【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第4章 第5节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用 含解析【高考】.doc，共(13)页，718.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用[考试要求]1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝Asin

(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2－φωπ－φω3

2π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0提醒：用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点

后得出图像，其中相邻两点的横向距离均为T4.3．由y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像-2-提醒：(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个

单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图像变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．[常用结论](1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)由y＝sinωx到y＝sin(

ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将y＝3sin2x的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y＝3sin2x＋π4.()(2)把y＝sinx的图像上各点的纵坐标不变，

横坐标缩短为原来的12，所得图像对应的函数解析式为y＝sinx2.()(3)y＝sinx－π4的图像是由y＝sinx＋π4的图像向右平移π2个单位得到的．()(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两

个相邻对称中-3-心之间的距离为T2.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为()A．2,4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2,4

π，－π3C[由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.]2．为了得到函数y＝2sin2x－π3的图像，可以将函数y＝2sin2x的图像()A．向右平移π6个单位长度B．向右平

移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度A[y＝2sin2x－π3＝2sin2x－π6.]3．为了得到y＝3cos3x＋π8的图像，只需把y＝3cosx＋π8图像上的所有点的()A．纵坐标伸长到原来

的3倍，横坐标不变B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的13，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D[因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cosx＋π8图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，即可得到函数y＝3c

os3x＋π8的-4-图像，故选D.]4．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与

相应月份之间的函数关系为________．y＝sinπ2x－π2＋6[设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所

以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6.]考点一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及图像变换(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐

标．(2)由函数y＝sinx的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．[典例1](1)若函数f(x)＝cos2x－π6，为了得到函数g(x)＝sin2x的图像，则只需

将f(x)的图像()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度(2)已知函数f(x)＝4cosx·sinx＋π6＋a的最大值为2.-5-①求a的值及f(x)的最小正周期；②画出f(x)在[0，π]上的图像．(1)A

[函数f(x)＝cos2x－π6＝sinπ2＋2x－π6＝sin2x＋π3，为了得到函数g(x)＝sin2x的图像，则只需将f(x)的图像向右平移π6个单位长度即可．故选A.](2)[解]①f(x)＝4cosxsin

x＋π6＋a＝4cosx·32sinx＋12cosx＋a＝3sin2x＋2cos2x＋a＝3sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin2x＋π6＋1＋a的最大值为2，所以a＝－1，最小正周期T＝2π2＝π.②由①知f(x)＝2sin2x＋π6，列表：x0π6

5π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6f(x)＝2sin2x＋π6120－201画图如下：点评：三角函数图像变换中的三个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若

不一致，应先利用诱导公式转化为同名-6-函数；(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图像，得到的是哪个函数的图像，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asinx到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数

y＝Asinωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是φω个单位．[跟进训练]1．要得到函数y＝sin5x－π4的图像，只需将函数y＝cos5x的图像()A．向左平移3π20个单位B．向右平移3π20个单位C．向左平移3π4个

单位D．向右平移3π4个单位B[函数y＝cos5x＝sin5x＋π2＝sin5x＋π10，y＝sin5x－π4＝sin5x－π20，设平移|φ|个单位，则π10＋φ＝－π20，解得φ＝－3π20，故把函数y＝cos5x的图像向右平移3π20

个单位，可得函数y＝sin5x－π4的图像．]2．将函数y＝f(x)的图像向左平移π3个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin3x－16π的图像，则f(x)＝()

A．sin32x＋16πB．sin6x－16πC．sin32x＋13πD．sin6x＋13πB[由题设知，先将函数y＝sin3x－16π的图像上所有点的横坐

标缩短到原来的12，再将所得图像向右平移π3个单位长度即得函数f(x)的图像，故f(x)＝-7-sin3×2x－π3－16π＝sin6x－16π.故选B.]考点二由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法为代入法，即把图像上的一个已知点代入(此时要注意

该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．[典例2](1)(2020·新高考全国卷Ⅰ改编)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像，则sin(ωx＋φ)＝()①sinx＋π3；②sinπ3－2x；③cos

2x＋π6；④cos5π6－2x.A．①②B．②③C．①③④D．②④(2)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为________．(1)B(2)y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6

,14][(1)由图像知T2＝2π3－π6＝π2，得T＝π，所以ω＝2πT＝2.又图像过点π6，0，由“五点法”，结合图像可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx＋φ)＝sin2x＋2π3，故①错误；由sin2x＋2π3＝sinπ－

π3－2x＝sinπ3－2x知②正确；由sin2x＋2π3＝sin2x＋π2＋π6＝cos2x＋π6知③正确；由sin2x＋2π3＝cos2x＋π6＝cosπ＋2x－5π6＝－cos

5π6－2x知④错误．-8-综上可知，故选B.(2)从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又

12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．]点评：(1)当题目中已知最值点时，最好代入最值点求

φ.(2)若φ未指定范围，一般取|φ|最小的．[跟进训练]1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图像大致如图，则f(x)的最小正周期为()A.10π9B.7π6C.4π3D.3π2C[由题图知，f－4π9

＝0，∴－4π9ω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－3＋9k4(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，∴2π|ω|<2π<4π|ω|，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝32，∴T＝2πω＝4π3.故选C.]2.函数f(x)＝Asin(ω

x＋φ)＋bA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，则()A．f(x)＝3sin2x－π6＋1B．f(x)＝2sin3x＋π3＋2C．f(x)＝2sin3x－π6＋2-9-D．f(x)＝2sin2x＋π6

＋2D[根据图像知A＋b＝4，b－A＝0，解得A＝2，b＝2.f(x)的最小正周期T＝4×5π12－π6＝π，∴ω＝2ππ＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋2.又函数图像的一个最高点为π6，4，将其坐标代入f(x)＝2sin(

2x＋φ)＋2得sin2×π6＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x＋π6＋2.]考点三三角函数图像与性质的综合应用解决三角函数图像与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图像，然后再根据数形

结合思想研究函数的性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念．[典例3]已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x

)的单调递增区间；(2)将函数f(x)的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)在[0，b](b＞0)上至少含有10个零点，求b的最小值．[解](1)f(x)＝2sinωxcosωx＋3(2sin2ωx－1)＝sin2ωx－3cos2ωx＝2si

n2ωx－π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，-10-整理得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是kπ－π12

，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)将函数f(x)的图像向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图像，所以g(x)＝2sin2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12(k∈Z)，所以在[0，π]上恰

好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，所以b的最小值为4π＋11π12＝59π12.[跟进训练](2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2C[∵f

(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，∴φ＝kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝0，∴f(x)＝Asinωx，则g(x)＝Asinω2x.由g(x)的最小正周期T＝2π，得ω2＝2πT＝1，∴ω＝2.又gπ4＝Asinπ4＝22A＝2，∴A＝2

，∴f(x)＝2sin2x，∴f3π8＝2sin3π4＝2，故选C.]考点四三角函数模型的应用三角函数的应用体现两个方面(1)已知函数模型求解数学问题；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．[典例4](2020·开封模拟)摩天轮是一种

大型转轮状的机械建筑设施，游客坐-11-在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米

，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B其中A＞0，ω＞0，

|φ|≤π2，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．[

解](1)H关于t的函数关系式为H(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B，由B＋A＝145，B－A＝21，解得A＝62，B＝83，又函数周期为30，所以ω＝2π30＝π15，可得H(t)＝62sinπ15t＋φ＋83，又H(0)＝62sinπ15×0＋φ＋83＝2

1，|φ|≤π2，所以sinφ＝－1，φ＝－π2，所以摩天轮转动一周的解析式为：H(t)＝62sinπ15t－π2＋83,0≤t≤30，(2)H(t)＝62sinπ15t－π2＋83＝－62cosπ15t＋83，所以－62cosπ15t

＋83＝52，cosπ15t＝12，所以t＝5.(3)由题意知，经过t分钟后游客甲距离地面高度解析式为H甲＝－62cosπ15t-12-＋83，乙与甲间隔的时间为3036×6＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H乙＝－62cosπ15(t－5)＋83,5≤t≤30，所以两人离地面的高度差h＝|H甲

－H乙|＝－62cosπ15t＋62cosπ15(t－5)＝62sinπ15t－π6，5≤t≤30，当π15t－π6＝π2或3π2时，即t＝10或25分钟时，h取最大值为62米．[跟进训练]1.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐

标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A．y＝sinπ30t＋π6B．y＝sin－π60t－π6C．y＝sin－π30

t＋π6D．y＝sin－π30t－π3C[由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝2π60＝π30，设函数解析式为y＝sin－π30t＋φ(因为秒针是顺时针走动)，∵初始位置为P032

，12，∴t＝0时，y＝12.∴sinφ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式为y＝sin－π30t＋π6，故选C.]2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π

2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．6000[作出函数简图如图所示，三角函数模型为：y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，-13-由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×(9－3)

＝12，∴ω＝2πT＝π6.将(3,9000)看成函数图像的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f(x)＝2000sinπ6x＋7000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2000×sin7π6＋7000＝6000.故7月份的出厂价格为6000元．]