【文档说明】四川省成都外国语学校2020-2021学年高二4月月考数学（理）试卷 含答案.docx，共(13)页，655.275 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2020-2021学年度成都外国语学校高二下4月月考卷数学（理科）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息在答题卡规定位置2．请将答案正确填写在答题卡上3.考试结束后，只将答题卡交回。第I卷（选择题，共60分

）一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．设函数()yfx=在R上可导，则0(1)(1)lim3xfxfx→+−等于（）A．(1)fB．3(1)fC．1(1)3fD．以上都不对2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A

．2B．23C．D．323．若函数()fx满足()()32113fxxxfx=−−，则()1f的值为（）．A．1B．2C．0D．1−4．设a，b表示两条不同的直线，表示平面，则下列命题正确的是（）A．若/

/a，//ab，则//bB．若//a，//b，则//abC．若a⊥，ab⊥，则//bD．若a⊥，//ab，则b⊥5．已知函数3211()(0,0)62fxxaxbxab=−−的一个极值点为1，则ab的最大值为（）A．1B．12C．14D．1

166．已知长方体11111,1,2,2ABCDABCDABADAA−===，则异面直线1AC与BD所成角的余弦值为（）A．0B．55C．53D．7．已知函数()ln2fxxax=−−在区间(1,2)上不单调，则实数a的取值范围为（）A．1,1

2B．1,12C．11,32D．12,238．函数2()1fxxx=+−的零点的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知()yfx=的图象关于坐标原点对称，且对任意的xR，()()2fxfx+=−恒成

立，当10x−时，()2xfx=，则()2021f=（）A．1−B．12−C．12D．110．已知1ae=，ln33b=，ln44c=，则a、b、c的大小关系为（）A．bcaB．cbaC．cabD．acb

11．已知函数()()2265mmmfxx−=−−是幂函数，对任意1x，()20,x+，且12xx，满足()()12120fxfxxx−−，若a，bR，且0ab+，则()()fafb+的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断12．已

知函数()xfxxe=，()2ln2gxxx=，若()()12fxgxt==，0t，则12lntxx的最大值为（）A．21eB．24eC．1eD．2e第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．2202dxx−＝________．14．设f(x)是定义

在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，22,10(),01xxmxfxxx++−=，其中m∈R.若f(116)=f(32)，则m的值是___________.15．已知()fx是定

义域为R的奇函数，()fx是()fx的导函数，()10f−=，当0x时，()()0xfxfx−，则关于x的不等式()0xfx解集为____________.16．函数()2fxx=−与34ln()kxgxx−+=（[1,],xek为常数）的图象有两个不同的交

点，则实数k的取值范围为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18~19题每题12分）17．已知函数()2lnfxxx=−.（1）求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()yfx=的单调区间.18

．已知函数()3223fxxaxbxa=+++在1x=−时有极值0．（1）求常数a，b的值；（2）求()fx在区间4,0−上的最值．19．6月17日是联合国确定的“世界防治荒漠化和干旱日”，为增强全社会对防治荒漠化的认识与关注，聚焦联合国2030可持续发展目

标——实现全球土地退化零增长．自2004年以来，我国荒漠化和沙化状况呈现整体遏制、持续缩减、功能增强、成效明显的良好态势．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗埔中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图．（1）求

直方图中a的值及众数、中位数；（2）估计苗埔中树苗的平均高度；（3）在样本中从205cm及以上的树苗中按分层抽样抽出5株，再从5株中抽出两株树苗，其中含有215cm及以上树苗的概率．20．在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列

的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：年份201520162017201820192020年份代码x123456学生人数y(个)666770717274（1）根据表中数据，建立y关于x

的线性回归方程ˆˆˆybxa=+.（2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).附：对于一组数据()()()1122,,,,,,nnxyxyxy，其回归直线方程ˆˆybxa=+的斜率和截距的

最小二乘估计分别为()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆaybx=−；(参考数据：61628iiixyxy=−=).21．如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，1,2ABBC==，45ABC=，AEPC⊥垂

足为E．（Ⅰ）求证：平面AEB⊥平面PCD；（Ⅱ）若二面角BAED−−的大小为150，求侧棱PA的长．22．已知函数21()ln,()ln2fxxxkxxgxxkx=−−=−．（1）当1k=时，求()gx的最大值；（2）当10ek时，（i）判断函数()gx的零点个数；（ii）求证：()f

x有两个极值点12,xx，且()()12121fxfxxx+−．参考答案1~5：CACDD;6~10:BBCBB;11~12:AD12．D【详解】由题意得，11xxet=，222ln2xxt=，即2ln22222ln2ln2xxxext==，令函数()xfxxe=，则

()(1)xfxxe=+，所以，1x−时，'()0fx，f(x)在(-∞，-1)上单调递减，>1x−时，'()>0fx，()fx在(-1，+∞)上单调递增，又当x∈(-∞，0)时，f(x)<0，x∈(0，+∞)时，f(x)>0，作函数()

xfxxe=的图象如图所示.由图可知，当t>0时，()fxt=有唯一解，故12ln2xx=，且1>0x，∴1222lnln2lnln2tttxxxxt==.设2ln()thtt=，0t则222ln()thtt−=，令()0ht=解得t=

e，得()ht在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，∴()()2hthee=，即12lntxx的最大值为2e.故选：D.13．214．115．(1,0)(0,1)−16．(234ln2,21ee−−−【详解】()fx与()gx的图象有两个不

同的交点，34l2nkxxx−+−=在[1,e]x有两个不同的解，即224ln3kxxx=−−+在[1,e]x有两个不同的解，令()224ln3hxxxx=−−+，[1,e]x，则()()()212422xxhxxxx+−=−−=，当()1,2x时，

()0hx，()hx单调递减，当()2xe,时，()0hx，()hx单调递增，()()min234ln2hxh==−，()12h=，()2212heee=−−，234ln221kee−−−.故答案为：(234ln2,21ee−−−.17．（1）yx=；（2））

，）；减区间为（，增区间为（22022+【详解】（1）依题意，函数()2lnfxxx=−的定义域为()0,+，且()12fxxx=−，()211ln11f=−=，()1211f=−=，因此，曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程为11yx−=−，即yx=；（2

）依题意，函数()2lnfxxx=−的定义域为()0,+，且()12fxxx=−，），）；减区间为（，增区间为（22022+18.【详解】（1）2()36=++fxxaxb，由题知：2(1)0

360(1)(1)0130(2)fabfaba−=−+=−=−+−+=，联立（1）、（2）有13ab==或29ab==．当13ab==时22()3633(1)0fxxxx=++=+在定义域上单调递增，故舍去；所以2a=，9b

=，经检验，符合题意．（2）当2a=，9b=时，2()31293(3)(1)=++=++fxxxxx，故方程()0fx=有根3x=−或1x=−，由2()31290fxxx=++得(,3)(1,)x−−−+，由2()31290fxxx=++得(3,1)x−−，函数()fx

的单调增区间为：[4,3)−−，(1,0]−，减区间为：(3,1)−−．函数在3x=−取得极大值，在1x=−取得极小值；经计算(4)0f−=，(3)4f−=，(1)0f−=，(0)4f=，所以函数的最小值为0，最大值为4．19．（1）0.025a=，众数为190，中位数

为190；（2）189.8cm；（3）25.【详解】（1）由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1可得()0.00150.0110.02250.030.0080.0015101a++++++=，解得0.025a=.众数为1851952+

=190，设中位数为x，因为()0.00150.01100.0225100.350.5++=，()0.00150.01100.02250.030100.650.5+++=，则185195x，()()0.00150.0110

0.0225100.0301850.5x+++−=，解得190x=；（2）1600.0151700.111800.2251900.32000.252100.082200.02x=++++++()189.8cm=.因此，估计苗埔中树苗的平均高度为189.8cm；（3）在株高2

05215−这一组应抽取：0.08540.080.02=+株，在株高215225−这一组应抽取：0.02510.080.02=+株，用1a、2a、3a、4a表示在株高205215−这一组的4株，用

b表示在株高215225−这一组的1株，从中抽调2株的抽法：12aa、13aa、14aa、1ab、23aa、24aa、2ab、34aa、3ab、4ab，共10个基本事件，设抽取2株中含有株高215225−这一组1株为A事件，A包含4个基本事件，(

)42105PA==.20．（1）1.664.4yx=+；（2）75或76.【详解】（1）由题意，1234563.56x+++++==，666770717274706y+++++==()()()()7222222212.5

1.50.50.51.52.517.5iixx=−=−+−+−+++=()171277281.617.5iiiiixxxyxyb==−−===701.63.564.4aybx=−=−=$$∴y关于x的线性回归方程为1.664.4yx=+；

（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x=，此时1.6764.475.6y=+=保留整数为75或76人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75或76人.21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2【详解】证明：（Ⅰ）1,

2,45ABBCABC===，ABAC⊥又//ABCD，CDAC⊥，PA⊥平面ABCD，PACD⊥，又ACAPA=，,ACAP平面PAC，CD\^平面PAC，AE平面PAC，CDAE⊥，又AEPC⊥，PCCDC=，,PCCD平面PC

D，AE⊥平面PCD，又AE平面AEB，平面AEB⊥平面PCD．（Ⅱ）以A为原点，以AB，AC，AP所在射线分别为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系．设APt=，则(0A，0，0)，(1B，0，0)，(0C，1，0)，

(1,10)D−，(0P，0，)t，ABPC⊥，AEPC⊥，PC⊥平面ABE，平面ABE的一个法向量为(0,1,)nPCt==−在RtPAC△中，PAt=，211ACPCt==+，又AEPC⊥，21tAEt=+，得222(0,,)11ttEtt++设平面ADE的一个法向量为(,,)mx

yz=由mADmAE⊥⊥，得222··0110ttyzttxy+=++−+=，解得(1,1,)mt=−二面角BAED−−的大小为150，222|||1|3|cos,||cos150|||||212mntmnmntt+====++，解得2t=，故侧棱PA的长

为2．22．（1）-1；（2）①两个；②证明见解析.【详解】解：()gx定义域为11(0,),()kxgxkxx−+=−=．当0k时，令()0gx，得10xk，令()0gx，得1xk，故()gx在10,k上单调递增，在1,k+

上单调递减．（1）当1k=时，()gx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以max()(1)1gxg==−．（2）（i）()gx在10,k上单调递增，在1,k+上单调递减，()gx至多有两个零点．11ln10,(1)0,

()ggkgxkk=−=−在11,k上有一个零点．由（1）可证ln10,lnxxxx−−„，从而224442424ln2ln20gkkkkkkk=−=−−=，又10gk，()gx在214

,kk上有一个零点．综上，函数()gx有两个零点．（ii）()fx的定义域为(0,),()ln11ln()fxxkxxkxgx+=+−−=−=．由（i）知()gx有两个零点，设为12,xx，且1210xx

k，且1122ln,lnxkxxkx==．又()gx在10,k上单调递增，在1,k+上单调递减．当10xx，或2xx时，()0gx；当12xxx时，()0gx．()fx

在()10,x上单调递减，在()12,xx上单调递增，在()2,x+上单调递减，故12,xx为()fx的两个极值点．()1111111111ln1lnln1ln1222fxxkxxxxx=−−=−−=−，同理()2221ln12fxxx=−．欲证()()121212lnln2

12fxfxxxxx++=−−，即证12lnln2xx+．1122ln,lnxkxxkx==，()()21212121lnlnlnlnxxkxxxxkxx+=+−=−，()22121211221212

212121111lnln,lnlnlnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++=+=−=−−−−，令211xtx=，即证1ln21ttt+−，即证()2t1ln001tt−−+．记2222(1)14(1)()ln,()01(1)(

1)tthtthtttttt−−=−=−=+++，()ht在(1,)+上单调递增，故()(1)0hth=，