【文档说明】北京市2023届高三数学模拟试题 含解析.docx，共(25)页，1.856 MB，由小赞的店铺上传

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2023年北京市高考数学模拟试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出

的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若集合1,2,3,4,5A=，|3Bxx=，则()AB=Rð（）A.4,5B.3,4,5C.1,2,3D.1,2【答案】B【解析】【分析】由题目条件，先求解RBð，再与集合A做交集运算即可.详解】因R{|3}

Bxx=ð，故()R{3,4,5}AB=ð．【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．2.设复数z满足()125izi+=，则z=（）A.12B.52C.5D.5【答案】C【解析】【分析】根据复数的四则运算得到2zi=+，再根据模长公式求解即可.【详解】因为()125

izi+=，所以55(12)(12)2125iiiziiii−===−=++，所以5z=，故选：C.3.双曲线2213yx−=的两条渐近线的夹角的大小等于（）A.6B.3C.23D.56【【答案】B【解析】【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，

再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线2213yx−=的两条渐近线的方程为3yx=，由直线3yx=的斜率为3，可得倾斜角为3，3yx=−的斜率为3−，可得倾斜角为23，所以两条渐近线的夹角的大小为3，故选：B.4.2()nxx+的展开式的二项式系数之和为8，则展开式

的常数项等于（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】由二项式系数和求出n，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．【详解】因为2()nxx+的展开式的各个二项式系数之和为8，所以28n=，解得3n=，所以展开式的通项为333

21332()2rrrrrrrTCxCxx−−+==，令3302r−=，1r=，则r＝1，所以常数项为6．故选：B5.在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点()2,1P−，则()sin2−的值为（）A.45

−B.35-C.35D.45【答案】A【解析】【分析】由角终边过点()2,1P−求出sin,cos，利用诱导公式及二倍角公式化简()sin2−即可得解.【详解】因为角终边过点()2,1P−，2215r=+=，所以12sin,cos55=−=，()4sin2sin22sincos5

−===−.故选：A【点睛】本题考查任意角的三角函数定义，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于基础题.6.已知函数()()22log1fxxx=−−，则不等式()0fx的解集为（）A.()(),12,−+B.()()0

,12,+C.()1,2D.()1,+【答案】B【解析】【分析】将已知不等式化为()22log1xx−，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式()0fx的解集．【详解】由题意，不等式()0fx，即()

22log10xx−−，等价于()22log1xx−在()0,+上的解，令()2loggxx=，()()21hxx=−，则不等式为()()gxhx，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不

等式()0fx的解集为()()0,12,+，故选：B7.宽与长的比为510.6182−的矩形叫做黄金矩形它广泛的出现在艺术建筑人体和自然界中，令人赏心悦目在黄金矩形ABCD中，51BC=−，ABBC，那么ABACuuuru

uur的值为（）A.51−B.51+C.4D.252+【答案】C【解析】【分析】由题意求出2AB=,建立直角坐标系，求出各个点的坐标，利用数量积求结果【详解】由已知得5151,,2BCBCABBCAB−=−=解得2AB=如图建立直角坐标系则()()()

0,0,51,0,0,2BCA−则()0,2,(51,2),4ABACABAC=−=−−=故选：C8.设na为等比数列，若m，n，p，*qN，则mnpq+=+是mnpqaaaa=的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件【答案】A【解析】【详解】根据等比数列的性质设na为等比数列，若m，n，p，*qN，则mnpq+=+mnpqaaaa=，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么na为

等比数列，若m，n，p，*qN，则mnpq+=+是mnpqaaaa=的充分不必要条件,选A.9.已知圆C：()2221xy−+=与直线l：3yx=，P为直线l上一动点.若圆上存在点A，使得π6CPA=，则PC的最大值为（）A.23B.4C.2D.43【答案】C

【解析】【分析】易知直线与圆相离，P为直线l上一动点，当直线PA与圆相切时，PC取得最大值，求解即可.【详解】圆C的圆心为()2,0C，半径为1，圆心到直线l的距离为230312d−==，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形PAC的外接圆直

径为22πsin6ACR==，P为直线l上一动点，当直线PA与圆相切时，此时PC为外接圆的直径，取得最大值，PC最大值为2.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.10.《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜

解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面11ABCD截正方体可得两个壍堵，再沿平面11BCD截壍堵可得一个阳马（四棱锥1111DABCD−

），一个鳖臑（三个棱锥11DBCC−），若P为线段CD上一动点，平面过点P，CD⊥平面，设正方体棱长为1，PDx=，与图中鳖臑截面面积为S，则点P从点D移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析得出11PMNCBC△△

，可得出1PNxCC=，求出PMNS△关于x的函数关系式，由此可得出合适的选项.【详解】设M、N分别为截面与1DB、1DC的交点，DPx=，01x，CD⊥平面PMN，CD⊥平面11BCC，所以，平面//PMN平面11B

CC，因为平面1DCC平面PMNPN=，平面1DCC平面111BCCCC=，所以，1//PNCC，同理可得11//MNBC，1//PMBC，所以，111111PNDNMNDMPMDPxCCDCBCDBBCDC======，所以，11PMNCBC△△，易知111111122CBCSB

CCC==△，因此，112212PMNCBCSxSx==△△.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函数解析式，结合解析式进行判断.第II卷（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5

分，共25分．11.()21,04,0xxfxxx+=−的零点为________．【答案】1,2−【解析】【分析】解方程()0fx=，即可得出答案.【详解】令()0fx=，则100xx+=或2400xx−=，解得1,2xx=−=故答案为：1,2−12.正方形ABCD中

，2AB=，P为BC中点，Q为DC中点，则PQPC=_______；若M为CD上的动点，则PQPM的最大值为_________.【答案】①.1②.3【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求得PQPC，设出M点坐标，求得PQPM的表达式，进而求得

PQPM的最大值.【详解】以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由于正方形ABCD的边长为2，,PQ分别是线段,BCDC的中点，所以()()()1,2,2,1,2,2PQC，所以()()1,11,01PQPC=−=.设()()2,0

,2Mtt，则()()1,11,23PQPMtt=−−=−，由于2,0t−−，所以31,3t−，所以PQPM的最大值为3.故答案为：（1）1；（2）3【点睛】本小题主要考查平面向量数量积运算，考查

数形结合的数学思想方法，属于基础题.13.已知函数()sin(2)fxx=+(其中为实数),若()()6fxf对xR恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)【答案】答案不唯一

，如：6【解析】【分析】根据f（x）≤|f（6）|，可得x6=时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；的【详解】由题意，f（x）≤|f（6）|对x∈R恒成立，可得x6=时，f（x）取得最大值或最小值．若x6=时，f（x）取得最大值，可得6=+2kπ

，k∈Z若x6=时，f（x）取得最小值，可得56=−+2kπ，k∈Z故答案为6【点睛】本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题14.已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为()2,0

F，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．【答案】①.28yx=②.6【解析】【分析】利用C：22(0)ypxp=的焦点坐标为,02p

,对照已知焦点坐标求得p,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得M的横坐标，利用抛物线的定义求得M到焦点的距离，进而得到所求.【详解】抛物线C：22(0)ypxp=的焦点为()2,0F，可得4p=，则抛物线C的方程是28yx=.由M为FN的

中点，N在y轴上，N的横坐标为0，F的横坐标为2，得M的横坐标为1，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，M是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，抛物线C：22(0)ypxp=的准线方程为22px=−=−,1232MpMFx=+=+=，26FNFM==.故答案为：28yx=；6.【点睛

】本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)求点到直线的距离，涉及线段中点坐标公式，属基础题.常用知识如下:（1）C：22(0)ypxp=的焦点坐标为,02p;（2）C：22(0)ypxp=上的点(),MMMxy

到焦点的距离为2Mpx+.15.小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积2(m)y与时间t（月）的关系的散点图．有以下叙述：①与函数21yt=+相比，函数2ty=作为近似刻画y与t的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第5个月时，浮萍

的面积就会超过230m；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从2月的24m蔓延到216m至少需要经过3个月．其中正确．．的说法有__________（填序号）．【答案】①②③.【解析】【分析】结合图

形求出函数的表达式，然后逐一判断【详解】①由题意知：浮萍蔓延的面积（2m）与时间（月）的关系：xya=（0a且1a），且由函数图象可知函数过点()1,2，∴2a=，∴这个指数函数的底数是2，正确，故①正确．∴函数解析式为2xy=．②当5

x=时，523230y==，故第5个月时，浮萍的面积就是超过230m成立，故②正确．③由2xy=知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两位，③正确．④由2xy=知，2x=，4y=；4x=，16y=，即需要经过2个月，故④不正确．【点睛】运用函数解决实际问题，关键

是建立数学模型，将其转化为函数问题，然后求解，需要理解题目意思．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，ACBC⊥，2ACBC==，13CC=，点D

，E分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD=，2CE=，M为棱11AB的中点．（Ⅰ）求证：DEBC⊥；（Ⅱ）求证：1//CM平面1DBE；（Ⅲ）求二面角1ADEB−−的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）66−.【

解析】【分析】（Ⅰ）根据1CC⊥平面ABC，得到1CCBC⊥；根据线面垂直的判定定理，得到BC⊥平面11ACCA，进而可证BCDE⊥；（Ⅱ）设1AD的中点为N，连接MN，连接1CN，根据面面平行的判定定理，先证明平面1//CMN平面1BED，进而可证线面平行；

（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、1CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面ADE和平面1DBE的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为1CC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以1CCBC⊥；又ACBC⊥，1ACC

CC=，AC平面11ACCA，1CC平面11ACCA，所以BC⊥平面11ACCA，因为DE平面11ACCA，所以BCDE⊥，即DEBC⊥；（Ⅱ）设1AD的中点为N，连接MN，则1//MNBD，又MN平面1BED，1BD平面1BED，所

以//MN平面1BED；连接1CN，因为1//CEND且1CEND=，所以1CNDE是平行四边形，所以1//CNDE，又1CN平面1BED，DE平面1BED，所以1//CN平面1BED；又1CNMNN=，且1CN平面1

CMN，MN平面1CMN，所以平面1//CMN平面1BED，又1CM平面1CMN，所以1//CM平面1DBE；（Ⅲ）以C为原点，分别以CA、CB、1CC的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C、(

)0,2,0B、()10,2,3B、()2,0,1D、()0,0,2E.由（Ⅰ）可知，BC⊥平面11ACCA，即BC⊥平面ADE，所以()0,2,0CB=uur是平面ADE的一个法向量，又()10,2,1EB=，()2,0,1ED=−．设()

,,nxyz=为平面1DBE的法向量，则100nEBnED==，即2020yzxz+=−=，不妨设1x=，可得()1,1,2n=−．26cos,626CBnCBnCBn−===−，因

为二面角1ADEB−−的平面角是钝角，所以，二面角1ADEB−−的余弦值为66−.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.17.在ABC中，3

a=，26b=，_________.求c的值.从①2BA=，②sinsin2BA=，③3152ABCS=△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3；选③：15或51.【解析】【

分析】如果选①：利用正弦定理求出6cos3A=，再求出sinC，利用正弦定理得解；如果选②：先求出6cos3A=，再利用余弦定理求出c；如果选③：先求出6cos4C=，再利用余弦定理求解.【详解】如果选①：因为3a=，26b=，2BA=，所以在ABC中

，由正弦定理得326sinsin2AA=.所以2sincos26sin3AAA=.故6cos3A=.(0,)A，所以23sin1cos3AA=−=.又因为2BA=，所以21cos2cos13BA=−=.所以222sin1cos3BB=−=.在

ABC中，sinsin()CAB=+sincoscossinABAB=+539=.所以sin5sinaCcA==.如果选②：因为3a=，26b=，sinsin2BA=，所以sin2sincosBAA=，由正弦定理得：2cosbaA=

故6cos3A=，由余弦定理可得：269242263cc=+−，28150cc−+=，解得5c=或3.如果选③：3152ABCS=△，则3151sin22ABCSabC==△，则10sin4C=，所以6cos4C=.当6

cos4C=时，22262cos9242326154cababC=+−=+−=，15c=；当6cos4C=−时，22262cos9242326514cababC=+−=++=，所以51c=或

15.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知.识的理解掌握水平.18.某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分

数据，将分数以10为组距分成6组：)0,10，)10,20，)20,30，)30,40，)40,50，)50,60，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数

)0,30)30,50)50,60满意度指数012（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（2）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B两家餐厅中选

择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.【答案】（1）20（2）0.3（3）详见解析【解析】【分析】（1）对A餐厅“满意度指数”为0，是指分数在)0,30内，由频率分布直方图求出)0,30内的频率，再求出人数；（2）分别求出对A,B餐厅评价“满意度指数”为0,1,2时的概率，对A餐厅评价的

“满意度指数”比对A餐厅评价的“满意度指数”高包括：对A餐厅评价的“满意度指数”为1，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对A餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为0；对A餐厅评价的“满意度指数”为2，对B餐厅评价的“满意度指数”为1，由相互独立事件计算公式，求

出结果；（3）从学生对A,B餐厅评价的“满意度指数”期望看，分别求出分布列，算出期望，得出结果.【小问1详解】由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为()0.0030.0050.012100.2++=，所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0

的人数为1000.220=.【小问2详解】设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C.记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1A；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件2A；“对B餐厅评价‘满意度指数’

为0”为事件0B；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件1B.所以()()10.020.02100.4PA=+=，()20.4PA=，由用频率估计概率得：()02350.1100PB++==，()215400.55100PB+==.因为事件iA与jB相互独立，其中1,2i=，0,1j=.所以

()()102021PCPABABAB=++()()()()()()102021PAPBPAPBPAPB=++0.40.10.40.10.40.550.3=++=所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3.【小问3详解】如果从学生对A，B两家餐

厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A餐厅“满意度指数”X的分布列为：X012P0.20.40.4B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：Y012P0.10.550.35因为()00.210.420.41.2EX=++=；()00.110.5520.351.25EY=++=，所以(

)()EXEY，会选择B餐厅用餐.注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可19.已知椭圆()2222:10xyEabab+=过点()6,1，且离心率为22.（1）求椭圆E的方程；（2）过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，

N两点，已知()3,0D，过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程.【答案】（1）22184xy+=；（2）证明见解析，直线4x=.【解析】【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）由

题设知MN的斜率不可能为0，可设直线MN的方程为2xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立椭圆方程，应用韦达定理可得1212yymyy+=，再由点斜式表示直线DN：()2233yyxx=−−，则()12233Pyxxy

−=+即可判断是否为定直线.【详解】（1）由题意，22611ab+=且22ca=，又222abc=+，解得28a=，24b=.椭圆的方程为22184xy+=.（2）设直线MN的方程为2xmy=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立方

程222,1,84xmyxy=++=整理得()222440mymy++−=，2221616(2)32(1)0mmm=++=+，由12242myym−+=+，12242yym−=+，即1212yymyy+=.直线DN的方程为()2233yyxx=−−.①过M且与y轴垂直的直

线的方程为1yy=.②联立①②可得()()1212121222313334Pyxymyyyyxyyy−−+−=+=+=+=.点P在定直线4x=上.【点睛】关键点点睛：第二问，设直线MN的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定1212,yyyy+的关系，进而由P的

位置用12,yy表示出其横坐标.20已知函数()()()212e2xfxxaxaxa=−−+R.（Ⅰ）当0a=时，求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（Ⅱ）若0a，讨论函数()fx的单调性；（Ⅲ）当2x时，()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）2yx=−−

；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）(2,e−.【解析】【分析】（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；（Ⅱ）由题意得()()()1xfxxea=−−，讨论ln1,ln1,ln1aaa=根据()0,()0fxfx判定其单调区间；（Ⅲ）法一：由题意得()

()()1xfxxea=−−，讨论220,0,aaeae根据单调性判定()()20fxf=是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于21()2)2xxxaxe−−（在)2,+上恒成立，用参变分

离法求出函数2()xegxx=最值.【详解】（Ⅰ）当0a=时，()()2xfxxe=−()()00022fe=−=−，.()()1xfxxe=−，()0(0)011kfe==−=−所以切线方程为：2(0)yx+=−−，即：

2yx=−−；（Ⅱ）由题()()2122xfxxeaxax=−−+，可得()()()()11xxfxxeaxaxea=−−+=−−由于0a，()0fx=的解为12ln1xax==，，（1）当ln1a=，即ae=时，()0fx，则(

)fx在(),−+上单调递增；（2）当ln1a，即0ae时，在区间()(),ln,1,a−+上，()0fx在区间()ln,1a上，()0fx，所以()fx的单调增区间为()(),ln,1,a−+；单调减区间为()ln,1a.(3)当ln1a

，即ae时，在区间()(),1,ln,a−+上，()0fx在区间()1,lna上，()0fx，则()fx在()(),1,ln,a−+上单调递增，()1,lna上单调递减.（Ⅲ）解法一：()()()1xf

xxea=−−（1）当0a时，因为2x，所以10x−，0xea−，所以()0fx，则()fx在)2,+上单调递增，()()20fxf=成立（2）当20ae时，()0fx，所以()fx在)2,+上单调递增，所以()()

20fxf=成立.（3）当2ae时，在区间()2,lna上，()0fx；在区间()ln,a+，()0fx，所以()fx在()2,lna上单调递减，()ln,a+上单调递增，所以()()20fxf=，不符合题意.综上

所述，a的取值范围是(2,e−.解法二：当2x时，()0fx恒成立，等价于“当2x时，21(2)02xxeaxax−−+恒成立”.即21()2)2xxxaxe−−（在)2,+上恒成立.当2x=时，00a，所以aR.当2x时，2102x

x−，所以22)212xxxeeaxxx−=−（恒成立.设2()xegxx=，则2(1)()2xxegxx−=因为2x，所以()0gx，所以()gx在区间()2,+上单调递增.所以2()(2)gxge=，所以2ae≤.综上所述，a的取值范围是(2,e

−.【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐

标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21.设数列12:,,,nAaaa（3n）的各项均为正整数，且12naaa.若对任意{3,4,,}kn，存在正整数,(1)ijijk使得kijaaa=+，则称数列A具有性质T.（1）判断数列1:1,2,4,7A与数列2:

1,2,3,6A是否具有性质T；（只需写出结论）（2）若数列A具有性质T，且11a=，22a=，200na=，求n的最小值；（3）若集合123456{1,2,3,,2019,2020}SSSSSSS==，且ijSS=（任意

,{1,2,,6}ij，ij）.求证：存在iS，使得从iS中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质T的数列.【答案】（1）数列1A不具有性质T；数列2A具有性质T（2）n的最小值为10（3）证明见解析【解析】【分析】（1）47a=不满足存在正整数,(1)ijijk使得ki

jaaa=+，故数列1A不具有性质T；根据定义可知数列2A具有性质T；（2）由题可知22a=，3224aa=，4328aa，L，872128aa，所以9n，再验证可知9n=时，数列A不具有性质T，10n=时，数列A具有性质T，从而可知n的最小值为10；（3

）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)iSi=都有：若正整数,,iabSab，则ibaS−，再根据定义推出矛盾，从而可证结论正确.【详解】（1）数列1A不具有性质T；数列2A具有性质T.（2）由题可知2

2a=，3224aa=，4328aa，L，872128aa，所以9n.若9n=，因为9200a=且982aa，所以8128100a.同理，765436450,3225,1612.5,86.25,43.125.aaaaa

因为数列各项均为正整数，所以34a=.所以数列前三项为1,2,4.因为数列A具有性质T，4a只可能为4,5,6,8之一，而又因为486.25a，所以48a=.同理，有567816,32,64,128aaaa====.此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,2

00.但数列中不存在19ij使得200ijaa=+，所以该数列不具有性质T.所以10n≥.当10n=时，取:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200A.（构造数列不唯一）经验证，此

数列具有性质T.所以，n的最小值为10.（3）反证法：假设结论不成立，即对任意(1,2,,6)iSi=都有：若正整数,,iabSab，则ibaS−.否则，存在iS满足：存在,iabS，ab使得ibaS−，此时，从iS中取出,,abba−：当aba−时，,,aba

b−是一个具有性质T的数列；当aba−时，,,baab−是一个具有性质T的数列；当aba=−时，,,aab是一个具有性质T的数列.（i）由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为1S，从1S中取出337个数，记为1

2337,,,aaa，且12337aaa.令集合1337{|1,2,,336}iNaaiS=−=由假设，对任意1,2,,336i=，3371iaaS−，所以234516NSSSSS.（ii）在23456,,,,SSSSS中至少有一个集

合包含1N中的至少68个元素，不妨设这个集合为2S，从21SN中取出68个数，记为1268,,,bbb，且1268bbb.令集合628{|1,2,,67}iNbibS==−.由假设682ibbS−.对任意1,2,,68k=，存在{1,2

,,336}ks使得337kksbaa=−.所以对任意1,2,,67i=，686868337337()()iiissssbbaaaaaa−=−−−=−，由假设681issaaS−，所以681ibbS−，所以6

812ibbSS−，所以23456NSSSS.（iii）在3456,,,SSSS中至少有一个集合包含2N中的至少17个元素，不妨设这个集合为3S，从23SN中取出17个数，记为1217,,,ccc，且1217ccc.令集合137{|1,2,,16}iN

cciS−==.由假设173iccS−.对任意1,2,,17k=，存在{1,2,,67}kt使得68ktkcbb=−.所以对任意1,2,,16i=，1717176868()()iiittttccbbbbbb−=−−−=−，

同样，由假设可得1712ittbbSS−，所以17123iccSSS−，所以3456NSSS.（iv）类似地，在456,,SSS中至少有一个集合包含3N中的至少6个元素，不妨设这个集合为4S，从34SN中取出6个数，记为126,,,ddd，且126ddd，则6456{|1,2,,

5}iddiSSN−==.（v）同样，在56,SS中至少有一个集合包含4N中的至少3个元素，不妨设这个集合为5S，.从45SN中取出3个数，记为123,,eee，且123eee，同理可得153326{,}eeeeSN−−=.（vi）由假设可得2131326()()eeeeee

S−=−−−.同上可知，1245123SSSeeSS−，而又因为21eeS−，所以216eeS−，矛盾.所以假设不成立.所以原命题得证.【点睛】本题考查了对新定义的理解和运用能力，考查了反证法，考查了集合的并集运算，准确理解定义和运用定义解题是解题关键，属于

难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com