【文档说明】吉林省友好学校2024-2025学年高三上学期10月期中考试（第78届联考）数学试题 Word版含解析.docx，共(15)页，1.656 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年度友好学校高三期中考试数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合1,0,1,2,0,2,3AB=−=，则AB=（）A.0,2B.0,1,2C.1,0,1,2−D.1,0,1,2,3−【答案】A【解析】【分析】根据交集定义求解.

【详解】因为1,0,1,2,0,2,3AB=−=，所以AB=0,2，故选:A.2.已知命题p：xR，2e1xx−，那么命题p为（）A.xR，2e1xx−B.xR，2e1xx−C.x

R，2e1xx−D.xR，2e1xx−【答案】C【解析】【分析】利用特称命题的否定变换形式即可求解.【详解】p：xR，2e1xx−，则p：xR，2e1xx−.故选：C3.函数()2ln6fxxx=+−的零

点所在区间为（）A.10,2B.1,12C.()1,2D.()2,3【答案】D【解析】【分析】利用零点存在定理可判断出函数()yfx=零点所在的区间.【详解】易知函数()yfx=在(0,+∞)上单调递增，又()150f=−，()2ln220f=−，()3ln330

f=+，故函数()yfx=的零点所在区间为()2,3．故选：D.【点睛】本题考查函数零点所在区间的判断，一般利用零点存在定理来判断，考查计算能力与推理能力，属于基础题.4.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省

，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座

建筑物AB，高为()30330m,−在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）62.(sin15)4−=A.30mB.60mC.303mD.

603m【答案】D【解析】【分析】在ACM△中，利用正弦定理，得sin15sin30AMCM=，再结合锐角三角函数的定义，求得AM，CD，得解．【详解】由题意知，45CAM=，1801560105AMC=−−=，所以180105

4530ACM=−−=，的在RtABM中，sinsin15ABABAMAMB==，在ACM△中，由正弦定理得，sin30sin45AMCM=，所以sin45sin45sin30sin15sin30AMABCM==，在RtDC

M中，()2330330sin45sin6022sin60603sin15sin3062142ABCDCM−====−米，所以小明估算索菲亚教堂的高度为603米．故选：D．5.设π02，若()2sincos3cos23++=，则sin2=（

）A.32B.12C.22D.34【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可推出πsin(2)13+=，结合角的范围求得，即可求得答案.【详解】由题意()2sincos3cos23+

+=，则12sincos3cos23++=，即sin23cos22+=，故π2sin(2)23+=，即πsin(2)13+=，由于π02，所以ππ4π2(,)333+，则ππ2

32+=，即π12=，故π1sin2sin62==，故选：B6.曲线2exyx=在点()1,e处的切线方程为（）A.e2e0xy+−=B.3e4e0xy+−=C.3e2e0xy−−=D.e32e0xy−+=【答案】C

【解析】【分析】用导数几何意义去求切线方程即可.【详解】由2exyx=，得22eee(2)xxxyxxxx=+=+，所以该曲线在点(1,e)处的切线斜率为3ek=，故所求切线方程为e3e(1)yx−=−，即3e2e0xy−

−=．故选：C.7.已知4log2a=，8log3b=，1215c=，则（）A.abcB.cabC.acbD.cba【答案】B【解析】【分析】由题意可得12a=，再由对数函数性质和根式与指数式

的互化分别得出12b和12c即可得解.【详解】由题41log22a==，又由3logyx=是增函数可知881log3log82b==，12111525c==，∴cab，故选：B

.8.函数f(x)＝2log,02,0xxxax−+有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a<0B.0<a<C.<a<1D.a≤0或a>1【答案】A【解析】【分析】函数y=f（x）只有一个零点，分段函数在𝑥>0时，2logyx=存在一个零点为1，

在0x无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当𝑥>0时，y=2logx，x=1是函数的一个零点，则当0y2xxa=−+，无

零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，故选A【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条

件，D项是冲要条件，容易疏忽而出错.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“ab”是“22ab”的既不充分也不必要条件B.22

1log4yx=−+的最大值为2−C.若22cossin1+=，则=D.命题“()0,x+，11xx+”的否定是“()0,x+，11xx+≤”【答案】AB【解析】【分析

】利用特殊值判断A，根据对数函数的性质判断B，利用平方关系及诱导公式判断C，根据含有一个量词命题的否定判断D.【详解】对于A：若0a=，1b=−，满足ab，但是22ab，故充分性不成立，若1a=−，0b=，满足22ab

，但是ab，故必要性不成立，即“ab”是“22ab”既不充分也不必要条件，故A正确；对于B：由2104x−+，解得1122x−，所以函数221log4yx=−+的定义域为11,22−，又211044x−

+，所以当0x=时函数221log4yx=−+取得最大值，且max21log24y==−，故B正确；对于C：因为22cossin1+=，又22cossin1+=，所以22coscos=，所以πk=+，Zk，故C

错误；的对于D：命题“()0,x+，11xx+”的否定是“()0,x+，11xx+≤”，故D错误；故选：AB10.下列说法正确的是（）A.函数()11fxxx=+−与()21gxx=−是相同的函数B.函数()2291616fxxx=+++的最小值为6C.若函数()313xx

kfxk−=+在定义域上为奇函数，则1k=D.已知函数()21fx+的定义域为1,1−，则函数()fx的定义域为1,3−【答案】AD【解析】【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据奇函数的性质即可求解C，由抽象函数定义域的性质即可求解D.【详解】

对于A，由题意可得1010xx+−，解得11x−，所以()11fxxx=+−的定义域为[1−，1]．由210x−得11x−，所以2()1gxx=−的定义域为[1−,1]．又因为2()111()fxxxxg

x=+−=−=，故函数()fx与()gx是相同的函数，故A正确．对于B,222299()1621661616fxxxxx=+++=++，当且仅当2291616xx+=+时取等号．由于2169x+=方程无解，故等号不成立，故B错误．对于

C,若()313xxkfxk−=+在定义域上为奇函数，当0k时，x需要满足01313xxkk+−，则由奇函数定义域关于原点对称，可得0131kk−==−，此时()()133031131xxxxfx

x−−==−+−，()()13313131xxxxfxfx−−−===−−++−，为奇函数，所以1k=−满足题意；若0k，可得函数的定义域为R,故()1001kfk−==+，解得1k=，经检验符合题意，所以1k=，故C错误，对于D，对于已知函数()21fx+

的定义域为1,1−，则11x−，故1213x−+，则函数()fx的定义域为1,3−，D正确，故选：AD．11.已知函数()21sinsincos2fxxxx=++的图象为C，以下说法中正确的是（）A.函数()fx的最大值为2

12+B.图象C关于π8,0中心对称C.函数()fx在区间π3π,88−内是增函数D.函数()fx图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移π4可得到2sin12yx=+【答案】CD【解析】【分析】根据降幂公式、二倍角正弦

公式，结合正弦型函数的最值、对称性、单调性、图象变换性质逐一判断即可.【详解】()211cos2112πsinsincossin2sin21222224xfxxxxxx−=++=++=−+.A：函数()fx的最大值为212+，因此本选

项不正确；B：因为π2ππsin2118284f=−+=，所以图象C不关于π8,0中心对称，因此本选项不正确；C：当π3π,88x−时，πππ2,422x−−，所以函数()fx在区间π3π

,88−内是增函数，因此本选项正确；D：函数()fx图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到2πsin124yx=−+，再向左平移π4可得到2sin12yx=+，所以本选项正确，故选：CD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5

分，共15分12.设1x−，则函数461yxx=+++的最小值是__________.【答案】9【解析】【分析】根据题意，化简4461511yxxxx=++=+++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由1x−，可得10x+，则()4446152

159111yxxxxxx=++=+++++=+++，当且仅当411xx+=+时，即1x=时，等号成立，所以函数461yxx=+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.13.已知集合2}71|0{2Axxx=++，集合|122B

xmxm=−其中xA是xB的充分不必要条件，则m的取值范围是________________．【答案】5,2+【解析】【分析】由条件可得AB，化简集合A，根据集合的包含关系列不等式可求m的取值范围.【详解】因为xA是xB的充分不必要

条件，所以AB，因为不等式27120xx++的解集为43xx−−，所以43Axx=−−，所以23124mm−−−，所以52m，所以m的取值范围是5,2+.故答案为：5,2

+.14.关于函数()3cos22sincosfxxxx=−，有如下命题：（1）3x=是()fx图象的一条对称轴；（2）,06（）是()fx图象的一个对称中心；（3）将()fx的图象向左平移6，可得到一个奇函数的图象．其中真命题的序号为_____

_________．【答案】(2)(3)【解析】【分析】将函数的解析式化为()2cos26fxx=+，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题．【详解】由题意得()3cos2sin22cos26fxxxx=−=+

，对于（1），当3x=时，22cos2336f=+，所以3x=不是函数图象的对称轴，所以（1）不正确．对于（2），6x=时，2cos0636f=+=，所以π,06（）是()fx图象的一个对称中心，所以（2）正

确．对于（3），将()fx的图象向左平移6后所得图象对应的解析式为()2cos266fxx=++2cos2222xsinx=+=−，为奇函数，所以（3）正确．综上可得（2）（3）为真命题．故答案为（2）（3

）．【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为()2cos26fxx=+的形式后，将26x+作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题．四．解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15

.已知全集UR=，集合2|340Axxx=+−，|11Bxmxm=−+.（1）若1m=，求()UABð；（2）若BA，求m的取值范围.【答案】（1）()|40UBAxx=−Ið；（2）3,0−【解析】【分析】（1）分别求出UBð和A,再取

交集，即可．（2）因为BA且11mm−+恒成立，所以1411mm−−+，解出即可．【详解】解：（1）若1m=，则|02Bxx=，所以|0UBxx=ð或𝑥>2}，又因为|41Axx=−，所以()|40UBAxx=−Ið．（2）由（1）得，|41Axx

=−，又因为BA，所以1411mm−−+，解得3,0m−．【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．16.已知函数()lnsinfxxx=+．（1）求

曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()fx在区间1,e上最小值．【答案】（1）()1cos1sin1cos11yx=++−−（2）sin1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义结合给定条件求解切线

方程即可.的（2）利用导数结合零点存在性定理求出函数单调性，再求解最值即可.【小问1详解】由题意得，()1cosfxxx+=，所以()11cos1f=+，又()1sin1f=，所以曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为

()()sin11cos11yx−=+−，即()1cos1sin1cos11yx=++−−；小问2详解】由上问得()1cosfxxx+=，因为1yx=和cosyx=均在区间1,e上单调递减，所以𝑓′(𝑥)在区间1,e上单调递减，因为()11cos10f+=，()1

12π11ecosecos0ee3e2f=++=−，所以()0fx=在()1,e上有且只有一个零点，记为0x，所以)01,xx时，𝑓′(𝑥)>0；(0,exx时，𝑓′(𝑥)<0，所以

()fx在)01,x上单调递增，在(0,ex上单调递减，因为()()1sin1,e1sineff==+，所以()fx在区间1,e上的最小值为sin1．17.已知函数()23sin22sin.fxxx=+（1）求()fx的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f

x在区间0,2上的值域．【答案】（1）最小正周期T=，单调递增区间为,63kk−+，Zk；（2）0,3.【解析】【分析】【（1）利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简()2216fxsinx

=−+，由周期公式计算得()fx的最小正周期，由222262kxk−−+，Zk可解得函数()fx的单调增区间；（2）由x的范围求出26x−的范围，进一步求出sin26x−的范围

，从而可得结果．【详解】（1）()23sin22sin3sin21cos2fxxxxx=+=+−312sin2cos212sin21226xxx=−+=−+．()fx\的最小正周期22T==，令222262kxk−−+，Zk，得63kxk

-＃+，Zk，()fx\的单调递增区间为,63kk−+，Zk；（2）0,2x时，52,666x−−，1sin2,162x−−，所以2sin26x−的最大值为2，

最小值为1−()2216fxsinx=−+在区间0,2上值域为0,3．【点睛】方法点睛：函数sin()yAx=+的单调区间的求法：若0,0A，把x+看作是一个整体，由22kx++()3

22kkZ+求得函数的减区间，2222kxk−+++求得增区间；18.记ABCV的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos3bAaBc+=.（1）求A；（2）求2bca+的最大值.的【答案】（1）π3A=（2）2213.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定

理边化角，进而可得tan3A=，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan3A=，结合角的范围即可求解；（2）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()2221sin3bcBa+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】方法1：由sin3

cos3bAaBc+=及正弦定理可得：()sinsin3sincos3sin3sinBAABCAB+==+，所以sinsin3sincos3sincos3cossinBAABABAB+=+，故sinsin3cossinBAAB=，因为0πB，即s

in0B，故sin3cos0AA=，所以tan3A=，又0πA，所以π3A=.方法2：由sin3cos3bAaBc+=及余弦定理可得：()2223sin32aacbbAcac+−+=，所以()2223sin3cos02bcaA

Abc+−==，所以tan3A=，又0πA，所以π3A=.【小问2详解】由正弦定理可知22sinsinsinbcBCaA++=，即()2232π23532212sinsinsincossin333223bcBBBBBa+=+−=+=+

，其中3πtan52=，2π7π0,036BB+,故当π2B+=时，2bca+的最大值为2213.19.设函数()2ln25fxxxx=+−.（1）求函数()fx的极小值；（2）若关于x的方程()()22

6fxxmx=+−在区间2[1,e]上有唯一实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）极小值为()13f=−；（2）222{|11,=1}mmmee++或．【解析】【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可

求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程2ln11,exmx=+在区间上有唯一解，，设()ln1xgxx=+，，然后得到函数()gx的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据ym=和函数()gx的图象可得到所求的范围．【详解】（1）依题意知()fx的定义域

为()0,+，∵()2ln25fxxxx=+−，∴()()()2411145145xxxxfxxxxx−−−+==+−=，令()0,fx=解得1,x=或14x=则()()1010,4xxfxfx当或时，单调递增，()1104xfx当时，，()fx单

调递减．∴所以当𝑥=1时函数()fx取得极小值，且极小值为()13f=−．（2）()()()226ln1fxxmxxmx=+−=−由得，0x又，所以ln1xmx=−，()()22261,e,fxxmx=+−要使方程在区间上有唯一解只需2ln11,exmx=+在区间上有唯一解．令

()ln1(0)xgxxx=+，则()21lnxgxx−=，由()0gx，得1xe；由()0gx，得2exe∴()gx在区间1,e上是增函数，在区间2,ee上是减函数.∴当xe=时函数()gx有最大值，且最大值为()1

1gee=+，又()()2222ln211,11eggeee==+=+，∴当11me=+或2211me+时，ln1xmx=+在区间21,e上有唯一解，∴实数m的取值范围为222{|11,=1}mmme

e++或．【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现．