【文档说明】湖南省四大名校“一起考”大联考2023届高三下学期5月三模数学试题（解析版）.docx，共(27)页，1.718 MB，由小赞的店铺上传

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2023届高三“一起考”大联考（模拟三）数学（时量：120分钟满分：150分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R，集合21,{20}xAxBxx==−∣∣，则()UAB=ð（）A.{02}xx∣B.

RC.{02}xx∣D.{2}xx∣【答案】B【解析】【分析】先分别求两个集合，再求集合的混合运算.【详解】由集合21{0},{20}{2}xAxxxBxxxx===−=∣∣∣∣，则()0{2}RUABxxxx==∣∣ð.故选：B.2.已知复数z的实

部和虚部均为整数，且0z，则满足11z−的复数z的个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】先将问题转化为满足22(1)1ab−+的整数解，从而利用分论讨论求得满足的(),ab的个数（方法一），或利用数形结合讨论圆面22(1)1ab−+内的整数点（方法二），从而

得解.【详解】设()i,Zzabab=+，则221(1)zab−=−+，所以22(1)1ab−+.方法一：因为2(1)0a−，所以21b，即11b−.当1b=时，10a−=，即1a=，有两组满足条件11ab==−或11ab=

=，当0b=时，10a−=或11a−=，所以10ab==或20ab==或00ab==，但0,0ab==时，0z=，不符合题意，综上：满足要求的z的个数为4个，方法二：如图，可转化为研究圆面22(1)1ab−+内（包括边界

）的整点个数.圆面包括的整点分别为()()()()()10,0,1,0,2,01,1,1,,−，而()0,0不满足0z，则符合题意的整点共有4个.故选：C.3.成对样本数据Y和x的一元线性回归模型是()()2e,e0,eYbxaED=++==，则下列四幅残差图满足一元线性回归模型中对随机

误差e的假定的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断.【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差e的假定，残差应是均值为0、方差为2的随机变量的观测值.对于A选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变大，故A错；对于C选项

，残差与观测时间有线性关系，故C错；对于D选项，残差与观测时间有非线性关系，故D错；对于B选项，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内.故B正确.故选：B.4.正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若ACAMBN=+，则+=（）A.6

5B.85C.2D.83【答案】B【解析】【分析】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，由ACAMBN=+转化为坐标的运算可得答案.【详解】以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则11,2AM=uuuur，1,12BN=−uuur，()1,

1AC=uuur．因为ACAMBN=+，所以11,211,2−=+=解得6525==，所以85+=．故选：B．5.已知(),0−，且3cos24cos

10++=，则tan等于（）A.24B.22C.22−D.24−【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到1cos3=，再利用同角三角函数关系求解即可.【详解】3cos24cos10+

+=，()232cos14cos10−++=，整理得：()()23cos2cos13cos1cos10+−=−+=，解得1cos3=或cos1=−.因为(),0−，所以1cos3=，22sin3=−，223

tan2213−==−.故选：C6.记nT为数列na的前n项积，已知111nnTa+=，则10T=（）A.8B.9C.10D.11【答案】D【解析】【分析】当1n=时，有11Ta=，当2n时，有1nnnTaT−=，结合题目条件，

即可求得本题答案.【详解】1.当1n=时，11111Ta+=，11Ta=，12a=；2.当2n时，有1nnnTaT−=，代入111nnTa+=，得111nnnTTT−+=，化简得：11nnTT−−=，则1nTn=+，1011T=.故选：D7.已知583log2,log3,lo

g5abc===，则下列结论正确的是（）A.abcB.bacC.acbD.bca【答案】A【解析】【分析】对数函数的单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得出结论.【详解】因为22333333335535352log2

log8loglog3log5loglog27log23539======，所以ab.因为222ln3ln8ln3ln8(ln5)2(ln24)+=，所以ln3ln5ln5ln8，所以58l

og3log5，所以bc，所以abc.故选：A.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导

数及函数单调性进行判断.8.雨天将一个上端开口的杯子固定在地面上放置24小时以测量日降雨量.杯子可以看作是容积为500毫升、高为20厘米、上底面（开口端）面积为30平方厘米的圆台，已知放置一天后杯内水位线距离杯底的高度约为2厘米.日降雨量的定义是单日降水在地面

上积累高度的毫米数，则该地区当天日降雨量的估计值为（）（mm表示毫米）A13.3mmB.16.8mmC.20.2mmD.23.6mm【答案】A【解析】【分析】设水杯下底面面积为S，利用圆台体积公式计算出S，然后根据题意求出当天日降雨量估计值即可.【详解】设水杯下底面面积为S，则由圆台体积公式

有()12030303VSS=++=500，从而3045SS+=，①即221202025030(45)SSSS=−+=−解得：16015720S=−或260157100S=+，2100S不符合①式舍去，因为积水深度只有2厘米，远低于水杯的高度，水杯上下底面半径的差距又非常小

，故积水体积可以近似为圆柱体的体积即20240=毫升，.这些水是水杯敞口（地表30平方厘米区域）一天内接到水量，根据日降雨量的定义，有当天日降雨量估计值为()401013.3mm30，故选：A.二、多选题：本大题共4个小

题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知,ab表示两条不同的直线，,表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（）A.若,aa⊥⊥，则//

B.若,,//,aaabb⊥⊥，则//bC.若//,abb⊥，则a⊥D.若//,ab，则//ab【答案】AC【解析】【分析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项判断即可.【详解】若

,aa⊥⊥，则由直线与平面垂直的性质可得∥，故A正确.若,aab⊥∥，则b⊥，故b与有交点，b∥错误，故B错误.若b⊥，则b垂直平面内的两条相交直线m与n，又ab，则,aman⊥⊥，则a⊥，故C

正确.若,ab∥，则ab或a与b异面，故D错误.故选：AC.10.设正实数mn、满足2mn+=，则下列说法正确的是A.12mn+的最小值为3222+B.2mn的最大值为12C.mn+的最小值为2D.22mn+的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析

】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】A选项，正实数mn、满足2mn+=的1211212()()(3)22nmmnmnmnmn+=++=++12322(32)22nmmn++=，2nmm

n=当且仅当2nmmn=时，等号成立，故A正确；B选项，由2mn+=且0,0mn得12mnmn+=，当且仅当1mn==时，等号成立，则122mn，故B正确；C选项，由2mn+=且0,0mn得，22()()2mn+=222

()2[()()]4mnmn++=则2mn+，故C错误；D选项，222()22mnmn++=，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题注意考查基本不等式2,(0,0)ababab+的性质、“乘1法”.11.实数0a

，函数()22sin21fxaxb=+−的零点恰为()fx的极值点，则(),ab构成的曲线（）A.包含离心率为22的椭圆B.包含离心率为2的双曲线C.与直线yx=有四个交点D.与圆221xy+=有六个交点【答案】ACD【解析】【分析】依题意可得22210ab+

−=或22210ab−+−=，从而得到曲线方程，再一一分析即可.【详解】根据题意22210ab+−=或22210ab−+−=，若为22210ab+−=，则点(),ab在Oxy平面内体现为()22210xyx+=，即(

)221012yxx+=，则1a=，22b=，22c=，表示离心率为22的椭圆，若为22210ab−+−=，则点(),ab体现为()22210yxx−=，即()221012yxx−=，则1b=，22a=，62c=，表示离心率为3的双曲线，故A正确，B错误.直线yx=的斜率为1，双曲线()

22210yxx−=的渐近线为22yx=，斜率为22，故直线yx=和双曲线有两个交点，显然它与椭圆2221xy+=有两个交点，故C正确.而圆221xy+=与椭圆交点为椭圆的左右顶点，圆的半径大于双曲线实轴长度的一半，故圆和双曲线有四

个交点，故D正确，故选：ACD.12.已知函数()exfxx=−，()lngxxx=−，则下列说法正确的是（）A.()exg在()0,+上是增函数B.1x，不等式()()2lnfaxfx恒成立，则正实数a的最小值为2e

C.若()fxt=有两个零点12,xx，则120xx+D.若()()()122fxgxtt==，且210xx，则21lntxx−的最大值为1e【答案】ABD【解析】【分析】A选项中，令e1xt=

，利用导数可求得()gt单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得()fx在()0,+上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为2lnxax，令()()2ln1xhxxx=，利用导数可求得()maxhx，由()maxahx可知B正确；C选项中，利用导数可求得

()fx的单调性，由此确定120xx，若120xx+，可等价转化为()()11fxfx−，令()()()()0Fxfxfxx=−−，利用导数可求得()Fx单调性，从而得到()0Fx，知()()11fxfx−，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为(

)()()12ln2fxfxtt==，从而可确定211xx，结合()fx单调性得到12lnxx=，由此化简得到21lnlnttxxt=−，令()()ln2tttt=，利用导数可求得()t最大值，知D正确.【详解】对于A，当0x时，e1x，令ext=

，则1t，()lngttt=−，()111tgttt−=−=，当1t时，()0gt恒成立，()gt在()1,+上单调递增；ext=在()0,+上单调递增，根据复合函数单调性可知：()exg在()0,

+上为增函数，A正确；对于B，当1x时，2lnln10x=，又a为正实数，0axa，()e1xfx=−，当0x时，()0fx¢>恒成立，()fx\在()0,+上单调递增，则由()()2lnfaxfx得：2lnaxx，

即2lnxax，令()()2ln1xhxxx=，则()()221lnxhxx−=，当()1,ex时，()0hx；当()e,x+时，()0hx；()hx在()1,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max2eehxh==，2ea，则正实数a

的最小值为2e，B正确；对于C，()e1xfx=−，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx¢>；()fx\在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；()()min01fxf==，则1t；不妨设12xx，则必有120xx，

若120xx+，则210xx−，等价于()()21fxfx−，又()()21fxfx=，则等价于()()11fxfx−；令()()()()0Fxfxfxx=−−，则()ee2xxFx−=+−，0xQ，0e1x，e1x−，ee2ee2xx

xx−−+=，即()0Fx，()Fx在(),0−上单调递增，()()00FxF=，即()()fxfx−，()()11fxfx−，可知120xx+不成立，C错误；对于D，由()()()122fxgxtt==，21

0xx得：()12ln1222elneln2xxxxxxtt−=−=−=，即()()()12ln2fxfxtt==，由C知：()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；()1e12f=−，11x，则211xx，2ln0x，12lnxx

=，即12exx=，()12111lnlnlnlnexttttxxxfxt===−−；令()()ln2tttt=，则()21lnttt−=，当()2,et时，()0t；当()e,t+时，()

0t；()t在()2,e上单调递增，在()e,+上单调递减，()()max1eet==，即21lntxx−的最大值为1e，D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏

移问题；处理极值点偏移中的类似于12xxa+（()()12fxfx=）的问题的基本步骤如下：①求导确定()fx的单调性，得到12,xx的范围；②构造函数()()()Fxfxfax=−−，求导后可得()Fx恒

正或恒负；③得到()1fx与()1fax−的大小关系后，将()1fx置换为()2fx；④根据2x与1ax−所处的范围，结合()fx的单调性，可得到2x与1ax−的大小关系，由此证得结论.三、填空题：本大题共4个小题，每小

题5分，共20分.13.5122xx++的展开式中的常数项为______（用数字作答）.【答案】6322【解析】【分析】方法一，原式化简为1012xx+，再利用通项公式求常数项；方法二，化简原式为()1051232xx+，转化为求()102x+的展开式

中含5x项的系数，即可求常数项；方法三，原式化为55112222xxxx++=++，利用二次二项展开式，求常数项.【详解】方法一不妨设0x，则5122xx++可化为1012xx+，其展开式的通项

为()101021101C2kkkkTx−−+=，令1020k−=，得5k=，故所求常数项为55101632C22=.方法二原式=()5210522212232xxxxx++=+，所以求5122xx++的展开式中的常数项，可转化为求()

102x+的展开式中含5x项的系数，即()5510C2.故所求的常数项为()5510C2632322=.方法三55112222xxxx++=++的展开式的第1k

+项为52151C22kkkkxTx−+=+，512kxx−+的展开式的第1r+项为()52515C205rrkkrrkTxrk−−+−+−=−.令520rk−−=，则25kr+=，可得1k=，2r=或3k=，1r=或5k=，0r=.当1k=，2r=时，11222

254152CC222T−==；当3k=，1r=时，33112452CC22202T−==；当5k=，0r=时，55265C242T==.综上，5122xx++的展开式中的常数项为1526322024222++=.故答案为：632214.已知函数()()2ln1422f

xxx=+−+，则()1lg5lg5ff+=______.【答案】4【解析】【分析】先研究函数()()2ln1422fxxx=+−+的性质，然后利用对称性求解.【详解】解：令()2()ln142gxxx=+−函数()2()ln142gxxx=+−的定义域为R，()()()1222()

ln142ln142ln142()gxxxxxxxgx−−=++=+−=−+−=−，所以函数()2()ln142gxxx=+−为奇函数，故()()()()()1lg5lglg5lg5lg52lg525

ffffgg+=+−=++−+()()lg5lg544gg=−+=.故答案为：4.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，研究函数问题常见的方法是从函数的性质、图象等角度研究.15.已知数列na是等差数列，()()1,0,2,1AB−，过点A作直线11:0nn

nlaxaya−+++=的垂线，垂足为点C，则BC的最大值为__________.【答案】32【解析】【分析】由等差数列性质知直线l过定点()1,2D−，根据题意确定C在以AD为直径的圆上运动，并写出圆的方程，由点到圆心距离求BC的最大值.【详解】因为数列na是等差数列，

所以直线l过定点()1,2D−.点C在以AD为直径的圆上运动，AD的中点为()0,1E−，该圆的方程为22(1)2xy++=，所以BC的最大值为232BE+=.故答案为：3216.已知数列na满足()2211112nnnnnnaaaaaa+++++=−

+，对任意正实数t，总存在()13,a和相邻的两项1,kkaa+，使得()1210kkata+++=成立，则的取值范围为__________.【答案】7,2+【解析】【分析】化简递推关系，证明数列na为等差数列，利用等差数列通项公式求n

a，化简方程1(21)0kkata+++=可得1112kak−−，结合连接列不等式求的取值范围.【详解】由()2211112nnnnnnaaaaaa+++++=−+，得221112212nnnnnnaaaaaa

+++−+=−+，即2211122210nnnnnnaaaaaa++++−+−+=，即()()211210nnnnaaaa++−−+=+，即()2110nnaa+−+=，所以110+−+=nnaa，即11nnaa+−=−，所以na是首项为1a，公差为1−的等差数列，所以()()11111na

anan=+−−=−+.由()1210kkata+++=，得()1210kkata−++=，所以122kat=+，即()()11111122akakt+−−=−+=+，又因为110,222t+，所以()13,a使得10,2

包含于11ak−+的取值范围.当1k=时，()113,ak−+，不满足题意；当2k=时，()112,1ak−+−，不满足题意；当3k=时，()111,2ak−+−，不满足题意；当4k=时，()11

0,3ak−+−，所以132−，即72；当5k时，的取值均大于72，所以72，即7,2+.故答案为：7,2+.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列na的公比1q，前

n项和为nS，满足：234613,3Saa==.（1）求na的通项公式；（2）设1,,nnnanbbnn−=+为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT.【答案】（1）13nna−=（2）22914nnTnn−=++【解析】【分析】（1）法一：利用等比

数列的通项公式和前n项和公式得到关于基本量1,aq的方程组，解之即可求得13nna−=；法二：利用等比数列的性质和前n项和公式依次转化得到关于13,aa的方程组，解之即可求得13nna−=；（2）分类讨论nb的通项公式，注意当n为偶数时，n1−为奇数，从而利用分

组求和法可求得2nS.【小问1详解】法一：因为na是公比1q的等比数列，所以由3246133Saa==，得()12323511133aaaaqaq++==，即()2111133aqqaq

++==，两式相除得21133qqq++=，整理得231030qq−+=，即()()3130qq−−=，解得3q=或13q=，又1q，所以3q=，故131aq==，所以1113nnnaaq−−==，法二：因为na是公比1q的等比

数列，所以由3246133Saa==得123266133aaaaaa++==，即1232133aaaa++==，则1322+=10=9aaa，132213109aaaaa+===，解得1319aa=

=或1391aa==（舍去），故2319aqa==，则3q=，所以1113nnnaaq−−==.【小问2详解】当n为奇数时，13nnnba−==，当n为偶数时，213nnnbbnn−−=+=+，所以21234212nnnTbbbbbb−=+++

+++()()1321242nnbbbbbb−=+++++++()()22202202333233432nnn−−=++++++++++()()02224323223nn−=+++++++()()2213222132nnn−+=+−2914nnn−=++18.如图所示，在△ABC中

，2ABAC=，AD是∠BAC的平分线，且ADkAC=.（1）求k的取值范围；（2）若1ABCS=，求k为何值时，BC最短.【答案】（1）40,3k（2）2105k=.【解析】【分析】（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分

别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；（方法二）AD将△ABC一分为二,即以AD为界将△ABC分成两个三角形,通过面积相等建立等式；（方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分别建立等式,通过整理便可得到k关于角的关系式；（2）在ABC,由余弦定理可得22222cos(54co

s)BCABACABACBACACBAC=+−=−,根据三角形面积公式可得21sinACBAC=,则254cossinBACBCBAC−=,记54cossinBACyBAC−=,则sin4cos5yBACBA

C+=,可整理为216sin()5yBAC++=,进而求得满足最值的条件即可【详解】（1）方法一：由AD是∠BAC的平分线,可得2DBABDCAC==,则3BCDC=,在△ABC中,由正弦定理得sinsinABBCCBAC=①,在△ACD中,由正弦定

理得sinsin2ADDCBACC=②,由①②得sinsin2ADDCBACBACABBC=,又2ABAC=,ADkAC=,所以312cos22kACBACAC=,则4cos32BACk=,因为cos(0,1)2BAC,所以40,3k方法二：由ABCABDADC

SSS=+,得1sin2ABACBAC11sinsin2222BACBACABADADAC=+,又2ABAC=,ADkAC=,整理得4cos32BACk=,因为cos(0,1)2BAC,所以40,3k方法三：在△ADC中,2

22222cos12cos22BACBACDCADACADACkkAC=+−=+−,在△ABD中,222222cos44cos22BACBACBDABADABADkkAC=+−=+−

,又224BDDC=,则244cos2BACkk+−2412cos2BACkk=+−,解得4cos32BACk=,因为cos(0,1)2BAC,所以40,3k（2）由余弦定理得22222cos(54cos)BCABACABA

CBACACBAC=+−=−,因为1ABCS=△,所以1sin12ABACBAC=,即21sinACBAC=,故254cossinBACBCBAC−=,记54cossinBACyBAC−=,则sin4cos5yBACBAC

+=,216sin()5yBAC++=（其中4tany=）,故当2BAC+=时,y取得最小值3,此时4coscossin25BAC=−==,又由（1）知4cos32BACk=,而2cos2cos12BACBAC=−,则

310cos210BAC=,故43102103105k==,即当2105k=时,BC最短【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查角平分线定理的应用,考查三角形中的最值问题19.如图，在四面体ABCD中，π3,2B

ACBDCACDDBCABAC=====.（1）若B到平面ACD的距离为3，求三棱锥ABCD−的高；（2）求AB与平面ACD所成角的大小.【答案】（1）6；（2）π4.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利

用等体积法求出三棱锥的高作答.（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用空间向量求解作答.【小问1详解】在BCD△中，ππ,26BDCDBC==，则3,2BDCDBCCD==，在ABC中，π,2BACABAC==，22

2ACBCCD==，2213,122222ACDBCDSCACCDCDDCDSDB====，记三棱锥ABCD−的高为h，由ABCDBACDVV−−=，得11333BCDACDShS=，即2233222CDhCD=，解得6h=，所以三棱锥ABCD−的高为

6.【小问2详解】以C为原点，,CDDB分别为,xy轴正方向，垂直于,CDDB向上的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，设CDa=，则()(),0,0,,3,0DaBaa，由CDAC⊥，知点A在平面Cyz内，设()000,,Ayz，由2ACABa==，得

()222222000032yzaayza+=+−+=，解得00236236,,(0,,)3333yazaAaa==，显然()236,0,0,(0,,)33CDaCAaa==，设平面ACD的法向量()111,,xnyz=，则1110236033nCDaxnCAayaz===+

=，令11y=−，得()0,1,2n=−，记AB与平面ACD所成的角为36,(,,)33ABaaa=−，|32sincos,2||3|||2||nABanABnABa====，而π02，解得π4=，所以AB与平面ACD所成的

角为π4.20.统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用表示其中A种鱼的条数，请写出的分布列，

并求的数学期望()E;（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方

法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.【答案】（1）分布列见解析

，()725E=（2）（i）200；（ii）199或200【解析】【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.【小问1详解】0,1,2=,2

112434377222505050CCCC129433(0),(1),(2),C175C175C175PPP=========故分布列为：012P129175431753175()129433701217517517525E=++=.【小问2详解】（

i）设池塘乙中鱼数为m,则50520m=,解得200m=,故池塘乙中的鱼数为200.（ii）设池塘乙中鱼数为n,令事件B=“再捉20条鱼,5条有记号”,事件C=“池塘乙中鱼数为n”则515505020CC()CnnnpPBC−==∣,由最大似然估计法,即求np最大时n值,其中

65n…,1(49)(19)(64)(1)nnpnnpnn+−−=−+当65,......198n=时11nnpp+，当199n=时11nnpp+=，当200,201,...n=时11nnpp+所以池塘乙中的鱼数为199或200.

21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为()2,0F，渐近线方程为3yx=．（1）求双曲线C的方程；（2）已知点P是双曲线C的右支上异于顶点B的任意点，点Q在直线12x=上，且OQPB∥，M为PB的中点，求证：直线O

M与直线QF的交点在某定曲线上．【答案】（1）2213yx−=（2）证明见解析.【解析】的【分析】（1）根据右焦点和渐近线方程，可列出关于,ab的方程，进而求解即可；（2）先设出P和直线OM与直线QF的交点，先表示出P坐标，再由OQPB∥，列出方程组，最后消参可得定曲线方程.【小

问1详解】解：由于双曲线右焦点为()2,0F，渐近线为3yx=，所以224ab+=，3ba=，解得221,3ab==，所以双曲线C的方程为：2213yx−=【小问2详解】证明：设()11,Pxy，直线OM与直线QF的交点为()00,xy，设直线BP为(1)ykx=−，由题可知：(0,0),(1,

0),(2,0)OBF，联立22(1)13ykxyx=−−=，化简得()22223230kxkxk−+−−=，所以21233Bkxxk−−=−，由1Bx=可得21233kxk−−=−，那么()2112

2361133kkykxkkk−−−=−=−=−−，所以22236,33kkPkk−−−−−，由于M是BP中点，所以2223,33kkMkk−−−−，因为OQPB∥，所

以00QQykx−=−且12Qx=，解得11,22Qk，因为直线OM与直线QF的交点为()00,xy，根据斜率相等可得00000000,0022QMMQyyyyxxxx−−−−==−−−−，代入,MQ的坐标得

2002002310032,12223kkyykkxxk−−−−==−−−−化简得00003,23yykxkx==−−，将两式相乘得()200012yxx=−−，即为()2211xy−+=，所以直线OM与直线QF的交点在定曲线()2211xy−+=上.22.设()es

inxfxx=.（1）求()fx在,−上的极值；（2）若对12,0,xx，12xx，都有()()1222120fxfxaxx−+−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）极小值为422e−，极大值为342e2（2）e,2+【解析】【分析】（1）直接求导

计算即可．（2）将问题转化为()()222211fxaxfxax++，构造新函数()()2gxfxax=+在0,上单调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以．【小问1详解】由()()esincos0xfxxx=+，,x−得()fx的单调减区间是,4−

−，3,4，同理，()fx的单调增区间是3,44−.故()fx的极小值为4242ef−=−，极大值为3432e42f=.【小问2详解

】由对称性，不妨设120xx，则()()1222120fxfxaxx−+−即为()()222211fxaxfxax++.设()()2gxfxax=+，则()gx在0,上单调递增，故()()esincos20xgxxxa

x=++在0,上恒成立.方法一：（含参讨论）设()()()esincos20xhxgxxxax==++，则()010h=，()e20ha=−+，解得e2a.()()2ecosxhxxa=+，()()0210ha=+，()()2eha

=−.①当ea时，()()2ecossinxhxxx=−，故，当0,4x时，()()2ecossin0xhxxx=−，()hx递增；当,4x时，()()2ecossin0xhxxx

=−，()hx递减；此时，()()()()()min0,20hxhhhae==−，()()hxgx=在0,上单调递增，故()()()010hxgxg==，符合条件.②当ee2a

时，同①，当0,4x时，()hx递增；当,4x时，()hx递减；∵()()02104hha=+，()()2e0ha=−，∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，0,4x

，()00hx=.于是，当)00,xx时，()0hx，()()hxgx=单调递增；当(0,xx时，()0hx，()()hxgx=单调递减.∵()010h=，()e20ha=−+，∴()()()()min0,0gxhxhh=，

符合条件.综上，实数a的取值范围是e,2+.方法二：（参变分离）由对称性，不妨设120xx，则()()1222120fxfxaxx−+−即为()()222211fxaxfxax++.设()()2gxfxax=+，则()

gx在0,上单调递增，故()()esincos20xgxxxax=++在0,上恒成立.∵()010g=，∴()(),esincos20xgxxxax=++在0,上恒成立()esincos2xxxax+−，(0,x.设()()esi

ncosxxxhxx+=，(0,x，则()()2e2cossincosxxxxxhxx−−=，(0,x设()2tan1xxx=−−，0,,22x，则()212cosxx

=−，0,,22x.由()0x，0,,22x，得()x在0,4，3,4上单调递增；由()0x，0,,22x，得(

)x在,42，3,24上单调递减.故0,2x时()2042x=−；,2x时()33042x=.从

而，()cos2cossincos0xxxxxx=−−，0,,22x，.又2x=时，2cossincos10xxxx−−=−，故()()2e2cossincos0xxxxxhxx−−=，(

0,x，()()esincosxxxhxx+=，(0,x单调递减，()()minehxh==−，(0,x.于是，ee22aa−−.综上，实数a的取值范围是e,2+.

【点睛】关键点睛：本题核心是将问题转化为函数()()2gxfxax=+在0,上单调递增，即()0gx在0,上恒成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com