【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题 含答案.doc，共(12)页，1.100 MB，由小赞的店铺上传

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大庆铁人中学2021-2022学年度高二上学期开学考试数学试题分数：150分时间：120分钟一、单选题（每小题5分共60分）1.若复数1iz=−，则22zz−=（）A.0B.2C.4D.62.在空间直角坐标系Oxyz中，点(2,1,3),A−关于平面Oxz的对称点B，则OAOB→→•

=（）A.-10B.10C.-12D.123.下列结论错误的是（）A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C.若ab，是两个不共线的向量，且cab=+(、且0、)，则

abc，，构成空间的一个基底D.若OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则OABC、、、四点共面4.已知平面的一个法向量()2,2,1=−−n，点(1,3,0)A−在平面内，则点(2,1,4)

P−到的距离为（）A.10B.3C.83D.1035.已知mn，是两条不同的直线，是三个不同的平面，（）A.若mn，n，则mB.若n⊥，m，nm⊥，则C.若⊥，⊥，m=，则m⊥D.若m，n

，m，n，则6.已知向量()()()21,,20,1,21,0,0axbc===，，，若,,abc共面，则x等于（）A.-1B.1C.1或1−D.1或07.进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提

前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是35.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，

5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）11678581273013445212568902416933421710936190828404414731

8027A.12B.35C.1320D.258.设,,(,1,1),(1,,1),(2,4,2),xyRaxbyc→→→===−若ac→→⊥，//bc→→则ab→→+=（）A.22B.10C.3D.49.下面两个图是2020年6月25日由国家卫健委发布的全国疫情累计趋势图，每图下

面横向标注日期，纵向标注累计数量.现存确诊为存量数据，计算方法为：累计确诊数−累计死亡数−累计治愈数.则下列叙述错误．．的是（）A．自1月20日以来一个月内，全国累计确诊病例属于快速增长时期B．自4月份以来，全国累计确诊病例增速缓慢，疫情扩散势头基本控制C．自6月16日

至24日以来，全国每日现存确诊病例平缓增加D．自6月16日至24日以来，全国每日现存确诊病例逐步减少10.在正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1AA的中点，F是为棱11AB上的点，，且11:1:3AFFB=，

则异面直线EF与1BC所成角的正弦值为（）A.153B.155C.53D.5511.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，EF，分别是棱11,ADBC的中点。若点P为侧面11ADDA内（含边界）的动点，且存在,xyR，使1BPxBEyBF→→→=+,则点P的轨迹长度为（）

A.12B.1C.52D.212.在ABC中，角ABC，，所对的边分别为,,abc，6A=，2a=，O为ABC的外接圆，OPmOBnOC=+，给出下列四个结论：正确的选项是（）①若1mn==，则||23OP=；②若P在O上，则221mnmn++=；③若P在O上，则mn+的最大值为2；④若,[

0,1]mn，则点P的轨迹所对应图形的面积为23.A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④二、填空题（每小题5分共20分）13．已知(2,3,1),(2,1,3)ab→→=−=−，则以,ab→→为邻边的平行四边形的面积是_________.14．已知向量(),1am=，()4,2bn=−，

0m，0n，若//ab，则12mn+的最小值为_________.15.若满足30ACB=，2BC=的ABC△有且只有一个，则边AB的取值范围是_________.16.在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD为矩形，,2DPA=22,2,ADABPAPD==

=则四棱锥的外接球的体积为_________.三、解答题（17题10分，18~22每题12分）17．（10分）在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，且22cosbcaC−=.（1）求A；（2）若ABC为锐角三角形，2c=，求b的取值范围.18.（12分）在平行六面体1111ABC

DABCD−中，04,3,5,90,ABADAABAD====060BAADAA==,点F为BC与BC的交点，点E在线段AC上，且2AEEC=（1）求AC的长；,（2）设EFxAByADzAA→→→→=++,求,,xyz的值PA

BCDMHG[18题图][20题图]19.（12分）已知ABC△的面积为23sinaA，1coscos6BC=.（1）求A的大小；（2）若3a=，求三角形内切圆半径r.20.（12分）如图所示，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点

，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.（1）求证：PAGH；（2）已知PAD△是边长为4的等边三角形，4AB=，60DAB=且平面PAD⊥平面ABCD，1GH=，求四棱锥DPAHG−的体积.21.（12分）用分层随机抽样从某校高一年

级学生的数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：)40,50，)50,60，)60,70，

)70,80，)80,90，90,100，绘制得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估计男生成绩样本数据的第80百分位数；（Ⅱ）在区间)40,50和90,100内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自不同分组的概率；（Ⅲ）已知男生成绩样本数据

的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差．A1CFEC1ABB1[21题图][22题图]22.（12分）如图，已知三棱柱111ABCABC−，平面11AACC⊥平面ABC，9030ABCBAC==，，11

AAACAC==，,EF分别是11ACAB，的中点．（1）证明：BCEF⊥；（2）求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.（3）求平面1AAC与平面1ACB夹角的正弦值大庆铁人中学2021-2022学年度高二上学期开学考试数学答案一、单选题1-5

BDCDC6-10CACDB11-12CB二、填空题13.6514.215.)12,+16.43三、解答题17．（1）由正弦定理得：2sinsin2sincosBCAC−=，ABC++=，()sinsinBAC=+，()2sinsin2sinc

os2cossinsin2sincosACCACACCAC+−=+−=，整理可得：2cossinsinACC=，()0,C，sin0C，1cos2A=，又()0,A，3A=；（2）ABC为锐角三角形，3A=，0202BC，即203202

CC−，解得：62C；由正弦定理可得：sinsin3cossin331sinsinsintancCcBCCbCCCC++====+，62C，3tan3C，则103tanC，3114tanC+，即b的取值范围为()1,4.18.

（1）''ACABADAA=++,()2222''2''85ACABADAAABADABAAADAA=+++++=,'85AC=（2）()()1111''''''3232EFECCFACBCABADAAADAA=+=−=++−+111'366ABADAA=−−11,3

6xyz===−19.（1）由面积公式可知21sin23sinaabCA=，即1sin23sinabCA=，由正弦定理可知1sinsinsin23sinABCA=()21sinsincoscoscoscossinsin323BCAB

CBCBCA==−+=−+==.（2）ABC面积2222291323sin,82cos24332SbcAbcbcabcbcAbcbc======+−=+−2222217()233bcbcbcbcbc+=+=+=++=，设三角形内切圆半径为r，则()1232abcr

++=，得1132r−=.20.（1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM∵四边形ABCD是平行四边形∴O是AC的中点又M是PC的中点∴//PAOM又OM平面BMD，PA平面BMD，所以

//PA平面BMD，又平面PAHG平面BMDGH=，所以//PAGH.（2）由（1）知////PAOMGH，且114222OMPA===，112GHOM==，所以G为DM的中点，H为OD的中点，延长PG与AH交于F，则F在DC上，如图：因为H为OD

的中点，所以13DFDHABHB==，所以1433DFAB==，114DHDB==,取AD的中点E，则PEAD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，所以G到平面ABCD的距离为1133

44422PE==，∴DPAHGDPAFDGHFPDAFGDHFVVVVV−−−−−=−=−111334DAFDHFPESPES=−△△1141314234sin1201sin60

3233223=−815362=−=.21.（1）由频率分布直方图可知，在)40,80内的成绩占比为70%，在)40,90内的成绩占比为95%，因此第80百分位数一定位于)80,90内．

因为0.80.78010840.950.7−+=−，所以估计男生成绩样本数据的第80百分位数约是84．（2）在区间)40,50和90,100内的男生成绩样本数据分别有4个和2个，则在这6个数据中随机抽取两个的样本空间包含的样本点个数为()543

2115n=++++=．记事件A=“调查对象来自不同分组”，则事件A包含的样本点个数为()428nA==，所以()8()()15nAPAn==．（3）设男生成绩样本数据为1x，2x，…，40x，其平均数为71x=，方差为2187.75xs=；女生成绩样本数据

为1y，2y，…，60y，其平均数为73.5y=，方差为2119ys=；总样本的平均数为z，方差为2s．由按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，得406072.5100100zxy=

+=．因为()()4060222111100ijijsxzyz===−+−()()406022111100ijijxxxzyyyz===−+−+−+−，又()()()()()40404011122)2400iiii

iixxxzxzxxxzxx===−−=−−=−−=，同理()()60120jjyyyz=−−=，所以()()()404060602222211111(()010ijiijjsxxxzyyyz====

=−+−+−+−2222140()60()100xysxzsyz=+−++−22140187.75(7172.5)60119(73.572.5)100=

+−++−=148．所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148．22.（1）如图所示，连结11,AEBE，等边1AAC△中，AEEC=，则1AEAC⊥，平面ABC⊥平面11AACC，且平面ABC∩平面11AACCAC=，由面面垂直的性

质定理可得：1AE⊥平面ABC，故1AEBC⊥，由三棱柱的性质可知11ABAB∥，而ABBC⊥，故11ABBC⊥，且1111ABAEA=，由线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面11ABE，结合EF⊆平面11ABE，故EFBC⊥.（2）在底面ABC内作EH⊥

AC，以点E为坐标原点，EH,EC,1EA方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Exyz−.设1EH=，则3AEEC==，1123AACA==,3,3BCAB==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,0,3

,0,3,022ABAC−，由11ABAB=可得点1B的坐标为133,3,322B，利用中点坐标公式可得：33,3,344F，由于()0,0,0E，故直线EF的方向向量为

：33,3,344EF=设平面1ABC的法向量为(),,mxyz=，则：()()13333,,,,33022223333,,,,002222mABxyzxyzmBCxyzxy=−=+−==−=−+=，据此可得平面1ABC的一个法向量

为()1,3,1m=，33,3,344EF=此时25sin,5mn=，设直线EF与平面1ABC所成角为，则43sincos,,cos55EFm===.（3）由（1）知，平面1AAC的一个法向量为(1,0,0)n=，可得5cos,5mnmnmn==，可

得25sin,5mn=，即二面角1AACB−−的正弦值为255