【文档说明】辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1.716 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025（上）10月月度质量监测高三数学本试卷满分150分考试时间120分钟命题人：陈建骐、张梅宁、陈鑫校题人：林晓萍、罗鑫、黄伟【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】第Ⅰ卷选择题（共58分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是

符合题目要求的）1.已知集合2Axx=Z„，ln(1)Bxyx==−，则AB中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】先求集合A、B，再根据交集的定义求出AB即可求解.【详解】解:因为集合22,1,0,1,2Axx==−−Z„，

1Bxx=，所以2,1,0AB=−−，故选：A.2.已知12i+是方程250()xmxm++=R的一个根，则m=（）A.－2B.2C.iD.－1【答案】A【解析】【分析】法一:将复数代入二次方程，利用复数相等求解；法二：利韦达定理求解.【详解】方

法1：由题意知2(12i)(12i)50m++++=，即2(42)i0mm+++=，解得2m=−.方法2：根据虚根成对知1－2i也是方程的根，由韦达定理得(12i)(12i)m++−=−，所以2m=−.故选

:A.3.不等式2320xx++成立的一个充分不必要条件是（）A.(1,)−+B.[1−，)+C.(−，2][1−−，)+D.(1−，)(+−，2)−【答案】A【解析】【分析】解不等式，根据集合的包含关系求出答案即

可．【详解】2320xx++，(1)(2)0xx++，解得：1x−或2x−，故不等式2320xx++成立的一个充分不必要条件是(1,)−+，故选：A．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不

等式问题，是一道基础题．4.已知π0,2，且cos272π5sin4=−−，则tan2=（）．A.724B.247C.724D.247【答案】D【解析】【分析】由余弦的二倍角公式和两角差正弦公式可得7cossin5+=，结合22cossin1+=求

出tan的值，再根据正切的二倍角公式即可.【详解】()()22cos2cossin722cossin5s2sinino42cs−==−+=−−−，故7cossin5+=，又因为π0,2，且22cossin1+=．故3cos5=

，4sin5=或4cos5=，3sin5=，则4tan3=或34，故22tan24tan21tan7==−，故选：D．5.若a，b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A.ab=B.ab∥C.1ab=D.22ab=【答案】D【解析】【分析】a，b是两个单位向量

，则1ab==，但a，b方向不能确定，即可判断AB；利用数量积的定义与性质可判断CD．【详解】a，b是两个单位向量，则1ab==，但a，b方向不能确定，故选项AB错误；cosco,,sababbaba==，只有a，b同向共线时，才有cos,1ab=，故选项C错误；221aa==，221bb=

=，22ab=，选项D正确.故选：D.6.如图，在直角梯形ABCD中，AD，ABBC⊥，222BCADAB===，将直角梯形ABCD沿对角线折起，使平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.0B.66C.33D.63【答案】B【解析】【分析】取BD的中点F，连接AF

，则AFBD⊥，通过面面垂直的性质定理可得到AF⊥平面BCD．过C作CE，且使12CEBD=，连接AE，EF，BE，FC则ACE为所求的角，在AEC△分别求出CEAC，的大小，即可求出答案.【详解】在直

角梯形ABCD中，因为222BCADAB===，AD，ABBC⊥，所以，2BDCD==，取BD的中点F，连接AF，则AFBD⊥．又因为平面ABD⊥平面BCD且交于BD，所以AF⊥平面BCD．过C作CE，且使12CEBD=，连接AE，EF，BE，FC

则ACE为所求的角．RtAFC△中，3AC=，在RtAFE中，102AE=．因为22CE=，所以AEC△为直角三角形．所以6cos6CEACEAC==，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为66．故选：B.7.设正实数,xy满足23xy+=，则下列说法错误的是（）A.3yxy+

的最小值为4B.xy的最大值为98C.2xy+最大值为2D.224xy+的最小值为92【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【详解】对于A，322224yyxyyxyxxyxyxyxy++=+=+++=，当且仅当1xy==时取等号，故A正确；对于B，2112

1992222248xyxyxy+===，当且仅当2xy=，即33,24xy==时取等号，故B正确；对于C，29(2)2223223368xyxyxy+=+++=+=，则26xy+，当且仅当2xy=，即33,

24xy==时，故C错误；在的对于D，222994(2)49482xyxyxy+=+−−=，当且仅当33,24xy==时取等号，故D正确.故选：C.8.定义在()0,+上的单调函数()fx，对任意的()0,x+

有()ln1ffxx−=恒成立，若方程()()fxfxm=有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）A.(),1−B.()0,1C.(0,1D.(,1−【答案】B【解析】【分析】由条件单调函数()fx，对任意的()0,x+都有()ln1ffxx−=，故必有()

lnfxxt−=，且()1=ft，即可求得()fx，再根据导数研究函数的性质，求得方程()()fxfxm=有两个不同的实根满足的条件，求得m的取值范围.【详解】由于函数()fx单调函数，则不妨设()lnfxxt−=，则()1=ft，且()ln1lnftttt−=−=，解得1t=，所

以()()1ln1,fxxfxx=+=.设()()()ln1xgxfxfxx=+=，则方程()()fxfxm=有两个不同的实数根等价于函数()ln1xgxx+=与ym=有两个不同的交点.()222l

n11ln1lnxxxgxxxxxx−=+=−=−，易得当(0,1)x时，()0gx；当(1,)x+时，()0gx，所以函数()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以max()(1)0gxg==.又10ge=，且当x→+时，()0g

x→.故函数()ln1xgxx+=与ym=有两个不同的交点则()0,1m.为故选：B二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.以下是真命题的是（）A.已知a，b为非零向量，若abab+−，则a与b的夹角为锐角B.已知a，b，c为两两非共线向量，若abac=，则()acb⊥−C.在三角形ABC中，若coscosaAbB=，则三角形ABC是等腰三角形D.若三棱

锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的射影是底面三角形的外心【答案】BD【解析】【分析】A：将已知条件两边同时平方，整理得到0ab，结合平面向量的数量积的定义得到cos,0ab，由平面向量的夹角范围可得,0,2ab，进而可以判断选项；B：将

已知条件变形为()0abc−=，结合平面向量数量积即可判断选项；C：结合正弦定理化简整理即可判断三角形的形状；D：作出图形，证得PAOPBOPCO，即可得到AOBOCO==，结合三角形外心的性质即可判断.【详解】A：因为abab+−，两边同时平方，

得()()22abab+−，即222222abababab+++−，所以0ab，因此cos,0ab，因为,0,ab，所以,0,2ab，因此a与b的夹角为锐角或零角，故A错

误；B：因为abac=，所以()0abc−=，又因为a，b，c为两两非共线向量，则0,0abc−，所以()acb⊥−，故B正确；C：因为coscosaAbB=，结合余弦定理得sincossincosAABB=，所以sin2sin2AB=，所以22AB=或22A

B+=，即AB=或2AB+=，所以角形ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；D：设三棱锥PABC−的顶点P在底面ABC的射影为O，所以⊥PO底面ABC，又因为AO底面ABC，BO底面ABC，CO底面ABC，所以,,POAOPOBOPOCO⊥⊥⊥，又

因为三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，所以PAOPBOPCO==，所以PAOPBOPCO，所以AOBOCO==，所以点O是ABCV的外心，故D正确；故选：BD.10.八一广场位置处于解放碑繁华地段，紧挨着得意世界、

大融城、八一好吃街等．重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备在八一广场上对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为解放碑的最顶端，B为解放碑的基座（即B在A的正下

方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C，D两点，则根据下列各组中的测量数据，能计算出解放碑高度AB的是（）A.CD，ACB，BCD，BDCB.CD，ACB，BCD，ADCC.CD，ACB，BCD，ACDD.BC，BD，2ACBAD

B+=【答案】ABD【解析】【分析】A、B、C根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件否构成解三角形条件；D选项根据相似三角形性质判断.【详解】由题意可知AB⊥平面BCD，由此进行下列判断：A选项，在BCD△中，根据CD，BCD，BDC，可利用正弦定理求得BC，再

根据tanACB求得AB，故A正确；B选项，由ACB，BCD借助直角三角形和余弦定理，用AB和CD表示出BC，BD，AC，AD，然后结合ADC在ACD中利用余弦定理列方程，解方程求得AB，故B正确；C选项，CD，ACB，BCD，ACD四个条件，无法通过解三

角形求得AB，故C错误；D选项，根据π2ACBADB+=，可得ABCV与DBA相似，根据相似比ABBDBCAB=可解方程求得AB，故D正确，故选：ABD．11.设定义在R上的函数()fx与()gx的导函数分别为()fx和()gx．若()()

42fxgx−−=，()()2gxfx=−，且()2fx+为奇函数，则（）．A.Rx，()()40fxfx++−=B.()()354gg+=C.()202310kfk==D.()202310kgk==【答案】AC【解析】【分析】由()2fx+为奇函数，结合奇函数的性质判断A，由条件证明

()fx为周期为4的函数，利用组合求和法求()20231kfk=判断C，根据条件证明()()22gxfx=−−，由此判断BD.【详解】对A，又∵()2fx+为奇函数，则()yfx=图像关于()2,0对称，且()(

)220fxfx++−=，是所以()()40fxfx++−=，A正确；对于C，∵()(2)gxfx=−，则()()2gxfxa=−+，则()()42gxfxa−=−+，又()()42fxgx−−=，所以()()22fxfxa=−++，令1x=，可得20a+=，即2a

=−.所以()(2)fxfx=−，又()()40fxfx++−=所以()()()22fxfxfx+=−−+=−，所以()()()24fxfxfx=−+=+，∴()yfx=的周期4T=，所以()()04ff=，由()()220fxfx++−=可得，()()130ff+=

，()()400ff+=，()20f=，所以()00f=，()40f=，∴20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0kfkfffffff==++++++=，C正确；对B，()()22g

xfx=−−，则()gx是周期4T=的函数，()()()()3512324ggff+=−+−=−，B错误；对D，()()()1120242023fff−=−+=，()()()()02220202022ffff==+=，所

以2023202311()(1)2(0)2(1)2(2021)2()22023kkgkfffffk===−−+−+−++−=−，所以20231()4046kgk==−，D错误.故选：AC.【点睛】知识点点睛：本题考查导数的运算，奇函数的性质，抽象函数周期性的证明，分组求和法等

知识点，属于综合题，考查逻辑推理和首项运算的核心素养.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设函数()logafxx=（0a且1a），若()1220211010fxxx

=，则()()()222122021fxfxfx+++=______．【答案】2020【解析】【分析】根据对数的运算法则计算．【详解】∵()1220211010fxxx=，∴()122021log1010axxx

=；∴()()()()()()222222122021122021logloglogaaafxfxfxxxx=++++++()()222212320211220212l2020ogafxxxxxxx=+==．故答案为：2020．13.如图，在ABCV中，4AB=，3AC=，

90A=，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，则BPCQ的取值范围是__．【答案】[6,4]−【解析】【分析】利用平面向量的线性运算可得出,BPAPABCQAQACAPAC=−=−=−−，运用

平面向量数量积的运算性质解决即可.【详解】由题知，ABCV中，4AB=，3AC=，90A=，若PQ为圆心为A的单位圆的一条动直径，所以A为PQ的中点，1,,5APAPQABC===，因为,BPAPABCQAQACAPAC=−=−=−−，所以()()()()BPCQAPABA

PACABAPACAP=−−−=−+2()1ABACAPAPABACAPCB=−+−=−+,因为APCBAPCBAPCB−，即55APCB−所以614APCB−−+，当且仅当,APCB同向时取最

大值，反向时取最小值，所以BPCQ的取值范围是[6,4]−，故答案为：[6,4]−14.已知棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为AB的中点，P是平面ABCD内的动点，且满足条件13PDPM=，则动点P在平面AB

CD内形成的轨迹是______．【答案】圆【解析】【分析】分别以1,,DADCDD为x轴，y轴，z轴，利用空间两点距离的坐标表示求轨迹方程即可．【详解】分别以1,,DADCDD为x轴，y轴，z轴，则1(0,0,2),(2,1,0)DM，设(,,

0)Pxy，由题意可得22222(02)9[(2)(1)]xyxy++−=−+−，化简可得2299410248xyxy+−−+=，易知轨迹圆.故答案为：圆四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在①112(1

1)nnnnaaaa++−=+++；②184nnaan−−=−(2n)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}na中，13a=，__________.（1）求na；（2）若数列1na的前n项

和为nT，证明：1132nT.是【答案】条件选择见解析；（1）241=−nan；（2）证明见解析.【解析】【分析】若选①：（1）由112(11)nnnnaaaa++−=+++，得1112nnaa++−+=，根据1na+是首项为2，公差为2的等差数列

，可得结果；（2）由2111114122121nannn==−−−+利用裂项求和方法求和得nT，进一步可证1132nT.若选②：（1）由184nnaan−−=−(2n)利用累加法可求得na；（2）由211111

4122121nannn==−−−+利用裂项求和方法求和得nT，进一步可证1132nT.【详解】若选①：（1）由112(11)nnnnaaaa++−=+++，13a=可得11(1)(1)211nnnnaaaa+++−+=+++，即1

112nnaa++−+=，又112a+=，所以1na+是首项为2，公差为2的等差数列，所以12nan+=，所以241=−nan；（2）证明：由（1）得2111114122121nannn==−−−+，所以1111111213352

121nTnn=−+−++−−+111221n=−+11242n=−+，因为1042n+，所以12nT，又因为11242nTn=−+随着n的增大而增大，所以113nTT=，综上1132nT

.若选②：（1）由184nnaan−−=−(2n)可得：当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+(84)(812)123nn=−+−+++[(84)12](1)32nn−+−=+241n=−，当1n=时，13a=，符合2

41=−nan，所以当*nN时，241=−nan；（2）证明：由（1）得2111114122121nannn==−−−+，所以1111111213352121nTnn=−+−++−−+

111221n=−+11242n=−+，因为1042n+，所以12nT，又因为11242nTn=−+随着n的增大而增大，所以113nTT=，综上1132nT.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等

比数列的通项公式1(1)naand=+−或11nnaaq−=进行求解；二、前n项和法：根据11,1,2nnnSnaSSn−==−进行求解；三、nS与na的关系式法：由nS与na的关系式，类比出1nS−与1na−的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a是否适合用上面的方法求

出的通项；四、累加法：当数列中有1()nnaafn−−=，即第n项与第1n−项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法；五、累乘法：当数列{}na中有1()nnafna−=，即第n项与第1n−项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{

}na中有1nnakab−=+（,kb均为常数，且0k），一般化方法：设1()nnamkam−+=+，得到(1)bkm=−，1bmk=−，根据数列1{}1nbak−+−是以k为公比的等比数列，可求出na；②取倒数法：这种方法适用于11nnn

kaamap−−=+（𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗）（,,kmp均为常数，0m），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1nnakab−=+的式子；③取对数法：一般情况下适用于1klnnaa−=（,kl为非零常数

）七、“1nnnabac+=+（,bc为常数且不为0，*nN）”型的数列求通项na，方法是等式的两边同除以1nc+，得到一个“1nnakab−=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nnac的通项，从而求出na.16.已知函数()223sincos2cos1

fxxxxa=+−+（a为常数）.（1）求()fx的单调递增区间；（2）若()fx在0,2上有最小值1，求a的值.【答案】（1）(),36kkkZ−+；（2）2.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数

()yfx=的解析式为()2sin26fxxa=++，然后解不等式()222262kxkk−++Z，可得出函数()yfx=的单调递增区间；（2）由0,2x计算出26x+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数()yf

x=的最小值，进而可求得实数a的值.【详解】（1）()223sincos2cos13sin2cos2fxxxxaxxa=+−+=++312sin2cos22sin2226xxaxa=++=++

，令()222262kxkk−++Z，解得()36kxkkZ−+.所以，函数()yfx=的单调递增区间为(),36kkkZ−+；（2）当02x时，72666x+，所以1sin2126x−+，所以()min

12112fxaa=−+=−=，解得2a=.【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间和最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.17.已知圆229xy+=，A（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点，且∠

PAQ＝90，M是PQ的中点．（1）求点M的轨迹曲线C的方程；（2）设9111(,),(,)2222ED对曲线C上任意一点H，在直线ED上是否存在与点E不重合的点F，使HEHF是常数，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理

由【答案】（1）2211422xy−+−=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用直角三角形的中线定理及垂径定理，得到21||||||9||,2AMPQPMOM===−利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．（2）先设出F的坐标，将HEHF用点点距

表示出，化简得到215(12)4248txtx−++−，利用212815244tt−=−+解得t的值即可．【详解】（1）设点(,)Mxy，由90PAQ=，得21||||||9||2AMPQPMOM===−，化简得22702xyxy+−−−=，即

2211422xy−+−=.（2）点91,22E，11,22D，直线ED方程为12y=，假设存在点19,22Ftt，满足条件，设,()Hxy，则有221142

2xy−+−=，22291||22HExy=−+−2291424822xxx=−+−−=−，2221||()2HFxty=−+−222115()4(12)24xtxtxt=−+−−=−++

，当||||HEHF是常数，2215(12)||4||248txtHEHFx−++=−是常数，∴212815244tt−=−+，∴32t=或92t=（舍），∴32t=，∴存在31,22F满足条件.【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，考查了分式型定值问题的求解，考

查了运算能力，属于中档题．18.已知数列na与等比数列nb满足3(N)nanbn=．（1）试判断na是何种数列；（2）若813aam+=，求1220bbb.【答案】（1）数列na是等差数

列；（2）103m【解析】【分析】（1）由13lognnaaq+−=可知na为等差数列；（2）利用等差数列的前n项和以及指数运算的性质即可求解.【小问1详解】设数列nb的公比为q，则0q，因为3nnab=，所以

113ab=，所以1133naannbq−==.方程两边取以3为底的对数，得11313log(3)(1)logannaqanq−==+−，由于113133(log)(1)loglognnaaanqanqq+−=+−+−=，所以数列na是以3logq为公

差的等差数列．【小问2详解】因为120813aaaam+=+=，所以120122020()2aaaaa++++==10m，所以2012201210122033333aaaaaambbb+++===.19.已知函数()lnfxxx=，()()1fxgxx+=.（1）求函

数()fx的单调区间；（2）当12xx，且()()12gxgx=时，证明：122xx+.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导函数的符号求单调区间；（2）分析法将问题化为证2121212ln0xxxxxx−，再应用换元

及导数研究恒成立，即可证.【小问1详解】由题设，()fx的定义域为()0,+，令()1ln0fxx=+=，得1ex=.当1ex时，()0fx，()fx在1,e+上单调递增；当10ex时，()0fx

，()fx在10,e上单调递减.所以()fx单调递减区间为10,e，单调递增区间为1,e+.【小问2详解】因为()lnfxxx=，故()()11lnfxgxxxx+==+，（𝑥>0）.由()()12gxgx=（12xx），得121211lnlnxx

xx+=+，即212121ln0xxxxxx−=.要证122xx+，需证()212121212lnxxxxxxxx−+，即证2121212lnxxxxxx−.设21xtx=（1t），则要证12lnttt−（1t）.令()12lnhtttt=−−且

1t，则()22121110htttt=+−=−.所以()ht在()1,+上单调递增，则()()10hth=，即12lnttt−.所以122xx+，得证.