【文档说明】福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测 数学答案.docx，共(23)页，1.385 MB，由小赞的店铺上传

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第1页/共23页学科网（北京）股份有限公司福州三中2024-2025学年第一学期高三第二次质量检测数学试卷命题人：高三数学集备组审卷人：高三数学集备组注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案

后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集6Uxx=N，集合1,2,3,2,4,5AB==，则()UAB=ð（）A.0B.4,5C.2,4,5D.0,2,4,5【答案】B【解析】【分析】求出UAð再求()UABð即可.【详解】由题知0,

1,2,3,4,5U=，U045，，=Að，则()U45，=BAð.故选：B.2.设xR，则“sin1x=”是“cos0x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性

质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为22sincos1xx+=可得：当sin1x=时，cos0x=，充分性成立；当cos0x=时，sin1x=，必要性不成立；所以当xR，sin1x=是cos0x=的充分不必要条件.第2页/共23页学科网（北京）股份有限公司故选

：A.3.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sinsin(sincos)0BACC+−=，a=2，c=2，则C=A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=s

inAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵π2＜A＜π，∴A

=3π4，由正弦定理可得csinsinaCA=，∵a=2，c=2，∴sinC=sincAa=2212=22，∵a＞c，∴C=π6，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可

用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方第3页/共23页学科网（北京）股份有限公司便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4

.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值是()A.2−B.32−C.43−D.1−【答案】B【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC中

点为坐标原点，则(0,3)A，(1,0)B−，(1,0)C，设(,)Pxy，则(,3)PAxy=−−，(1,)PBxy=−−−，(1,)PCxy=−−，则222233()22322[()]24PAPBPCxyyxy+=−+=+−−当

0x=，32y=时，取得最小值332()42−=−，故选：B．5.函数()fx在(,)−+单调递减，且为奇函数，若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x的取值范围是．A.[2,2]−B.[1,1]−C.[0,4]D.[1,3]【答案】D【解析

】【详解】()fx是奇函数，故()()111ff−=−=；又()fx是减函数，1(2)1fx−−，即()(1)2(1)ffxf−−则有121x−−，解得13x，故选D.的第4页/共23页学科网（北京）股份有限公司6.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边在第三象限

.则（）A.sincostan−B.sincostan−C.sincostanD.sincostan【答案】C【解析】【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin0、cos0

，tan0，对A：当sin0−→时，cos1→−，则sincos1−→，tan0→，此时sincostan−，故A错误；对B：当5π4=时，1sincossinc5π5π5π0tan44os

4−=−==，故B错误；对C、D：22sinsincoscoscostancos==，由1cos0−，故()2cos0,1，则2costantan，即sincostan

，故C正确，D错误.故选：C.7.在正四棱台1111ABCDABCD−中，1114,2,3===ABABAA，若球O与上底面1111DCBA以及棱,,,ABBCCDDA均相切，则球O的表面积为（）A.9πB.16πC.25πD.36π【答案】C【解析】【分析】根

据勾股定理求解棱台的高1MN=,进而根据相切，由勾股定理求解球半径52R=，即可由表面积公式求解.【详解】设棱台上下底面的中心为,NM,连接11,DBDB，则1122,42DBDB==，所以棱台的高()()()22221132221MNBBMBNB=−−=−−=,设球半径为R,

根据正四棱台的结构特征可知：球O与上底面1111DCBA相切于N,与棱,,,ABBCCDDA均相切于各边中点处，设BC中点为E，连接,,OEOMME,第5页/共23页学科网（北京）股份有限公司所以22222212OEOMMERR=+=−+，解得52R=，所以

球O的表面积为24π25πR=，故选：C8.已知函数()2lnfxx=+，()gxax=，若总存在两条不同的直线与函数()yfx=，()ygx=图象均相切，则实数a的取值范围为（）A.()0,1B.()0,2C.()1,2D.()1,e【答案】B【解析】【分析】设函数()

yfx=，()ygx=的切点坐标分别为()11,2lnxx+，()22,xax，根据导数几何意义可得2114ln4xax+=，1>0x，即该方程有两个不同的实根，则设()4ln4,0xhxxx+=，求导确定其单调性与取值情况，即可得实数a

的取值范围.【详解】解：设函数()2lnfxx=+上的切点坐标为()11,2lnxx+，且1>0x，函数()gxax=上的切点坐标为()22,xax，且20x，又()()1,2afxgxxx==，则公切

线的斜率1212akxx==，则0a，所以22214axx=，则公切线方程为()()11112lnyxxxx−+=−，即111ln1yxxx=++，代入()22,xax得：22111ln1axxxx=++，则22211111ln124aaxxxx=++

，整理得2114ln4xax+=，若总存在两条不同的直线与函数()yfx=，()ygx=图象均相切，则方程2114ln4xax+=有两个不同的实根，设()4ln4,0xhxxx+=，则()()244ln44

lnxxxxhxxx−+−==，令()0hx=得1x=，第6页/共23页学科网（北京）股份有限公司当()0,1x时，()0hx，()hx单调递增，()1,x+时，()0hx，()hx单调递减，又()0hx=可得1ex=，则0x→时，

()hx→−；x→+时，()0hx→，则函数()hx的大致图象如下：所以2004aa，解得02a，故实数a的取值范围为()0,2.故选：B.【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关键是

，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为()11,2lnxx+，且1>0x，()22,xax，且20x，可得1212akxx==，即有22214axx=，得公切线方程为111ln1yxxx=++，代入切点()22,xax

将双变量方程22111ln1axxxx=++转化为单变量方程22211111ln124aaxxxx=++，根据含参方程进行“参变分离”得2114ln4xax+=，转化为一曲一直问题，即可得实数a的取值范围.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个

选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知各项均为正数的等差数列na，且1nnaa+，则（）A.3746aaaa+=+B.3746aaaaC.数列21na+是等差数列D.数列2na是等比数列【答案】

AC【解析】【分析】根据等差数列性质可以判断A正确；利用等差数列通项公式可以判断B错误；根据等差数列的概念可判断C，根据特例可判断D.【详解】设等差数列na的公差为()0dd，对A，因为na是等差数列，且3746+=+，第

7页/共23页学科网（北京）股份有限公司则由等差数列性质可得3746aaaa+=+，故A正确；对B，246371111(3)(5)(2)(6)30aaaaadadadadd−=++−++=，则3746aaaa，故B错误；对C，因为21212nn

aad+−=−，则数列21na+是等差数列，故C正确；对D，如数列na为1,2,3,4,5,6，显然数列2na不是等比数列，故D错误;故选：AC.10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M，N，P分别为棱1B

B，11BC，1CC的中点，则下列结论正确的是（）A.1AC⊥平面1DMNB.点P与点D到平面1DMN的距离相等C.平面1DMN截正方体1111ABCDABCD−所得截面图形为等腰梯形D.平面1DMN将正方体1111ABCDABCD−分割成的上、下两

部分的体积之比为7:17【答案】BCD【解析】【分析】假设1AC⊥平面1DMN，证得111DNAC⊥，显然不成立，即得A错误；证明1,,,AMND四点共面，即得截面四边形，再结合平行关系和长度关系即判断C正确；利用线面平行

的判定定理证明//DP平面1DMN，即证B正确；计算分割的上面部分棱台的体积和正方体体积，即得下面部分体积，证得D正确.第8页/共23页学科网（北京）股份有限公司【详解】正方体1111ABCDABCD−中，

不妨设棱长为2.假设1AC⊥平面1DMN，则11ACDN⊥，而1CC⊥底面1111DCBA，则11CCDN⊥，1AC与1CC相交于平面1ACC内，所以1DN⊥平面1ACC，则111DNAC⊥，显然不成立，即选项A错误；连接1AD，AM，由11////MN

BCAD知，1,,,AMND四点共面，即为平面1DMN截正方体1111ABCDABCD−所得截面图形，而1MNAD，15DNAM==，故截面图形为等腰梯形，C正确；由//ADMP,=ADMP知四边形ADPM是平行四边形，所以/

/DPAM，且DP平面1DMN，AM平面1DMN，故//DP平面1DMN，所以点P与点D到平面1DMN的距离相等，选项B正确；平面1DMN将正方体1111ABCDABCD−分割的上面部分是棱台111BMNAAD−，上底面面积为12S=，下底面面积为2S=，高112hAB=

=，所以体积()111171223323VSSSSh=++=++=，而正方体体积为8V=，所以分割的下面部分体积2717833V=−=，所以12717VV=，即选项D正确.故选：BCD.11.已知奇函数()fx的定义域为R

，()22f=，对于任意的正数12,xx，都有()()()12121fxxfxfx=+−，且12x时，都有()0fx，则（）A.102f=B.函数()fx在(),−+内单调递增第9页/共23页学科网（北京）股份有限公司C.对于任意0x都有()12fxfx

+=−D.不等式()ln20fx−的解集为()11,2,4816−−【答案】ACD【解析】【分析】根据已知应用赋值法判断A选项，结合奇函数判断C选项，根据单调性定义判断B选项，结合单调性解不等式判断D选项.【详解】已知()()()12121fxxfxfx=+

−,令121,1,xx==可得()()()1111,fff=+−()11f=,令1212,,2xx==可得()()112112fff=+−=,得()22f=,102f=,A选项正确;奇函数()fx的定义域为R,()()fxfx−=−，所以()00f=,又知102f

=,所以函数()fx在(),−+内不是单调递增,B选项错误;对于任意的正数12,xx，都有()()()12121fxxfxfx=+−，对于任意0x都有0x−,()()111ffxfx=−+

−−,()12fxfx−+−=,又因为函数()fx为奇函数，可得()12fxfx+=−,C选项正确;对于任意的正数()1221,0,,,xxxx+，都有()()()()1112211fxfxffx=+−=−，()()()()21212

1fxfxfxfx−=−+,又因为0x()12fxfx+=,所以()111222fxfx+=,所以()()()()2212211111211222xfxfxfxffxffxxx

−=−−+=+−=,又因为21,xx211,xx211,22xx所以2102xfx,所以()()210fxfx−,所以函数()fx在()0,+内是单调递增,又因为函数()fx为奇函数，所以函数()fx在(),

0−内是单调递增,不等式()ln20fx−,()021fx−,()23fx第10页/共23页学科网（北京）股份有限公司已知()()()12121fxxfxfx=+−,令,122,2,xx==因为()22f=可得()()()42

213fff=+−=，函数()fx在()0,+内是单调递增,所以24x,已知()()()12121fxxfxfx=+−,令,1211,,22xx==因为102f=,可得11111422fff=+

−=−，同理11112842fff=+−=−，111131644fff=+−=−,又因为函数()fx为奇函数

，1316f−=,128f−=,又因为函数()fx在(),0−内是单调递增,所以11816x−−不等式()ln20fx−的解集为()11,2,4816−−,D选项正确；故选:ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上.12.已知单位向量12ee⊥，向量122aee=−，122bee=+，若ab⊥，则实数λ＝________．【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.

【详解】因为ab⊥，所以()()()221212112222242220abeeeeeeee=−+=+−−=−=故1=.故答案为：113.直线2sin0xy+=被圆222520xyy+−+=截得最大弦长为______．【答案】22【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂

径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.第11页/共23页学科网（北京）股份有限公司【详解】由已知，圆的标准方程为22(5)3xy+−=，圆心为(0,5)，半径3r=，圆心到直线2sin0xy+=的距离2534sin1d=+

，解得21sin6，所以弦长为22252234sin1rd−=−+，因为254sin153+，所以25134sin1+，所以弦长2225223(0,22]4sin1rd−=−+，当24sin15+=即2sin1=时，弦长有最大值22.

故答案为：22.14.对于正整数n，设nx是关于x的方程2121log3nnxnnx+−=+的实数根.记12nnax=，其中x表示不超过x的最大整数，则1a=____________；设数列na的前n项和为nS则2020S=___.【答案】①.0②.1010【解析】【

分析】（1）当1n=时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果.（2）令12=nntx，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即nt得范围，分类讨论n为奇数和偶数时na，求得结

果.【详解】（1）当1n=时，221log4−=xx，设221()log4=−−fxxx单调递减，1()1>02=f，(1)30f=−，所以1112x，111122x111[]02xa==（2）令12=nntx，则方

程化为：22+1(2)log23+=+nnntntnn令22+1()(2)log23=+−−nfxxnxnn，则()fx在(0,+∞)单调递增第12页/共23页学科网（北京）股份有限公司+1()log302=−nnfnnn；+1()

1>02=nf由零点存在定理可得：1(,)22+nnx，()0fx=，当21()nkk+=−N，21(,)2−nktk，[]1==−nnatk当2()nkk+=N，21()2，+nktk，[]==nnatk所以当101010102202011(1)1010===−+=kkS

kk，20201010=S故答案为：①0；②1010【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题.四、解答题：本题共

5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列na的前n项和为11,2,2nnnSaSa+==−.（1）求数列na的通项公式；（2）令21lognnba=+，求数列nnab的前n项和nT

.【答案】（1）2nna=（2）12nnTn+=【解析】【分析】（1）由,nnSa的关系分n是否等于1进行讨论即可求解；（2）首先得()12nnnncabn==+，进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.【小问1详解】112,2nnaSa+==−当1n=时12

221,2,4,2aaaaa=−==，当2n时，12nnSa−=−，两式相减得()122nnaan+=，()*12Nnnaan+=第13页/共23页学科网（北京）股份有限公司()*1120,2Nnnaana+==，数列na是以2为

首项，2为公比等比数列，2nna=【小问2详解】由（1）可知21log1nnban=+=+，记()12nnnncabn==+，()12322324212nnTn=+++++，()2341222

324212nnTn+=+++++，两式相减得()()()2123111212422212412212nnnnnnTnnn−+++−−=++++−+=+−+=−−12nnTn+=.16.在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,,abcABC的面积为S，已知24cos

costanSaBabAB=+.（1）求角B；（2）若3,bABC=△的周长为l，求Sl的最大值.【答案】（1）π3（2）34【解析】【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解；(2)由余弦定理及三角形的面积公式得()3312Sacl

=+−，再由基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为24coscostanSaBabAB=+，所以214sincos2coscossinacBBaBabAB=+，即2coscoscoscBaBbA=+，的第14页/共23页学科网（北京

）股份有限公司由正弦定理，得()2sincossincossincossinCBABBAAB=+=+，因为ABC+=−，所以2sincossinCBC=，因为()0,C，所以sin0C，所以1cos2B=，又()0,B，所以3B=.【小问2详解】由余弦定理，得22

22cosbacacB=+−，即229acac=+−，所以()293acac=+−，即()2193acac=+−，因为13sin24SacBac==，3lac=++，所以()()()239343123acSaclac

ac+−==++++，所以()3312Sacl=+−，又()24acac+（当且仅当ac=时取等号），所以()()22934acacac+=+−（当且仅当3ac==时取等号），所以6ac+（当且仅当3ac==时取等号），所以()()3333631

2124Sacl=+−−=（当且仅当3ac==时取等号），即Sl的最大值为34.17.已知椭圆C：()222210+=xyabab的右焦点F在直线210xy+−=上，A，B分别为C的左、右顶点，且3AFBF=.（1）求C的标准方程；（2）是否存在过点

()1,0G−的直线l交C于M，N两点，使得直线BM，BN的斜率之和等于-1？若存第15页/共23页学科网（北京）股份有限公司在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143xy+=（2）

存在，10xy−+=.【解析】【分析】（1）先求出点F的坐标，得出椭圆中的1c=，结合椭圆的几何性质可出答案.（2）设直线l的方程为：1xmy=−，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，将直线方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由题意1PMPNkk+=−

，将韦达定理代入可出答案.【小问1详解】设右焦点𝐹(𝑐,0)，直线210xy+−=与x轴的交点为(1,0)，所以椭圆C右焦点F的坐标为(1,0)，故在椭圆C中1c=，由题意()33AFacBFac=+==−，结合1c=，则2a

=，222413bac=−=−=，所以椭圆C的方程为：22143xy+=；【小问2详解】当直线l的斜率为0时，显然不满足条件1PMPNkk+=−，当直线l的倾斜角不为0时，设直线l的方程为：1xmy=−，

𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，由2213412xmyxy=−+=，可得()2234690mymy+−−=，第16页/共23页学科网（北京）股份有限公司由题意Δ=36𝑚2−4×(3𝑚2+4)×(−9)=144𝑚2+144>0，则122634myym+

=+，122934yym=−+，由()()1212121221212121223223339PMPNmyyyyyyyykkxxmymymyymyy−++=+=+=−−−−−++222229623343496393434mmmmmmmmmm−−++==−−

−+++，由1PMPNkk+=−，即1m=，故存在满足条件的直线，直线l的方程为：10xy−+=.18.如图，在四棱锥PABCD−中，60BADCDA==，90ABC=，4=AD，2CD=，3PB=，26PA=，平面PDC⊥平面ABCD.（1

）求证：平面PAB⊥平面ABCD.（2）求二面角PBCD−−的余弦值.（3）G为平面PBC内一点，若DG⊥平面PBC，求BG的长.【答案】（1）证明见解析（2）13−（3）109.3【解析】【分析】（1）利用余弦定理

先证ACCD⊥，由面面垂直的性质得出ACPC⊥，结合勾股定理及线面垂直的判定证明⊥BC平面PAB即可；（2）法一、利用二面角的定义结合第一问得出二面角的一个平面角，再由余弦定理计算即可；法二、以B为中

心建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可；第17页/共23页学科网（北京）股份有限公司（3）法一、利用线线垂直、线面垂直的性质与判定作出DG⊥平面PBC，解三角形即可；法二、利用（2）的坐标系，设B

G坐标结合空间向量基本定理及空间向量数量积计算求G点坐标即可.【小问1详解】连接AC，在ACD中，4,2,60ADCDCDA===o，2222242242cos12ACCDAADCD=+−==−，则90AC

D=，23AC=，30CAD=，平面PCD⊥平面ABCD，ACCD⊥，平面PCD平面ABCDCD=，AC⊥平面PCD，CP平面PCD，所以ACCP⊥，在PAC中，2223PCAPAC=−=,又60,90BADABC==，∴30,3,3

BACBCAB===，在PBC△中：222PBBCPC+=，∴BCPB⊥，又BCAB⊥，ABPBB=,ABPB平面PAB，BC⊥平面PAB，且BC平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD.【小问2详解】法一、由上可知：,BCA

BBCPB⊥⊥，则二面角PBCD−−的一个平面角为PBA，在PBA△中，由余弦定理知()22222233261cos2183PBABPAPBAPBAB+−+−===−；法二、如图建系：设z轴与PA交于M，过P作PEBM⊥与E，设PMx=，则26AMx=−，第18页/

共23页学科网（北京）股份有限公司∴()2222691546BMxxx=−−=+−，()2222232639cos6126xBMAPBx+−+−==，解之得632,22xBM==，易知13PEEMPMABMBMA===，所以2321,2222PEEBEMMB==+=+=，则()(

)()0,0,0,0,3,0,1,0,22BCP−，设(),,nxyz=r为平面PBC的一个法向量，则：30220yxz=−+=，令1z=，则22,0xy==，所以()22,0,1n=，易知()10,0

,1n=是平面ABCD一个法向量，设二面角PBCD−−的一个平面角为，则1111cos,3nnnnnn==，由图形可知该二面角为钝角，所以1cos3=−；小问3详解】法一：过D作DNBC⊥，垂足为N，过N作//lPB，在PDC△中，过D作DQPC⊥，过Q作,QGPCQGlG⊥

=，因为,,QGDQQQGDQ=平面DGQ，所以PC⊥平面DGQ，又DG平面DGQ，所以PCDG⊥，而,,PClPCl平面PBC，所以DG⊥平面PBC，即G为所求.分别延长ABDC、交于R，连接PR，的【第19页/共23页学科网（北京）股份有限公司过D

作lAB⊥，由（1）易知,PRACPRl⊥⊥，,,AClACl平面ABCD，PR⊥平面ABCD，∴22,26PRPD==，设CQx=，24QDx=−，∴()2242324xx−++=，则233x=，设PQHGW=，在平面PBC内，由几何关系知4

381,933WQWGWGNGWNWC====，所以()2211092333BG=+=；法二：取（2）的坐标系，则()1,23,0D，()()3,0,0,1,0,22BABP==−，()0,3,0BC=，设(),3,22BGBCBP=+=−，所以(),3,2

2G−，又：20180136009DGBPDGBC==++=−==−=，即122,23,99G−，()22122109238193BG=++−=.19.设

a，b为实数，且1a，函数()()2exfxabxx=−+R.第20页/共23页学科网（北京）股份有限公司（1）若()()lnxgxfxax=−+，讨论函数()gx的单调性；（2）若对任意2e2b，函数()fx有两个不同的零点，求a的取值范围

；（3）当ea=时，对任意4eb，函数()fx有两个不同的零点()1221,,xxxx，证明：2212lne2e+bbxxb.（注：e2.71828=是自然对数的底数）【答案】（1）答案见解析（2）(21,e

.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求出()()lnxgxfxax=−+，对函数求导，分0b和0b两种情况讨论函数的单调性即可；（2）原问题等价于2ln0xaebxe−+=有2个不同的解，然后构造函数

，二次求导，利用导数判断函数的单调性，分析即可确定实数a的取值范围；（3）结合（2）的结论，对问题进行等价变形，适当放缩，利用分析法即可证明结论.【小问1详解】因为()()2exfxabxx=−+R，()()lnxgxfxax=−+，所以()2lnegxxbx=−+()0x，()1gx

bx=−()0x，①若0b，则𝑔′(𝑥)=1𝑥−𝑏>0，所以()gx在𝑅上单调递增；②若0b，当10,xb时，()0gx，()gx单调递增，当1,xb+时，()0gx，()gx单调递减.综上，0b时

，()gx在(0,+∞)上单调递增；0b时，()gx在10,xb上单调递增，在1,xb+上单调递减.第21页/共23页学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】()fx有2个不同零点2e0xabx−+=有2个不

同解，等价于ln2ee0xabx−+=有2个不同的解，令lntxa=，则22eeee0lnlnttbtbaat+−+==，0t，记()2eetgtt+=，()()2222eeee(1)etttttgttt−+−−==，记2()e(1

)ethtt=−−，ℎ′(𝑡)=e𝑡(𝑡−1)+e𝑡⋅1=e𝑡⋅𝑡>0，所以()ht定义域上单调递增，又(2)0h=，所以(0,2)t时，()0ht，()2,t+时，()0ht，则()gt在(0,2)单调递减，()2,+单

调递增，∴2(2)elnbga=，故2lneba，∵2e2b，∴22eb，∴{ln𝑎≤2𝑎>1⇒1<𝑎≤e2.即实数a的取值范围是(21,e.【小问3详解】[方法一]【最优解】：ea=，()2eexfxbx=−+有2个不同零点，则2eexbx+=，故函数的零点一定为正

数.由于函数有2个不同零点，21xx，1222412eeeeexxbxx++==，由（2）知函数2eexyx+=在区间(0,2)上单调递减，第22页/共23页学科网（北京）股份有限公司区间()2,+上单调递增，故122xx，又由524eee5+知25x，1222111e2e2eex

bxxxb+=，要证2212lne2e+bbxxb，只需22elnxbb+，22222ee2exxbxx+=且关于b的函数()2elngbbb=+在4eb上单调递增，所以只需证𝑥2>ln2e𝑥2𝑥2+e2𝑥22e�

�2(𝑥2>5)，只需证2222222eleln02eenxxxxx−−，只需证2lnln202eexxx−−，∵2e42，只需证()4lnln2exxhxx=−−在5x时为正，由于ℎ′(𝑥)=1𝑥+4𝑥e−𝑥−4e−𝑥=1𝑥+4e−𝑥(𝑥−1)>0，故函数ℎ(𝑥

)单调递增，又54520(5)ln5l20n2ln02eeh=−−=−，故()4lnln2exxhxx=−−在5x时为正，从而题中的不等式得证.[方法二]：分析+放缩法ea=，()2eexfxbx=−+有2个不同零点1x，2x，12xx，由()exfxb=−得12lnx

bx（其中ln4b）.且()1211ee0xfxbx=−+=，()2222ee0xfxbx=−+=.要证2212lne2e+bbxxb，只需证2212lne2ebbbxbx−，即证212lne2exbbbx，只需证𝑥

2>ln(𝑏ln𝑏2e2𝑏𝑥1).又22c222eee0bfb=−，所以212exb，即1212ebx.在第23页/共23页学科网（北京）股份有限公司所以只需证𝑥2>ln(𝑏ln𝑏)，而ln4

b，所以lnbbb，又ln(𝑏ln𝑏)>ln𝑏，只需证()()lnln0fbb.所以()()()2242lnlnlnlnlnelnlneeln4e0fbbbbbbbbb=−+=−+−+，原命题得证.[方法三

]：若ea=且4eb，则满足21ea且2e2b，由（2）知()fx有两个零点()1212,xxxx且120lnxbx.又()222e20fb=−，故进一步有1202lnxbx.由()()120fxfx==可得121eexbx+=且222eexbx=−，从而𝑥2>𝑏ln

𝑏2e2𝑥1+e2𝑏⇔𝑏𝑥2−e2>𝑏ln𝑏2e2𝑏𝑥1⇔e𝑥2>𝑏ln𝑏2e2(e𝑥1+e2).因为102x，所以122ee21ex+，只需证22222eelnelnlnxbbbxbbxb

b−+.又因为()fx在区间()ln,b+内单调递增，故只需证()22eln0fbfxb+=，即2eeln0bbb−，注意4eb时有2eee4lnbb，故不等式成立.【点睛】关键点点

睛：（1）利用导数求函数的单调区间，判断单调性，对于导数中含有参数的，往往需要分类讨论；（2）一次求导无法判断单调性的题目，可以二次求导；（3）运用导数结合函数的单调性证明不等式成立.