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专练4基本不等式授课提示：对应学生用书7页[基础强化]一、选择题1．函数y＝2x＋22x的最小值为()A．1B．2C．22D．4答案：C解析：因为2x>0，所以y＝2x＋22x≥22x·22x＝22，当且仅当2x＝22x，即x＝12时取“＝”．故选C.2

．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A．2B．12C．4D．14答案：B解析：∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥22ab(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴0<ab≤2，1ab≥12，∴1ab的最小值为12.3．下列结论正确的是()A．当x>0且x≠1时，l

gx＋1lgx≥2B．当x∈0，π2时，sinx＋4sinx的最小值为4C．当x>0时，x＋1x≥2D．当0<x≤2时，x－1x无最大值答案：C解析：当x∈(0，1)时，lgx<0，故A不成立，对于B中sinx＋4sinx≥4，当

且仅当sinx＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B不正确；D中y＝x－1x在(0，2]上单调递增，故当x＝2时，y有最大值，故D不正确；又x＋1x≥2x·1x＝2(当且仅当x＝1x即x＝1时等号成立).故C正确．4．下列不等式恒成立的是()A．

a2＋b2≤2abB．a2＋b2≥－2abC．a＋b≥2|ab|D．a＋b≥－2|ab|答案：B解析：对于A，C，D，当a＝0，b＝－1时，a2＋b2＞2ab，a＋b＜2ab，a＋b＜－2|ab|，故A，C，D错误；对于B，因为a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a|·|b

|＝2|ab|≥－2ab，所以B正确．故选B.5．若x>0，y>0，x＋2y＝1，则xy2x＋y的最大值为()A．14B．15C．19D．112答案：C解析：x＋2y＝1⇒y＝1－x2，则xy2x＋y＝x

－x23x＋1.∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴0<x<1.设3x＋1＝t(1<t<4)，则x＝t－13，原式＝－t2＋5t－49t＝59－t9＋49t≤59－2481＝19，当且仅当t9＝49t，即t＝2，x＝13，y＝13时，取等号

，则xy2x＋y的最大值为19，故选C.6．已知a>0，b>0，c>0，且a2＋b2＋c2＝4，则ab＋bc＋ac的最大值为()A．8B．4C．2D．1答案：B解析：∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，

∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，∴ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2＝4.7．若直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5答案：C解析：因为直线xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，

所以1a＋1b＝1.所以a＋b＝(a＋b)·1a＋1b＝2＋ab＋ba≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当ab＝ba即a＝b＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)，a与b相互垂直，则9x＋3y的最

小值为()A．12B．2C．3D．6答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(4，y)＝4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥232x＋y＝232＝6，当且仅当2x＝y＝1时取等

号，∴9x＋3y的最小值为6.9．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x＞0，y＞0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以

x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤（x＋y）24＝424＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.二、填空题10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a

＋18b的最小值为________.答案：14解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋18b＝2a＋2－3b≥22a·2－3b＝22a－3b＝22－6＝14.当且仅当2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，2a＋18b取得最小值为14.11．已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0

)在x＝3时取得最小值，则a＝________．答案：36解析：∵x>0，a>0，∴4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax，即：x＝a2时等号成立，由a2＝3，a＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a>0，

b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a＋b＝2ab，得32b＋12a＝1，∴a＋b＝(a＋b)32b＋12a＝2＋b2a＋3a2b≥2＋2b2a·3a2

b＝2＋3(当且仅当b2a＝3a2b即b＝3a时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a，b都是正数，则1＋ba1＋4ab的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案：C解析：1＋ba

1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9(当且仅当ba＝4ab即b＝2a时等号成立).14.(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b＞12C．log2a＋log2b≥－2D．a＋b≤2答案：ABD解析：对于选项A，∵a2＋b2≥

2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥12，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝12，正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则log214＋log234＝－2＋log

234＜－2，错误；对于选项D，∵2＝2（a＋b），∴[2（a＋b）]2－(a＋b)2＝a＋b－2ab＝(a－b)2≥0，∴a＋b≤2，正确．故选ABD.15．(多选)已知a，b，c为正实数，则()A．若a＞b，则ab＜a＋cb＋cB．若a＋b

＝1，则b2a＋a2b的最小值为1C．若a＞b＞c，则1a－b＋1b－c≥4a－cD．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2的最小值为3答案：BCD解析：因为a>b，所以ab－a＋cb＋c＝c（a－b）b（b＋c）＞0，所以ab＞a

＋cb＋c，选项A不正确；因为a＋b＝1，所以b2a＋a2b＝b2a＋a＋a2b＋b－(a＋b)≥2b＋2a－(a＋b)＝a＋b＝1，当且仅当a＝b＝12时取等号，所以b2a＋a2b的最小值为1，故选项B正确；因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，

所以(a－c)1a－b＋1b－c＝[]（a－b）＋（b－c）1a－b＋1b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b·a－bb－c＝4，当且仅当b－c＝a－b时取等号，所以1a－b＋1b－c≥4a－c，

故选项C正确；因为a2＋b2＋c2＝13[(a2＋b2＋c2)＋(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(c2＋a2)]≥13(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝13[(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2]＝13(a＋b＋c)2＝3，当且仅

当a＝b＝c＝1时等号成立，所以a2＋b2＋c2的最小值为3，故选项D正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

答案：30解析：一年的总运费为6×600x＝3600x(万元).一年的总存储费用为4x万元．总运费与总存储费用的和为3600x＋4x万元．因为3600x＋4x≥23600x·4x＝240，当且仅当3600x＝4x，即x＝30时取得等号，所以当x＝30时，一年的总运费与总存储

费用之和最小．