【文档说明】湖北省荆州中学2023-2024学年高三上学期10月半月考试题+数学+含解析.docx，共(11)页，814.677 KB，由小赞的店铺上传

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荆州中学2024届高三数学十月半月考一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知复数12iz=−+（i为虚数单位），则iz=（）A．12i−−B．2i−C．2i−−D．12i+2．设,ab为两条直线，,为两个平面，下列四个命题中，正

确的命题是（）A．若,ab∥，则ab∥B．若,,ab∥∥∥，则ab∥C．若,,abab∥，则∥D．若,,abab∥，则a∥3．函数5sin4yx=−的一条对称

轴为（）A．34x=B．2x=C．3x=D．54x=4．等比数列na的各项均为实数，其前n项和为nS，已知367,63SS==，则7a=（）A．4B．16C．32D．645．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，其中

奇数不相邻，且2不在第二位，则这样的六位数个数为（）A．120种B．108种C．96种D．72种6．已知544558,138，设5813log3,log5,log8abc===，则（）A．bacB．bcaC．abcD．cab7．若曲线l

nyx=与曲线22(0)yxxax=++有公切线，则实数a的取值范围是（）A．(ln21,)−−+B．[ln21,)−−+C．(ln21,)−++D．[ln21,)−++8．已知O为坐标原点，P是椭圆2

222:1(0)xyEabab+=上位于x上方的点，F为右焦点．延长,POPF交椭圆E于,QR两点，,||3||QFFRQFFR⊥=，则椭圆E的离心率为（）A．33B．22C．53D．104二、多选题（本题共4小题，每小题5分

，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．）9．设随机变量12~8,,~8,33XBYB，则下列说法正确的是（）A．,XY服从正态分布B．817(6)3PX=C．()(

),()()EXEYDXDY=D．当且仅当5k=时，()PYk=取最大值10．如图所示，该曲线W是由4个圆：22222222(1)1,(1)1,(1)1,(1)1xyxyxyxy−+=++=++=+−=的一部分所构成，则下列叙述正确的是

（）A．曲线W围成的封闭图形面积为42+B．若圆222(0)xyrr+=与曲线W有8个交点，则22rC．BD与DE的公切线方程为120xy+−−=D．曲线W上的点到直线5210xy+++=的距离的最小值为411．如图，正方体1111ABCDABCD−棱长为1，P是1A

D上的一个动点，下列结论中正确的是（）A．BP的最小值为62B．当P在1AD上运动时，都有11CPBD⊥C．当P在直线1AD上运动时，三棱锥1ABPC−的体积不变D．PAPC+的最小值为22−12．已知双曲线22:11xyCtt−=−的一条渐

近线方程为20xy−=，圆22:2Oxy+=上任意一点P处的切线l交双曲线C于,MN两点，则（）A．2t=B．满足||22MN=的直线l仅有2条C．满足OMON⊥的直线l仅有4条D．||||PMPN为定值2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设

,ab为两个不共线向量，若向量45mab=+与2nab=+共线，则实数=__________．14．以模型ekxyc=去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设lnzy=，其变换后得到线性回归方程0.23zx=+，则c=

__________．15．设Ra，函数2|1|,0,()2,0,xxfxxaxx−=−+若函数()yffx=恰有3个零点，则实数a的取值范围为__________．16．设函数()fx的定义域为(0,)+，对于任意的12xx，当12,(0,)xx+，有()(

)122112xfxxfxxx−−，若(2)3f=，则不等式()1fxx+的解集为__________．四、解答题（本小题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知函数()sinsin3sincos44fxxxxx

=+−+．（1）求6f的值；（2）在ABC△中，若12Af=，求sinsinBC+的最大值．18．（12分）如图，三棱柱111ABCABC−的所有棱长都是2，1AA⊥平面,,ABC

DE分别是1,ACCC的中点．（1）求证：平面BAE⊥⊥平面1ABD；（2）求1AA和平面1ABD所成角的正弦值．19．（12分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛的最上层有1个球，第二层有3个球，第三

层有6个球……设各层球数构成一个数列na．（1）写出na与()*1Nnan+的递推关系，并求数列na的通项公式；（2）记数列nb的前n项和为nS，且3322nnSb=−，在nb与1nb+之间插入n个数，若这2n+个数恰能组成一个

公差为nd的等差数列，求数列nnad的前n项和nT．20．（12分）已知函数2()ln(12)1fxxmxmx=−+−+．（1）若1m=，求()fx的极值；（2）若对任意0,()0xfx恒成立，求

整数m的最小值．21．（12分）某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10

秒内正确回答出下句得0分．（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记

第n次回答的是甲的概率为nP，若11P=．①求23,PP；②正明：数列14nP−为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．22．（12分）已知抛物线2:4Eyx=，过点(1,1)P作斜率互为相反数的直线,mn，分别交抛物线E于,AB及,CD两点．（1）

若3PABP=，求直线AB的方程；（2）求证：CAPBDP=．荆州中学2024届高三数学十月半月考参考答案1-4．CDAD5-8．BCAB9．BC10．ACD11．ABC12．AD13．2.514．3e15．(1,0)−

16．(0,2)17．（1）1（2）3【详解】（1）()sinsin3sincos44fxxxxx=+−+sinsin3sincos424xxxx=+−++sincos3sincos44xxxx=++

+13cos2sin222xx=+sin26x=+，sin21666f=+=5分（2）由题意可知，sin126AfA=+=，而0A可得：62A

+=，即3A=，233sinsinsinsinsincos3sin3226BCBBBBB+=+−=+=+，2510,,sin1366626BBB++，sinsinBC+的最大值为310分18．（1）证明见解析（2）55【详解

】（1）取11AC的中点O，连接1,BOOD，则1111,OBACODAA⊥∥，又因为1AA⊥平面ABC，所以OD⊥平面ABC，则11,,OAODOB两两垂直，2分如图，以O为原点，11,,OAODOB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系

，则1(1,2,0),(0,2,3),(0,2,0),(1,0,0),(1,1,0)ABDAE−，可得11(1,2,0),(1,2,3),(1,0,3),(1,1,3)ADABBABE=−=−=−=−−−，设()()11112222,,,,,nxyznx

yz==分别为平面1ABD和平面BAE的法向量，由11111111120230ADnxyABnxyz=−+==−++=，令11y=，则112,0xz==，可得1(2,1,0)n=是平面1ABD的一个法向量，4分由22222223030BAnxz

BEnxyz=−==−−−=，令21z=，则223,23xy==−，可得2(3,23,1)n=−是平面BAE的一个法向量，6分因为21232300nn=−+=，即12nn⊥，所以平面BAE⊥平面1ABD．7分（2）由（1）可得：11(0,2,0),(2,1,

0)AAn==是平面1ABD的一个法向量，设1AA和平面1ABD所成角为，则11111125sincos,552||nAAnAAnAA=====∣，所以1AA和平面1ABD所成角的正弦值为55．1

2分19．（1）**1(1)(1),N,,N2nnnnnaannan++=++=（2）13(21)34nnnT++−=【详解】（1）由题意可知，1211,3122aaa===+=+，32161233,.,nnaaaan−==++=+=+，所以数列na的一个

递推关系为*1(1),Nnnaann+=++，2分所以当2n时，利用累加法可得()()()121321(1)1232nnnnnaaaaaaaan−+=+−+−++−=++++=，将1n=代入得11212a==，符合(1)2nnna+=，5分所

以数列na的通项公式为*(1),N2nnnan+=．6分（2）当1n=时，113322Sb=−，即13b=，当2n时，3322nnSb=−，①113322nnSb−−=−，②−①②，得1133

22nnnnnbSSbb−−=−=−，即13nnbb−=，8分所以数列nb是以3为首项，3为公比等比数列，所以113,3nnnnbb++==，由题意可知1(21)nnnbbnd+=++−，所以12311nnnnbbdnn+−==++，所以(1)23321nnnnnnadnn

+==+，9分所以1231132333(1)33nnnTnn−=++++−+，③23413132333(1)33nnnTnn+=++++−+，④−③④得1231233333nnnTn+−=++++−，11332313nnnT

n++−−=−−11分所以13(21)34nnnT++−=，所以数列nnad的前n项和13(21)34nnnT++−=．12分20．（1）极大值为11ln224f=−，无极小值（2）1【详解】（1）当1m=时，2(

)ln1(0)fxxxxx=−−+，1(1)(21)()21xxfxxxx+−=−−=−．当102x时，()0fx，则()fx在10,2上单调递增；当12x时，()0fx，则()fx在1,2+上单

调递减．所以()fx在12x=时取得极大值且极大值为11ln224f=−，无极小值；5分（2）因为对任意0,()0xfx恒成立，所以()2ln12xxmxx+++在(0,)+上恒成立，即2ln12xxmxx++

+在(0,)+上恒成立，设2ln1()2xxFxxx++=+，则()22(1)(2ln)()2xxxFxxx−++=+．设()(2ln)xxx=−+，显然()x在(0,)+上单调递减，因为1111(1)10,2ln2l

n202222=−=−+=−，所以01,12x，使得()00x=，即002ln0xx+=，8分当()00,xx时，()0,()0xFx；当()0,xx+时，()0,(

)0xFx，所以()Fx在()00,x上单调递增，在()0,x+上单调递减，所以()00max02000ln11()22xxFxFxxxx++===+，10分因为01,12x，所以0

11,122x，故整数m的最小值为1．12分21．（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则10=，易知的所有可能取值为0，1，2，则11222332222555CCCC133(0),(1),(2)C10C5C10PPP==

=======，故的分布列为012P11035310则1336()012105105E=++=，所以()10()12EE==．4分（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，20P=，则313P=．②由第n次回答的是甲的概率为nP，得当2n时，第1n

−次回答的是甲的概率为1nP−，第1n−次回答的不是甲的概率为11nP−−，则()()1111101133nnnnPPPP−−−=+−=−．即1111434nnPP−−=−−，又1131,444nPP

−=−是以34为首项，13−为公比的等比数列，则17687311311311,434434434nnPPP−=−+=−+−+=，∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．12分22．（1）yx=（2）证明见解析【详解】（1）

设()()()()11222211,,,,(1,1),1,1,1,1AxyBxyPBPxyPAxy=−−=−−，()()21122112311433,,31143xxxxPABPyyyy−=−=−=−=−=−．又()()2211224,43443yxyx=−=−，即2222

384yyx−=−，又22222224,480,0yxyyy=−==或22y=，当20y=时，2110,4,4xxy===；当22y=时，2111,1,2xxy===−，此时直线AB的斜率不存在，舍去，(4,4),(0,0)AB，∴直线AB的方程为：yx=．4分（2）设

直线:(1)1ABykx=−+，则直线:(1)1CDykx=−−+，设()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy，由2(1)14ykxyx=−+=，即21(1)14xykyx=−+=，则24440yykk−+−=

，所以121244,4yyyykk+==−，又122211||11,||11APyBPykk=+−=+−，()()()1212122222111441||||1111114131APBPyyyyyykkkkkk=+−−

=+−++=+−−+=+，同理可证：2211||||3131()CPDPkk=+=+−，||||||||||||,||||APCPAPBPCPDPDPBP

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