【文档说明】福建省三明一中2020届高三下学期模拟卷3数学（文）试题答案.pdf，共(13)页，745.598 KB，由小赞的店铺上传

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8三明一中高三数学（文科）模拟卷3参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．D2．A3．A4．D5．B6．C7．B8．C9．A10．B11．C12．B11．3ABNABOSS=△△，得||3||MNMO=，故3NMMyyy−=（*），设

直线OM的方程为ykx=（0k），分别代入22yx=和22ypx=，得2Myk=，2Npyk=，代入（*）式得|1|3p−=，解得2p=−（舍去）或4p=，所以4p=．12．解法一：依题意，()()0ff==，故1sincos3+=，由

221sincos,3sincos1+=+=得29sin3sin−40−=，29cos3cos40−−=且sincos，所以sin，cos是方程29340xx−−=（*）的两个异根．同理可证，sin，cos为方程（*）的两个异根．可以得到

sinsin，理由如下：假设sinsin=，则coscos=，又,[0,2)，则=，这与已知相悖，故sinsin．从而sin，sin为方程（*）的两个异根，故4sinsin9=−．同理可

求4coscos9=−，所以cos()−=coscos8sinsin9+=−．解法二：令()0fx=，得1sincos3xx+=．令()sincosgxxx=+，即()2sin4gxx

=+，则，即为()gx与直线13y=在[0,2)上交点的横坐标，由图象可知，524+=，故52=−，又12sin43+=，所以cos()−=5cos2cos2324−

=+−cos24=−+2812sin49=−++=−．9解法三：依题意，不妨设02，则点(cos,sin)A，(cos,sin)B为直线103xy+−=与单位圆的两个交

点，如图所示．取AB中点为H，则OHAB⊥，记AOH=．则22−=−，所以，cos()cos(22)−=−cos2==22cos1−．另一方面，2210023611OH+−==+，1OA=，故2cos6=，从而228cos()2169−=−=−

．二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．yx=14．7−15．4516．853−+16．由题设、三角形面积公式及余弦定理得12cossin28abCabC=，所以tan

C=sin1cos2CC=，所以()tantan60DACC=−=3tan23185313tan23CC−−==−+++．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．1

7．本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】设等差数列na的公差为d，因为1a，6a为方程29140xx−+=的两根，且数列na

为递减的等差数列，10所以1672aa==，2分所以612716161aad−−===−−−，4分所以1(1)7(1)8naandnn=+−=−−=−，即数列na的通项公式为8nan=−．6分（2）由

（1）得8nan=−，所以82nnbn=−−，7分所以数列nb的前n项和()2[76(8)]222nnSn=+++−−+++8分(78)222212nnn+−−=−−11分2115222nnn+−=+−．12分18．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关

系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】解法一：（1）证明：在ABC△中，∵90ACB=，45ABC=，2AB=，1分∴2ACBC==，又直三梭柱111ABCABC

−中，12ABAA==，则11AABB为正方形，设1AB交1AB于点O，则O为1AB的中点，且11ABAB⊥．2分连接PA，1PB，PO，∵侧棱1CC⊥底面ABC，P为1CC的中点，则1122213PAACPC=+=+=，221111213BPBCCP=+=+=，故1PAPB=．3分∴1POAB⊥

，4分∵1POABO=，且PO，1AB平面1PAB，∴1AB⊥平面1PAB．6分（2）当Q为1AB中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面11AACC．7分理出如下：连接1AC，∵E为BC的中点，∴则1QEAC∥，∵QE平面11AACC，1AC半面1

1AACC，∴QE∥平面11AACC．9分此时，Q到平面11AACC的距离等于B到平面11AACC的距离的一半，10分又1111123BACCABCABCVV−−=214222323==，11分∴11111223QAA

CCBAACCVV−−==．12分解法二：（1）证明：在ABC△中，∵90ACB=，45ABC=，2AB=，∴2ACBC==，1分又直三棱柱111ABCABC−中，12ABAA==，则11AABB为正方形，设1AB交1AB于点O，则O为1AB的中

点，且11ABAB⊥．2分连接1BC交BP于F点，在直三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，12∵AC平面ABC，∴1ACBB⊥．又ACBC⊥，1BCBBB=，BC，1BB平面11BBCC，∴AC⊥平面11BBCC，∵BP平面

11BBCC，∴ACBP⊥，3分在矩形11BBCC中，P为1CC的中点，则22213PBBCPC=+=+=，2211246BCBCBB=+=+=，由11CCBB∥得1CPFBBF△∽△，∴1112PFCFP

CFBFBBB===，∴33PF=，63CF=，∴222PFCFPC+=，故1BCPB⊥，又ACBP⊥，1ACBCC=，AC，1BC平面1ABC，∴BP⊥平面1ABC，∵1AB平面1ABC，∴1ABBP⊥．4分又11ABAB⊥，1ABBPB=，1AB，BP

平面1PAB，∴1AB⊥平面1PAB．6分（2）当Q为1AB中点，即点Q与点O重合时，QE∥平面11AACC．7分理由如下：取AB中点M，连接QM，ME，又CEBE=，∴MEAC∥，13∵ME平面11AACC，AC平面11

AACC，∴ME∥平面11AACC．8分同理可得QM∥平面11AACC．又∵MEQMM=，ME，QM平面QME，∴平面QME∥平面11AACC，又∵QE平面QME，∴QE∥平面11AACC．9分此时，Q到平面11AACC的距离等于E到平面11AACC的距离，10分在直三棱柱111ABC

ABC−中，1CC⊥平面ABC，∵BC平面ABC，∴1CCBC⊥，又ACBC⊥，1ACCCC=，AC，1CC平面11AACC，∴BC⊥平面11AACC，∴EC为四棱锥11QAACC−的高，22EC=．11分∴1111QAACCEAACCVV−−==111122(22)3323AA

CCSEC==．12分解法三：（1）证明：在ABC△中，∵90ACB=，45ABC=，2AB=，∴2ACBC==，1分设1AB交1AB于点O，在直三棱柱111ABCABC−中，12AA=

，11AABB为正方形，∴O为1AB中点，且11ABAB⊥．2分连接PA，1PB，PO，14∵侧棱1CC⊥底面ABC，P为1CC的中点，则22213PAACPC=+=+=，221111213BPBCCP=+=+=，故1PAPB=．3分∴1POAB⊥，4分同理可得1POAB⊥．又11A

BABO=，1AB，1AB平面11ABBA，PO⊥平面11ABBA．∵PO平面1PAB，∴平面1PAB⊥平面11ABBA．5分∵平面1PAB平面111ABBAAB=，1AB平面11ABBA，∴1AB⊥平面1PAB．6分（2）同解法一．12

分19．本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】解法一：（1）依题意，42a=，故2a=．2分将点21,2代入椭圆方程得，2211

12ab+=，所以21b=，4分所以C的方程为2212xy+=．5分（2）由（1）知1F，2F的坐标分别为(1,0)−，(1,0)．设()11,Axy，()22,Bxy，直线l的方程为1xty=−，15代入

2212xy+=得，()222210tyty+−−=．6分所以()222442880ttt=++=+，12222tyyt+=+，12212yyt=−+．7分因为()()211111,2,FAxytyy=−=−，()()222221,2,FBx

ytyy=−=−，所以()()22121222FAFBtytyyy=−−+8分()()21212124tyytyy=+−++222214422tttt+=−−+++9分225142tt−−=++，因为223FAFB=，所以225112tt−−=−+，即22512tt+=+，10分解

得12t=，11分综上，直线l的方程为220xy−+=或220xy++=．12分解法二：（1）同解法一．5分（2）由（1）知1F，2F的坐标分别为(1,0)−，(1,0)．设()11,Axy，()22,Bxy，①当ABx⊥轴时，A，B的坐标为21,2−−，21,2−

，则222272,2,3222FAFB=−−−=，不满足题意．6分②当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为(1)ykx=+，16代入2212xy+=得：()22221242

20kxkxk+++−=．所以()()()22222441222880kkkk=−+−=+，2122412kxxk+=−+，21222212kxxk−=+，7分因为()2111,FAxy=−，()2221,FBxy=−，所以()()221

21211FAFBxxyy=−−+=()1212121xxxxyy−+++．8分因为()()121211yykxkx=++=()212121kxxxx+++，所以()()()()22221212111FAFBkxxkxx=+++−+()()2222

222241111212kkkkkk−−=+++−++9分227112kk−=+．依题意得：2271312kk−=+，10分解得24k=，即2k=．11分综上，直线l的方程为220xy−+=或220xy++=．12分20．本题主要考查概率与统计等

基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）0rr．2分理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，3分①异常点A，B会降低变量间的线性相关程度；4分②44个数据点与其回归直线的总偏差更大

，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大；④42个数据点更贴近其回归直线l；⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）17（2）由题

中数据可得：4211110.542iixx===，42117442iiyy===，5分()()42421142iiiiiixxyyxyxy==−−=−=35035042110.5746916−=7分所以()()()1216916ˆ0.

50113814.5niiiniixxyybxx==−−==−，8分ˆˆ740.501110.518.64aybx=−=−，10分所以ˆ0.5018.64yx=+，11分将125x=代入，得ˆ0

.5012518.6462.518.6481y=+=+，所以估计B同学的物理成绩约为81分．12分21．本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】解法一：（1）依题意得，()(1cossin)(sincos

)xxfxxxexxxe=++++−1分(12sin)xxxe=++．2分所以()()()(1sincos)xgxfxfxxxe=−=++，()(12cos)xgxxe=+．3分令()0gx，得1cos2x−，解得222233kxk−++，kZ令()0

gx，得1cos2x−，解得242233kxk++，kZ．4分所以()gx的单调增区间为222,233kk−++；单调减区间为242,233kk++，其中kZ．5分（2）要证()1fxx−，只需证：()10fxx+−．设

()()1hxfxx=+−，0x，则()()1(12sin)e1xhxfxxx=−=++−．6分18记()()(12sin)e1xtxhxxx==++−，则()(22sin2cos)extxxxx=+++．

7分当[0,]x时，sin0x，又22cos0x+，e0x，所以()0tx；8分当(,)x+时，x，2sin2x−，所以2sin20xx+−，又22cos0x+，e0x，所以()0tx．9分

综上，当0x时，()0tx恒成立，所以()tx在[0,)+上递增．所以，()(0)0txt=，即()0hx，10分所以，()hx在[0,)+上递增，则()(0)0hxh=，证毕．12分解法二：（1）同解法一．5分（2）要证()1fxx−，只需证()10fxx+−：设()()1hx

fxx=+−，0x，则()()1(12sin)e1xhxfxxx=−=++−．6分[0,]x时，11x+，sin0x，12sin1xx++，8分(,)x+时，11x++，2sin2x−，故12sin121xx+++−．9分综上，当0x时

，12sin1xx++，所以，当0x时，()e10xhx−．10分所以，()hx在[0,)+上递增，则()(0)0hxh=，证毕．12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作

答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分10

分．【解答】解法一：（1）因为曲线1C的参数方程为5cos15sinxy=+=（为参数），所以1C的普通方程为22(1)5xy−+=，2分即22240xyx+−−=，3分19化为极坐标方程为

22cos40−−=．5分（2）由（1）知，1C的极坐标方程为22cos40−−=，设()11,A，()22,B，联立22sin,2cos40=−−=，消去得：2sinsincos10−−=

，6分所以2sincoscos0−−=，解得cos0=或sincos=−，7分由题意可设[0,]，所以2=或34=，8分所以12sin22==，232sin24==，9分所以||||22OAOB=．10

分解法二：（1）同解法一．5分（2）由（1）可知1C的普通方程为22(1)5xy−+=．①2C的极坐标方程化为直角坐标方程为222xyy+=．②6分联立方程①②，并解得0x=或1x=−，8分即(0,2)A，

(1,1)B−，9分所以||||22OAOB=．10分解法三：（1）同解法一．5分（2）由（1）知，1C的极坐标方程为22cos40−−=，设()11,A，()22,B，且10，20，联立22sin2cos40

=−−=，，消去得：42680−+=，8分所以12=，22=，（或由韦达定理得22128=）9分20所以12||||22OAOB==．10分23．本题主要考查绝对值不等式和解不等式等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核

心素养．满分10分．【解答】（1）当3a=时，()|1||23|fxxx=−+−．当1x时，1232xx−−+，解得213x；1分当312x时，1232xx−−+，解得312x；2分当32x时，1232xx−+−，解得322x．3分综上，()2fx的解集为2

,23．5分（2）不等式|1|()3xfx−+的解集非空，等价于|22||2|3xxa−+−有解．6分因为|22||2||222||2|xxaxxaa−+−−−+=−，当且仅当(22)(2)0xxa−−时取等号，8分所以|2|3a−，9分解得1

5a−．所以实数a的取值范围为(1,5)−．10分