【文档说明】数学02（2024新题型）-2024年1月新“九省联考”考后提升卷解析.docx，共(17)页，1.049 MB，由小赞的店铺上传

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2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.现有一组数据：

663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656，则这组数据的第85百分位数是()A.652B.668C.671D.674【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义，求得1285%10.2=，即可确定第8

5百分位数为第11个数，可得答案.【详解】由题意这组数共12个，则1285%10.2=，将这组数据从小到大排列651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故选：C2.已知椭圆2222:1(0)

xyCabab+=的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心率为()为A.22B.32C.512−D.312−2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为22,,aacab++;则22

acab+=+即有2a−2220acc−=,解得e312ca−==,故选：D.3.已知nS为数列na的前n项和，且满足(1)2nnnnSa−=−−，则56SS+=（）A.164−B.132−C.116−D.164【答案】A【解析】【分析】由题，当1n=时，114a

=−，当2n时11(1)(1)2nnnnnnaaa−=−+−+，进而分奇偶性讨论得12nna=，n为正偶数，112nna+=−，n为正奇数，再求和即可.【详解】解：因为(1)2nnnnSa−=−−，所以，当1n=时，11112Saa−==−−，解得114a=−，当2n时，111

11(1)2(11)2(1)2(1)nnnnnnnnnnnnnnaSaaaaS−−−+−−−=−−+=−−−++=−−，所以，当n为偶数时，11,22nnan−=−，故112nna+=−，n为正奇数；当n

为奇数时，121122nnnnaa−+−=−=，即1112nna−−=，故12nna=，n为正偶数；所以224466565661111111122222226422SSSa+=+=−+−++−=−−=，故选：A4..已知m，n为异面直线，直线l

与m，n都垂直，则下列说法不正确的是()A.若l⊥平面，则m∥，n∥B.存在平面，使得l⊥，m，n∥C.有且只有一对互相平行的平面和，其中m，nD.至少存在两对互相垂直的平面和，其中m，n【答案】A【分析】由线面关系判断ABD

；由线面垂直判定判断C；【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取l为AA，AB为m，AD为n，平面ABCD为平面，则n∥，m，故A错误；对于B，在正方体中取l为AA，AB为m，AD为n，平面ABCD为平面，此时l⊥，m，n∥，故B正确；对于C，由线面垂直的判定可知，

l⊥，l⊥，过直线n且与l垂直的平面只有一个，过直线m且与l垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中m，n，故C正确；对于D，在正方体中取l为AA，AB为m，AD为n，此时平

面ABCD⊥平面ADDA，平面ABBA⊥平面ADDA，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中m，n，故D正确；故选：A.5.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个

项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于()A.70B.140C.252D.504【答案】B【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的

相同的参赛项目为径赛类项目，则有15C5=种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有24A4312==种选法，所以此时满足题意的选法有1254CA51260==，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有14C4=种选

法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有45A5420==种选法，所以此时满足题意的选法有1245CA42080==，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于6080140+=种.故选：B6.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P在侧面1

1CCDD（含边界）内运动，Q在底面ABCD（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（）A.若直线BP与直线AD所成角为30°，则P点的轨迹为圆弧B.若直线BP与平面ABCD所成角为30°，则P点的轨迹为双曲线

的一部分C.若152DQ=，则Q点的轨迹为线段D.若Q到直线1DD的距离等于Q到平面11ABBA的距离，则点Q的轨迹为抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】画出正方体1111ABCDABCD−，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问题的结论.【详解】直线BP与直线AD所成

角即为PBC，在RtBCP△中，tan30CPBC=，∴33CP=，故P在以C为圆心，33为半径的圆落在侧面11CCDD内的圆弧上，A正确；过P作1PPDC⊥于点1P（如图），设1PCa=，1PPb=，直线BP与平面ABCD所成角即为1PBP，在1RtPBP△中，11

2133an1tPPbPBPBPa===+，从而2231ba−=，故点P的轨迹为双曲线的一部.分，故B正确；在1RtDDQ△中，221152DQDDDQ==+，从而12DQ=，故Q在以D为圆心，12为半径的圆落

在底面ABCD内的圆弧上，C错误；Q到直线1DD的距离等于Q到平面11ABBA的距离，即Q到点D的距离等于Q到直线AB的距离，故点Q的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：C.7.已知角的终边上一点P的坐标为()2,3，则πtan6−的值为()A.0B.39C.3

3D.3【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出tan，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.【详解】角的终边上一点P的坐标为()2,3所以3tan2=，则π33tantanπ3623tanπ69331tantan1623−−−===++，故选：B8.已知1F，

2F分别为双曲线：()222210,0xyabab−=的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若12PFPF⊥，121tan3PFF=，则双曲线的离心率为（）A.53B.54C.2D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得2122POFPFF=，然后利用二倍角公式结

合条件可得34ba=，然后根据离心率公式即得.【详解】因为12PFPF⊥，O为12FF的中点，所以1FOOP=，121PFFFPO=，所以2122POFPFF=，又121tan3PFF=，2tanPOFba=，所以212334113ba==−

，所以229511164cbeaa==+=+=.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数()sinfx

x=的图象向左平移π3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到()gx的图象，则（）A.函数π()3gx−是偶函数B.x＝－π6是函数()gx的一个零点C.函数()gx在区间5ππ1212−，

上单调递增D.函数()gx的图象关于直线π12x=对称【答案】BCD【解析】【分析】首先求出()gx的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数()sinfxx=的图象向左平移π3个单位长度，可得πsin()3yx=+，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（

纵坐标不变），可得π()sin(2)3gxx=+，对于A选项，令()ππππsin2sin23333hxgxxx=−=−+=−，则π06h=，

π2πsin063h−=−，故函数π3gx−不是偶函数，A不正确；对于B选项，因为πsin006g−==，故π6x=−是函数()gx的一个零点，B正确；对于C选项，当5ππ,1212x−时，πππ2,322x

+−，所以函数()gx在区间5,1212−上单调递增，C正确；对于D选项，因为对称轴满足ππ2π,Z32xkk+=+，解得ππ,Z122kxk=+，则0k=时，π12x=，所以函数()gx的图象关于直线π12x=对称，D正确.故选：BCD.

10.已知z1与z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（）A．2211zz=B．2122zzz=C．12zzR+D．12zRz【答案】BC【分析】设12,,,zabizabiabR=+=−，分别求出2211,zz，得到A不正确；根据复数的运算，可得B正确；根据

122zzaR+=，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．【详解】设12,,,0zabizabiabRb=+=−，，则22212zababi=−+，()2222221zabab=+=+，所以A不正确；又由2212zzab=+，222

2zab=+，所以2122zzz=，所以B正确；由122zzaR+=，所以C正确；由()()()2221222222abizabiababizabiabiabiabab++−===+−−+++不一定是实数，所以D不一定正确.故选：BC11.已知定义在R上的函数()fx满足7()()02fx

fx++=，且7()4yfx=−为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A.函数()fx的周期为72B.函数()fx的图象关于7(,0)4−对称C.函数()fx为偶函数D.函数()fx的图象关于74x=对称【答案】BC【解析】【分析】由7()()02fxfx++=得函数()fx的一个周期，由7

()4yfx=−是奇函数得函数的对称中心，两条件结合得函数()fx的奇偶性.【详解】由7()()02fxfx++=，得()7()2fxfx+=−，将72x+代入，()777()222fxfxfx++=−+=−−，即()(7)fxfx+=，所以函数()fx的一个周期

为7，A项错误；由7()4yfx=−是奇函数得77()()44fxfx−−=−−，因为()7()2fxfx+=−和77()()44fxfx−−=−−，所以777777()()()()424442fxfxfxfx−+=−−=−−=−−−+，即

77()()44fxfx+=−−+，所以()fx的图象关于7,04−中心对称，B项正确，D项错误；因为77()()44fxfx−−=−−，()7()2fxfx+=−，所以77777()()()()44424fxfxfxfx−−=−−=−+=+，将74x−代入

，得()()fxfx−=，即函数()fx为偶函数，C项正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合10,{}2xAxBxxax+==−∣∣，若AB，且ABB，则实数a的

取值范围是__________．【答案】()1,2−【解析】【分析】先解分式不等式，即可得出集合A，再由AB，且ABB，即可求出实数a的取值范围.详解】由102xx+−可得：()()+1202xxx−，解得：12

x−，所以=1<2Axx−，因为AB，且ABB，所以()1,2a−.故答案为：()1,2−.13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若23S

S=甲乙，则VV=甲乙【答案】3217【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得1232rr=，再结合圆心角之和可将12,rr分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则112232SrlrSrlr===甲乙，所以1232rr=，又12222rrll+=，则121rrl+=，所以1232,55r

lrl==，所以甲圆锥的高22194255hlll=−=，乙圆锥的高222421255hlll=−=，【所以221122221421321325519473255rhllVVrhll===甲乙

.14.已知数列na满足1212nnnaaa++=−，1212,4aa=−=,则na的前n项积的最大值为【答案】1【分析】先通过递推关系推出数列的周期为3，然后3个数为一组，分别计算33132,,kkkTTT++的

表达式*kN后进行研究.【详解】由1212nnnaaa++=−可知，*nN，0na，亦可得：12312nnnaaa+++=−，两式相除得：31nnaa+=，即3nnaa+=，所以数列na是以3为周期的周期数列，由1212,4aa=−=

得：312112aaa=−=.记数列na的前n项积为nT，结合数列的周期性，当*kN，则31231()2kkkTaaa==−，记12kkb=−，为了让kb越大，显然需考虑k为偶数，令*2()ktt=N，结合指数函数的单调性，则21111

12444ttkb=−==，即314kT；类似的31123411()22122kkkTaaaa+==−−−−=，12321234511111()22224kkkkTaaaaa++==−−=−−=

.综上所述，na的前n项积的最大值为1.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数21()ln2fxxax=−，()exgxbx=−，

,abR，已知曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线与直线10xy−+=垂直．（1）求a的值；（2）求()gx的单调区间；【答案】（1）2（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可得关于

a的方程，解方程即可得出答案；（2）对()gx求导，分0b和0b讨论()gx的正负，即可求出()gx的单调性；【小问1详解】()fx的定义域为()0,+，的()()211ln2fxxaxfxaxx=−=−，()11fa=−由于直线10x

y−+=的斜率为1，1(1)1,2aa−=−=.6分【小问2详解】()exgxbx=−，()exgxb=−，①当0b时，()e0xgxb=−，()gx在R上单调递增；②当0b时，令()0gx=有l

nxb=，当(),lnxb−时，()0gx，()gx单调递减，当()ln,xb+时，()0gx，()gx单调递增.综上所述：0b，()gx的单调递增区间为R，0b，()gx的单调减区间为(),lnxb−，()gx的单调增区间为()ln,b+.13分【点睛

】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.16．（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1

000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2,3班分别有111,,234的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概

率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫

价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).【答案】(1)(i)22

7;()6322ii(2)0.75.【分析】(1)设事件A=“该同学有购买意向”,事件iB=“该同学来自i班”(i=1,2,3).根据全概率公式即可求解()PA,根据条件概率公式即可求解2(|);PBA(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为23,每次叫价增加2元的概率为13.设叫价为(

310)nn剟元的概率为nP,叫价出现n元的情况只有下列两种：①叫价为1n−元，且骰子点数大于2，其概率为12;3nP−②叫价为2n−元，且骰子点数小于3，其概率为213nP−.于是得到1221(3)33nnnPPnP−−=+…,构造等比数列1}{nnPP−−,结合累加法可求解。【

详解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”(1,2,3)i=由题意可知123678(),(),()212121PBPBPB===,123111(|),(|),(|),234PAB

PABPAB===所以，由全概率公式可得112233:()()(|)()(|)()(|)PAPBPABPBPABPBPAB=++61718122.21221321463=++=8分(2)由题意可得每次叫价增加1元的

概率为23,每次叫价增加2元的概率为13.设叫价为(310)nn剟元的概率为nP,叫价出现n元的情况只有下列两种：①叫价为1n−元，且骰子点数大于2，其概率为12;3nP−②叫价为2n−元，且骰子点数小于3，其概率为21.3nP−于是得到

1221(3)33nnnPPPn−−=+…,易得2122217,33339PP==+=由于11212111()(3),333nnnnnnPPPPPPn−−−−−−=−+=−−…于是当2n…时,数列1{}nnPP−−是以首项为1,9公比为13−的等比数列,故1211(2)

93nnnPPn−−=−−….于是10P=1213298109...)()()()(...PPPPPPPPP+−+−++−+−9101119323110.751344313−−=+=+

−−$于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.15分【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为(310)nn剟元的概率为nP,利用叫价为n元是在叫价为(1)n−元的基础上再叫价1元或在叫价

为(2)n−元的基础上再叫价2元，从而确定nP与1nP−的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.17．（15分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，60,DABDE=⊥平面ABCD，CF//DE，且2,1,ABDECFG===为棱BC的中点，H为

棱DE上的动点.（1）求二面角ABEF−−的正弦值；（2）是否存在点H使得GH//平面BEF？若存在，求EHED的值；否则，请说明理由.【答案】（1）77；（2）存在，14EHED=.【解析】【分析】（1）连接,ACBD交于点

O，作Oz⊥平面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点H，利用空间位置关系的向量证明求解即得.【小问1详解】连接,ACBD交于点O，

由四边形ABCD为菱形，得ACBD⊥，过点O作Oz⊥平面ABCD，显然直线,,OAOBOz两两垂直，以O为原点，直线,,OAOBOz分别为,,xyz建立空间直角坐标系，由DE⊥平面ABCD，得//DEOz，又CF//DE，且2,1ABDECF===

，则(3,0,0),(0,1,0),(0,1,2),(3,0,1)ABEF−−，(3,1,0),(0,2,2),(3,1,1)ABBEBF=−=−=−−，设平面ABE，平面BEF的法向量分别为11112222(,,

),(,,)nxyznxyz==，则11111130220ABnxyBEnyz=−+==−+=，取11x=，得1(1,3,3)n=，则222222230220BFnxyzBEnyz=−−+==−+=

，取21z=，得2(0,1,1)n=，设二面角ABEF−−的大小为，则121212||2342|cos||cos,|7||||72nnnnnn====，因此27sin1cos7=−=，所以二面角ABEF−−的正弦值为77.8分【小问2详解】存在H符合题意，

且14EHED=.理由如下：令([0,1])EHED=，而(0,1,0)D−，棱BC中点31(,,0)22G−，则(0,0,2)(0,0,2)EH=−=−，33(,,2)22GE=−，33(,,22)22GHGEEH

=+=−−，若//GH平面BEF，而平面BEF的法向量2(0,1,1)n=，则2GHn⊥，即20=GHn，因此302202−+−=，解得14=，即14EHED=，则14EHED=，所以在点H使得GH//平面BEF，14EHED=.15分18．（17分）与x轴不垂直的直线l交抛物

线T:()220ypxp=于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段MN的垂直平分线交x轴于点E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有||||4MFNF+=(1)求抛物线T的方程：(2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长AQ、BQ分别交抛物线T

于C、D;G、H分别为AB、的CD的中点，求cosGOH的最小值.【答案】（1)24yx=(2)31111【解析】(1)设M11(,)xy,N22(,)xy,由抛物线定义可知12||||4MFNFxxp+=++=,又线段MN的垂直平分线

交x轴于点E(3,0),故|ME|=|NE|,22221122(3)(3)xyxy−+=−+即(12126)()xxxx+−−=2221yy−=221()pxx−因为21xx,所以(126)2xxp+−=−,即462pp−−=−,则有2p=,即抛物线T的方程为24yx=.7分

（2）设()()1122:1,,,,,ABxnyAxyBxy=+代入24yx=得2440yny−−=,则有1221212124,2424()yynxxnyynyy+=+=++=+=−,所以2()21,2

Gnn+,故2221OGnkn=+设C(33,)xy,D(44,)xy,则311213113444ACyyykyxxyy−===−+−解得3116yy=−,同理，4216yy=−,所以H点的横坐标为(

)()()212122222121221132321621,yyyynyyyy+−+==+H点的纵坐标为121188nyy−+=,所以22(21)OHnkn=+,有14OHOGkk=,9分记2221OGntkn==+

,故22||||21OGnkn=+,当0n=时，OGk=0,当0n时，22||222||112122||22||.||||OGnknnnnn===++,易求得210,;2t取直线OG、OH的方向向量分别为()()1,,4,p

tqt==,故cos222||4||||116pqtGOHpqtt+==++13分当20t=时，cos1GOH=,当210,2t时，229cos11617GOHtt=−++函数1

6yxx=+在区间10,2上单调递减，最小值为116651222+=,所以当212t=时，cosGOH取到最小值为993111651111172−==+17分19．（17分）对于无穷数列{𝑎𝑛}，设

集合𝐴={𝑥|𝑥=𝑎𝑛,𝑛≥1}．若𝐴为有限集，则称数列{𝑎𝑛}为“𝑇数列”．(1)已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=2,𝑎𝑛+1=11−𝑎𝑛，判断{𝑎𝑛}是否为“𝑇数列”，并说明理由；(2)设函数𝑦=𝑓(𝑥)的表

达式为𝑓(𝑥)=3|𝑥+1|−|𝑥+2|，数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=𝑓(𝑎𝑛)．若{𝑎𝑛}为“𝑇数列”，求首项𝑎1的值；(3)设𝑎𝑛=cos(𝑡𝜋𝑛)．若数列{𝑎𝑛}为“𝑇数列”，求实数𝑡的取值集合．【解题思路】（1）根据𝑎1=2,𝑎�

�+1=11−𝑎𝑛，计算即可；（2）𝑓(𝑥)min=𝑓(−1)=−1，当𝑥>−1时，𝑓(𝑥)=2𝑥+1>𝑥，分𝑎1=−1，𝑎1≠−1两种情况讨即可；（3）当𝑡为有理数时，必存在𝑝∈Z+,𝑞∈Z，使得𝑡=𝑞𝑝，则𝑎𝑛+2𝑝=cos[𝑞𝑝π(

𝑛+2𝑝)]=cos(𝑞𝑝π𝑛+2𝑞π)=cos𝑞𝑝π𝑛=𝑎𝑛，因此集合𝐴={𝑥|𝑥=𝑎𝑛,𝑛∈𝐍∗}中元素个数不超过2𝑝，为有限集；𝑡为无理数时，用反证法证明𝑎𝑚≠𝑎𝑛解决即可.【解答过程】（1）因为𝑎1=2,𝑎𝑛+1=11−𝑎𝑛，所以�

�2=11−2=−1,𝑎3=11+1=12,𝑎4=11−12=2,𝑎5=11−2=−1，所以𝐴={𝑥|𝑥=𝑎𝑛,𝑛∈N∗}={−1,12,2}，所以{𝑎𝑛}是“𝑇数列”；5分（2）由题知，𝑓(𝑥)=3|𝑥+1|−|𝑥+2|={2𝑥+1𝑥≥−1−4𝑥−5−2≤�

�<−1−2𝑥−1𝑥<−2，所以𝑓(𝑥)min=𝑓(−1)=−1，当𝑥>−1时，𝑓(𝑥)=2𝑥+1>𝑥(∗)，因此当𝑎1=−1时，𝑎2=𝑓(𝑎1)=−1,𝑎3=𝑓(𝑎2)=−1,⋯，即𝑎𝑛=−1,𝑛∈𝑁∗，此时{

𝑎𝑛}为“𝑇数列”，当𝑎1≠−1时，𝑎2=𝑓(𝑎1)>−1，由(∗)得𝑎3=𝑓(𝑎2)>𝑎2>−1,𝑎4=𝑓(𝑎3)>𝑎3>−1，...，因此𝑎𝑛+1>𝑎𝑛,{𝑎𝑛}显然不是“𝑇数列”；综上，𝑎1=−1；9分（3）当𝑡为有理数时，必存在𝑝∈

Z+,𝑞∈Z，使得𝑡=𝑞𝑝，则𝑎𝑛+2𝑝=cos[𝑞𝑝π(𝑛+2𝑝)]=cos(𝑞𝑝π𝑛+2𝑞π)=cos𝑞𝑝π𝑛=𝑎𝑛，因此集合𝐴={𝑥|𝑥=𝑎𝑛,𝑛∈N∗}中元素个数不超

过2𝑝，为有限集；当𝑡为无理数时，对任意𝑚,𝑛∈N∗,𝑚≠𝑛，下用反证法证明𝑎𝑚≠𝑎𝑛，若𝑎𝑚=𝑎𝑛，即cos𝑡π𝑛=cos𝑡π𝑚，则𝑡π𝑛=𝑡π𝑚+2𝑘π或𝑡π𝑛=−𝑡π𝑚+

2𝑘π，其中𝑘∈Z，则𝑡=2𝑘𝑛−𝑚∈Q或𝑡=2𝑘𝑛+𝑚∈Q，矛盾，所以𝑎𝑚≠𝑎𝑛，因此集合𝐴={𝑥|𝑥=𝑎𝑛,𝑛∈N∗}必为无限集；