【文档说明】浙江省绍兴市嵊州市2023届高三下学期5月高考科目适应性考试数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.464 MB，由小赞的店铺上传

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2023年5月嵊州市高（选）考科目适应性考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,{02}MxyxNxx==−=∣∣，则MN=（）A.{|01}xxB.{|12}xx

C.{2}xx∣D.{0}xx∣【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质化简集合M，再求解集合的交集即可.【详解】因为1|1Mxyxxx==−=∣，又{|02}Nxx=所以MN={|01}xx.故

选：A.2.设抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，若点()1,Pm在抛物线上，且3PF=，则p=（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义求出p的值.【详解】抛物线22(0)ypxp=的焦点为,02pF，准线方程为2px

=−，点()1,Pm在抛物线上，且3PF=，由抛物线的定义可知132p+=，则4p=.故选：C3.在ABC中，D是线段BC上一点，满足2,BDDCM=是线段AD的中点，设BMxAByAC=+，则（）A.12xy−=−B.12xy+=−C.12xy−=D.12

xy+=【答案】B【解析】【分析】利用向量的线性运算，求出5163BCMABA=−+，得到,xy的值，再对各选项分析判断即可求出结果.【详解】因为D是线段BC上一点，满足2BDDC=，所以2212()3333ADABBCABA

CABABAC=+=+−=+，又M是线段AD的中点，所以111263AMADABAC==+，所以11516363BABMBAABBACAMAAC=−++=−+=+，所以51,63xy=−=，故12xy+=−，故

选：B.4.基本再生数0R与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()ertIt=（其中e2.71828=是自

然对数的底数）描述累计感染病例数()It随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与0R，T近似满足01RrT=+.有学者基于已有数据估计出03.28R=，6T=，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（参考数据：ln20.69=，ln31.

1=）A.1.2天B.1.8天C.2.9天D.3.6天【答案】B【解析】【分析】根据所给模型求得0.38r=，令0=t，求得()0I，根据条件可得方程0.38e2t=，然后解出t即可．【详解】把03.28R=，6T=代入01RrT=+，可得0

13.2810.386RrT−−===，()0.38etIt=，当0=t时，()01I=，则0.38e2t=，两边取对数得0.38ln2t=，解得ln21.80.38t=．故选：B.5.设函数()π

sin2(0)4fxx=+的最小正周期为T，若ππ32T，且()yfx=的图象关于点3π,04对称，则（）A.π12f=B.()fx的图象关于直线π8x=对称C.()fx在区间ππ,64

上是减函数D.()fx在区间π0,4上有且仅有两个极值点【答案】C【解析】【分析】根据周期和对称性可得52=，进而根据正弦函数性质逐项分析判断.【详解】由题意可得π2ππ322，且0，解得23，因为()yfx=的图象关于点3

π,04对称，则3ππ2π,44kk+=Z，整理得41,6kk−=Z，可得41236k−，解得131944k，且kZ，则54,2k==，所以()πsin54fxx=+.对于A：π5πππ2sincos22442

f=+==，故A错误；对于B：π5ππ7πsinsin8848f=+=不是最值，故B错误；对于C：因为ππ,64x，则π13π3π5,4122x+

，且sinyx=在13π3π,122上是减函数，所以()fx在区间ππ,64上是减函数，故C正确；对D：因为π0,4x，则ππ3π5,442x+，且si

nyx=在π3π,42内有且仅有一个极值点，所以()fx在区间π0,4上有且仅有一个极值点，故D错误；故选：C.6.已知函数()4ln1,121,1xxfxxx+=−，若pq，且()()2fpfq+=，则pq+的最小值是（）A.22ln2−B.32ln2−C.4

2ln3−D.2【答案】B【解析】【分析】由pq，且()()2fpfq+=，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设1p，1q，由()()2fpfq+=，得12lnpq=−，得到2ln1pqqq+=−++，1q，构造函数()2ln1

hxxx=−++，1x，利用导数求其最小值即．【详解】当1x时，()4ln11fxx=+，当1x时，()211fxx=−，由pq，且()()2fpfq+=，得p与q一个大于1，一个小于1，不妨设1p，1q

，则214ln12pq−++=，即12lnpq=−，2ln1pqqq+=−++，1q，令()2ln1hxxx=−++，1x，22()1xhxxx+−=−=，可得当(1,2)x时，()0hx，()hx单调递减，当(2,)x+时，()0hx，()hx单调递增，当

2x=时，()hx取得最小值为32ln2−．pq+的最小值是32ln2−．故选：B．7.已知函数()3213fxxaxx=++有两个极值点()1212,xxxx，若过两点()()11,xfx，()()22,xfx的直线l与x轴的交点在曲线()yfx=上

，则实数a的值可以是（）A.0B.62C.43D.32【答案】B【解析】【分析】求导得()221fxxax=++，由题意可得12,xx是方程()0fx=的两个根，从而22440,1aa=−，即可排除A选项；又21121xax=−−,22221xax=−−，从而可得()21121(1)

33fxaxa=−−，()22221(1)33fxaxa=−−，从而可得直线l的方程为：221(1)33yaxa=−−.设l与x轴的交点为()0,0x得022(1)axa=−，从而得到()00fx=，把B、C、D选项代入即可判断.【详解】()221fxx

ax=++，由题意可得12,xx是方程()0fx=的两个根，所以21121xax=−−，22221xax=−−，对于A，22440,1aa=−，A错误；因此()()32211111111112133fxxaxxxaxaxx=++=−−++()2211111

12122121(1)333333axxaaxxaxa=+=−−+=−−同理()22221(1)33fxaxa=−−.因此直线l方程为：221(1)33yaxa=−−.设l与x轴的交点为()0,0x得022(1)axa=−，由题设知，点

()0,0x在曲线()yfx=上，故()00fx=.对于B，当62a=时，0222621626x==−−，此时()3206166660232222fxf=−=−+−−=，B正确；对于C，当43a=时，023

2431674x==−−，的此时()320140366666128651777774973749fxf=−=−+−−=−+−=−，C错误；对于D，当32a=时，022

2321353x==−−，此时()3201303333339311155553525105502fxf−+−=−=−+−=−=−，D错误.故选：B【点睛】关键点睛：这道题的关键是求

导后利用12,xx是方程()0fx=的两个根得到21121xax=−−，22221xax=−−，从而得到()21121(1)33fxaxa=−−，()22221(1)33fxaxa=−−，进而可知直线l的方程为：221(1)33yaxa=−−.设l与x轴的交点为()0,0x得022(1)ax

a=−，从而得到()00fx=，从而一一验证各选项即可.8.在ABC中，π6A=，π2B=，1BC=，D为AC中点，若将BCD△沿着直线BD翻折至BCD△，使得四面体CABD−的外接球半径为1，则直线BC与平面ABD所成角的正弦值是（）A.33B.23

C.53D.63【答案】D【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定BCD△为等边三角形，利用正弦定理可确定ABD△外接圆半径，由此可知ABD△外接圆圆心O即为四面体CABD−外接球球心，由球的性质可知OG⊥平面BCD，利用COBDOCBDVV−−=可求得点C到平面ABD

的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】π6A=，π2B=，1BC=，2AC=，又D为AC中点，1ADCDBD===，则1BCCDBD===，即BCD△为等边三角形，设BCD△的外接圆圆心为G，ABD△的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接,,,,,CHOHO

GOBOCOD，π6A=，1BD=，112sinBDOBA==，即ABD△外接圆半径为1，又四面体CABD−的外接球半径为1，O为四面体CABD−外接球的球心，由球的性质可知：OG⊥平面BCD，又CH平面BCD，OGCH

⊥，22221313323CGCH==−=，1OC=，16133OG=−=；设点C到平面ABD的距离为d，由COBDOCBDVV−−=得：1133OBDCBDSdSOG=，又OBD与CBD均为

边长为1的等边三角形，63dOG==，直线BC与平面ABD所成角的正弦值为63dBC=.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的

方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.给出以下四个说法，正确的有（）A.如果由一组样本数据()()()1122

,,,,,,nnxyxyxy得到的经验回归方程是ˆˆˆybxa=+，那么经验回归直线至少经过点()()()1122,,,,,,nnxyxyxy中的一个B.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C.在回归分

析中，用决定系数2R来比较两个模型拟合效果，2R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好D.设两个变量,xy之间的线性相关系数为r，则1r=的充要条件是成对数据构成的点都在经验回归直线上【答案】BCD【解析】【分析】利用回归分析的相关定义对各个选项逐一分析判断即可得到结果.

【详解】选项A，因为经验回归方程ˆˆˆybxa=+必过样本点的中心，非样本点，故选项A错误；选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B正确；选项C，因为决定系数2R越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，即模型的拟合效果越好，故

选项C正确；选项D，因为两个变量,xy之间的线性相关系数为r的绝对值越大，数据就越集中在回归方程附近，当1r=时，点就在直线上了，所以选项D正确.故选：BCD.10.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,,MN分别是棱11,BCCD的中点，E是棱AB上的一动点，则（）A.存在点E，

使得1AEMN∥B.对任意的点1,ENEBC⊥C.存在点E，使得直线NE与平面ABCD所成角的大小是π6D.对任意的点E，三棱锥1CEMN−的体积是定值【答案】BD【解析】【分析】以D为原点，以1,,

DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设()1,,0,01Ett，令1AEMN=，求解即可判断A；验证10NEBC=即可判断B；平面ABCD的法向量为()10,0,1DD=,11,,12NEt=−−,由题意111sπ,incos6DDNEDDNE

DDNE==,求解即可判断C；可证得AB平面1CMN，则E到平面1CMN的距离与B到平面1CMN的距离相等且为定值，结合111CEMNECMNBCMNVVV−−−==即可判断D.【详解】以D为原点，以1,,D

ADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图，()111,1,0,0,,1,1,0,1,22MNA设()1,,0,01Ett，则()111,,1,0,,122MNAEt=−−=−,令1AEMN=，则102121t=−=−

=，此方程组无解，故A错误；()()11,1,1,0,1,0BC,则()11,0,1BC=−−,又11,,12NEt=−−,则()()()111101102NEBCt=−+−+−−=,则1NE

BC⊥,故B正确；平面ABCD的法向量为()10,0,1DD=,11,,12NEt=−−,由题意21111sinc,os122π6DDNEDDNEDDEtN===+−,即2122t−=，解得122t=，均与01t矛盾，故C错误；1AB

NC∥,AB平面1CMN，1NC平面1CMN，则AB平面1CMN，则E到平面1CMN的距离与B到平面1CMN的距离相等且为定值，设为d，又1CMNS△为定值，则111113CEMNECMNBCMNC

MNSdVVV−−−===△为定值，故D正确.故选：BD.11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究士星及其卫星的远行规律时发现的.在平面直角坐标系xOy中，设(),Pxy到()1,0A−与()10B,两点的距

离之积为2的点的轨迹为曲线C，则（）A.1x„B.曲线关于原点对称C.曲线围成的面积不大于7D.曲线C上任意两点之间的距离不大于3【答案】BC【解析】【分析】根据定义得到曲线C的方程，根据方程求x和y的取值范围，验证选项AC，由方程的对称性判断选项B，特殊值法验证选项D.【

详解】设(),Pxy，则()()2222112xyxy++−+=，4422222223xyxyxy++−+=，()()222222243xyxyx+++=+，化简()2222144xyx++=+，所以222211xyx+=+−，对

于A，()2222110yxx=+−+，所以214x+，得33x−，A选项错误；对于B，曲线方程()2222144xyx++=+，显然若(),xy在曲线上，则(),xy−−也在曲线上，曲线关于原点对

称，B选项正确；对于C，()222211yxx=+−+，令211,2tx=+，则2220,1ytt=−，1y，所以曲线围成的面积4437Sxy，C选项正确；对于D，当0y=时，3x=，此时两点距离为233，D选项错误.故选：BC12.已知,Rxy,若()(

)eln1,2lnlnln1xxxxyyy++=+=,其中e2.71828=是自然对数的底数,则（）A.01xB.2xy=C.1yx−D.32yx−【答案】ACD【解析】【分析】由()eln1xxxx++=得1ln1elnexxxx+=+,由()2l

nlnln1yyy+=得()()1lnlnln1elnlnelnyyyy+=+,构造函数()exfxx=+,易知函数()exfxx=+为R上的增函数,可得1lnxx=,1lnyy=,对于A,依据零点

存在性定理判断;对于B,依据条件进行判断即可;对于C,利用当0x时,e1xx+判断即可;对于D,利用1yxxx−=−在1,12x上的单调性判断即可.【详解】由()eln1xxxx++=得1ln111elnlnexxxxxx+=+=+,①由()2lnlnln1yy

y+=得()11lnlnlnlnyyyy+=+,即()()1lnlnln1elnlnelnyyyy+=+,②令()exfxx=+,易知函数()exfxx=+为R上的增函数,又①式化为:()1lnfxfx=,所以1lnxx

=,②式化为:()()1lnlnlnffyy=,所以1lnyy=,对于A,令1lnlnyxxxx=−=+,根据函数单调性的性质,函数lnyxx=+在()0,+上为增函数,当12x=时,11

1eelnln2lnln022224y=+=−==;当1x=时,10y=,则由零点存在性定理可知01x,故A正确;对于B,因为1lnxx=,1lnyy=,所以1xy=,则1xy=,故B错误;对于C,设(

)()e10xxgxx−−=,则()'e1xgx=−,当0x时,()'0gx,则函数()gx在()0,+上为增函数,所以函数()()e100xgxxg=−−=,即()e10xxx+,所以1

e11xyxxxxxx−=−=−+−=,故C正确;对于D,由A知,1,12x,1yxxx−=−在1,12x上递减,当12x=时,132xx−=,故D正确.故选：ACD.【点睛】将()eln1xxxx

++=转化为1ln1elnexxxx+=+,()2lnlnln1yyy+=转化为()()1lnlnln1elnlnelnyyyy+=+,构造函数()exfxx=+,利用单调性得到1lnxx=，1lnyy=是解本题的关键.三､填空

题：本题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一空2分，第二空3分.13.已知,abR，若1i+是关于x的实系数方程20xaxb++=的一个根，其中i是虚数单位，则ab+=___________.【答案】0【解析】【分析】根据实系数方程的复数根的特征可确定方程两根，利用韦

达定理可构造方程组求得,ab，由此可得结果.【详解】1i+是关于x的实系数方程20xaxb++=的一个根，1i−是另一个根，()()1i1i21i1iab−=++−==+−，解得：22ab=−=，0ab+=.故答案为：0.14.已知5

1(1)xaxx++所有项的系数的和为64，展开式中3x项的系数为___________.【答案】15【解析】【分析】令1x=，代入已知关系式即可求出a的值，然后再求出5(1)x+的展开式的通项公式，分别求出含2x，4x项的系数，由此即可求解．【详解】解：令1x=得，52(1

)64a+=，解得1a=，则5(1)x+的展开式的通项为515rrrTCx−+=，分别取52r-=与54−=r，得3r=，1r=，所以5(1)x+的展开式中含有2x的项的系数为35C，含有4x的项的系数为15C，所以展开式中3x项的系数

为315515CC+=，故答案为：15．15.已知圆221:(1)1Cxy++=在椭圆22222:1(0)xyCabab+=的内部，A为2C上的一个动点，过A作1C的一条切线，交2C于另一点B，切点为D，若当D为AB的中点时，直线1CD的倾斜角恰

好为2π3，则该椭圆2C的离心率e=___________.【答案】63【解析】【分析】根据直线1CD的倾斜角结合圆的方程确定切点D的坐标为33,22−或13,22−−，分别求解AB方程，代入椭圆后，利用D为AB的中点确定,ab关系，即可求

得椭圆离心率.【详解】如图，的圆221:(1)1Cxy++=的圆心为()11,0C−，半径1r=因为直线1CD的倾斜角为2π3，所以直线1CD方程为()31yx=−+，即33yx=−−所以()223311yxxy=−−++=，解得3232xy=−

=或1232xy=−=−，所以切点D的坐标为33,22−或13,22−−又直线AB与圆相切，所以1ABCD⊥，则33ABk=①当33,22D−，则直线AB为333232yx−

=+，即333yx=+，设()()1122,,,AxyBxy，所以()22222222222136930333xyabbaxaxaabyx+=+++−==+，0恒成立所以2122263axxba−+=+，因为D为AB的中点，所以2122233

232xxaba+−==−+，即223ab=所以椭圆2C的离心率2222161133ccbeaaa===−=−=；②当13,22D−−，则直线AB为331232yx+=+，即3333yx=−，设()

()3344,,,AxyBxy，所以()22222222222132303333xyabbaxaxaabyx+=+−+−==−，0恒成立所以2342223axxba+=+，因为D为AB的中点，所以2342

21232xxaba+==−+，即22ab=−（舍）；综上，椭圆2C的离心率63e=.故答案为：63.16.某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2：第二行得到数列1,2,2：第

三行得到数列1,2,2,4,2,，则第5行从左数起第8个数的值为___________；nA表示第n行所有项的乘积，设2lognnBA=，则7B=___________.【答案】①.8②.365【解析】【分析】空1：直接写出第5行的数

列，即可解决；空2：首先归纳出nA，进而可以求得数列nB的通项公式，即可得解得.详解】空1：由题意可得：第5行得到数列1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2，所以第5行从左数起第8个数的值为8

；空2：根据题意可得：00112135133123122,12222,1224222AAA+++========，012141333412242848222A+++===，01231333341512242848216832432816222A++++=

==，总结可得()11012133111333132222,2nnnnAn−−−−++++++−===，所以1311222loglog3122nnnnBA−+−+===，可得67313652B+==.故答案为：8；365.

【【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，1π,2,3,3DABABBCAAE====在棱BC上，满足:1:2,BEECF=在

棱1AA上，满足1AFAA=.（1）当13=时，证明：AE//平面1BCF；（2）若平面1BCF与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为25，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）12=【解析】【分析】（1）法1：在棱1BC上取G，使得1:1:

2BGGC=，连接,GFGE，利用线面平行的判定定理证明即可；法2：在棱1CC上取G，使得1:2:1CGGC=，连接,AGEG，利用面面平行的性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求解平面1BCF与平面ABCD的法向量，利用向量夹角余弦公式列方程求解即可的值.【小问1详解】证明：方法1：在棱

1BC上取G，使得1:1:2BGGC=，连接,GFGE.因为:1:2BEEC=，所以1EGCC，且113EGCC=.当13=时，113AFAA=，则1AFCC，且113AFCC=，所以//,AFEGAFEG=，所以四边形AEGF是平行四边形，所以//

AEFG.又因为FG平面1,BECAE平面1BCF，所以AE//平面1BCF.方法2：在棱1CC上取G，使得1:2:1CGGC=，连接,AGEG.因为:1:2BEEC=，所以1//EGBC又EG平面1BCF，

1BC平面1BCF，所以EG//平面1BCF.又因为1AFGC=，且1//AFGC，所以四边形1AFCG是平行四边形，所以1//AGFC，又AG平面1BCF，1FC平面1BCF，从而AG//平面1BCF.因为,,AGEGGA

GEG=平面AEG，所以平面AEG//平面1BCF，因为AE平面AEG所以AE//平面1BCF.【小问2详解】取AB的中点M，则DMDC⊥.分别以射线1,,DMDCDD为,,xyz轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()13,1,0,0,2,3BC，所以()13,1,3BC

=−.因为1AFAA=，所以()3,1,3F−，所以()0,2,3BF=−.设(),,mxyz=是平面1BCF的法向量，则1330230mBCxyzmBFyz=−++==−+=，可取()323,3,2m=+.不难得到：平面ABC

D的一个法向量为()0,0,1n=.所以2222cos,53(2)941mnmnmn===+++，化简得：24430+−=，解得12=，或32=−.因为01≤≤，所以12=.18.在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，且满足()

()3abcabcab+++−=.（1）求角C的大小；（2）若ABC是锐角三角形，求2abc+的取值范围.【答案】（1）π3（2）43221,33【解析】【分析】（1）将已知等式配凑成cosC的形式，由此可得C；（2）根据锐角三角形的特征可求得A的范围；利用正弦定理边

化角，结合三角恒等变换知识可化简得到()2221sin3abAc+=+，结合A的范围可确定最值，由此可得结果.【小问1详解】由()()3abcabcab+++−=得：()223abcab+−=，22

2abcab+−=，则2221cos22abcCab+−==，又π0,2C，π3C=.【小问2详解】ABC是锐角三角形，π3C=，π022ππ032ABA=−，

解得：ππ62A；由正弦定理得：()2sin2sin23π23sin2sin2sin3cossin333abABAAAAcC++==++=+()221sin3A=+（其中3tan2=，π04）；当π2A+=时，max22213abc+=；当π6A

=时，()223233532sin3cos13323abAAc+=+=+=；当π2A=时，()2232343532sin3cos23333abAAc+=+==；2abc+的取值范围为43221,33.

19.已知等差数列na前n项的和为nA，且123aa+=，515A=，数列nb满足()()*11nnnbann=+−N.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nB，集合100Pnn=且100,nBnN，求P中所有元素的和S.的【答

案】（1）nan=（2）2520S=【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据已知条件可得出关于1a、d的方程组，解出这两个量的值，即可得出等差数列na的通项公式；（2）计算得出2210nnbb++=且10b=，可

知1、3、5、L、99都是集合P中的元素，计算出2224nBnn=+，由224100nn+可知2、4、6、8都是集合P中的元素，由此可得出S的值.【小问1详解】解：设等差数列na的公差为d，则12123aaad+=+=，①又5115455101

52Aadad=+=+=，可得123ad+=，②联立①②解得11ad==，所以()11naandn=+−=.【小问2详解】解：()()2111nnnnbannn=+−=+−，所以()()222212421210nnbbnnnn++=+++−+=.因为10b=，所以210nB

−=，故1、3、5、L、99都是集合P中的元素.又2221224nnnBBbnn−=+=+，则由224100nn+得4n.所以2、4、6、8都是集合P中的元素.综上所述：()()()199501359924682025202S+=++++++++=+

=.20.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛.每位参赛学生答题若干次，答题赋分的方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每

次答对的概率为45，各次答题结果互不影响.（1）求甲同学前3次答题得分之和为70分的概率；（2）在甲同学完成5次答题，且第2次答题答对的条件下，求答题得分之和不大于90分的概率；（3）记甲同学第i次答题所得分数()*iXiN的数学期望为()iEX，求()1EX，并写出()iEX

与()1iEX+满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）.【答案】（1）32125（2）17625（3）()118EX=，()()()1825iiEXEXi+=+N【解析】【分析】（1）分析可知甲前3答题的正误结果分别为：对对错，错对对，再利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概

率；（2）记事件:A甲同学完成5次答题，第2次答题答对，记事件:B甲同学完成5次答题，答题得分之和不大于90分，计算出()PAB、()PA的值，利用条件概率公式可求得()PBA的值；（3）分析可知1X可能取值有10、20，求出1X在不同取值下的概率，可求得()1EX的值；分析第()1ii

+N答对、答错，可得出()1iEX+与()()iEXiN的关系式.【小问1详解】解：若甲同学前3次答题得分之和为70分，则甲前3答题的正误结果分别为：对对错，错对对，所以所求概率为()2413270255125PX===

.【小问2详解】解：记事件:A甲同学完成5次答题，第2次答题答对，记事件:B甲同学完成5次答题，答题得分之和不大于90分，在甲同学完成5次答题，且在第2次答题答对的条件下，答题得分之和不大于90分的情形有以下5种：错对错错错，对对错错

错，错对对错错，错对错对错，错对错错对，所以，()432141468455553125PAB=+=，()45PA=，由条件概率公式可得()()()6851731254625PABPBAPA===.【小问3详解】的解：

1X的取值可以是10、20，且()11105PX==，()14205PX==，所以()14120101855EX=+=.若第1i+次甲答对，则甲的得分为()2iEX；若第1i+次甲答错，则甲的得分为10分.所以，()()()()14182102555iiiEXEXEXi

+=+=+N.21.已知()()1,0,1,0AB−，直线,AMBM相交于M，且直线,AMBM的斜率之积为2.（1）求动点M的轨迹方程；（2）设,PQ是点M轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧，直线,APBQ在y轴上的截距之

比为1:2，求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）()22112yxx−=；（2）证明见解析，定点()3,0.【解析】【分析】（1）设出点M的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列

出方程化简作答.（2）设出直线,APBQ在y轴上的截距，求出直线,APBQ方程，并分别与M的轨迹方程联立求出点P，Q的坐标，再求出直线PQ的方程作答.【小问1详解】设(,)(1)Mxyx，则直线AM的斜率是11ykx=+，直线BM

的斜率是21ykx=−，所以12211yykkxx==+−，化简整理得：()22112yxx−=，所以动点M的轨迹方程是()22112yxx−=.【小问2详解】设直线AP在y轴上的截距为t，则直线BQ在y轴上的截距为2t，显然0t，直线AP的方程为11xyt+=−，即(

1)ytx=+，直线BQ的方程为112xyt+=，即2(1)ytx=−−，又双曲线2212yx−=的渐近线方程为2yx=，显然直线AP与双曲线两支各交于一点，直线BQ与双曲线右支交于两点，则有||2t，且2||2t，于是2||22t，由()22112ytx

yx=+−=消去y化简整理得：()()22222220txtxt−+++=，设点(,)PPPxy，则()22212Ptxt+−=−，解得2222Ptxt+=−−，有22224122Pttyttt+=−+=−−−

，由()2221,12ytxyx=−−−=消去y化简整理得：()()2222214210txtxt−−++=，设点(,)QQPxy，则2221121Qtxt+=−，解得222121Qtxt+=−，有222214212121Qttyttt+=−−=−

−−，2222422(21221221)(2)41)(QPtxttxtttt+++−−−−=−−=，222224421221)(2)4(1)(QPttytttttty−+−−=+=−−−，于是22224(1)(1,)21)(2)(PtttQtt+−−=−，设直线PQ上任

意一点(),Rxy，则2222(4,)22ttxytPRt+++=−−，显然//PRPQ，因此2222(2)(12)4)(2ttttxytt++=−+−−，即222242()221ttxttytt+=+−−−−，整理得213txyt−=+，显然直线213txyt−=+恒过定点(3,0

)，所以直线PQ经过定点()3,0.【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.22.已知过点(),Pab可以作曲线()()exfxkxk=+R的

两条切线，切点分别为A、B，线段AB的中点坐标为()00,xy，其中e2.71828=是自然对数的底数.（1）若0a=，证明：01b；（2）若0k，证明：()()000xayb−−【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设()

111,exAxkx+、()222,exBxkx+，利用导数求出曲线()yfx=在点A、B处的切线方程，分析可知当0a=时，方程()1exbx=−有两个不等的实根，设()()1exFxx=−，则直线yb=与函数()Fx的图象有两个

交点，利用导数分析函数()Fx的单调性与极值，数形结合可得出实数b的取值范围；（2）由（1）可得()()2112211e1eeexxxxxxa−−−=−，设210txx=−，则21eeexxt=，可得出1e1e1tttax

=−+−，计算出0x、0y，利用导数分别证明出00ax−、00yb−，结合不等式的基本性质可证得结论成立.【小问1详解】证明：函数()exfxkx=+的导函数为()exfxk=+.设()111,exAxkx+、()

222,exBxkx+，则曲线()fx在A处的切线方程为()()111e1exxykxx=++−.因为切线过点(),Pab，所以()()111e1exxbkax=++−，①同理可得()()222e1exxbkax=++−，②所以1x、2x是方程()(

)e1exxbkax=++−的两个不等实根.当0a=时，()1exbx=−，设()()1exFxx=−，则直线yb=与函数()Fx的图象有两个交点，()exFxx=−，当0x时，()0Fx，此时()Fx递增；当0x时，()0Fx，此时()Fx递减.所以，函数()F

x的极大值为()01F=，当1x时，()()01exFxx=−；当1x时，()()01exFxx=−，如下图所示：由图可知，当01b时，直线yb=与函数()Fx的图象有两个交点，综上所述，01b.【小问2详解】证明：由①②可知，()()()()112212e1ee1exxxxk

axkax++−=++−，于是()()2112211e1eeexxxxxxa−−−=−，不妨设210txx=−，则21eeexxt=，则()()1111e1e11ee1ttttxtxtax−−−−==−+−−.又120122xxtx

x+==+，所以()0e221e1e1222e1ttttttttaxt+−−=−+=+−+−.设()2e12ttgtt−=++，其中0t，则()()22e02ttgtt=+，所以()gt在区间()0,+上

是增函数，所以当0t时，()()00gtg=，即当0t时，2e102ttt−++.（*）而20e1tt+−，所以00ax−.又由()()111e1exxbkax=++−和1e11etttax=−−−，得()()111111e

eee11ee1e1e1e1tttxxxttttttbkxxkx=+−++−=+−+−−−.而()()()112121201e1eee2222xxxtkxxyytykx+++++===++.所以()101eee1e2e12e1tttxtt

tttybk+−=+−+−−−()()()()12e2e122e1e22e12e1tttxtttttkt−−+−=−+++−−，一方面，由（*）可知，当0t时

，2e102ttt−++，结合0k可知，()k−.()22e1022e1ttttt+−++−另一方面，设()()2e2e1tthtt=−−，0t，则()()()()22e21e2ee1tttthttt=−+=−−，令()e1tptt=−−，其中0t，则()e10tpt

=−，所以，函数()pt在()0,+上为增函数，故当0t时，()()e100tpttp=−−=，即e1tt+，所以当0t时，()0ht，所以()ht在区间()0,+上是增函数，所以当0t时，()()00hth=，即当0t时，(

)2e2e10ttt−−，所以()()12e2e1e02e1ttxtt−−−.故()()()()120e2122e1e022e12e1ttxttttettybkt−−+−−=−+++−−，即00yb−.综上所述，()()000xayb−−.【点睛】方法点睛：利用导数解决

函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的

应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0fx=分离变量得出()agx=，将问题等价转化为直线ya=与函数()ygx=的图象的交点问题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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