数

据的样本平均数不相同B．第二组样本数据的样本极差是第一组的𝑎倍C．第二组样本数据的样本标准差是第一组的𝑎倍D．第二组样本数据的样本方差是第一组的𝑎倍【解题思路】根据样本数据的平均数，极差及方差,标准差性质逐个选项判断即可.【解答过程】设一组数据𝑥1,𝑥2,⋯,𝑥𝑛

的平均数为𝑥̅，方差为𝑠2，则𝑎𝑥1+𝑏,𝑎𝑥2+𝑏,⋯,𝑎𝑥𝑛+𝑏的平均数为𝑎𝑥̅+𝑏，方差为𝑎2𝑠2.对于A选项，根据以上性质以及𝑏>0可知，第二组样本数据的平均数为𝑥̅+𝑏>𝑥̅，故平均

数不相同，故A正确；对于B选项，由极差的定义知：若第一组的极差为𝑥max−𝑥min，则第二组的极差为𝑦max−𝑦min=𝑎(𝑥max+𝑏)−𝑎(𝑥min+𝑏)=𝑎(𝑥max−𝑥

min),𝑎>0，即第二组样本数据的样本极差是第一组的𝑎倍，故B正确；对于C､D选项，根据样本数的上述性质，第二组样本数据的样本方差是第一组的𝑎2倍，第二组样本数据的样本标准差是第一组的𝑎倍，故C正确,D错误.

故选:ABC.10．（4分）（2023秋·浙江湖州·高三期末）为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车､自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基

于以上统计信息，则（）A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值D．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值【解题思路】根据频率分布直方图结合相关概念运算判断.【解答过程】对

A：设骑车时间的中位数为𝑎，则0.10×2+0.20(𝑎−20)=0.50，解得𝑎=21.5，故骑车时间的中位数的估计值是21.5分钟，A错误；对B：设坐公交车时间的40%分位数为𝑏，则0.025×

2+0.050×2+0.075×2+0.100×(𝑏−18)=0.4，解得𝑏=19，故坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟，B正确；对C：坐公交车时间的平均数𝑥=13×0.025×2+15×0.050×2+17×0.075×2+19×0.100×2+21×0.100×2

+23×0.075×2+25×0.050×2+27×0.025×2=20，骑车时间的平均数𝑦=19×0.10×2+21×0.20×2+23×0.15×2+25×0.05×2=21.6，∵𝑥<𝑦，故坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，C正确；对D：坐

公交车时间的方差𝑠12=(13−20)2×0.025×2+(15−20)2×0.050×2+(17−20)2×0.075×2+(19−20)2×0.100×2+(21−20)2×0.100×2+(23−20)2×0.075×2+(25−20)2×0.050×2+(27−20)2×0.0

25×2=13骑车时间的方差𝑠22=(19−21.6)2×0.10×2+(21−21.6)2×0.20×2+(23−21.6)2×0.15×2+(25−21.6)2×0.05×2=3.24，∵𝑠12>𝑠22，故坐公交车时间的方差

的估计值大于骑车时间的方差的估计值，D错误.故选：BC.11．（4分）（2023·全国·高一专题练习）某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的

有（）A．57周岁以上参保人数最少B．18~30周岁人群参保总费用最少C．C险种更受参保人青睐D．31周岁以上的人群约占参保人群80%【解题思路】根据统计图一一分析即可.【解答过程】解：由扇形图可知，57周岁以上参保人数最少，

故A正确；由折线图可知，18~30周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故B错误；由条形图可知，C险种参保比例最高，故C正确；由扇形图可知，31周岁以上的人群

约占参保人群80%，故D正确，故选：ACD．12．（4分）（2023·浙江·模拟预测）用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有

40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）A．男生成绩的样本数据在[90,110)内的频率为0.015B．男生成绩的样本数据的平均数为97C．男生成绩的样本数据的第75百分位数为118

D．女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95【解题思路】根据频率分布直方图的性质求男生成绩的样本数据在[90，110)内的频率判断A，根据平均数的计算公式求平均数判断B，根据百分位数的定义求男生成绩的样本数据的第75百分位数判断C，根据分层抽样平均数

公式求总样本的平均数判断D.【解答过程】由频率分布直方图性质可得男生成绩的样本数据在[90,110)内的频率为1−(0.0025+0.0075+0.0075+0.0125+0.0050)×20=0.3，A错误；男生成绩的平均数为40×0.05+60×

0.15+80×0.15+100×0.3+120×0.25+140×0.1=97，B正确；由已知男生成绩的样本数据低于110的频率为0.65，男生成绩的样本数据低于130的频率为0.90，所以男生成绩的样本数据的第75百分位数为110+0.

10.0125=118，C正确；总样本的平均数为8080+40×97+4080+40×91=95，D正确．故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2023·全国·高三专题练习）已知甲、乙

两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：27、28、37、𝑚、40、50；乙组：24、𝑛、34、43、48、52.若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数分别对应相等，则𝑛𝑚=710.【解题思路

】利用百分位数的定义结合已知条件求出𝑚、𝑛的值，即可求得𝑛𝑚的值.【解答过程】因为6×0.3=1.8，6×0.5=3，所以，甲组第30百分位数为28，乙组的第30百分位数为𝑛，则𝑛=28，甲组第50百分位数为𝑚+372，乙

组的第50百分位数为34+432=772，则𝑚+372=772，可得𝑚=40，因此，𝑛𝑚=2840=710.故答案为：710.14．（4分）（2023·江西上饶·统考一模）2022年12月4日是第九个国家宪法日，主题为“学习宣传贯彻党的二十大精神，推动全面贯彻实施宪法

”，某校由学生会同学制作了宪法学习问卷，收获了有效答卷2000份，先对其得分情况进行了统计，按照[50,60)、[60,70)、…、[90,100]分成5组，并绘制了如图所示的频率分布直方图，则图中𝑥=0.020.【解题思路】根据频率分布直方图的性质列方程求𝑥即

可.【解答过程】由频率分布直方图的性质可得(0.005+𝑥+0.035+0.030+0.010)×10=1，𝑥=0.020，故答案为：0.020.15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）中国于2022年2月在北京

成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景变为现实，中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家．下面是2016年至2021年中国滑雪场新

增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号是①②④．①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加④2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多【解题思

路】根据柱状图和扇形图，分别判断选项.【解答过程】由扇形统计图可知，2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高，故①正确；由柱状图可知，2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升，故②正确；由柱状图可知，2

020年比2019年下降了，故③不正确；由图可知，2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多，故④正确.故答案为：①②④.16．（4分）（2023·高三课时练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为：连续5天每天日平均温度不低于2

2℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）.甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2.其中，肯定进入夏季的地区为甲地，丙地.（写出符合要求的所

有地区）【解题思路】根据平均数、众数、方差的知识求得正确答案.【解答过程】甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地5个数据从小到大排列是22,22,24,𝑥4,𝑥5，所以甲地肯定进入夏季.乙地：5个数据的中位数为2

7，平均数为24，则乙地5个数据从小到大排列可能是12,27,27,27,27，所以乙地不符合要求.丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2，设丙地的5个数据为𝑦1,𝑦2,𝑦3,𝑦4,32，则𝑦1+𝑦2+𝑦3+𝑦4+325=26,𝑦1+𝑦2+𝑦3+�

�4=98，(𝑦1−26)2+(𝑦2−26)2+(𝑦3−26)2+(𝑦4−26)2+(32−26)25=10.2，(𝑦1−26)2+(𝑦2−26)2+(𝑦3−26)2+(𝑦4−26)2=15，由于记录数据都是正整数，若𝑦1,𝑦2,𝑦3,𝑦4中有一个

数小于或等于21，则(𝑦1−26)2+(𝑦2−26)2+(𝑦3−26)2+(𝑦4−26)2≥25>15，所以𝑦1,𝑦2,𝑦3,𝑦4每个都不小于22，所以丙地肯定进入夏季.综上所述，甲地，丙地肯定进入夏季.故答案为：甲地，丙地.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分

）（2023·高一课时练习）某次考试后．某班成绩的平均分为85，中位数82，众数为80．后发现漏计算了一个同学的成绩，他的得分为85．当补上该生成绩后，该班成绩平均值、中位数、众数分别会有什么样的影响？【解题思路】平均值

不受影响；原中位数和众数都小于平均数，可得中位数的变化情况；众数通常不会因为一个数据而受影响，最极端的情况是在原先统计时，85分的学生恰好比80分的学生少一人可判断众数.【解答过程】平均值不变，因为漏掉的这名学生的得分恰好

是平均数；原中位数和众数都小于平均数，因此，补上这名学生的成绩后，中位数可能不变，可能变大；而众数通常不会因为一个数据而受影响，最极端的情况是在原先统计时，85分的学生恰好比80分的学生少一人，这时8

0仍然是众数，85也是众数，所以众数可能不变，也可能变为80和85.18．（6分）（2023·高一课时练习）某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频

率分布直方图如图所示．求：(1)直方图中的a的值；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．【解题思路】（1）利用频率和为1，求得𝑎．（2）由消费金额在区间[0.5，0.9]内的频率，

求得消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数【解答过程】（1）由频率分布直方图及频率和等于1可得：0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+𝑎×0.1=1，解得𝑎=3．（2）消费金额在区间[0

.5,0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000．19．（8分）（2023秋·陕西榆林·高二期末）农科院的专家为了解新培育的甲、乙

两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了6株麦苗测量株高，得到数据如下（单位：cm）：甲11.212.411.713.514.213.8乙12.113.812.114.113.910.8(1)分别求出甲、乙麦苗株高的平均数；(2)分别求出甲、乙麦苗株高的方差，并分析甲

、乙哪种麦苗的苗更齐.【解题思路】（1）由表中的数据结合平均数的公式可求得答案；（2）利用方差的公式求解比较即可.【解答过程】（1）甲种麦苗株高的平均数为16(11.2+12.4+11.7+13.5+14.2+

13.8)=12.8，乙种麦苗株高的平均数为16(12.1+13.8+12.1+14.1+13.9+10.8)=12.8.（2）由（1）知，甲、乙的平均株高相等．甲种麦苗株高的方差为：16×[(11.2−12.8)2+(12.4−12.8)2+(11.7−12.8)2+(13.5−12.8)2+

(14.2−12.8)2+(13.8−12.8)2]=1.23，乙种麦苗株高的方差为：16×[(12.1−12.8)2+(13.8−12.8)2+(12.1−12.8)2+(14.1−12.8)2+(13.9−12.8)2+(10.8−12

.8)2]=1.48.因为1.23<1.48，所以甲种麦苗的麦苗更齐．20．（8分）（2023·全国·高一专题练习）某旅游网考察了一个景点附近的15家酒店，根据清洁程度、舒适程度、服务态度、位置、早餐质量等给每个酒店一个评

分（满分10分），结果如下：9.0，8.8，8.7，9.1，8.2，8.5，9.7，8.9，9.5，9.8，9.2，8.9，9.6，8.6，8.9．(1)计算第25百分位数；(2)某网站计划将评分在第95百分位数以上的酒店列为优先推荐

酒店，若某酒店的评分为9.6，该酒店能否列为优先推荐酒店？【解题思路】（1）直接利用百分位数的公式求解；（2）求出第95百分位数即得解.【解答过程】（1）解：15个评分从小到大的顺序是：8.2，8.5，8.6，8.7，8.8，8.9，8.9，8.9，9.0，9.1，9.2，9.5，9.6

，9.7，9.8.又0.25×15=3.75，所以第25百分位数为第4个数8.7.（2）解：0.95×15=14.25.所以第95百分位数为第15个数据9.8.所以优先推荐酒店的评分必须大于9.8分，所以某酒店的评分为9.

6，该酒店不能列为优先推荐酒店.21．（8分）（2022秋·江苏苏州·高二开学考试）2019年某饮料公司计划从𝐴，𝐵两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两

款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图．从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在[0,60)的受访者中有20%会购买，评分在[60,80)的受访者中有60%会购买，评分在[80,100]的受访者中有90%会购买．（1）在受访的100万人

中，估计至少对一款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值与最小值（单位：万人）；（2）如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由．【解题思路】（1）观察𝐴款饮料的评分饼状图和𝐵款饮料的评分折线图，分别求得评分在60分以下的人数即可得解.（2）根据评价分数的增加

，买的可能性也在增加，所以求得该两种饮料的购买可能性的期望，进行比较即可得解.【解答过程】（1）由对𝐴款饮料的评分饼状图，得对𝐴款饮料评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2，所以对𝐴款饮料评分在60分以下的人数为100×0.2=20万人，同理对𝐵款饮料评分在60分以

下的人数为100×0.1=10万人，所以至少对-款饮料评分在60分以下的受访者人数的最大值为30万人，最小值为20万人．（2）从受访者对𝐴，𝐵两款饮料购买期望角度看：𝐴款饮料购买期望𝑋的分布列为𝑋0.20.60.9𝑃0.20.30.5𝐵方案“选择倾向指数”𝑌的分布列为�

�0.20.60.9𝑃0.10.350.55∴𝐸(𝑋)=0.2×0.2+0.6×0.3+0.9×0.5=0.67，𝐸(𝑌)=0.2×0.1+0.6×0.35+0.9×0.55=0.725．根据上述期望可知𝐸(𝑋)

<𝐸(𝑌)，故新品推介应该主推𝐵款饮料．22．（8分）（2023秋·江西吉安·高一期末）2022年起，某省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成

绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85：C等级排名占比35%，

赋分分数区间是56-70：D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(

1)求图中a的值；(2)求抽取的这100名学生的原始成绩的众数、平均数和中位数；(3)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）【解题思路】（1）由各组

频率之和为1列方程求解即可；（2）由频率分布直方图中众数、平均数和中位数的计算公式代入即可得出答案；（3）已知等级达到B及以上所占排名等级占比为0.50，即为频率分布直方图的中位数，求解即可.【解答过程】（1）由题意(0.010+0.015+0.015+𝑎+0.025+0.005)×

10=1，解得𝑎=0.030；（2）抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为70+802=75分；由频率直方图可得前三组的频率和为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4<0.5，前四组的

频率和为(0.010+0.015+0.015+0.030)×10=0.7>0.5，故中位数落在第四组，设中位数为x，则(𝑥−70)×0.030=0.5−0.4，解得𝑥=2203，故抽取的这100名学生的原始成绩的中位

数的估计值为2203分，抽取的这100名学生的原始成绩的平均数的估计值为：(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+85×0.025+95×0.005)×10=71分；

（3）由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为0.15+0.35=0.50，由（2）可得，中位数𝑥=2203≈73.3，故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．