【文档说明】湖南省永州市第八中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，4.297 MB，由小赞的店铺上传

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2024年8月永州八中初升高入学考试试卷数学（考试时间:120分钟试卷满分:120分）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写

在本试卷上无效.3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题

卡上将该项涂黑）1.2024的相反数是（）A.12024B.12024−C.2024−D.2024【答案】C【解析】【分析】利用相反数的意义求解即得.【详解】2024的相反数是2024−.故选：C2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称的定义

易得.【详解】根据轴对称的定义，易判断A,B,C中的图形都不能关于某条直线对称，而D项图形显然有一条对称轴，如图.故选：D.3.2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%.将数17.85亿

用科学记数法表示为（）A.817.8510B.91.78510C.81.78510D.6178510【答案】B【解析】【分析】根据科学记数法的要求，将数写成10,110,Znaan的形式即可.【详

解】因17.85亿917850000001.78510==.故选：B.4.下列运算正确的是（）A.523aaa=B.236236aaa?C.235aa（）=D.222()abab+=+【答案】A【解析】【分析】利用幂的运算法则和乘法公式，逐一判断即得.【详解】对于A，利用同底数幂的除法法

则易得，52523aaaa−==，故A正确；对于B，由同底数幂的乘法法则，232352366aaaa+==，故B错误；对于C，由幂的乘方法则，26233aaa==（），故C错误；对于D，因222()2abaabb+=++，故D错误.故选：

A.5.如图，DE是∠BDC的平分线，若ABCD∥，135=，则∠2=（）A.17.5B.35C.55D.70【答案】D【解析】【分析】根据角平分线性质以及平行线被第三条直线所截得同位角相等的性质，即可求得答案.【详解】因为DE是∠BDC的平分线，故

CDEBDE=，由135=，ABCD∥，得135CDE==，故35=BDE，则70BDC=，又ABCD∥，故270BDC==，故选：D6.如图，在△ABC中，90C=∠，以A为圆心，任意长为半轻画弧，分别交AC，AB于点M，

N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E.已如3,6CEAB==，AEB的面积为（）A.6B.9C.12D.18【答案】B【解析】【分析】根据角平分线性质结合三角形面积公式，即可求得答案.【详解】由题意可知AE平分BAC，作EFAB⊥于F点

，结合90C=∠，则3EFCE==，又6AB=，故AEB的面积为1163922ABEF==，故选：B7.古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（）A.

中位数为1B.从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C.众数是1D.平均数为83【答案】A【解析】【分析】根据一组数据中位数、众数和平均数定义求解即得，对于B项，根据这组数据中奇数所占的比例易得.【详解】对

于A，将这组数据从小到大顺序为：1,1,1,4,4,5，则中位数为142.52+=，故A错误；对于B，因1，1，4，5，1，4中有4个奇数，2个偶数，故从中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大，B正确；对于C，因在1，1，4，5，1，4中，1出现了3次，次数最

多，故众数为1，故C正确；对于D，在1，1，4，5，1，4中，平均数为18(111445)63+++++=，故D正确.故选：A.8.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三

首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（）A.12B.13C.23D.1【答案】B【解析】【分析】根据古典概型概率公式进行计算，即可求得答案.【详解】从三首歌曲

中选择两首进行排练，共有《在希望的田野上》《我和我的祖国》，《在希望的田野上》《十送红军》以及《我和我的祖国》《十送红军》3种情况，的的的恰好选中前面两首歌曲的情况只有一种，故恰好选中前面两首歌曲的概率是13，故选

：B9.如图，在矩形ABCD中，4=AD.对角线AC与BD相交于点O，AEBD⊥，垂足为E，3DEBE=，则AE的长为（）A.23B.√3C.32D.2【答案】D【解析】【分析】由题设和矩形的性质推出ABO是等边三

角形，得到30ADB=，在RtADE中即可求得AE的长.【详解】∵3DEBE=，∴4BDBE=，∵四边形ABCD是矩形，122BODOBDBE===，∴BEEO=，又∵AEBD⊥，∴ABAO=，∴ABAOBO==，∴ABO是等边

三角形，∴60ABO=，∴30ADB=，又∵AEBD⊥，∴122AEAD==.故选：D.10.若三条长度分别为,,abc线段能构成三角形，我们就把(),,abc称为三角数组，已知(),,pqr是三角数组，则下列说法正确的是（）

①(),,pqr一定是三角数组；②(),,pqr不一定是三角数组；③()222,,pqr一定是三角数组；④()222,,pqr不一定是三角数组；A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B【解析】的【分

析】由三角数组的定义逐个判断求解即可.【详解】∵(),,pqr是三角数组，∴可设0pqr，且pqr+，∴pqr∵()22pqpqpqpqr+=+++∴pqr+∴(),,pqr一定是三角数组，故①正确，②错误；令2,3,4pqr

===，则(),,pqr即()2,3,4是三角数组，∵22223134+=，∴()2222,3,4不是三角数组，∴(),,pqr是三角数组时，()222,,pqr不一定是三角数组，故③错误，④正确．故选：B第II卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）11.若式子4x−在实数范围内

有意义，则x的取值范围是__________【答案】4x【解析】【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，解不等式即得.【详解】要使式子4x−在实数范围内有意义，需使40x−，即x的取值范围是4x.故答案为：4x.12

.分解因式：234mnn−=___________.【答案】()()22nmnmn+−【解析】【分析】提取公因式利用平方差公式分解因式即可.【详解】()()()23224422mnnnmnnmnmn−=−=+−.故答案为：()()

22nmnmn+−【点睛】本题主要考查了因式分解的方法,属于基础题.13.不等式组312210xxx+−+的解集是__________【答案】512x−【解析】【分析】分别解出312xx+−和210x+的解集，即可求得答案.【详解】解312xx+−，得5x；解2

10x+，得21x−，故不等式组312210xxx+−+的解集是512x−，故答案为：512x−14.若关于x的分式方程2322xmxx−=−−有增根，则m的值是_________.【答案】1【解析】【分析

】将2322xmxx−=−−整理为2620xm-+=，其有增根2x=，代入可得1m=.【详解】由2322xmxx−=−−得()322xxm−−=，即2620xm-+=由题意可知方程2620xm-+=的根为2x=，代入可得22620m?+=，即1m=，故答案为：115.设,ab

是方程220240xx+−=的两个实数根，则22aab++的值为_________【答案】2023【解析】【分析】利用一元二次方程的根的定义和韦达定理化简计算即得.【详解】因,ab是方程220240xx+−=的两个实数根，则有220240aa+−=，即22024aa=−+

，由韦达定理得，1ab+=−，则222024220242023aabaabab++=−+++=++=.故答案为：2023.16.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cosACB的值是_______【

答案】55【解析】【分析】利用圆周角定理和勾股定理求解即可.【详解】如图，连接BO并延长交⊙O于D，则BD为直径，由圆周角定理得：,90ADBACBDAB==，由勾股定理可得：224225BD=+=2AD=25coscos525ADACBADBBD====.故答

案为：5517.如图，反比例函数kyx=的图象经过ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BDDC⊥，ABCD的面积为16，则k=____【答案】−8【解析】【分析】过点P做PEy⊥轴于点E．利用矩形性

质推出四边形PDOE为矩形，面积为8，结合点P在反比例函数图象上，即可得答案.【详解】如图，过点P做PEy⊥轴于点E．∵四边形ABCD为平行四边形，∴,//ABCDABCD=，则ABx∥轴，故ABAO⊥又∵BDx⊥轴，∴ABD

O为矩形，∴ABDO=，∴16ABCDABDOSS==矩形，∵P为平行四边形ABCD对角线交点，则P为BD的中点，而PEy⊥轴，则E为AO的中点，∴四边形PDOE为矩形，面积为8，即8DOEO=，∴设P点坐标为(),x

y，P在反比例函数kyx=的图象上，故8kxy==−．故答案为：−818.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边,中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”

.观察下列勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；....这类勾股数的特点是:勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如:6，8，10；8，15，17；...若此类勾股数的勾为

10，则其弦是_______________【答案】26【解析】【分析】依题意，设股为x，由勾股定理得到方程，求解即得.【详解】依题意，当勾股数的勾为10时，设股为x，则弦为2x+，由勾股定理，221

00(2)xx+=+，解得，24x=，则其弦为26.故答案为：26.三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）19.计算:201122si

n45()20242−−−+−【答案】2【解析】【分析】利用绝对值定义，特殊角的三角函数值和幂的运算性质计算即得.【详解】201122sin45()20242−−−+−221212112()2=−−+−=21

241−−+−=220.先化简，后计算:22344(1)1aaaaa+++−−，其中a是满足条件2a的合适的非负整数.【答案】2aa+；12【解析】【分析】利用分式的加减乘除运算，结合乘法公式化简得所求式为2aa+，再根据所求

式有意义推得2a=，代入计算即得.【详解】由题意可得：22344(1)1aaaaa+++−−22(1)1(2)aaaaa+−=−+2aa=+因为10,a−0,a且20a+，又因为a是满足条件2a的合适的非负整数.故2

a=，而此时原式等于12.21.如图1是某商场的入口，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点,,PAC在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直（90ACB=），3BC=米，

支撑杆DEAB⊥于点E，BDE=且2sin5=，从点B观测点D的仰角为45°，又测得4BE=米.（1）求该支架的边BD的长；（2）求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF（结果保留根号）【答案】（1）10

米；（2）(523)+米．【解析】【分析】（1）在直角三角形中，利用三角函数的定义即可计算求得；（2）先在RtDBG△中求出DG长，再由矩形GFCB得到GF长，合并即得DF的长.【小问1详解】∵DEAB⊥，∴DBE是直角三角形，在RtDBE中，2sin5BEDB==∵4BE=，∴10

BD=，即该支架的边BD的长为10米；【小问2详解】由题意可得，BGDF⊥，在RtDBG△中45DBG=，且10BD=，由sinsin45,DGDBGDB==可得2102DG=,解得：52DG=，在矩形GFCB中，3GFBC=

=，∴(523)DFDGGF=+=+米．22.4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图（1）n=，补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“7080−”这组的扇形圆心

角为（3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数.【答案】（1）50，答案见解析（2）72（3）672（名）【解析】【分析】（1）根据扇形图和频数分布直方图中相关数据占比求出50n=和90～100的学生数，即可补全频数分布直

方图；（2）由“7080−”这组的频数所占的比率乘以360即得；（3）由频数分布直方图求出80分以上所占的比率乘以1200即得.【小问1详解】本次调查共抽测了1224%50=名学生，即50n=,90～100的学生有：5048101

216−−−−=（人），补全的频数分布直方图如图所示：【小问2详解】“7080−“这一组所对应的扇形圆心角的度数是103607250=；【小问3详解】估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学

生人数为1216120067250+=名．23.为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐.近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售

价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元.（1）问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元?（2）某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过

3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大?最大总利润为多少元?葡萄品种A品种B品种每包中葡萄重量（千克）12售价（元/包）1820每个包装盒的成本（元）32【答案】（1）12元，8元；（2）100包，最大总利润为600元【解

析】【分析】（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据“A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．”列方程组并解方程组即可；（2）设

包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄4002m−包，设总利润为w元，列不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【小问1详解】设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，

根据题意，得24344xyxy=−=+，解得128xy==答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元；【小问2详解】设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄4002m−包，设总利润为w元

则()128400360080mmm+−解得80100m，总利润()()4001831122022824002mwmm−=−−−−−=+∵20，∴w随着m的增大而增大，∵80100m，∴当100m=时，得到最大值240

0600wm=+=，∴当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为600元24.如图，已知O的内接锐角三角形ABC中，,,ABC所对的边分别记作,,abc.（1）如图①，若在直径BD的延长线上取一点E，使ECD

DBC=，求证:CE是O的切线；（2）如图①，在（1）的条件下，若5CE=，:1:4EDBD=，求DC的长度;（3）如图②，若设O的半径为R，求证：2sinsinsinabcRABC===.【答案】（

1）证明见解析（2）263（3）证明见解析【解析】【分析】(1)利用直径所对圆周角是90,利用三角形相似,结合角之间得关系可得90OCEBCD==,可证CE是O的切线.(2)利用三角形相似得到边长之间的关系,在RtBCD中，由

勾股定理可得DC满足的关系,解方程即可得DC的长度.(3)过圆心作直径,利用直径所对圆周角是90,同弧所对圆周角相等,根据直角三角形中正弦的定义,即可证明.【小问1详解】如图，连接OC,BDQ是直径，90BCD=，,ECDEBCCEDBEC==，CEDBEC，C

DEBCE=，即BCDOBCOCBOCE+=+，,OBOCOCBOBC==，90OCEBCD==，即OCCE⊥，OC是半径，CE是O的切线.【小问2详解】设DEa=，则4,5BDaBEa==，~CEDBEC，CDCEDEBCBECE==，即555

CDaBCa==，解得1a=，1a=−（舍去），54,5CDBDBC==，5BCCD=，在RtBCD中，由勾股定理得222BCCDBD+=，即222(5)4CDCD+=，解得2626,33CDCD==−（舍去），D

C得长度为263；【小问3详解】如图，连接BO并延长交O于D，连接CD，则90BCD=，BCBC=，AD=，sinsin2BCaADBDR===，即2sinaRA=，连接CO并延长交O于E，连接AE，则90CAE=，同理可得sinsin2ACbABCECER

===，即2sinbRB=，连接AO并延长交O于F，连接BF，则90ABF=，同理可得sinsin2ABcACBFAFR===，即2sincRC=，2sinsinsinabcRABC===.25.定义:有一组邻边相等且对角互补的

四边形称为“等补四边形”.（1）下列选项中一定是“等补四边形”的是A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形（2）如图1，在边长为a的正方形ABCD中，E为CD边上一动点（E不与C、D重合），AE交BD于点F，

过F作FHAE⊥交BC于点H.①试判断四边形AFHB是否为“等补四边形"并说明理由；②如图2，连接EH，求CEH△的周长;③若四边形ECHF是“等补四边形”，求CE的长，【答案】（1）C（2）①四边形AFHB是“等补四边形”，理由见解析；②2a；③(22)a−或333a−【解析】【分析】（1）根

据“等补四边形”的规定，易得正方形为“等补四边形”；（2）①通过证明ABFCBF△△得到,AFCFBAFBCF==，再利用圆内接四边形对角互补的性质得到FHCBAF=，从而证得FHFC=，即得AFFH=，说明四边形AFHB是否为“等补四边形”；②通过图形

旋转证明ALEAHE，将HE转化成BHDE+，从而可求出CHE的周长；③由四边形ECHF是“等补四边形”，分成,,,FHEFFECEFHCHCHFH====四种情况，结合图形分别求解CE即可.【小问1详解】在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，故

正方形是等补四边形，故选：C；【小问2详解】①四边形AFHB是否为“等补四边形”，理由如下：如图，连接CF，∵四边形ABCD是正方形，∴,45,ABBCABDCBD===，又∵BFBF=，∴()ABFCBFSAS，∴,AFCFBAFBCF==，∵HFAE⊥，∴90AF

HABH==，∴180BAFBHF+=，又因180BHFFHC+=，则FHCBAF=，故FHCBCF=，∴FHFC=，又AFCF=，故AFFH=；②如图，连接AH，由①知，AFH为等腰直角三角形，则

45HAF=，将ABH围绕点A逆时针旋转到ADL的位置，点H对应点L，则,,ALAHLDBH==，则9045LAELADDAEDAEBAHHAFHAF=+=+=−=−，∵,AHALAEAE==，∴()ALEAHESAS，∴HELELDDEBHDE==+=+，则CHE的

周长为2HECHCEBHDECHCEBCCDa++=+++=+=；③若四边形ECHF是“等补四边形”，因180EFHC+=，则存在,,,FHEFFECEFHCHCHFH====四种情况.（Ⅰ）当CHFH=时，由（1）知，FHAF=，则FHAFCFCH===，则FCHV为等边三角形，

如图,则60FCBFAB==，则30DAE=o，在RtADE中，3tan303DEADa==,则33333CECDADaaa−=−=−=；（Ⅱ）当CEEF=时，∵HEHE=，∴RtRt()EHFEHCHL，∴FHHC=，而FHFC=，∴FCHV为等边三角形，故该情况与FHCH=的情况

相同；（Ⅲ）当FHCE=时，由②知，CEH△的周长为2a，设CHECx==，则2HEx=，则22xxxa++=，解得：(22)CExa==−；（Ⅳ）当EFHF=时，则AFEF=，而当点F是BD的中点时，才存在AFEF=，故这种情况不存在.综上，C

E的长度为：(22)a−或333a−.26.我们定义:对于一个函数，如果自变量x与函数值y，满足:若mxn，则myn（,mn为实数），我们称这个函数在mn→上是同步函数.比如:函数1yx=−+在12−→上是同步函数.理由:12,1,112,xxyy

=−−得12y，∴1yx=−+在12−→上是同步函数.（1）若函数yxb=−+在24→上是同步函数，求b的值；（2）已知反比例函数4yx=在mn→上是同步函数，求mn的值；（3）若抛物线2(0,0)yaxbxcaab=+++在13→上是同步函数，且在13x上的最小值为

4a，设抛物线与直线74y=交于A，B点，与y轴相交于C点.若ABCV的内心为G，外心为M，试求MG的长.【答案】（1）6（2）4（3）5252−【解析】【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性即得b的值；（2）根据反比例函数的增减性可知，xm=时，yn=且xn=时

ym=，求解即得mn的值；（3）根据条件判断抛物线22()24bbyaxcaa=++−在13x上递增，可知1x=时，14ya==，3x=时，3y=.联立求解即得解析式，从而得出点,,ABC的坐标；

设()0,Mt，根据MAMC=，求得点M的坐标，再利用等面积法求出点G的坐标，即可求得MG的长．【小问1详解】函数yxb=−+在24→上是同步函数，且函数yxb=−+是递减函数，又24x，24y，故当2x=时，4y=；当4x=时，2y=；即2442bb−+=−

+=，解得，6b=；【小问2详解】由反比例函数4yx=在mn→上是同步函数，∴mxn，myn，反比例函数4yx=在0x或0x上都是递减的，当xm=时，yn=取最大值，当xn=，ym=取最小值，即44nmmn==，故得4mn=；【小问3详解】

抛物线的顶点式为2224bbyaxcaa=++−，顶点坐标为2,24bbcaa−−，因0a，0ab+，则抛物线的对称轴122bxa=−，故抛物线22()24bbyaxcaa=++−在13x上递增，又抛物线2(0,0)yaxbxcaab=+++在13→上是

同步函数，当1x=时，y取最小值1，当3x=时，y取最大值3.即得，14933abcaabc++==++=，解得，14034abc===，抛物线的函数表达式为21344yx=+，抛物线与直线74y=相交于,AB两点，设7,4AAx

，7,4BBx，假设A点在B点的左侧，由2137444x+=，可得，24x=，解得，2Ax=−，2Bx=，在ABCV中，72,4A−，72,4B，30,4C，4AB=，5AC=，5BC=，因ABCV的外心M在线段AB的垂直平分

线上，则可设()0,Mt，由MAMC=可得，222273(2)()0()44tt−+−=+−，解得，134t=，130,4M，在ABCV中，根据内心的性质，设内心G到各边距离为d，由()17314()2442ABCSABBCCAd=−=++，即(42

5)4d+=，解得，254d=−，∵ABCV是等腰三角形，y轴为ACB的角平分线，内心G在y轴上，()7232542544GAyyd=−=−−=−，230,254G−，132352525442MGMGyy

=−=−−=−．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键首先是求出21344yx=+，再结合外心和内心的性质即可得到答案.