【文档说明】高考统考数学理科北师大版一轮复习教师用书：第4章 第4节 三角函数的图像与性质 含解析【高考】.doc，共(16)页，500.500 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

-1-三角函数的图像与性质[考试要求]1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单

调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x

∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RRxx≠kπ＋π

2，k∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：2kπ－π2，2kπ＋π2，k∈Z，递减区间：2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z递增区间kπ－π2，kπ＋

π2，k∈Z-2-奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心kπ＋π2，0，k∈Z对称中心kπ2，0，k∈Z对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)对称轴x＝kπ(k∈Z)周期性2π2ππ提醒：(1)正、余弦

函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y＝tanx无单调递减区间，y＝tanx在整个定义域内不单调．(2)求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．[

常用结论]1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y＝Asin

(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．一、易

错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数．()(2)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.()(3)函数y＝sinx的图像关于点(kπ，0)(

k∈Z)中心对称．()(4)y＝sin|x|与y＝|sinx|都是周期函数．()-3-[答案](1)×(2)×(3)√(4)×二、教材习题衍生1．若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T

＝2π，A＝2A[T＝2π2＝π，A＝2－1＝1，故选A.]2．函数y＝tan2x的定义域是()A.xx≠kπ＋π4，k∈ZB.xx≠kπ2＋π8，k∈ZC.xx≠kπ＋π8，k∈ZD.xx≠k

π2＋π4，k∈ZD[由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴y＝tan2x的定义域为xx≠kπ2＋π4，k∈Z.]3．y＝sin2x－π4的单调减区

间是________．3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)[由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ，k∈Z得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ，k∈Z.]4．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.53

π4＋2kπ(k∈Z)[函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝34π＋2kπ(k∈Z)．]-4-考点一三角函数的定义域三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式

(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图像或三角函数线．(3)对于函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域可令ωx＋φ≠kπ＋π2，k∈Z求解．1．函数y＝1tanx－1的定义域为________．xx≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z[要使函数有意义，必须有

tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ，且x≠π2＋kπ，k∈Z.]2．函数y＝lg(

sinx)＋cosx－12的定义域为________．x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z[函数有意义，则sinx＞0，cosx－12≥0，即sinx＞0，cosx≥12，解得2kπ＜x＜π＋2kπ(k∈Z)，－π3

＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以2kπ＜x≤π3＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.]3．函数y＝sinx－cosx的定义域为_

_______．-5-x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z[法一：要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图像，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝

cosx的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.法二：sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整

体，由正弦函数y＝sinx的图像和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.]点评：若定义域中含kπ或2kπ应注明k∈Z.考点二三角函

数的值域(最值)求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsin

x＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．[典例1](1)已知函数f(x)＝2

3sin2x＋2sinxcosx－3，则函数f(x)在区间π4，3π4上的值域是________．(2)(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．(3)函数y＝

sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．(1)(－1,2](2)－4(3)－12－2，1[(1)f(x)＝23sin2x＋2sinxcosx－3＝-6-3(1－cos2x)＋sin2x－3＝si

n2x－3cos2x＝2sin2x－π3.∵π4＜x＜3π4，∴π6＜2x－π3＜7π6，∴－12＜sin2x－π3≤1，∴－1＜2sin2x－π3≤2，即函数f(x)在区间π4，

3π4上的值域是(－1,2]．(2)∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令cosx＝t，则t∈[－1,1]．∴f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2t＋342＋178，易知当t＝1时，

f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.故f(x)的最小值为－4.(3)设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．当t＝1时，ymax

＝1；当t＝－2时，ymin＝－12－2.∴函数的值域为－12－2，1.]点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，令t＝ωx＋φ，求出t的范围，再根据y＝sint的图像求sint的值域，这是常用的方法．[跟进训练]1．函

数f(x)＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域为________．－32，3[当x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，5π6，-7-∴sin2x－π6∈－12，1，故3sin2

x－π6∈－32，3，∴函数f(x)在区间0，π2上的值域为－32，3.]2．函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．1[依题意，f(x)＝sin2x＋3cosx

－34＝－cos2x＋3cosx＋14＝－cosx－322＋1，因为x∈0，π2，所以cosx∈[0,1]，因此当cosx＝32时，f(x)max＝1.]考点三三角函数的单调性求三角函数的单调区

间三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数．(2)根据y＝sinx和y＝cosx的单调区间及A的正负，列不等式求解．[典例2－1](1)函

数f(x)＝3sin2π3－2x的一个单调递减区间是()A.7π12，13π12B.π12，7π12C.－π2，π2D.－5π6，π6(2)函数y＝12sinx＋32cosxx∈0，π2的单调递增区间是___

_____．(1)B(2)0，π6[(1)f(x)＝3sin2π3－2x＝－3sin2x－2π3.由－π2＋2kπ≤2x－2π3≤π2＋2kπ，k∈Z得，-8-π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，k＝0时，π12≤x≤7π12，k＝1时，1312π≤

x≤1912π，k＝－1时，－11π12≤x≤－5π12，∴π12，7π12是f(x)的一个单调递减区间，故选B.(2)∵y＝12sinx＋32cosx＝sinx＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数

的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈0，π2，∴函数的单调递增区间为0，π6.]点评：本例(2)在整体求得函数y＝12sinx＋32cosx的增区间后，采用对k赋值的方式求得x∈

0，π2上的区间．已知三角函数的单调性求参数已知单调区间求参数范围的三种方法[典例2－2](1)(2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上-9-单调递减，则ω的取值范

围是()A.(0,2]B.0，12C.12，34D.12，54(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π(1)D(2)A[(1)法一：(反子集法)∵x∈π

2，π，∴ωx＋π4∈πω2＋π4，πω＋π4.∵f(x)在π2，π上单调递减，∴π2ω＋π4≥π2＋2kπ，k∈Z，πω＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得ω≥4k＋12，k∈Z，ω≤2

k＋54，k∈Z.又ω＞0，k∈Z，∴k＝0，此时12≤ω≤54，故选D.法二：(子集法)由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k∈Z，因为f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单

调递减，所以2kπω＋π4ω≤π2，2kπω＋5π4ω≥π，解得ω≥4k＋12，ω≤2k＋54.因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为12，54.故选D.-10-

(2)f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4，由0≤x＋π4≤π得－π4≤x≤34π.∴－π4，34π是f(x)的一个单调递减区间．由题意知[－a，a]⊆－π4，3π4，∴0＜a≤π4，则a的最大值

为π4，故选A.][跟进训练]1．(2020·湖南省湘东六校联考)函数f(x)＝sin2x＋π6－12，则下列表述正确的是()A．f(x)在－π3，－π6上单调递减B．f(x)在π6，π3上单调递增C．f(x)在－π6，0上单调递减D．f

(x)在0，π6上单调递增D[f(x)＝sin2x＋π6－12，由2x＋π6∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，解得x∈－π3＋kπ，π6＋kπ，k

∈Z，当k＝0时，x∈－π3，π6，所以函数f(x)在－π3，π6上单调递增，故选D.]2．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若f(x)在区间π5，5π8上单调递增，则φ的取值范围是()A.

－9π10，－3π10B.2π5，9π10C.π10，π4D.－π，－π10∪π4，πC[∵函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)在区间π5，5π8上

单调递增，∴函数y＝2sin(2x-11-＋φ)在区间π5，5π8上单调递减，由π2＋2kπ≤2x＋φ≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π4＋kπ－φ2≤x≤3π4＋kπ－φ2，k∈Z，∴π4＋kπ－φ2≤π5，5π8≤3π4＋kπ

－φ2，k∈Z，∴π20＋kπ≤φ2≤π8＋kπ，k∈Z，π10＋2kπ≤φ≤π4＋2kπ，k∈Z，∵|φ|＜π，∴令k＝0，解得π10≤φ≤π4，∴φ的取值范围是π10，π4.故选C.]3．函数g(x)＝－cos－2x＋π3

x∈－π2，π2的单调递增区间为________．－π2，－π3，π6，π2[g(x)＝－cos－2x＋π3＝－cos2x－π3，欲求函数g(x)的单调递增区间，只需求函数y＝cos2x－π3的单调递减区间．由2kπ≤

2x－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)．故函数g(x)的单调递增区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．因为x∈－π2，π2，所以函数g(x)的单调递增区间为－π2，－π3，π6

，π2.]4．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，且|φ|＜π2在区间π6，2π3上是单调递减函数，且函数值从1减少到－1，则fπ4＝________.32[由题意知T2＝2π3－π6＝π2，故T＝π，所以ω＝2

πT＝2，又因为fπ6＝1，所以sinπ3＋φ＝1.因为|φ|＜π2，所以φ＝π6，-12-即f(x)＝sin2x＋π6.故fπ4＝sinπ

2＋π6＝cosπ6＝32.]考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性三角函数的周期性求三角函数周期的常用方法(1)公式法求周期①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B与f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的周期为T＝2

π|ω|；②函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)＋B的周期T＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T.[典例3－1](1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数

中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2

x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4(1)A(2)B[(1)对于选项A，作出

y＝|cos2x|的部分图像，如图1所示，则f(x)在π4，π2上单调递增，且最小正周期T＝π2，故A正确．对于选项B，作出f(x)＝|sin2x|的部分图像，如图2所示，则f(x)在π4，π2上单-13-调递减，且最小正周期T＝

π2，故B不正确．对于选项C，∵f(x)＝cos|x|＝cosx，∴最小正周期T＝2π，故C不正确．对于选项D，作出f(x)＝sin|x|的部分图像，如图3所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.图1图2图3(2)f(x)＝2cos2x－sin2

x＋2＝2cos2x－sin2x＋2sin2x＋2cos2x＝4cos2x＋sin2x＝3cos2x＋1＝32(1＋cos2x)＋1＝32cos2x＋52，因此函数f(x)的最小正周期为π，最大值为32＋52＝4，故选B.]点评：带绝对值的三角函数求周期时，一般画出函数的图像，结合图像求周期．三

角函数的奇偶性1.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈

R)是奇函数⇔φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．-14-2．若y＝f(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝f(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．[典例3－2]已知函数f(x)＝3sin

2x－π3＋φ，φ∈(0，π)．(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________.(1)56π(2)π3[(1)因为f(x)＝3sin2x－π3＋φ为偶函数，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，

又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)因为f(x)＝3sin2x－π3＋φ为奇函数，所以－π3＋φ＝kπ，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3.]三角函数的对称性求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)

图像的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.(2)求f(x)＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程，只需对ωx＋φ＝kπ(k∈Z)整理，对称中心横坐

标为ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可．(3)求f(x)＝Atan(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx＋φ＝kπ2(k∈Z)，求x.[典例3－3](1)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π

，则该函数的图像()A．关于点π3，0对称B．关于点5π3，0对称-15-C．关于直线x＝π3对称D．关于直线x＝5π3对称(2)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2＜φ＜π2的图像关于直

线x＝π3对称，则φ的值为________．(1)B(2)－π6[(1)因为函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f(x)＝2sinx2＋π6.令x2＋

π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝2π3＋2kπ(k∈Z)，故f(x)的对称轴为x＝2π3＋2kπ(k∈Z)，令x2＋π6＝kπ(k∈Z)，解得x＝－π3＋2kπ(k∈Z)．故f(x)的对称中心为－π3＋2kπ，0(k∈

Z)，对比选项可知B正确．(2)由题意得fπ3＝sin2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)．∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6.]点评：(1)已知x＝a是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一条对称

轴，则f(a)＝±A，即ωa＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.(2)已知点(b,0)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个对称中心，则f(b)＝0，即ωb＋φ＝kπ，k∈Z.[跟进训练]1．函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A．π4B．π2-16-C．πD．2πC[∵f(x)＝t

anx1＋tan2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＝12sin2x，∴函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π，故选C.]2．(2020·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝sinωx－π4(ω＞0)，

其图像相邻两条对称轴之间的距离为π4，那么函数y＝f(x)的图像()A．关于点－π16，0对称B．关于点π16，0对称C．关于直线x＝π16对称D．关于直线x＝－π4对称B[由题意知函数f(x)的周期T＝π4×2＝π2，由2

πω＝π2得ω＝4，∴f(x)＝sin4x－π4.由f－π16＝sin－π2＝－1知，f(x)的图像关于直线x＝－π16对称．由fπ16＝sin0＝0知，f(x)的图像关于点π16，0对称

，故选B.]3．若函数y＝3cos2x－π3＋φ为奇函数，则|φ|的最小值为________．π6[由题意得φ－π3＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝5π6＋kπ，k∈Z，当k＝－1时，φ＝－π6，|φ|＝π6，|φ|的最小值为π6.]