【文档说明】湖南省郴州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）.docx，共(23)页，1.632 MB，由小赞的店铺上传

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郴州市2023年上学期期末教学质量监测试卷高一数学（试题卷）注意事项：1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题

卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z满足()1i3iz−=+（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析

】【分析】利用复数的除法运算求得z，求得z对应的坐标，得出答案.【详解】由条件得()()()()3+i1i3i24i12i1i1i1i2z+++====+−−+，所以z在复平面内对应的点为()1,2，在第一象限.故选：A.2.某校为了解学生的学习情

况，采用分层抽样的方法从高一780人、高二600人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高一被抽取的人数为13人，则n等于（）A660B.720C.780D.800【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样各层抽样比相等，列出等量关系，

求解即可..【详解】根据题意可得：1335780600780n=++，解得720n=，故选：B.3.若一个圆锥的轴截面是一个底边长是2，腰长为π的等腰三角形，则它的侧面展开图的圆心角是（）A.2πB.π2C.2D.4【答案】

C【解析】【分析】根据圆锥的底面圆周长与侧面展开图的扇形弧长相等列式求解．【详解】由题意，圆锥的底面半径为r＝1，母线长为l＝π，设侧面展开图的圆心角为α，则αl＝2πr，可得α＝2．故选：C．4.已知、是两个不同的平面，mn、是两

条不同的直线，则下列四个说法中正确的是（）A.若,mnn∥∥，则mB.若,,mnmn∥，则∥C.若,⊥⊥m，则mD.若,mm⊥⊥，则∥【答案】D【解析】【分析】根据线线，线面的位置关系进行判断.【详解】A选项，若,mnn∥∥，有可能m，A选项错误；B选项

，若,,mnmn∥，有可能,相交，B选项错误；C选项，若,⊥⊥m，有可能m，C选项错误；D选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，D选项正确.故选：D5.“网红”打卡地高椅岭，位于郴州苏仙区飞天

山高椅岭村，丹霞奇景集聚凸显，被称之为“被上帝遗忘的地方”．如图1是高椅岭最高峰美丽坦，下面是登云天梯．现测量美丽坦的高度时，选取了与美丽坦底部B在同一平面内的两个测量基点C与D，测得60,80,45mBCDCD

BCD===，在C点测得该美丽坦顶端的A仰角为45，则美丽坦的高度约为（）（参考数据：取sin400.6=）A.72mB.75mC.90mD.120m【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求出BC，再利用直角三角形求解作答.【详解】在BCD中，依

题意，40CBD=，由sin400.6=，得2cos401sin400.8=−=，由正弦定理得sinsinBCCDBDCCBD=，即45sin8090cos4072sin40BC===，在RtA

BC△中，90,45ABCACB==，因此72ABBC==，所以美丽坦的高度约为72m.故选：A6.已知()3,1,1ab==，且,ab的夹角是π4，则b在a方向上的投影向量为（）A.32aB.13bC.13aD.32b【答案】C

【解析】【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解【详解】因为()3,1,1ab==，且,ab的夹角是π4，所以b在a方向上的投影向量为πcos221422233ababaaaabaaaaaa====，故选：C7.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．

十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一种方法．例如：3可表示为“”，26可表示为“=⊥”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之

和为5的概率是（）A.13B.512C.12D.712【答案】A【解析】【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根算筹可表示5

和9，因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，所以所求概率为41123P==．故

选：A8.如图，在ABC中，2CMMB=，过点M的直线交射线AB于点P，交AC于点Q，若,APmABAQnAC==，则2mn+的最小值为（）A.3B.83C.2213+D.3【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合P，M，Q三点共线，求出m，n的

关系，再利用基本不等式求最小值作答．【详解】由2CMMB=，得2()AMACABAM−=−，即有2133AMABAC=+，由,APmABAQnAC==，且0,0mn，得,11ABAPACAQmn==，因此2

133APAQmAMn=+，而点P，M，Q共线，则21133mn+=，所以21444482(2)()2333333333nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=，当且仅当433nmmn=，即423mn==时取等号，所以2mn+的最小值为83.故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，

共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9.已知复数z满足i23i0z++=，则下列结论正确的是（）A.z的虚部是2iB.2512iz=−C.z的共轭复数是32i−D.13z=【答案】BD【解析】【分析】根据题意，求得复数32

iz=−+，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由复数z满足i23i0z++=，可得()()i23ii0z++−=，所以32iz=−+，对于A中，复数32iz=−+的虚部为2，所以A不正确；对于B中，由()2232i512iz=−+=−，所以B正确；对于C中，由

复数32iz=−+的共轭复数为复数32iz=−−，所以C不正确；对于D中，由32i13z=−+=，所以D正确.故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取抽签法抽样、随机数法抽样和分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每

个个体被抽中的概率分别为12,pp，3p，则123ppp==B.若()()()121,,933PABPAPB===，则事件A与事件B相互独立C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D.设,AB是两个随机事件，且()

()0,0PAPB，则()()()PABPAPB=+【答案】AB【解析】【分析】利用三种抽样方法的定义判断A；利用相互独立事件地定义判断B；利用对立事件的意义判断C；利用概率加法公式成立的条件判断D作答.【详解】对于A，

三种抽样方法，总体中每个个体被抽中的概率均为nN，A正确；对于B，由2()3PA=，得1()3PA=，因此11()()()33PABPAPB==，事件A与事件B相互独立，B正确；对于C，“至多一次击中”的事件与“两次均未击中”的事件可以同时发生，它们不互斥，不是对立事件

，C错误；对于D，,AB是两个随机事件，且()()0,0PAPB，当,AB互斥时，()()()PABPAPB=+，D错误.故选：AB11.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，则（）A.若ABACABAC+=−，则ABC为直角三角形B.若6π4,aB==符合条件的ABC有一

个，则24bC.若sinsinAB，则abD.若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据平面向量的模长以及数量积的运算律分析运算；对于B：利用正弦定理分析运算；对于C：利用正

弦定理可判断；对于D：利用两角和差的正弦公式求解.【详解】对于A：因为ABACABAC+=−，即22ABACABAC+=−uuuruuuruuuruuur，则22222222ABABACACABABAC

AC++=−+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，整理得0ABAC=，所以ABAC⊥，即ABC为直角三角形，故A正确；对于B：若6π4,aB==，则πsin4sin26aB==，若符合条件的ABC有一个，则2b=或4b，故

B错误；对于C：若sinsinAB，则由正弦定理可得ab，故C正确；对于D：若sin2sin2AB=，即()()()()sinsinABABABAB++−=+−−,展开整理得()()c

ossin0ABAB+−=，∵0π,ππABAB+−−，∴π2AB+=或0AB−=，∴ABC为直角三角形或等腰三角形，故D错误.故选：AC.12.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点,MN分别是

111,BBCD的中点，则下列结论正确的是（）A.在平面11AABB内存在直线与平面AMN平行B.在1BC上存在点Q，使得1AQ与平面11BBCC所成的角为60C.若点E是1DD的中点，点P是线段1C

E上的动点，则三棱锥APMN−的体积是定值D.过点,,AMN的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形【答案】ACD【解析】【分析】对于A，取1AA的点F，得1AFBM为平行四边形，从而1BFAM∥，即可判断；对于

B，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，则1212BQ，由11AB⊥平面11BBCC知11AQB为1AQ与平面11BBCC所成的角，求解可判断；对于C，连接EF，则11EFBC为平行四边形，得1CEAM∥，从而1CE平面AMN，则点P到平面AMN的距离与点E到平面AMN的距

离相等且为定值，结合体积转化即可判断；对于D，取1DE的中点G，在11BC上取点H，且11114CHBC=，可证得过点,,AMN的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG．【详解】对于A，取1AA的点F，连接1

BF，∵11,AFBMAFBM=∥，∴1AFBM为平行四边形，∵1BFAM∥，1BF平面AMN，AM平面AMN，∴1BF平面AMN，故A正确；对于B，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点Q在1BC上，1212BQ

，∵11AB⊥平面11BBCC，11AQB为1AQ与平面11BBCC所成的角，∵1111111tanABAQBBQBQ==，∴111tan23AQB，∴114560AQB，故B错误；对于C，连接EF，则1111,EFADBCEFA

DBC==∥∥，则11EFBC为平行四边形，11CEBF∥，又1BFAM∥，则1CEAM∥，1CE平面AMN，AM平面AMN，∴1CE平面AMN，点P是线段1CE上，则点P到平面AMN的距离与点E到平面AMN的距离相等且为定值，则三棱锥

APMN−的体积APMNPAMNEAMNVVV−−−==，为定值，故C正确；对于D，取1DE的中点G，连接,AGGN，则1GNCEAM∥∥，则G在平面AMN上，取BM的中点S，在111,CCBC上分别取点,TH，且1111111,44CTCCCHBC==，连接

1,,,BTSCMHNH，则1BTSCMH∥∥，又BTAG∥，则AGMH∥，则M在平面AMN上，所以，过点,,AMN的截面与正方体的面的交线组成的图形是五边形AMHNG，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，第16题第一问2分第2问3分，共

20分．）13.数据24，11，12，13，15，14，17，18，20，10的第60百分位数是____________．【答案】16【解析】【分析】先对这10个数据排列，然后根据百分位数的定义求解即可【详解】这10个数从小到大排列为10，11

，12，13，14，15，17，18，20，24，因为1060%6=，所以第60百分位数是第6个数和第7个数的平均数，即1517162+=，故答案为：1614.在平行四边形ABCD中，E为BC的靠近B的三等分点，若

26ABAD==,，且120BAD=，则ACDE=____________．【答案】22−【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解.【详解】以B为原点，以BC所在直线为x轴，

建立平面直角坐标系，如图，则(0,0),(6,0),(2,0),(1,3),(7,3)BCEAD，(5,3),(5,3)ACDE=−=−−，5(5)(3)(3)22ACDE=−+−−=−．故答案

为：22−．15.某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身

高的总体方差为____________．【答案】48【解析】【分析】根据分层抽样均值和方差的计算公式计算即可.【详解】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，可得总体的均值为600400170160166100

01000x=+=，总体的方差为2221{600[20(170166)]400[30(160166)]}481000s=+−++−=.故答案为：48.16.已知四棱锥PABCD−的各个顶点都在球O的表面上，PA

⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，,4,,223πADBCABADCDABCPA=====∥，（1）四棱锥PABCD−的外接球的表面积为____________；（2）若M是线段AB上一点，且14AMAB=．过点M作球O的截面，所得截面圆面积的最小值为____________．【答案】①.

72π②.3π【解析】【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，连接AC，如图，因为ADBC∥，4ABADCD===，π3ABC=，则2π3BADADC==，π6CAD=，于是π2BA

C=，取BC中点1O，连接11,OAOD，则111OAOBOC==，得11,AOBCOD均为正三角形，即有1111OAOBOCOD===，即1O是梯形ABCD外接圆圆心，而O为四棱锥PABCD−外接球球心，因此1OO⊥平面ABCD，又PA⊥平面ABCD，则1OOPA∥，而PA为球O的

弦，则过点O垂直于PA的平面必过PA的中点E，连接,OEOA，的的于是OEPA⊥，而1OAPA⊥，即有1OAOE∥，四边形1OAEO为矩形，1122OOAEPA===，因此球O的半径221132ROAOAOO==+=，所以，四

棱锥PABCD−的外接球的表面积为24π72πSR==；（2）在1BMO中，1π3ABO=，3BM=，14OB=，22211112cos13OMBMOBBMOBABO=+−=，连接1OM，在1RtOOM△中，2221115OMOMOO=+=，过点M的球O的最小截面圆所在平面必垂直

于OM，而此截面圆半径为223rROM=−=，所得截面圆面积的最小值为21π3πSr==.故答案为：72π，3π.四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17已知向量()

()1,0,,1abm==，且22ab−=．（1）求m及a与b的夹角的余弦值；（2）若atb+与b垂直，求实数t的值．【答案】（1）12m=，5cos,5ab=（2）25t=−【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式求解；（2）利用向

量垂直的坐标表示求解.【小问1详解】因为向量(1,0),(,1),|2|2abmab==−=，所以2,||1,||1abmabm===+，222|2|444abaabb−=−+=，即24410mm−+=，解得12m=，.

所以5cos,5||||ababab==.【小问2详解】由（1）知12m=，故1(1,0),,12ab==，故11(1,0),11,22atbttt+=+=+，因为atb+与b垂直，

所以11()1022atbbtt+=++=，解得25t=−.18.如图，在四棱锥PABCD−中，平面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为PB的中点，F为PD的中点．（1）证明：EF

//底面ABCD；（2）已知2PAPB==，二面角PBCA−−的平面角为60，求四棱锥PABCD−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）433【解析】【分析】（1）连接BD，可得//EFBD，利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）取AB的中点M，由

面面垂直的性质可得PM⊥底面ABCD，进而得BC⊥平面PAB，PBA是二面角PBCA−−的平面角，可求得PM，利用棱锥的体积公式求得结果．【小问1详解】连接BD，在PBD△中，E为PB的中点，F为PD的中点，所以//EFBD，又BD底面,ABCDEF底

面ABCD，所以//EF底面ABCD，【小问2详解】取AB的中点M，连接PM，因为2PAPB==，所以PMAB⊥，又平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面,ABCDABPM=平面PAB，所以PM⊥底面ABCD，所以PMBC⊥，因为底面A

BCD为正方形，所以BCAB⊥，又ABPMM=，,ABPM平面PAB，所以BC⊥平面PAB，PB平面PAB，BCPB⊥，PBA是二面角PBCA−−的平面角，60PBA=，又2,PAPBPBA==

为正三角形，3PM=，所以14322333PABCDV−==，即四棱锥PABCD−的体积为433．19.在锐角ABC中，内角所,,ABC对的边分别为,,abc，若满足2cos2acCb−=．（1）求角B的大小；（2）若1b=，求ac+的取值范围

．【答案】（1）π3（2）(3,2【解析】【分析】（1）利用余弦定理边角互化来处理；（2）利用正弦定理，将ac+用角来表示，结合正弦函数的单调性处理.【小问1详解】由余弦定理，2222cos22acabcCbab−+−==，整理可得222acac

b+−=，又2221cos22acbBac+−==，而(0,π)B，解得π3B=.【小问2详解】由正弦定理，12πsinsinsin3sin3acbACB====，于是2sin3aA=，222π1sinsinsincos3333cCAAA==−=+，故π3sin

cos2sin6acAAA+=+=+.由ABC是锐角三角形可知：π022ππ032AA−，解得ππ62A，则ππ2π363A+，根据正弦函数sinyx=在ππ,32上递增，在π2π,23

上递减，故sinyx=在π2π,33上的值域为3,12，故(π2sin3,26acA+=+20.为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录

他们的分数，将数据分成4组：)))60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数；（2）用分层随机抽样的方法从)60,70，90

,100两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间60,70的概率；（3）学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，

总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12,,25p，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是4750，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．【答案】（1）84.5分（2）14（3）甲最终获胜的可能性大；理由见解析【

解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解；（2）根据分层抽样的分法，得到从)60,70抽取1人，即为a，从90,100中抽取3人，即为1,2,3，利用列举法求得基本事件的总数和所有事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（3）根据题

意求得45p=，分别求得甲乙得到2分和3分概率，即可得到答案.【小问1详解】解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数：(650.01750.015850.045950.03)1084.5x=+++=分.【

小问2详解】解：由频率分布直方图，可得)60,70的频率为0.1，90,100的频率为0.3，所以用分层随机抽样的方法从)60,70，90,100两个区间共抽取出4名学生，可得从)60,70抽取1人，即为a

，从90,100中抽取3人，即为1,2,3，从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有()()()()(),1,,2,,3,1,2,1,3,aaa()()()()()()()2,3,1,,2,,3,,2,1,3,1,3,2aaa，共有12个基本事件；其中第二个交流分享的

学生成绩在区间60,70的有：()()()1,,2,,3,aaa，共有3个，的所以概率为31124P==.【小问3详解】解：甲最终获胜的可能性大.理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是4750，可得12471

(1)(1)(1)2550p−−−−=，其中01p，解得45p=，则甲的2分或3分的概率为：1241241241243(1)(1)(1)2552552552555P=−+−+−+=，所以乙得分为2分或3分的概率为25，因为325

5，所以甲最终获胜的可能性更大.21.已知函数()()()3,sin,cos,3sin,sin,R2fxabaxxbxxx=−==．（1）如图，在ABC中，角、、ABC的对边分别为,,abc，点D为BC的中点．当ππ,32x

时，,bc分别等于()fx的最小值、最大值，且()32fA=，求AD的长．（2）当7π0,12x时，关于x的方程()()()2[]10fxtfxt+−−=有三个不同的解，求实数t的取值范围．【答案

】（1）7234+或74（2）11,2−−【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简()fx，根据三角函数的性质求出,bc，进而由3()2fA=求得A，利用向量的数量积运算计算2AD，即可得出答案；（2）由题意()1fx=

或()fxt=−，作出函数7π()sin2,0,312πfxxx=−的图象，由图可知，()1fx=有一解，从而()fxt=−有两解，即函数()yfx=与yt=−有两个不同的交点，数形结合即可得出结果.【小问1详解】由题意得，233()3sinsincos22fxab

xxx=−=+−()3131cos2sin2222xx=−+−πsin23x=−，当ππ,32x时，3ππ2π233x−，()fx的值域是3,12，则3,12bc==，3()sin232πfAA=−=

，0πA，5π233ππ3A−−，ππ233−=A或2π3，π3A=或π2，1()2ADABAC=+，()22221173||()2cos24164ADABACABABACACA=

+=++=+，当π3A=时，7234AD+=；当π2A=时，74AD=．【小问2详解】由2[()](1)()0fxtfxt+−−=得，[()1][()]0,()1fxfxtfx−+==或()fxt=−．函数

7π()sin2,0,312πfxxx=−的图象如下：由图可知，()1fx=有一解，即5π12x=，()fxt=−有两解，即函数()yfx=与yt=−有两个不同的交点，111,1,.22tt−−−22.如图，正方形

ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点．将ADEV沿DE翻折到,SDEBEF△△沿EF翻折到SEF，（1）求证：平面SEF⊥平面SFD；（2）若1BF，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求的最大值．【答案】（1）证

明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）由已知,SESDSESF⊥⊥，可得SE⊥面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）设S在面AEF上的射影为O，则SEO为直线SE与平面DEF所成角．设(14)BFxx=，利用体积法，由SDEFEDSFVV−

−=求得SO，从而得sin的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【小问1详解】因为ABCD是正方形，,SESDSESF⊥⊥，又SDSFS=，,SDSF面SFD，SE⊥面SFD，又S

E平面,SEF平面SEF⊥平面SFD；【小问2详解】设S在面AEF上的射影为O，连接EO，则SEO为直线SE与平面DEF所成角．设(14)BFxx=，则4CFx=−．111444224(4)4222DEFSxxx=−−−−=+．在DSF中，4,D

SSFx==，2832DFxx=−+．可得2222cos12DSSFDFDSFDSSFx+−==−，1sin412DSFSDSSFDSFx==−，SDEFEDSFVV−−=，81412(4).4xxxSOSOx−−=+

=+又2SE=，41sin4SOxSEx−==+，令2441,(0,3],sin55txttttt−===++，令5(),(0,3]gtttt=+，12121212121212125()()()()(

)()5555ttgtgttttttttttttt−−=+−+=−+−=−，当12,(0,3]tt且12tt时，1212120,50,0tttttt−−，则12()()0gtgt−，可得()gt在(0,3]上单调递减，当3t=，即4x=时，sin最大为32，最大值为

π3．【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面处理解决：一是函数法，即根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值；二是根据几何体的结构特征，变动

态为静态，直观判断求解；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com