【文档说明】【精准解析】陕西省西安中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试卷.doc，共(20)页，1.414 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学2019－2020第二学期期末考试高二数学（文）试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在集合{a，b，c，d}上定义两种运算

和如下：那么d()ac=A.aB.bC.cD.d【答案】A【解析】d()ac=dca=2.已知点的极坐标为22,3那么它的直角坐标为（）A.(1,3)−B.(3,1)−−C.(3,1)−D.(1,3)−−【答案】A【解析】【分析】利用cosx=，

siny=即可得出直角标准．【详解】解：点的极坐标为2(2,)3，可得它的直角坐标22cos13x==−，22sin33y==．即(1,3)−．故选：A．【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标

，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.若2020i3i1iz−=+，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】因为2020i1=，故20

20i3i13i12i1i1iz−−===−−++，然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为13121izii−==−−+，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几

何意义，属于基础题.4.下列叙述中正确的是（）A.若a，b，cR，则“20axbxc++”的充分条件是“240bac−”B.若a，b，cR，则“22abcb”的充要条件是“ac”C.命题“对任意xR，有20x”的否定是“存在xR，有

20x”D.钱大姐常说“好货不便宜”，她的意思是：“好货”是“不便宜”的充分条件【答案】D【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义，以及全称命题的否定是特称命题，即可判断出各选项的真假．【详解】对于A，当2

40bac−时，若0a，20axbxc++不一定成立，A错误；对于B，当22abcb时可以推出ac，但是ac不一定可以推出22abcb，比如，0b=，所以“22abcb”的必要不充分条件是“ac”，B错误；对于C，“对任意xR，有20x”的否定是“存

在xR，有20x”，C错误；对于D，根据充分条件的定义可知，“好货”是“不便宜”的充分条件，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查充分、必要条件的定义的理解和应用，以及全称命题的否定是特称命题的理解，属于

基础题．5.若函数()2020xlogxxfxax=−−，＞，有且只有一个零点，则a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）B.（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C.[﹣1，0）D.[0，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据()fx在(,0−没有零点列不等式，解

不等式求得a的取值范围.【详解】当x＞0时，因为log21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020xlogxxfxax=−−，＞，有且只有一个零点，则当x≤0时，函数f（x）没有零点即可，当x≤0时，0＜2x≤1，∴﹣1≤﹣2x＜0，∴﹣1﹣a≤﹣2x﹣a＜﹣a，所以﹣a≤0或﹣1﹣

a＞0，即a≥0或a＜﹣1.故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.6.下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A.①综合法，②反证法B.①分析法，②反证法C.①综合法，②分析法D.①分析

法，②综合法【答案】C【解析】【分析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案．【详解】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C.【点睛】本题考查分析法

和综合法的证明思路，属于基础题．7.函数()()2axbfxxc+=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A.0a，0b，0cB.0a，0b，0cC.0a，0b，0cD.0a，0b，0c【答案】C【解析】试题分析：函数在P

处无意义，由图像看P在y轴右侧，所以0,0cc−，()200,0bfbc=，由()0,0,fxaxb=+=即bxa=−，即函数的零点000.0,0bxaabca=−，故选C．考点：函数的图像8.以下命题正确的是（）①幂函数的图像

都经过()0,0②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当0n=时，函数nyx=的图像是两条射线（不含端点）④()3fxx−=是奇函数，且()3fxx−=在定义域内为减函数A.①②B.②④C.②③D.①③【

答案】C【解析】【分析】形如yx=，R的函数是幂函数，当0时，图象过点()()0,01,1,，并且在第一象限是增函数，当0时，函数只过定点()1,1，并且在第一象限是减函数，根据幂函数的解析式，幂函数的图象和性质，逐一分析选项，得到正确答案

.【详解】①幂函数1yx−=不经过原点，所以①不正确；②形如yx=，R的函数是幂函数，当0x时，0y，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③0yx=的定义域是0xx，1y=，所以0n=时，nyx=的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④()3fxx−=是奇函

数，函数的定义域是()(),00,−+，函数在(),0−是减函数，在()0,+也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C【点睛】本题考查幂函数的解析式，图象和性质，属于基础题型，本题的关键是幂函数的性质和

图象熟练掌握.9.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）﹣1101318用电量（度）64383424由表中数据得线性回归方程ˆ3yxa=−+，预测当气温

为﹣4℃时用电量度数为（）A.65B.67C.78D.82【答案】D【解析】【分析】先求出样本中心点(),xy为()10,40，然后将其代入ˆ3yxa=−+，得到70a=，从而得到线性回归方程为370ˆyx=−+，再把4x=−

代入，求出ˆy即可得解．【详解】解：1101318104x−+++==，64383424404y+++==，把样本中心点1040（，）代入ˆ3yxa=−+，得：40310a=−+，所以70a=，即370ˆyx=−+，当4x=−时，()347082ˆy=−−+=.故选：D．【点睛】本题考查线

性回归方程的特征，样本中心点一定在回归直线上．10.设x、y、0z，1axy=+，1byz=+，1czx=+，则a、b、c三数（）A.都小于2B.至少有一个不大于2C.都大于2D.至少有一个不小于2【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式计算出6abc++

，于此可得出结论.【详解】由基本不等式得111111abcxyzxyzyzxxyz++=+++++=+++++1112226xyzxyz++=，当且仅当1xy

z===时，等号成立，因此，若a、b、c三数都小于2，则6abc++与6abc++矛盾，即a、b、c三数至少有一个不小于2，故选D.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能

力，属于中等题.11.设f(x)＝lg(21x−＋a)是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数是（）A.(－∞，＋∞)上的减函数B.(－∞，＋∞)上的增函数C.(－1，1)上的减函数D.(－1，1)上的增函数【答案】D【解析】【分析】根据题意可得f(0)＝0

，代入求出a，并验证()fx为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知，f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg11xx+−，函数f(x)的定义域是(－1，1)，

1()lg()1xfxfxx−−==−+，所以f(x)＝lg11xx+−为奇函数，在此定义域内f(x)＝lg11xx+−＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2在

(－1，1)是增函数.故选：D.【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调性，属于基础题.12.已知定义在R上的函数()yfx=对任意的x都满足()()2fxfx+=，当11x−时，()3fxx=.若函数()()logagxfxx=−恰有6个不同零

点，则a的取值范围是（）A.(11,5,775B.(11,5,753C.(11,3,553D.(11,3,575【答案】A【解析】【分析】首先由条件确定函数()yfx=的周期，在同一坐标系下做出函数()yfx=和log

ayx=的图象，分1a和01a两种情况讨论y轴左右两侧函数图象的交点个数，列式求a的取值范围.【详解】由条件可知函数()()logagxfxx=−恰有6个不同的零点，转化为()yfx=与logayx=恰有6个不同的交点，()()2fxfx+=，()yfx=的周期2T=，且

)1,1x−时，()3fxx=，logayx=是偶函数，图象关于y轴对称，如图，在同一坐标系下画出函数()yfx=和logayx=的图象，①当1a时，logayx=的图象如图所示，y轴左侧有4个交点，右侧有2

个交点，此时应满足log51log71aa，解得57a；②当01a时，()yfx=与logayx=在y轴左侧有2个交点，右侧有4个交点，此时应满足log51log71aa−−，解得：1175a；综上可知，a的取值范围是(11,5

,775.故选：A【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查奇偶性，对称性，数形结合以及计算能力，属于较难型.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中相应的横线上.）13.若ABC的三边之长分别为a、

b、c，内切圆半径为r，则ABC的面积为()2rabc++.根据类比思想可得：若四面体ABCD−的三个侧面与底面的面积分别为1S、2S、3S、4S，内切球的半径为r，则四面体的体积为__________.【答案】()12343rSSSS+++【解析】

【分析】由合情推理中的类比推理，由平面图形类比空间图形，由二维到三维，由面积到体积，由圆到球，即可得出结论.【详解】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12

类比为三维图形中的13，得V四面体ABCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.故答案为：()12343rSSSS+++【点睛】本题主要考查了合情推理中的类比推理，考查了推理，归纳能力，属于容易题．14.马林·梅森是17世纪法国

著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对形如21p−的数作了大量的计算、验证工作.人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如21p−（其中p是素数）的素数，

称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是__________.【答案】4【解析】【分析】根据程序框图写出每次循环运行的结果即可求解.【详解】由2p=213pS=−=，输出S的值为3，满足条件8p，执行循环体；3p=，3217S=

−=，输出S的值为7，满足条件8p，执行循环体；4p=，42115S=−=，输出S的值为15，满足条件8p，执行循环体；5p=，52131S=−=，输出S的值为31，满足条件8p，执行循环体；6p=，6216

3S=−=，输出S的值为63，满足条件8p，执行循环体；7p=，721127S=−=，输出S的值为127，满足条件8p，执行循环体；8p=，821255S=−=，输出S的值为255，满足条件8p，执行循环体；9p=，921511S=−=，输出S的值为511，不满足条件8p，结束循

环.其中3,7,31,127为素数.故答案为：4【点睛】本题考查了程序框图的应用题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题.15.若adbc，则()()2222abcd++_______

___()2acbd+.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）【答案】＞【解析】【分析】作差，分析差的正负即可求解.【详解】因为()()()22222abcdacbd++−+()()2222222222222acadbcbdacbdacbd+=+++−+22222

bcadabcd=+−20(bcad)=−，又adbc所以2()0bcad−所以()()22222()abcdacbd+++，故答案为：>【点睛】本题主要考查了比较法判断两个式子的大小，考查了运算能力，属于中档题.16.若函数()24113ax

xfx−+=有最大值3，则实数a的值为__________.【答案】2【解析】【分析】令241taxx=−+，由已知可得241taxx=−+有最小值1−，利用二次函数的最值可得答案.【详解】令241taxx=−+，则13

ty=，由题意13ty=有最大值3，则241taxx=−+有最小值1−，所以0a且24(4)14aa−−=−，解得2a=.故答案为：2【点睛】本题主要考查指数型复合函数的最值问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.三、解答题：（

本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.随着手机的普及，学生使用手机的人数也越来越多，手机是否影响学生的学习，是备受争论的问题，某学校从学生中随机抽取60人进行访问调查，结果表明：有手机的36人中有24人认为手机对学习有影响，

另外12人认为无影响，在无手机的24人中有8人认为手机对学习有影响，另外16人认为无影响.试根据以上数据完成22列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为手机对学习有影响.有手机无手机合计有影响无影响合计参考

公式：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.参考数据：()20Pk0.150.100.050.0250.0100.0050k2.7022.7063.8415.0246.6357.879【答案】填表见解析；有97.5%的把

握认为手机对学习有影响.【解析】【分析】首先根据题中所给的条件和数据，填入表中相应的位置，得到列联表，根据公式计算2的值，与表中临界值比较得出结果.【详解】有手机无手机合计有影响24832无影响121628

合计362460()22602416128456.4295.024362432287−==.所以有97.5%的把握认为手机对学习有影响.【点睛】该题考查的是有关独立性检验的问题，涉及到的知识点有列联表，计算2，属于基础题目.18.已知函数()()31,1fxxgx

x=−=−.（1）解不等式()2fx；（2）求()()()Fxfxgx=−的最小值.【答案】（1）1,13−；（2）23−【解析】【分析】（1）由()2fx可得312x−,即2312x−−,求解即可；（2）将()Fx写为分段函数的形式,再由一次函数的性质判断单调性,即可

求得最值.【详解】解:（1）因为()2fx,则312x−,即2312x−−,解得113x−,即1,13x−（2）由题,()()()()()131,04,011311131,02,03311311,42,33xxxxxFxxxxxxxxxxxxx

−−+−=−−−=−−−=−−−−−,所以()Fx在1,3+上单调递增,在1,3−上单调递减,所以()min1233FxF==−【点睛】本题考查解含绝对值的不等式,考查求分段函数的最值

.19.（1）已知函数()()()2110xgxaa−=++的图像恒过定点A，且点A又在函数()()3logfxxa=+的图像上，求不等式()3gx的解集；（2）已知121log1x−，求函数1114242xxy−=

−+的最大值和最小值.【答案】（1）()3,+；（2）min1y=，max54y=.【解析】【分析】（1）首先求a的值，再解对数不等式；（2）通过换元，设12xt=，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知

定点A的坐标为()2,2，∴()32log2a=+解得1a=.∴()221xgx−=+.∴由()3gx得，2213x−+.∴222x−.∴21x−.∴3x.∴不等式()3gx的解集为()3,+.（2）由121log1x−得122x令12xt

=，则1242t，221442412yttt=−+=−+.∴当12t=，即1122x=，1x=时，min1y=，当14t=，即1124x=，2x=时，max54y=.【点睛】本题考查指对数函数的性质，指对数不等式，以及换元法求函

数的最值，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型.20.如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C

，其中30AB=米，20AD=米.记三角形花园APQ的面积为S.（1）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？【答案】（1）20；1200；（2）2003DQ或60DQ.【解析】【分析】（1）设DQx=米（0x）,根据三角

形相似可得AP的长,根据三角形面积公式用x表示出S,再用基本不等式求其最值即可;（2）解不等式1600S即可．【详解】（1）设DQx=米（0x），则20AQx=+，∵QDAQDCAP=，∴2030xxAP+=，∴()3020xAPx+=.则()215201400154012002xS

APAQxxx+===++，当且仅当20x=时取等号.（2）由1600S，得2320012000xx−+解得2003x或60x.答：（1）当DQ的长度是20米时，S最小？且S的最小值为1200平方米.（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的取值

范围是2003DQ或60DQ.【点睛】本题主要考查了函数解析式，基本不等式，解一元二次不等式，考查了运算能力，属于中档题.21.已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是()0,5，且()fx在区间1,4−上的最大值是12.（1）求()fx的解

析式；（2）设函数()fx在,1xtt+上的最小值为()gt，求()gt的表达式；（3）若关于t的方程()gtk=至少有4个根，求参数k的取值范围.（直接给出答案，不用书写解答过程）【答案】（1）()()2210f

xxxx=−R；（2）()2232682253522252102tttgttttt−−=−−；（3）25,82k−−.【解析

】【分析】（1）根据不等式的解集，可以设()()()50fxaxxa=−，根据函数的对称轴，可以确定函数在区间1,4−上的最大值，从而求得2a=，从而求得函数解析式；（2）分类讨论，根据二次函数的对称轴与区间的关系，确定出(

)gt的表达式；（3）根据()gt的表达式，确定出()gt的函数的图象的走向，进而确定出k的取值范围.【详解】（1）()fx是二次函数，且()0fx的解集是()0,5，∴可设()()()50fxaxxa=−，可得在区间()fx在区间51,2−上函数是减函数，区间5,42

上函数是增函数，结合二次函数的对称性，可知()fx在区间1,4−上的最大值是：()1612fa−==，得2a=.因此，函数的表达式为()()()225210fxxxxxx=−=−R.（2）由（1）得()2525222fxx=−−，函数图象

的开口向上，对称轴为52x=.①当512t+时，即32t时，()fx在,1tt+上单调递减，此时()fx的最小值()()()()22121101268gtfttttt=+=+−+=−−；②当3522t时，函数()yfx=在对称轴处取得最小值，此

时，()52522gtf==−.③当52t时，()fx在,1tt+上单调递增，此时()fx的最小值()()2210gtfttt==−；综上所述，得()gt的表达式为：()223268225352

2252102tttgttttt−−=−−.（3）根据()2232682253522252102tttgttttt−−=−

−，画出()ygt=的图象，由图可知，25,82k−−.【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，涉及到的知识点有二次函数解析式的求解，二次函数在某个区间上的最小值，根据方程根的个数确定参数范围，属于中档题目.22.在直角坐标系xOy中，直线l

的参数方程为3cos,42sin,4xtyt=+=+(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24cossin=.（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过点(3,2)

P作直线l的垂线，交曲线C于,MN两点，求||||PMPN.【答案】（1）10xy−−=，24yx=；（2）16【解析】【分析】（1）消去参数可得普通方程，由公式cossinxy==可化极坐

标方程为直角坐标方程；（2）可所作直线的参数方程为23,222,2xtyt=−=+，代入抛物线方程24yx=，由t的几何意义易求得PMPN.【详解】（1）直线l的参数方程为3cos,42sin,4xtyt=+=+(t为参数)，消去参数

可得10xy−−=，曲线C的极坐标方程为24cossin=，即2sin4cos=，化为24yx=.（2）过点(3,2)P与直线l垂直的直线的参数方程为23,222,2xtyt=−=+(t为参数)，代入24yx=，可得282160tt+−=，∴1216tt=−，故12||

||16PMPNtt==.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。(1)直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为max()fx(t为参数)．

若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：①t0＝max()fx；②|PM|＝|t0|＝max()fx；③|AB|＝|t2－t1|；④|PA|·|PB|＝|t1·t

2|.[注意]在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.