【文档说明】2024年高考考前信息必刷卷05 数学试卷05（解析版）.docx，共(20)页，1.307 MB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷05数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国陆续有多个省份官宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单＋3（

多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解

答题变为5题，分值依次为13分、15分、15分、17分、17分。函数和导数不再是压轴类型，甚至有可能是第一道大题，增加的新定义的压轴题，以新旧知识材料为主来考察考生的数学思维能力，难度较大从2024届九省联考新模式出题方向可以看出，除了8+3+3+5的

模式外，核心的变化在于改变以往的死记硬背的备考策略，改变了以前套公式的学习套路，现在主要是考查学生的数学思维的灵活，对三角函数喝数列的考察更加注重技巧的应用，统计概率结合生活情景来考查考生数学在生活中的实

际应用，特别是最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，

共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合2122,RxAxyxxByyx+==−==∣,∣，则“()UxABð”是“0xxx∣”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【

答案】C【解析】由22Axyxx==−∣可得220xx−，解得02x，所以02,{0},{0UAxxByyAxx===∣∣∣ð或()2},0UxABxx=∣ð，故选:C

.2．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以1A，2A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A．1A，2A互斥B．()157P

BA=C．()217PAB=D．()1321PB=【答案】C【解析】因为每次只取一球，故1A，2A是互斥的事件，故A正确；由题意得()113PA=，()223PA=，()157PBA=，()247PBA=，()()()12152413373721PBPABPAB=

+=+=，故B，D均正确；因为()22483721PAB==，故C错误.故选：C.3．某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得

到冠军．”对B说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A．54种B．72种C．96种D．120种【答案】A【解析】根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种

情况：①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A6=种情况，此时有1863=种名次排列情况；②A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有23A6=种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有33A6=种情况，此时有6636=种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有183654+=种.故选A．4．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：()()()

Sppapbpc=−−−，其中2abcp++=，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在ABC中，sin:sin:sin8:7:3ABC=，且ABC的面积为123，则BC边上的中线长度为（）A．32B

．4C．74D．26【答案】D【解析】设D是BC的中点，连接AD.依题意，在ABC中，sin:sin:sin::8:7:3ABCabc==，设8,7,3,0akbkckk===，由余弦定理得499641cos2737A+−==−，所以A

为钝角，所以243sin1cos7AA=−=，所以214337123,227ABCSkkk===△，()12ADABAC=+，两边平方得()222124ADABACABAC=++2211949237132647kk

=+−==，所以26AD=.故选：D5．如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后

把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（）A．OCOE=B．0OAOBC．2OAODOE+=D．0OAOCOD++=【答案】C【解析】不

妨设||||||1OBOCOE===，则||||2OAOD==，对于A项，显然OC与OE方向不一致，所以OCOE，故A项错误；对于B项，由图知AOB是钝角，则||||cos0OAOBOAOBAOB=，故B项错误；对于C

项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得：1()2OEOAOD=+,即得：2OAODOE+=，故C项正确；对于D项，由()2OAOCODOAOODOCOCE++=+=++，而OE与OC显然不共线，故0OAOCOD++．即D项错误．故选：

C．6．已知1F，2F分别是双曲线()2222:10,0xyabab−=的左、右焦点，过1F的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，23CBFA=，2BF平分1FBC，则双曲线的离心率为（）A．7

B．5C．3D．2【答案】A【解析】因为23CBFA=，所以12FAF∽1FBC△，设122FFc=，则24FCc=，设1AFt=，则13BFt=，2ABt=．因为2BF平分1FBC，由角平分线定理可知，1

1222142BFFFcBCFCc===，所以126BCBFt==，所以2123AFBCt==，由双曲线定义知212AFAFa−=，即22tta−=，2ta=，①又由122BFBFa−=得2322BFtat=−=，所以222BFABAFt

===，即2ABF△是等边三角形，所以2260FBCABF==．在12FBF中，由余弦定理知22212121212cos2BFBFFFFBFBFBF+−=，即22214942223ttctt+−=，化

简得2274tc=，把①代入上式得7cea==，所以离心率为7．故选：A．7．已知ABCD，，，四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且,,ABACABACADBC=⊥⊥，若四面体ABCD的体积的最大值为43，则球O的表面积为（）A．2πB．3πC．9π4D．9π【答案】D【解析

】因,,ABACABAC=⊥取BC中点为N，则ANBC⊥，又ADBC⊥，,ANAD平面AND，ANADA=，则BC⊥平面AND，BC面ABC，则平面ABC⊥平面AND，要使四面体ABCD的体积最大，

则有DN⊥平面ABC，且球心O在DN上.设球体半径为R，则OAODR==，则()111332DABCABCVSDNBCANRON−==+，又注意到2BCAN=，22222ANOAONRON=−=−，则()()()22111333DABCABCVSDNA

NRONRONRON−==+=+−.注意到()()()()()33211122221422366363RONRONRRONRONRONRONRON++−+−=++−=.当且仅当22RONRON−=+，即3RON=时

取等号.又四面体ABCD的体积的最大值为43，则314436332RR==.则球的表面积为24π9πR=.故选：D.8．若0.001sin0.001a=+，ln1.001b=，0.001e1c=−，则（）A．bcaB．c

abC．cbaD．acb【答案】D【解析】令()sinfxxx=+，()()ln1gxx=+，()e1xhx=−，()()()e1sinxpxhxfxxx=−=−−−，()()()()e1ln1xqxhxgxx=−=−−+，则()()1e1

cos,e1xxpxxqxx=−−=−+，令()()mxpx=，()esinxmxx=+，当10,2x时，()0mx，所以()px在10,2时单调递增，所以当10,2x时，()113e1cose1c

ose102262pxp=−−−−=−−，所以()px在10,2x时单调递减，所以()()0.00100pp=，所以ca；当10,2x时，()1e1xqxx=−+，令()()nxqx=，则()210()e1xnxx++=，所

以()()nxqx=在10,2上单调递增，所以()()00qxq=，所以()qx在10,2上单调递增，所以()()0.00100qq=，所以cb，综上，acb.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小

题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图所示，已知角π,02的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为,AB，M为线段AB

的中点，射线OM与单位圆交于点C，则（）A．AOB=−B．cos2OM−=C．点C的坐标为cos,sin22++D．点M的坐标为coscos,sinsin2222+−+−【答

案】ABC【解析】对于A：因为,AOxBOx==，π02，所以AOB=−，正确；对于B：依题意M为线段AB的中点，则OMAB⊥，则2AOM−=，又1OA=，所以coscos2OMOAAOM−==，正确；对于C：M为线段AB

的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为AB的中点，所以22COx−+=+=，又1OC=，所以点C的坐标为cos,sin22++，正确；对于D：()111(coscos)coscos2222222MABx

xx+−+−=+=+=++−1coscossinsincoscossinsin222222222+−+−+−+−=−++1

2coscoscoscos22222+−+−==，()111(sinsin)sinsin2222222MAByyy+−+−=+=+=++−1sincoscossinsincoscossin222

222222+−+−+−+−=++−12sincossincos22222+−+−==，所以点M的坐标为coscos,sincos2222+−+−，错误.故选：ABC.10．英国著名物理学家牛顿

用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数()fx有两个不相等的实根,bc，其中cb.在函数()fx图象上横坐标为1x的点处作曲线()yfx=的切线，切线与x轴交点的横坐标为2x；用2x代替1x，重复以上的过程得到3x；一直下去，得到数列{}nx.记lnnnnxbax

c−=−，且11a=，nxc，下列说法正确的是（）A．1ee1cbx−=−（其中lne1=）B．数列{}na是递减数列C．6132a=D．数列1nnaa+的前n项和1221nnnS−=−+【答案】AD【解析】对于A选项，由111ln1xbaxc−==−得11exbxc−=−，所以1

e?e1cbx−=−，故A正确.二次函数()fx有两个不等式实根b，c，不妨设()()()fxaxbxc=−−，因为()()2fxaxbc=−−，所以()()2nnfxaxbc=−−，在横坐标为nx的

点处的切线方程为：()()()2nnnyfxaxbcxx−=−−−，令0y=，则()()()()2212222nnnnnnnnnaxxbcfxaxabcxbcxaxbcaxbcxbc+−−−−−===

−−−−−−，因为()()222212222122()22()nnnnnnnnnnnnxbcbxbcxbxbxbxbxcxbccxbcxcxcxc++−−−−−−+−===−−−−−−+−所以11ln2lnnnnnxbxbxcxc++−−=−−，即：12nna

a+=所以na为公比是2，首项为1的等比数列.所以12nna−=故BC错.对于D选项，11112()2nnnnaa−−+=+由，得11112212212211122212nnnnnnnS−−−=+=−+−

=+−−−故D正确.故选：AD11．定义在R上的函数()fx同时满足①()()122,fxfxxx+−=+R；②当0,1x时，()1fx，则（）A．()01f=−B．()fx为偶函数C．存在*nN，使得()2023fnnD．对任意()2

,3xfxxx++R【答案】ACD【解析】对于A，()()122fxfxx+−=+Q，令0x=，则()()102ff−=，即()()012=+ff，又0,1x，()1fx，即()11fx−，可知

()()101111ff−−，即()()1011021ff−−+，得()101f−−即()01f=−，故A正确；对于B，由选项A可得()()0121=+=ff，又令

=1x−得()()010−=−ff，解得()11f−=−，()()11ff−，所以函数()fx不是偶函数，故B错误；对于C，因为()()122fxfxx+−=+，当*2,nnN时，()()()()()()()()112211fnfnfn

fnfnfff=−−+−−−++−+L()2222212121nnnn=+−+++=+−+++LL()()2122112nnnn−+=+=+−，又()11f=满足上式，()21fnnn=+−，*nN，令2023n=，则(

)220232023202220232023=+f，所以存在*nN，使得()2023fnn，故C正确；对于D，令()()2gxfxxx=−−，则()()()()()()221111gxgxfxxxfxxx+−=+−+−+−++()(

)1220fxfxx=+−−−=，即()()1gxgx+=，即()gx是以1为周期的周期函数，因为当0,1x，()1fx，则()()()223=−−++gxfxxxfxxx，当且仅当1x=且()1f与2异号时等号成立

，但()11f=，故()1f与2同号，故等号不成立，故()3gx结合周期性可知对任意xR，均有()3gx，所以()()()2223fxgxxxgxxxxx=++++++，故D正确.故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知()()2023202322022202301220222023122xxaaxaxaxax++−=+++++，若存在0,1,2,,2023k使得0ka，则k的最大值为．【答案】1011【解析】二项式20

23(12)x+的通项为202320123C(2)C2,0,1,2,,2023+===rrrrrrTxxr，二项式()20232−x的通项为20232200232023123C2()C2(1),0,1,2,,2023mmmmmmmmTxxm−−+=−=−=L，所以2

0232023202202320233C2C2(1)C22(1)−−=+−=+−kkkkkkkkkka，0,1,2,,2023Lk，若0ka，则有：当k为奇数时，此时()22023023C22−=−kkkka，即2023202−−k

k，则2023−kk，可得20231011.52=k，又因为k为奇数，所以k的最大值为1011；当k为偶数时，此时()202320230C22−+=kkkka，不合题意；综上所述：k的最大值为1011.故答案为：1011.13．已知P是双曲线22:(0)84xyC−=上任意一点，若P

到C的两条渐近线的距离之积为23，则C上的点到焦点距离的最小值为．【答案】32−【解析】所求的双曲线方程为22(0)84xy−=，则渐近线方程为20xy=，设点()00,Pxy，则222200002884xyxy−=−=，点P到C的两条浙近线的距离之积为220000002

222222823331(2)1(2)xyxyxy+−−===++，解得：14=，故双曲线C方程为：2212xy−=，故2,3ac==，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为32ca−=−．故答案为：32−．14．某同学在学习和

探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如

图，已知锐角ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿ABC三边翻折后交于点P.若3AB=，则sinPAC=；若::6:5:4ACABBC=，则PAPBPC++的值为.【答案】74；234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则2R=，由正弦定理，可知324sinsinABR

ACBACB===，即3sin4ACB=，由于ACB是锐角，故7cos4ACB=，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即⊥APBC,故π2PACACB=−，所以7sincos4PACACB==；设,,

CABCBAACB===，则πππ,,222PACPBAPAB=−=−=−，由于::6:5:4ACABBC=，不妨假设6,5,4ACABBC===，由余弦定理知222222222654345614659cos,cos,cos2654245824616+−+−

+−======，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于ππ,22ECBEBCPCDCPD+=+=,故EBCCPD=,则得πππAPCCPDEBCABC=−=−=−，所以24ππsinsinsinsin

22PCPAACACRAPCABC=====−−，同理可得24πsinsinsin2PBABABRAPBACB====−，所以()319234coscoscos448164PAPBPC++=++=++=,故答案

为：74；234.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()(2)exfxxa=−+.(1)求函数()fx的单调区间；(2)若()0fx恒成立，求a的取值范

围.【解析】（1）∵()(2)exfxxa=−+，∴()(1)exfxx=−，令()0fx=，解得：1x=，所以()(),1,0xfx−，函数()fx在(),1−上单调递减，()()1,,0xfx+，函数()fx在()1,+上单调递增，即

函数()fx单调递减区间为(),1−，单调递增区间为()1,+；（2）由题可知min()0fx≥，由（1）可知，当1x=时，函数()fx有最小值(1)efa=−+，∴e0a−+，即ea，故a的取值范围为[e,+).16．（15分）如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，

ADCD⊥，ADBC∥，4BC=，2PAADCD===，点E为PC的中点.(1)证明：//DE平面PAB；(2)求点B到直线ED的距离；(3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）证明：取PB的中点F，连接,EFAF，因为E为PC的中点，

所以//EFBC，又因为//BCAD且12ADBC=，所以//EFAD且EFAD=，所以四边形ADEF为平行四边形，所以//DEAF，因为DE平面PAB，AF平面PAB，所以//DE平面PAB.（2

）解：取BC的中点G，连接AG，因为//ADBC且12ADBC=，所以//ADCG且ADGC=，所以四边形ADCG为平行四边形，所以//CDAG，因为ADCD⊥，所以ADAG⊥，又因为PA⊥平面ABCD，,ADAG平面ABCD，所以,PAADPAAG⊥⊥，以A为坐标原点，以,,AGADAP所在

的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)BDPC−，则(1,1,1)E,所以(2,4,0),(1,1,1)DBDE=−=−，则(2,4,0)25

DB=−=可得3cos,15DBDEDBDEDBDE==，所以6sin,15DBDE=，则点B到直线ED的距离为6sin,252215DBDBDE==.（3）解：由（2）中的空间直角坐标系，可得(0,0,2)P，所以(2,2,2),(0,2,2),(2,0,0)PB

DPDC=−−=−=，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则22020nDPyznDCx=−+===，取1y=，可得0,1xz==，所以(0,1,1)n=，设直线PB与平面PCD所成角为，则226sincos,3223nPBnPBnPB−

−====，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为63.17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，点()0,1,FP为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)设M为直线1y=−上的动点，过M的直线与Γ相切于点

A，过A作直线MA的垂线交Γ于点B，求MAB△面积的最小值.【解析】（1）设(),Pxy，则线段FP的中点坐标为1,22xy+，因为以PF为直径的圆与x轴相切，所以22111(1)222yFPxy+==+−，化简得24xy=，所以Γ

的方程为24xy=；（2）设()2000,04xAxx，由2,42xxyy==，则点A处的切线斜率为02x，所以直线MA方程为()200042xxyxx−=−，整理为20024xxyx=−

，令1y=−，则0022xxx=−，所以002,12xMx−−，易知直线AB斜率为02x−，所以直线()20002:4xAByxxx−=−−，整理为200224xyxx=−++，与24xy=联立可得()22000244xxxxx−=−−，有()()()000024xxxxx

xx−+−−=，解得008xxx=−−，即B的横坐标为008xx−−，所以()2220000022000002442848112xxBAxxxxxxxx++=+−−−−=++=，()222

2000000000044221122424xxxxxxAMxxxx++=+−−=++=，所以MAB△面积为()()()3222220000023000244444112244xxxxxABAMxxx+++++==3320000411444xxx

x+==+，又00004424xxxx+=，当且仅当02x=时，等号成立，所以MAB△的面积最小值为314164=.18．（17分）为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校

内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流

进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1−分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲

的得分为X，求X的数学期望；（2）若经过n轮踢球，用ip表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．①求1p，2p，3p；②规定00p=，且有11iiipApBp+−=+，请根据①中1p，2p，3p的值求出A、B，并求出数列np的通项公式

．【解析】（1）记一轮踢球，甲命中为事件A，乙命中为事件B，A，B相互独立．由题意()12PA=，()23PB=，甲的得分X的可能取值为1−，0，1．()()()()12112331PABPAPBPX=−===−=，()()()()()()()12121

11232203PXPABPABPAPBPAPB+−−===+=+=．()()()()12112136PXPABPAPB===−==，∴X的分布列为：X1−01P131216()11111013266EX=

−++=−．（2）①由（1）116p=，()()()()()()201101pPXPXPXPXPX===+==+=1111172662636=++=．经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情

况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得1−分．∴32222123333111111143CCC6626263216p=+++=

，②∵规定00p=，且有11iiipApBp+−=+，∴1202316717ApApBppApBpB==+=+=代入得：116177iiippp+−=+，∴()1116iiiipppp+−−=−，∴数列

1nnpp−−是等比数列，公比为16q=，首项为1016pp−=，∴116nnnpp−−=．∴()()()11121011111166656nnnnnnnnPpppppp−−−−=−+−++−=+++=−．19．（17分）给定

整数3n，由n元实数集合S定义其相伴数集,TababSab=−∣､，如果()min1T=，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中所有元素绝对值之和.(1)判断0.1,1.1,2,2.5A=−−、1.5,0.5,0.5,1.5B=−−哪个是规范数集，并说明理由；(2)

任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：()()minmax1SSn+−；(3)当122023,,,Saaa=L遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.注：()minX、()maxX分别表示数集X中的最小数

与最大数.【解析】（1）对于集合A：因为2.520.51−=，所以集合A不是规范数集；对于集合B：因为1.5,0.5,0.5,1.5B=−−，又1.5(0.5)1−−−=，1.50.52−−=，1.51.53−−=，0.50.51−−=，0.51.52−−=，0.51.51−=，所以B相伴数

集1,2,3T=，即()min1T=，故集合B是规范数集.（2）不妨设集合S中的元素为12nxxx，即()()1min,maxnSxSx==，因为S为规范数集，则,11iin−N，则11iixx+−

，且00,11iin−N，使得0011iixx+−=，当10x时，则()()()()()11213211minmax2nnnnSSxxxxxxxxxxx−+=+=+=−+−+−+L1121nxn−+

−，当且仅当11iixx+−=且10x=时，等号成立；当0nx时，则()()()()()1121321minmax2nnnnnSSxxxxxxxxxxx−+=+=−−=−+−++−−L121nnxn−−

−，当且仅当11iixx+−=且0nx=时，等号成立；当10,0nxx时，则()()()()11211minmax1nnnnSSxxxxxxxxn−+=+=−+=−++−−L，当且仅当11iixx+−=时，等号成立；综上所述：

()()minmax1SSn+−.（3）法一：不妨设122023aaaL，因为S为规范数集，则,12022iiN，则11iiaa+−，且00,12022iiN，使得0011iiaa+−=，当10a时，则当22023n时，可得()

()()()11221111nnnnnaaaaaaaana−−−=−+−++−+−+L，当且仅当11,,11iiaaiin+−=−N时，等号成立，则范数12202312202311112022faaaaaaaaa=+++=++++++++LLL，当且仅

当11,,12022iiaaii+−=N时，等号成立，又()111112022120221202220231011202320232aaaaa++++++=+=+L10112023，当且仅当10a

=时，等号成立，故10112023f，即范数f的最小值10112023；当20230a时，则当12022n时，可得()()()()20232022202220211202320232023nn

naaaaaaaana+=−−+−++−+−−+L，当且仅当11,,2022iiaaini+−=N时，等号成立，则20232023nana−−−，则范数122023122023faaaaaa=+++=−−−−LL()20232023

20232023202220211aaaa−+−++−+−L，当且仅当11,,2022iiaaini+−=N时，等号成立，又()()2023202320232023202320221202220222021120232aaaaa+−+−++−+−=−L

202310112023202310112023a=−，当且仅当20230a=时，等号成立，故10112023f，即范数f的最小值10112023；当,12022mmN，使得10mmaa+，且20230a

，当202320m−，即20232m，即1011m时，则当12023mn+时，可得()()()11221111nnnnnmmmmaaaaaaaanma−−−++++=−+−++−+−−+L，当且仅当1,12

02,21iiaiaim++−=N时，等号成立，则当1nm时，可得()()()11111mnmmmmnnaaaaaaaamn++−+−=−+−++−−+L，当且仅当11,,iiaainim+−=

N时，等号成立，则范数()()1220231212023mmfaaaaaaaa+=+++=−−−−+++LLL()()()()111211122023mmmmmmmaaaaaamaaaa++++++=−+−++−−++++LL()()1111

1112022mmmmmmmaaama+++++−++−+++++−+LL()()()()11202320222023222mmmmmma++−−=++−()2120221011202320232mmmma+=−++−220221011202

3mm−+；对于()22022101120231011ymmm=−+，其开口向上，对称轴为1011m=，所以2min1011202210111011202310121011y=−+=，所以范数f的最小值为10121011；当202320m−，即2023

2m，即1012m时，则当12023mn+时，可得()()()1121nmnnnnmmaaaaaaaanm−−−+−=−+−++−−L，当且仅当1,1202,21iiaiaim++−=N时，等号成立，则当1

nm时，可得()()()1121nmmmmnnmmaaaaaaaamna−−−+−=−+−++−−−−L，当且仅当11,,1iiaainim+−=−N时，等号成立，则范数()()1220231212023mmfaaaaaaaa+=+++=−−−−+++LLL()()()()12120

232023mmmmmaaaaaaama+=−−−−+−++−+−LL()()()1211220232023mmmmmamma−+−++−++++−+−LL()()()()1202320242023222mmmmmma−−−=++−()22024101220232

0232mmmma=−++−2202410122023mm−+；对于()22024101220231012ymmm=−+，其开口向上，对称轴为1012m=，所以2min1012202410121011202310121011y=−+=，所以范数10121011f；综上所述：范数

f的最小值10121011.法二：不妨设122023aaaL，因为S为规范数集，则,12022iiN，则11iiaa+−，且00,12022iiN，使得0011iiaa+−=，所以对于2024,,jjjSaaS−=L，同样

有,11011jjN，则11jjaa+−，由（2）的证明过程与结论()()minmax1SSn+−可得，()()minmax20242jjSSj+−，当且仅当11jjaa+−=时，等号成立，即120

232022aa+，220222020aa+，……101110132aa+，所以范数1220232012202220202faaaa=+++++++LL()2012201220222101110121011101210112aa+=+=+，当且仅当20120a=时，等号成

立，所以范数f的最小值10121011.