【文档说明】福建省厦门市2023届高三下学期第二次质量检测数学试题 含解析.docx，共(24)页，1.943 MB，由小赞的店铺上传

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厦门市2023届高三毕业班第二次质量检测数学试题满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考出要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与当生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用

铅笔把答题卡上对应圈目的答案标号次黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，2），（0，-1），则z1z2＝（）A.1+iB.2-iC.-2iD.-2-i【答案】B【解析】【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解.【详解】由复数的几何意义可知，112zi=

+，2iz=−，则()()21212iii2i2izz=+−=−−=−.故选：B2.()5axy+的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A.2B.±2C.22D.±22【答案】D【解析】【分析】根据展开式的

通项公式，确定23xy项的系数，即可求解.【详解】展开式的通项公式是()515CrrrrTaxy−+=，当3r=时，23xy项的系数为325C80a=，解得：22a=.故选：D3.不等式2210axx−+（Ra）恒成立的一个充分不必要条件是（）A.a≥1B.a＞1C.10

2a＜＜D.a＞2【答案】D【解析】【分析】先求得不等式2210axx−+（Ra）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条件.【详解】不等式2210axx−+（Ra）恒成立，显然0a=不成立，故应满足0Δ440aa=−，解得1a，所以不等式2210axx−+

（Ra）恒成立的充要条件是1a，A、C选项不能推出1a，B选项是它的充要条件，2a可以推出1a，但反之不成立，故2a是1a的充分不必要条件.故选：D4.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个

相同的球缺的几何体．球缺的体积233RV−（）＝（R为球缺所在球的半径，h为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（）A.494mlB.506mlC.

509mlD.516ml【答案】A【解析】【分析】依题意作出几何体轴截面图，即可求出对应线段的长，进而求出球的半径和球缺的高，再根据球的体积公式和球缺的体积求解即可.【详解】如图作出几何体的轴截面如下面所示，依题意，6cmAB=，O为球心，D为壶口所在圆的圆心，所以3cmADDB==，因为

8cmDE=，所以4ODOE==，且ODAB⊥，22345OB=+=，的所以球的半径5cmR=，所以球缺的高541cmh=−=，所以球缺的体积233RV−（）＝()2π351114π33−==，所以该壶壶身的容积约为：3414π472ππ52494

ml333V=−=.故选：A.5.厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”．市民甲计划

从“八山三水”这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为（）A.13B.49C.59D.109165【答案】C【解析】【分析】利用对立事件，结合古典概型公式，即可求解.【详解】11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有“水”的对立事

件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3个相邻的，共有4种情况，则其概率49P=，则11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率45199P=−=.故选：C6.如图，3πcos4+=（）A255−B.55−

C.45−D.255【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的定义和正弦、余弦的两角差公式求得sin和cos，再利用余弦的两角和公式计算即可.【详解】设终边过点Q的角为，终边过点P的角为，由三角函数的定义可得2222sin222==+，222

2cos222==+，2215sin521==+，22225cos521==+，所以()2252510sinsinsincoscossin252510=−=−=−=，()22525310coscoscoscossinsin252510=−=+=+

=，所以3π3π3π310210225coscoscossinsin4441021025+=−=−−=−，故选：A7.圆O为锐角ABC的外接圆，22ACAB==，点P在圆O上，则BPAO的取值范围为（）A.1,42−B

.)0,2C.1,22−D.)0,4【答案】C【解析】【分析】把BPAO转化为BOAOOPAO+，由余弦定理、数量积的定义得212BOAOr=−，讨论P的位置得211[,2]22BPAOr−−，结合锐角三角形

2sin5BCrBAC=恒成立，即可得范围.【详解】由ABC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，.又()BPAOBOOPAOBOAOOPAO=+=+，而22ACAB==，若外接圆半径为r，则222(1cos)2(1cos2)1rAOBrC−=−

=，故21cos212Cr=−，且22r，即1r，由221coscos22BOAOBOAOAOBrCr===−，对于OPAO且P在圆O上，当AP为直径时2OPAOr=，当,AP重合时2OPAOr

=−，所以22[,]OPAOrr−，综上，211[,2]22BPAOr−−，锐角三角形中90BAC，则225BCACAB+=，即2sin5BCrBAC=恒成立，所以512r，则21222r−恒成立，综上，1[,2)2BPAO−.故选:C8.已知9e

3ea−+＝，ln3b＝，22ln27c−＝，则（）A.c＞b＞aB.a＞b＞cC.c＞a＞bD.b＞a＞c【答案】A【解析】【分析】根据数的结构构造函数，利用导数法研究函数的单调性，最后利用单调性比较大小

即可.【详解】令()62ln,(0)3xfxxxx−=++，则()222112(3)0(3)(3)xfxxxxx−=−=++，所以()fx在()0,+上单调递增，又e34，所以()()()e34fff，又()62e9eee3e3flne

−−=+=++，()3ln3f=，()24ln47f=−，所以c＞b＞a，故选：A二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得

0分．9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑

自行车用时Y都服从正态分布，则（）A.P(X＞32)＞P(Y＞32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车【答案】BCD【解析】【分析】

首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和3的原则，即可求解.【详解】A.由条件可知()230,6XN，()234,2YN，根据对称性可知()()320.532PYPX，故A错误；B.()()36

PXPX=+,()()36PYPY=+，所以()()3636PXPY=，故B正确；C()340.5PX=()34PY，所以()()3434PXPY，故C正确；D.()()()40422PXPXPX=+，()()403PYPY=

+，所以()()4040PXPY，故D正确.故选：BCD10.函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（）A.B..C.D.【答案】BC【解析】【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.【详解】由函数解析式可知，a是

不变号零点，b是变号零点，A.由图可知，变号零点是0，则0b=，则()0fx=，不成立，故A错误；B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则0,0ba=，此时()()2fxbxbx=−，当xb，()0

fx，当0bx，()0fx，当0x时，()0fx，满足图象，故B正确；C.由图可知，0ba，()()()2fxbxbxa=−−，当xa时，()0fx，当axb时，()0fx，当xb时，

()0fx，满足图象，故C正确；D.由图可知，0ab，()()()2fxbxbxa=−−，当xa时，()0fx，与图象不符，所以D错误.故选：BC11.如图的六面体中，CA＝CB＝CD＝1，AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝2

，则（）A.CD⊥平面ABCB.AC与BE所成角的大小为π3C.3CE＝D.该六面体外接球的表面积为3π【答案】ACD【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理、空间向量以及球的表面积公式进行计算求解.【详解】因为

CA＝CB＝CD＝1，BD＝AD＝2，所以222222,CACDADCBCDBD+=+=，即,,CDCACDCB⊥⊥又CACBC=，所以CD⊥平面ABC，故A正确；因为CD⊥平面ABC，如图，建立空间之间坐标系，因为CA＝CB＝CD＝1，所以

四面体CABD−是正三棱锥，因为AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DE＝2，所以四面体EABD−是正四面体，在正三棱锥CABD−中过点C作底面的垂线，垂足为正三角形ABD的中心，同理，在正四面体EABD−中，过顶点E作底面的垂线，垂足为正三角形ABD的中心，所

以，CGE、、三点共线；因为()()()()0,0,0,0,0,1,010,1,0,0CDBA，，，因为G是正三角形ABD的中心，所以111,,333G，设()1,,,3Etttt，因为在正

四面体EABD−中，233EG=，在正三棱锥CABD−中，33CG=，所以33t=，解得1t=，所以()1,1,1E，所以()1,0,1BE=，又()1,0,0=CA，所以2cos,2||||CABECABECABE=

=，故AC与BE所成角的大小为π4，故B错误；因为()1,1,1CE＝，所以3CE＝，故C正确；显然，该六面体外接球的球心位于线段CE的中点，因为3CE＝，所以六面体外接球的半径32R=，所以该六面体外接球的表面积为24π3πR=，

故D正确.故选：ACD.12.定义在R上的函数()fx满足()(224)fxfxx−++=，函数(21)fx+的图象关于(0,2)对称，则()A.()fx的图象关于(1,2)对称B.4是()fx的一个周期C.(

)24f=D.()20234042f=−【答案】AD【解析】【分析】对A：由函数(21)fx+的图象关于(0,2)对称可推得()fx的图象关于(1,2)对称.对B：令()()2gxfxx=+,由()(224)fxfxx−++=及(21)(21)4fxfx−+++=可得到()gx的图象于2x

=对称且关于(1,4)对称，故4为()gx的一个周期,而不是()fx的一个周期.对C：举例ππ()sin422gxx=−+说明()24f对D：由()()2gxfxx=+的周期性求得(2023)f的值.【详解】对A：因为(21)fx+关于(0,2)对称,有(21)(21)4fxf

x−+++=，令21xt+=，则(2)()4ftft−+=，()fx的图象关于(1,2)对称.选项A正确；对B：由题设条件得(2)2(2)(2)2(2)fxxfxx+++=−+−，令()()2gxfxx=+，有(2)(2)gxgx+=−，则()gx的图象于2x=对称，因为(1

2)(12)4fxfx−++=，有(12)2(12)(12)2(12)8fxxfxx−+−++++=，.即(12)(12)8gxgx−++=，则()gx的图象关于(1,4)对称.所以()(2)8gxgx+−=，又(2)(2)gxgx+=−，所以()(2)8gxgx

++=，所以(2)(4)8gxgx+++=，所以(4)()gxgx+=，所以4为()gx的一个周期，即(4)2(4)()2fxxfxx+++=+，则(4)()8fxfx+=−.选项B不正确；对C：由上知()gx图象关于(1,4)对称，2x=对称，则令ππ

()sin422gxx=−+符合题意，而(2)(2)412fg=−=.故C不正确;对D：因为()gx图象关于(1,4)对称，所以4(1)g=，故(2023)(45053)(3)(1)4gggg=+===，有()20234042f=−.选项D正确.故选：AD

【点睛】关键点点睛：令()()2gxfxx=+是解题的关键，通过研究()gx的对称性，周期性得到()fx的性质，关于()fx的求值问题也转化为()gx的求值问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20

分．13.将函数()πsin23fxx=−的图象向左平移π02＜＜个单位长度．得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．【答案】π6【解析】【分析】首先根据平移规律求函数()gx的解析式，再根据函数是奇函数，求的值.【详

解】函数()fx向左平移个单位长度，得到函数()()πsin23gxx=+−，函数()gx是奇函数，所以()π0sin203g=−=，则2π3k−=，Zk，则ππ62k=+，Zk，因为π0,2，所以π6=.故答案为：π614.写出与直

线1,x=1,y=和圆221xy+=都相切的一个圆的方程________．【答案】()2221xy−+=（答案不唯一，只需满足与直线1,x=1,y=和圆221xy+=都相切即可）.【解析】【分析】根据

相切关系，列出圆心和半径应该满足的条件即可.【详解】设圆的方程为:()()222xaybR−+−=和直线相切可以得：11Rab=−=−和圆相切得：221bRa+=+或221bRa+=−若2,a=则0,b=1,R=此时圆的方程：()2221xy−+=故答案为：()2221xy−+=（答案不唯

一，只需满足与直线1,x=1,y=和圆221xy+=都相切即可）.15.数列{}na满足*111,2,N1nnnaaana++==−，若12nnTaaa=L，*Nn，则10T＝___________

_．【答案】-6【解析】【分析】由递推公式可得数列{}na的周期为4，又因为41T=，再由1012345678910()()()Taaaaaaaaaa=计算即可.【详解】解：因为12a=，111nnnaaa++=−，所以121131aaa+==−−，2321112aaa+==−−，3431

113aaa+==−，4514121aaaa+===−，所以数列{}na的周期为4，又因为41234112(3)()123Taaaa==−−=，所以10123456789101234123412()()()()()()112(3)6Taaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa===−=−.故答案为：-616.不与x轴重合的直线l过点N（Nx,0）（xN≠0），双曲线C：22221xyab−＝（a＞0，b＞0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为Mx．若4NMxx=，则C的离心率为___

_________．【答案】2【解析】【分析】由点差法得21OMABkke=−，结合1lABkk=−得2(1)OMlkek=−，代入斜率公式化简并利用4NMxx=可求得离心率.【详解】设()()()1122,,,,,MMAxyBxyMxy，则22112222222211xyabxy

ab−−＝＝，两式相减得222212122222xxyyaabb−=−，即()()()()1212121222xxxxyyyyab+−=−+，即()()()()2121221212yyyybxxxxa−

+=−+，所以2221OMABbkkea==−，因为l是AB垂直平分线，有1lABkk=−，所以2(1)OMlkek=−，即()21MMMMNyyexxx=−−，化简得2NMxex=，故2e=.故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．17.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知22cosacbC−=．（1）求B；（2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，3AD=，5CD=，求AC和BD．【答案】（1）π3（2）7AC=153

7BD=,【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简即可得到结果；（2）由题意可得ADC，然后由余弦定理即可得到AC，然后在ADC△中，由等面积法即可得到DE，从而求得BD.【小问1详解】由余弦定理可得，222222abcacbab+−−=，整理可得222acbac+−=

，则2221cos22acbBac+−==，且()0,πB，所以π3B=【小问2详解】因为,ADCD分别是,BACACB的角平分线，连接BD，则BD为ABC的角平分线，即点D为三角形的内心，则1118022ADCBACBCA=−+()11801802AB

C=???19090301202ABC=+=+=，又因为3AD=，5CD=，在ACD中，由余弦定理可得，2222cos1209251549ACADCDADCD=+−=++=，则7AC=，过点D，分别做

,,ACABBC的垂线，垂足为,,EGF，在ACD中，11sin12022ACDSADCDACr==，可得15314r=，即15314DEDFDGr====在直角三角形BDF中，1302DBFB==则15237

BDDF==18.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，A1D⊥BD1．（1）证明：四边形ADD1A1为正方形；（2）若直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为33，CD＝2AB，求平面A

BD1与平面BCD1的夹角的大小．【答案】（1）详见解析；（2）6【解析】【分析】（1）易证AB⊥平面11ADDA，从而得到1ABAD⊥，再由11ADBD⊥，得1AD⊥平面1ABD，从而得到11ADAD⊥，然后由正方形的定义证明；（2）建立空间直角坐标系，设1,ABaDD

b==，根据直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为33求得a，b的关系，再分别求得平面ABD1的一个法向量为()1,,nxyz=和平面BCD1的一个法向量为()2,,nxyz=uur，由121212,cos,,nnnnnn=求解.【

小问1详解】解：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1知：1AAAB⊥，又ABAD⊥，且1AAADA=，所以AB⊥平面11ADDA，又1AD平面11ADDA，所以1ABAD⊥，又11ADBD⊥，且1BDABB=，所以1

AD⊥平面1ABD，又1AD平面1ABD，所以11ADAD⊥，因为四边形11ADDA是矩形，所以11ADDA是正方形；【小问2详解】建立如图所示空间直角坐标系：，设1,ABaDDb==，则()()10,,,,0,0BabDb，所以()1,,BDbab=−−，

设ABCD的一个法向量为()1,0,0m=，直线BD1与平面ABCD所成的角为，则12213sin32BDmbBDmba===+，即22232bba=+，解得ab=，则()()()()10,0,,0,,,,0,

0,0,2,0AaBaaDaCa，所以()()()10,,0,,,,0,,BAaBDaaaBCaa=−=−−=−，设平面ABD1的一个法向量为()1,,nxyz=，则11100BAnBDn==，即00ayaxayaz−=−−=，

令1x=，则()11,0,1n=，设平面BCD1的一个法向量为()2111,,nxyz=，则21200BCnBDn==，即1111100ayazaxayaz−=−−=，令11y=，则()22,1,1n=，所

以12121233cos,226nnnnnn===，因为12,0,nn，则12,6nn=，所以平面ABD1与平面BCD1的夹角为6.19.记等差数列na的公差为d，前n项和为nS；等比数列

nb的公比为q，前n项和为nT，已知314ba＝，436Sb+＝，317Ta＝．（1）求d和q；（2）若11a＝，q＞0，1nnnnnabncabn+−，为奇数，＝，为偶数，求nc的前2n项和．【答案】（1）1,2dq==或23−.（2

）()241.3n−【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解；（2）可求得212122nnncc−−+=，使用分组求和.【小问1详解】由已知条件可得:2114bqa=①，211466adbq+=+②，211117bbqbqa++=③，由①②消去21bq得:1d=，由①③得:22417q

qq=++，所以23440qq−−=，得2q=或23q=−，所以1,2dq==或23−.【小问2详解】当0q时，2q=，则111ba==，所以1,2nnnanb−==，所以122nnnnncnn−−，为奇数，＝，为偶数，212121212(21)2222nnnnnccnn−−−−

+=−−+=，nc的前2n项和S为1234212nnScccccc−=++++++()()()1234212nncccccc−=++++++35212222n−=++++()()214241.143nn−==−−20.移

动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2

022对应的t分别为1~5．（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；（2）(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x

n，yn)，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()YbxeEeDe=+==（随机误差iiieybx=−）．请推导：当随机误差平方和Q＝21niie=取得最小值时，参数b的最小二乘估计．(ii)令变量,xttyww=−=−，则变量x与变量Y满足一元线性回

归模型2()0,()YbxeEeDe=+==利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()()12211()niinniiiiittrttwwww===−=−−−，()2517

6.9iiww=−=，()()5127.2iiittww=−−=，5160.8iiw==，76927.7【答案】（1）0.98r,这两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）（i）121ˆniiiniixybx===；（ii）经验回归方程2.

72yx=;预测2024年移动物联网连接数23.04亿户.【解析】【分析】（1）根据相关系数计算，若0r两个变量正相关，若0r两个变量负相关，r越接近于1说明线性相关越强.（2）(i)整理得222

1112nnniiiiiiiQbxbxyy====−+，根据二次函数求最小值时b的取值；(ii)根据ˆb计算公式求得经验回归方程，并代入7t=可预测2024年移动物联网连接数.【小问1详解】由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推

断两个变量线性相关.因为1(12345)35t=++++=,所以52222221()(13)(23)(33)(43)(53)10iitt=−=−+−+−+−+−=,所以()()()()5155221127

.227.227.20.9827.71076.9769iiiiiiittwwrttww===−−===−−,所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.【小问2详解】(i)()()222221112nnniiiiiii

iiiQeybxybxybx=====−=−+2221112nnniiiiiiibxbxyy====−+，要使Q取得最小值，当且仅当121ˆniiiniixybx===.(ii)由(i)知()()()5511552211ˆ

iiiiiiiiiixyttwwbxtt====−−==−27.22.7210==，所以y关于x的经验回归方程2.72yx=，又5160.812.1655iiww====，所以当7t=时，则734,2.72412.1623.04xwyw=−==+=+=，所以预测

2024年移动物联网连接数23.04亿户.21.已知函数()exfxaxa=−−（a∈R）．（1）讨论()fx的单调性：（2）证明：对任意()0,1a，存在正数b使得ebaab=+．且2lna+b＜0．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先求函

数的导数，分0a和0a两种情况，讨论函数的单调性；（2）由（1）的单调性可知()ln0fa−，再通过构造函数()()12ln01hxxxxx=+−，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理证明.【小问1详解】()e1xfxa=−，当0a，则()0fx，则函数在R上单调

递减，若0a，令()0fx=，得lnxa=−，当lnxa−，()0fx，()fx单调递减，当lnxa−时，()0fx¢>，()fx单调递增，综上可知，当0a，函数在R上单调递减，当0a时，()fx在(),lna−−上单调递减，在()ln,a−+上单调

递增；【小问2详解】由（1）可知，当01a时，ln0a−，且()fx在(),lna−−上单调递减，在()ln,a−+上单调递增，因为()00f=，所以()ln0fa−，因为()12ln2lnfaaaa−=+−，设()()12ln01hxxxxx=+−，()221211

10hxxxx=−+−=−−，所以()hx在()0,1上单调递减，所以()()10hxh=，即()2ln0fa−，由零点存在性定理知()0ln,2lnxaa−−，使得()00fx=，取0bx=，则ebaab=+，且2ln0ab+.【点睛】本题考

查函数的单调性，导数及其应用，考查推理，论证，运算能力，考查函数与方程思想，化归于转化思想，分类与整合思想，本题的关键是根据()12ln2lnfaaaa−=+−，构造函数，再根据导数判断()2ln0fa−，22.已知椭圆C：22221xyab+＝（a＞b＞0）的离心率

为12，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C丁A．B两点．当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3．（1）求C的方程；（2）是否存在定圆E，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条件的圆E的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143xy+＝（2）22181416

xy++=或22325416xy++=【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及△ABF2的面积为3，列出两个基本量的方程求解即可；（2）根据对称性可知，圆E的圆心在x轴上，利用直线l特殊

位置时求出符合条件的圆E的方程，一般情况下前进性验证即可.【小问1详解】已知椭圆C的离心率为12，所以12ca=；由当l⊥x轴时，△ABF2的面积为3，得212232bca=，即223bca=，又2ac=，

所以23b=，又222abc=+，则22ac==，椭圆方程为22143xy+＝.【小问2详解】当l⊥x轴时，以AB为直径的圆的圆心为F1()1,0−，半径2132bra==；当l为x轴时，以AB为直径的圆的圆心为O()0,0，半径22ra==；因

为直线l过点F1，所以以AB为直径的所有圆关于x轴两两对称的，根据对称性可知，圆E与以AB为直径的圆内切时，圆心在x轴上.设圆心E(),0n()0n，半径为R,当以AB为直径的圆在圆E内部与E相切时，则132EFR=−，2EOR=−，故112EFEO−=，又11EFEO

+=，所以14EO=，134EF=，即1,04E−，94R=，圆E的方程为22181416xy++=；当以AB为直径的圆在圆E外部与E相切时，则132EFR=−，2EOR=−，故112EOEF−=，又11EFEO+=，所以34EO=，114EF=，即3,04E−

，54R=，圆E的方程为22325416xy++=；当直线l斜率不为零时，设直线l的方程为1xmy=−,()11,Axy，()22,Bxy，联立221143xmyxy=−+＝，

得()2234690mymy+−−=，则122634myym+=+，122934yym=−+，所以AB的中点即以AB为直径的圆的圆心224333,44mmmM++−，半径()()2121222222226611113641222333444AB

rmmmmyyyymmm+==+−++=+=+++，当圆E的方程为22181416xy++=时，()()2222223413343444443mmmmMEm+=+=++−++，此时()()()2222144946

33434mmmRMEmr+=+−+−==+，所以以AB为直径的圆与E相切.当圆E的方程为22325416xy++=时，()2222224339343444443mmmmMEm+=+=++−++，此时()()2222615943

44434mmrRMEmm++−=−==++，所以以AB为直径的圆与E相切.综上圆E的方程22181416xy++=或22325416xy++=.【点睛】与圆锥曲线相关的圆问题方法点睛因为圆的方程在圆锥曲线的求解过程中计算量比较大，所以往往不直接进行求解，

而是由特殊位置求解圆的方程或者找到其特征，再一般情况下进行验证即可.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com