【文档说明】宁夏银川市唐徕中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.569 MB，由小赞的店铺上传

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银川市唐徕中学2023～2024学年度第一学期9月月考高三年级数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2i124iz−=++（i是虚数单位）

在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】化简得到11i2z=−，得到答案.【详解】()()()()2i24i2i10i11111i24i24i24i2

02z−−−=+=+=−=−++−，对应的点为11,2−，在第四象限.故选：D.2.已知集合220Axxx=+−，lg1Bxx=，AB=（）A.()2,10−B.()0,1C.()2,1−D.(),10−【答案】B【解析】【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的

单调性、集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为()2202,1Axxx=+−=−，()lg10,10Bxx==，所以AB=()0,1，故选：B3.已知角终边上一点()2,3P−，则()()()πcossinπ2cosπsin3π

++−+的值为（）A.32B.32−C.23D.23−【答案】B【解析】【分析】由任意角三角函数的定义求出tan，再由诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为角终边上一点()2,3P−，所以3tan2=

−()()()()()πcossinπsinsin32tancosπsin3πcossin2++−−===−−+−−.故选：B.4.如图，在平行四边形ABCD中,11,,33AE

ABCFCDG==为EF的中点，则DG=A.1122ABAD−B.1122ADAB−C.1133ABAD−D.1133ADAB−【答案】A【解析】【分析】利用向量的加减法的几何意义将DG转化为AB，AD即可.【详解】1122DGDEDF=

+112()223DAAEDC=++111()233ADABAB=−++1122ABAD=−故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.5.已知ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，则“cosacB=”是“ABC

为直角三角形”的是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得sinsincosACB=，利用三角形的内角和及和角的正弦公式化简可得C为直角，结合充分条件及必要条件进行判断即可.【

详解】因为cosacB=，由正弦定理可得，sinsincosACB=，即()sinsincosBCCB+=，所以sincossincossincosBCCBCB+=，所以sincos0BC=，因为0πB，0πC，所以sin0B，cos0C=，则π2

C=，ABC为直角三角形，但ABC为直角三角形时不一定是π2C=，所以cosacB=是△ABC为直角三角形充分不必要条件，故选：A.6.某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形，经测量，其

长度分别为3cm、4cm、6cm，则（）A.能作出一个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形【答案】C【解析】【分析】计算出三角形三边的比值，并计算出三角形中最大角的余弦值，可得出结论.

【详解】设高分别为3cm、4cm、6cm对应的底边长分别为a、b、c（单位：cm），则346abc==，设()40att=，则3bt=，2ct=，由三角形三边关系可知abcacbbca+++，

这样的三角形存在，设该三角形的最大内角为，则2221cos24bcabc+−==−，则为钝角，故能作出一个钝角三角形.故选：C.7.ABC中，1,3,120ABACB===，2BDDC=，则ABAD的值为（）A.79B.23C.43D.119【答案】C【解析】【分

析】根据余弦定理，结合平面向量数量积的运算性质和定义、平面向量共线的性质、加法的运算性质进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：22222cos311ACBABCBABCBBCBCBC=+−=++=或2BC=−（舍去），因

为2BDDC=，所以23BD=，22214()11()323ABADABABBDABABBDABBABD=+=+=−=−−=，故选：C8.设3tan16tan14tan16tan143a=++，sin4

4cos14sin46cos76b=−，2sin14sin76c=，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.cab【答案】A【解析】【分析】根据两角和正切公式有tan16tan141tan16t

tanan4301+−=，可求a，再由两角差正弦公式、二倍角正弦公式可求b、c，进而可知它们的大小关系.【详解】∵tan16tan141tan163tan3tan1034=−=+，∴33tan16tan14tan16tan1433a=+

=+，sin44cos14sin46cos76sin44cos14cos44sin14sin3201b=−=−==，2sin14sin76sin14cos142sin28sin30c===，∴abc.故选：

A9.已知π02，π1sin263−=−，则πsin6+=（）A.33B.33−C.63D.63−【答案】A【解析】【分析】利用ππ226π62+−−=求得ππcos2sin2

66+=−−，利用的范围和21cos2sin2−=可得答案.【详解】因为ππ226π62+−−=，所以πππ22626

+=+−，即ππππ1cos2cos2sin262663+=+−=−−=，因为π02，所以ππ2π623+，所以πsin06

+，所以2π11cos21π163sin6223−+−+===，可得π3sin63+=.故选：A.10.已知定义在R上的函数()fx满足()()11fxfx−=+，且()1fx−是偶函数，当13x时，()124xfx=+，则()2log40f

=（）A.52B.94C.114D.3【答案】C【解析】【分析】根据()1fx−是偶函数和()()11fxfx−=+得到4是()fx的一个周期，然后利用周期性求函数值即可.【详解】因为()1fx−是偶函数，所以()()11fxfx−

=−−，则()()31fxfx−=−+，因为()()11fxfx−=+，所以()()31fxfx−=+，则4是()fx的一个周期，因为222log32log40log64，所以25log406，21log4042−，()()2log4042

2140111log40log404241644ff−=−=+=+=.故选：C.11.当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得最大值2−，则(2)f=（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()12f=-，()10f=

即可解得,ab，再根据()fx即可解出．【详解】因为函数()fx定义域为()0,+，所以依题可知，()12f=-，()10f=，而()2abfxxx=−，所以2,0bab=−−=，即2,2ab=−=−，所以()222fxxx=−

+，因此函数()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，1x=时取最大值，满足题意，即有()112122f=−+=−．故选：B.12.已知函数()245,0ln,0xxxfxxx++=，若存在实数123,,xxx，且123xxx，使得()()()123fxfxfx==，

则()()()112233++xfxxfxxfx的最大值为（）A.33e12−B.33e20−C.55e12−D.55e20−【答案】D【解析】【分析】利用二次函数对称性化简目标式，然后构造函数()(4)lngxxx=−，利用导数求最值可得.【详解】作出的函数图象如图所示：若存

在实数123,,xxx，且123xxx，使得()()()123fxfxfx==，因为245yxx=++的图象关于直线2x=−对称，所以124xx+=−，所以()()()()()()()()1122331233333344lnxfxxfxxfxxxxfxx

fxxx++=++=−=−，由图可知，()315fx，所以53eex．设()(4)lngxxx=−，(5e,ex，所以4()ln1gxxx=+−，ln1x+与4x−在(5e,ex单调递增，所以()gx在上单调递增，又(e)eg=−420，所以

当(5e,ex时，()0gx，所以()gx在(5e,ex上单调递增，所以()()max()eelneegxg==−=−55554520．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数1

tanyx=+的定义域是.【答案】[,),42kkkZ−+【解析】【分析】利用根式函数的定义域求法和正切函数不等式求解.【详解】解：由函数1tanyx=+，则1tan0x+，即tan1x−，解得,42kxkkZ−+，所以函数的定义域是[,),42kkkZ

−+，故答案为：[,),42kkkZ−+14.已知向量()1,2a=r，()4,7b=−，若//ac，()abc⊥+，则c=________．【答案】25【解析】【分析】根据题意，设向量(),2cxx=，得到(4,27)bcxx+=+−，结合(

)abc⊥+，利用数量积的坐标运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由向量()1,2a=r，()4,7b=−，因为//ac，可设向量(),2cxx=，则(4,27)bcxx+=+−，又因为()abc⊥+，可得()1(4)2(27)0abcxx

+=++−=，解得2x=，所以()2,4c=r，所以222425c=+=.故答案为：25.15.已知函数5()4xfxa+=+（0a，1a）恒过定点(,)Mmn，则函数()xgxmn=+的图像不经过第______象限.【答案】二【解析】【分析】由指数函数性质可知()f

x恒过定点()5,5−，再由指数函数的性质可知()gx不过第二象限.【详解】由已知条件得当5x=−时，()55f-=，则函数()fx恒过点()5,5−，即5,5mn=−=，此时()55xgx=−+，的由于

()gx由5xy=向下平移五个单位得到，且过点()0,4−，由此可知()gx不过第二象限，故答案为：二.16.已知函数()xfxax=−（0a且1a）有两个不同的零点，则实数a的取值范围是______.【答案】11,ee【解析

】【分析】变换得到lnlnxax=，构造()lnxgxx=，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到10lnea，解得答案.【详解】()0xfxax=−=，即xax=，易知0x，故lnlnxax=，即lnlnxax=，设()lnxgxx=，()21lnxgxx−=，当()0,ex时，

()0gx，函数单调递增；当)e,x+时，()0gx，函数单调递减；()()max1eegxg==，画出函数图像，如图所示：根据图像知：10lnea，解得1e1ea.故答案为：11,ee

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用参数分离的思想，将题目转化为lnlnxax=，再构造新函数是解题的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分）17.函数()()sin(0,0,0π)fxAxBA=++的部分图象如图所示.（1）求()fx的解析式；（2）将()yf

x=的图象向右平移π6个单位,再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变,然后再向下平移1个单位,得到()ygx=的图象,求()gx在ππ,244−上的值域.【答案】（1）2()2sinπ213fxx=++；（2）()[3,2]gx−.【解析】【分析】（1

）根据函数图象上的最大值和最小值，求出AB、，根据特殊点求出函数周期，结合2πT=，得2=，再将点π,312−代入()fx的解析式，求出的值，从而得到函数的解析式；（2）根据函数平移与缩放的规则，得()π2sin43gxx=+，再由ππ,244x−

得ππ4π4,363x+，结合函数图象即可求出答案.【小问1详解】由图可知,()3122A−−==，()3112B+−==，由2π5ππ2π1212T==−−=可得：2=，再将点π,312−

代入()fx的解析式,得ππ2sin13126f−=−++=,得πsin16−=，结合0π，可知2π3=.故()2π2sin213fxx=++；【小问2详解】将()yf

x=的图象向右平移π6个单位，得到π2ππ2sin212sin21333yxx=−++=++，再把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变,然后再向下平移1个单位,得到()π2sin43gxx=+，ππ,244x−

，ππ4π4,363x+，π3sin4,132x+−，()3,2gx−.18.如图，线段1AA是圆柱1OO的母线，BC是圆柱下底面O的直径.（1）弦AB上是否存在点

D，使得1OD平面1AAC，请说明理由；（2）若2BC=，30ABC=，点1A，A，B，C都在半径为2的球面上，求二面角1CABA−−的余弦值.【答案】（1）存在，理由见解析（2）25719【解析】【分析】（1）根据面面平行的判定定理、性质定理分析证明；（2）根据题意结合长方

体的外接球可得12AA=，建系，利用空间向量求二面角.【小问1详解】当点D为AB的中点时，1OD平面1AAC，证明如下：取AB的中点D，连接OD，∵O，D分别为BC，AB的中点，则ODAC，OD平面1AAC，AC平面1AAC，∴OD平面1AAC，又∵1OO1AA，1OO

平面1AAC，1AA平面1AAC，∴1OO平面1AAC，1OOODO=，1,OOOD平面1OOD，∴平面1OOD平面1AAC，由于1OD平面1OOD，故1OD∥平面1AAC.【小问2详解】∵B

C是O的直径，可得90BAC=，即ABAC⊥，且2BC=，30ABC=，故3AB=，1AC=，又∵1AA⊥平面ABC，且,ABAC平面ABC，∴11,AAABAAAC⊥⊥，即AB，AC，1AA两两垂直，且点1A，A，B，C都在半径为2的球面上，可知该球为以AB、AC、

1AA为长、宽、高的长方体的外接球，则()2222122ABACAA++=，可得12AA=，以A为原点，AB，AC，1AA所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则()0,0,0A，()3,0,0B，()0,1,0C，()10,0,2A，得()13,0,2AB=−，(

)10,1,2AC=−，设(),,nxyz=r为平面1ABC的一个法向量，则1132020nABxznACyz=−==−=，令2x=，则23,3yz==，可得()2,23,3=rn，且(

)0,1,0AC=为平面1AAB的一个法向量，设二面角1CABA−−为，则23257coscos,19119ACnACnACn====uuurruuurruuurr，所以二面角1CABA−−的余弦值为25719.19.为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两

套方案，并分别在A、B两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃

圾桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机

抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：)40,50，)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，)90,100，并整理得到如图所示的频率分布直方图：（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判

断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；（2）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可

在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？（3）根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）A小区平均分为72.7，B小

区平均分为78.3，方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎（2）B小区可继续推行方案二（3）分布列见解析，()154EX=【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的求法分别计算，即可得出结论；（2）分别求出A小区即方案一中，满意度不低于70分的频率和B小区即方案二中，满意度不低于70分的频

率，由此即可得出结论；（3）由题意可知35,4XB，再根据二项分布的分布列和期望公式计算即可.【小问1详解】设A小区方案一的满意度平均分为x，()450.006550.014650.018750.031850

.021950.0101072.7x=+++++=，设B小区方案二的满意度平均分为y，为()450.005550.010650.010750.020850.032950.0231078.3y=+++++=，∵72.778.3.∴方

案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；【小问2详解】由题意可知：A小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为()0.0310.0210.010100.62++=，以频率估计概率，赞成率为62%，B小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为()0.02

00.0320.023100.75++=，以频率估计概率，赞成率为75%，∴B小区可继续推行方案二；【小问3详解】现从B小区内随机抽取5个人，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，则35,4XB

，()505110C41024PX===，()41531151C441024PX===，()23253190452C441024512PX====，()3235312701353C441024512PX====，(

)445314054C441024PX===，()55532435C41024PX===，∴X的分布列为X012345P110241510244551213551240510242431024数学期望()315544EX==.20.已知椭圆E：

22221xyab+=（0ab）的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为22，斜率为k的直线l过1F且与椭圆E相交于A，B两点，2ABF△的周长为82.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设线段AB的中垂线m交x轴于N，在

以NA，NB为邻边的平行四边形NAMB中，顶点M恰好在椭圆E上，求直线l的方程.【答案】（1）22184xy+=；（2）()422yx=+.【解析】【分析】（1）根据椭圆定义和离心率定义即可求出椭圆标准方程；（2）先设出直线方程及A，B点坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得到A，B点

坐标之间的关系.再利用中垂线性质及平行四边形中的向量等式得到M点坐标，最后把M点坐标代入椭圆方程求出斜率得到直线方程.【详解】解：（1）由2ABF△的周长为82，则有482a=，所以22a=，又椭圆E的离心率22e=

，则2c=，2b=，故椭圆E的标准方程为：22184xy+=.（2）由题意可知，直线l的斜率0k，设直线l：()2ykx=+，()11,Axy，()22,Bxy由()222{28ykxxy=++=可得()2222128880kxkxk+++−=显然0

，2122812kxxk+=−+，21228812kxxk−=+则AB中点22242,1212kkQkk−++，AB中垂线m方程为：2222141212kkyxkkk−=−+++.所以222,012kNk−+，由四边形NAM

B为平行四边形，则NMNANB=+，即2221122222222,,,121212MMkkkxyxyxykkk+=++++++所以221222261212Mkkxxxkk=++=−++，122412Mkyyyk=+=+由22264,1212kkM

kk−++在椭圆E上，则()()42222236161812412kkkk+=++，解得42k=，即42k=.故直线l的方程为()422yx=+.【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程、性质及直线与椭圆的位置关系，关键是利用向量工具表示点的坐标，采用设而不求，属于中档题

.21.设函数22()(ln)xefxkxxx=−+（k为常数，e＝2．71828…是自然对数的底数）．（1）当0k时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数()fx在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【答案】（1

）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+；（2）2(,)2ee．【解析】【详解】试题分析：（I）函数()yfx=的定义域为(0,)+，()fx=3(2)()xxekxx−−=由0k可得0xekx−，得到()fx的单调递减

区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+.（II）分0k，0k，01k，1k时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数()yfx=的定义域为(0,)+，242221()()xxxexefxkxxx−=−−+322(2)xxxeekxx

x−−=−3(2)()xxekxx−−=由0k可得0xekx−，所以当(0,2)x时，()0fx，函数()yfx=单调递减，当(2,)x+时，()0fx，函数()yfx=单调递增.所以()fx的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2

,)+.（II）由（I）知，0k时，函数()fx在(0,2)内单调递减，故()fx在(0,2)内不存在极值点；当0k时，设函数(),[0,)xgxekxx=−+，因为ln()xxkgxekee=−=−，当01k时，当(0,2)x时，()0xgxek=−，()ygx

=单调递增，故()fx在(0,2)内不存在两个极值点；当1k时，得(0,ln)xk时，()0gx，函数()ygx=单调递减，(ln,)xk+时，()0gx，函数()ygx=单调递增，所以函数()ygx=的最小值为(ln)(1ln)gkkk=−，函数()

fx在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(1)0(2)00ln2ggnkgk，解得22eek，综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为2(,)2ee.考点：应用导数研究函数的单

调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1223xtty=+=−，（t为参数）．以坐标原点O

为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22413sin=+．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若P是曲线C上一点，Q是直线l上一点，求||PQ的最小值．【答案】（1）直线l的普通方程为2380xy+−=，曲线

C的直角坐标方程为2214xy+=（2）31313【解析】【分析】（1）根据题意，由普通方程与参数方程以及极坐标方程的互化，代入计算即可得到结果；（2）根据题意，由点到直线的距离公式结合辅助角公式即可得到结果.【小问1详

解】由直线l的参数方程，得直线l的普通方程为2380xy+−=．将222,sinxyy=+=代入曲线C的极坐标方程，化简得曲线C的直角坐标方程为2214xy+=．【小问2详解】由（1），设点(2cos,sin)P，由题知||PQ的最

小值为点P到直线l的距离的最小值．又点P到直线l的距离22|4cos3sin8||5sin()8|1323d+−+−==+，其中4tan3=．当π2π()2kk+=+Z时，d的最小值为31313．||P

Q的最小值为31313．[选修4-5：不等式选讲]23设函数()|23|1=+−−fxxx.（1）求不等式()0fx的解集；（2）若()fx最小值是m，且232++=abcm，求222abc++的最小值.【答案】（

1）{4xx−∣或23x−；（2）2514.【解析】.的【分析】（1）分类讨论32x−，312x−和1x三种情况，求解()0fx，最后求并集即可；（2）根据（1）可得52m=−，可得235abc++=，利用

柯西不等式求出222abc++最小值即可.【详解】（1）当32x−时，2310xx−−+−，解得<4x−；当312x−时，2310xx++−，解得213x−；当1x时，2310xx+−+，

解得1x.综上，不等式()0fx的解集为{4xx−∣或23x−.（2）由（1）可知当32x=−时，min5()2fx=−，即52m=−，则235abc++=.因为()()2222222(23)123abcabc

++++++，所以()2222514abc++，即2222514abc++（当且仅当123abc==时等号成立）.故222abc++的最小值为2514.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法一般有：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．的获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com