【文档说明】湖北省沙市中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题 数学 含解析.docx，共(9)页，548.664 KB，由管理员店铺上传

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2023—2024学年度下学期2021级3月月考数学试卷命题人：吕跃审题人：刘超考试时间：2024年3月2日一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知2{,}{1,2,3,4},(,){(,)|},ababx

yyx=则ab−=A.-2B.0C.2D.0或22.若πtan24tan04++=，则sin2=（）A.45−B.25−C.25D.453．已知平面,，直线l，直线m不在平面上，下列说法正确的是（）A．若//,//m

，则//lmB．若//,m⊥，则lm⊥C．若//,//lm，则//mD．若,//lmm⊥，则⊥4．设实数x满足4x，若数据1，3，4，x，5，7的平均数和第50百分位数相等，则x=（）A．4B．5C

．47或D．57或5．已知正项等比数列{}na中，435,3,aaa成等差数列.若数列{}na中存在两项,mnaa，使得√2𝑎1为它们的等比中项，则14mn+的最小值为A．3B．4C．6D．96.某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师

不站在两端，则不同的排法共有A．8种B．16种C．24种D．32种7．已知,,ABC是双曲线22221(0,0)xyabab−=上不同的三点，且2CACBCO+=，直线,ACBC的斜率分别为12,kk1

2(0)kk.若12||||kk+的最小值为2，则双曲线的离心率为A.6B.2C.2D.528．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若(1)fxx+−与均为偶函数，则下列结论中错误的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的周期为2D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小

题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知zC,z是z的共轭复数，则（）A．若13i13iz+=−，则43i5z−−=B．若z为纯虚数，则20zC．若(2i)0z−+，则2iz+D．若{||

3i3}Mzz=+∣，则集合M所构成区域的面积为9π10．设A、B是一次随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412PAPBPABAB==+=则()A.A,B相互独立B.5()6PAB+=C.1(|)3PBA=D.(|)(|)PABPBA=11．已知函数

2()sin()(0,0)3fxxx=−，若()fx有且仅有三个零点，则下列说法中正确的是：A.()1fx+有且仅有两个零点；B.()1fx−有一个或两个零点；C．的取值范围是811[,]33；D.()fx在区间(0,)22上单调递减。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共1

5分．12．已知向量()31,2at=+，()1,bt=，若a与b所成的角为钝角，则实数t的取值范围：.13．已知函数()πππ,,22πcos,π2e4,πxaxxfxxxax−++=

+,若()fx有最小值，则a的取值范围是.14．在ABC中，90ACB=，2AC=，4BC=，P为边AB上的动点，沿CP将ACP△折起形()fx'()fxR()'()gxfx=(2)gx+(1)1g

=(1)fxx+(0,1)()gx()()202411110kgkgk=−++=成直二面角ACPB−−，当AB最短时，APBP＝，此时三棱锥ABCP−的体积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题

13分）设函数()()21exaxaxafx−−+=．(1)当1a=时，求曲线()fx在点()()1,1f处的切线方程；(2)当0x时，若()fxa恒成立，求实数a的取值范围．16．（本题满分15分）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球

由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8，0.9，0.7．现从这10个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是合格品”，事件123,,AAA分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”．(1)求(

),1,2,3iPAi=；(2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率．17.（本题15分）设四边形ABCD为矩形，点P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，若1,2.PAABBC===(1)求PC与平面PAD所成角的正切值；(2)在BC边上是否存在一点G，使

得点D到平面PAG的距离为2，若存在，求出BG的值，若不存在，请说明理由；18．（本题17分）如图，D为圆O：221xy+=上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得1WA=，点W的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若过点()2,0K−的

两条直线1l，2l分别交曲线C于M，N两点，且12ll⊥，求证：直线MN过定点；（3）若曲线C交y轴正半轴于点S，直线0xx=与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得π2+=ORP

ORQ？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．19.（本题17分）基本不等式可以推广到一般情形：对于n个正数12,,,naaa，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即1212nnnaaaaaan+++，当且仅当12naaa===时等号成立。若无穷正项数列{}na同时满足下列两个性质：（1

）0,nMaM；（2）{}na为单调数列，则称数列具有性质P.（1）若24nann=+，求数列{}na的最小项；（2）若121nnb=−，记1nnnnsb==，判断数列{}ns是否具有性质P，并说明理由；（3）若1(1)nncn=+，求证：数列{}nc具有性质P.高三年级

3月月考数学答案一、选择题：1．C2.A3．B4．C5．A6.D7．C8．C（8）【解】：因为(1)fxx+−为偶函数，所以为奇函数，故关于对称，A正确；因为为偶函数，所以为奇函数，则的图象关于点对称，B正确；因为为偶函

数，所以关于对称，结合关于对称，可知的周期为4，C错误；由且关于对称，知，又的周期为4，可知，．由关于对称，又关于对称，可知也关于对称，所以．因此==0，所以D正确．答案为：C．9．ABD10．答案：AB11．ABD（11）【解】22220,[0,][,],,3333xxxt

−−−−=当时，设作出函数sinyt=的图象，则22sin[,]33yt=−−在上有两个最小值点，有一个或两个最大值点，故A、B正确。由于函数()[0,]yfx=在上有且只有3个零点，由图象可知281123333−，

故C错误。当(0,)22x时，222(,)33223x−−−，由81133知，202232−−所以sinyt=在2(,)32−−上递减，D正确。12．(),1,511−−−−13．1,04−14.12829（13）【

解】当πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，当ππ2x时，()cos1,0xfx−=，若0a，则当π2x时，()π()π2fafx=，则此时函数无最小值；若0a=，则当π2x时，()0fx=，π

x时，()πe4(0,1)xfax−+=+，则函数有最小值为1−满足题意；若a<0，则当π2x时，()π()π2fafx=，πx时，()()πe44,41xfaaax−++=+，要使函数有最小值，则π141aa−−，解得104a−；综上，a的取值范围是1,04−

，(1)1gx+−()gx()1,1(1)fxx+−(1)fxxx+−(1)fxx+(0,1)(2)gx+()gx2x=()gx()1,1()gx(1)1g=()gx2x=(3)1g=()gx(21)1gk+=kN()gx()1,12x=()gx(

)3,1(2)(4)2gg+=()()()()()()()()202411112214120241kgkgkggg=−++=−+−++−()()506242gg+−（14）【解】作ADCP⊥于点D，连接BD，设ACP=，则π2PCB=−，

所以2sin2cosADADCD===，，在BCD△中，由余弦定理可得，2222π2cos4cos1616cossin2BDCDBCCDBC=+−−=+−，因为ACPB−−为直二面角，所以平面APC

⊥平面BCP，因为平面APCI平面BCPPC=，ADPC⊥，且AD平面APC，所以AD⊥平面BCP，因为BD平面BCP，所以ADBD⊥，则222224sin4cos1616sincos208sin2ABADBD=+=++−−=，当AB最短时，π22=，所以π4

=，即此时CP为ACB的角平分线，π2sin2sin24AD===，且由角平分线定理可得，2142APACBPBC===，即12ACPBCPSACSBC==VV，所以2218243323BCPABCSS

===VV，所以1188223339BCPABCPVADS−===V三棱锥.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解】（1）e10xy+−=.（2）()0f

a=，()fx\当0x时的最大值为a，等价于()fxa对于0x恒成立，()21exaxaxaa−−+，()21exaxaxaa−−+，()22e1xaxxx++−，当0x=时，不等式成立，当2e100,e10,xxxxx++−−

，即22e1xxaxx++−对于0x恒成立，令()()()()()222221e,e1e1xxxxxxgxgxxxxx−−==++−++−则，于是()gx在()0,2，()'0gx，()gx递增；在()2,+，()'0gx，()gx递减，()

()2max42e5gxg==+，a的取值范围为24+e5+，16．【解】（1）依题意，12351321(),(),()10210105PAPAPA=====.（2）该球是甲工厂生产的概率为4081．17.【解】（1）PC与平面P

AD所成角的正切值为55；（2）存在点G，当1BG=时，点D到平面PAG的距离为2；18．【解】（1）设(),Wxy，00(,)Dxy，则00(,0),(0,)AxBy，由题意知1AB=，所以WAAB=，得(000,)(,)xxyxy−−=−，所以002xxyy==−，因为220

01xy+=，得2214xy+=，故曲线C的方程为2214xy+=．（2）由题意可知，直线12,ll不平行坐标轴，则可设1l的方程为：2xmy=−，此时直线2l的方程为12xym=−−．由22214xmyxy=

−+=，消去x得：22(4)40mymy+−=，解得：244mym=+或0y=(舍去)，所以222428244mmxmmm−=−=++，所以222284(,)44mmMmm−++，同理可得：222284(,)4141mmNmm−−++．当1m时

，直线MN的斜率存在，222224222444(55)54412828161644414MNmmmmmmmkmmmmmm++++===−−−++−−，则直线MN的方程为256445myxm=+−，所以直线MN过定点6,05

−．当1m=时，直线MN斜率不存在，此时直线MN方程为：65x=−，也过定点6,05−，综上所述：直线MN过定点6,05−．（3）假设存在点R使得π2+=ORPORQ，设()0,

Rt，因为π2+=ORPORQ，所以ORQOPR=，即tantanORQOPR=，所以||||||||OQOROROP=，所以2||||||OROPOQ=，直线0xx=与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于x轴对称，设000

000(,),(,)(1,)0GxyHxyyy−，易知点()0,1S，直线SG方程是0011yyxx−=+，令0y=得点P横坐标001Pxxy=−−，直线SH方程是0011yyxx+=+−，令0y=得点Q横坐标001Qx

xy=+，由2||||||OROPOQ=，得22020|1|xty=−，又00(,)Gxy在椭圆上，所以220014xy+=，所以24t=，解得2t=，所以存在点(0,2)R，使得π2+=ORPOR

Q成立．19.解：（1）32244332222nnnnnann=++=，当且仅当2422nnn==时等号成立.数列{}na的最小项为23a=.（2）数列{}ns具有性质P，111212nnnb−=−，111111122(1)212212nnnnnnnnn

sb−==−===−−，满足性质（1）；又110,,21nnnnbss+=−即{}ns单调递增，满足性质（2）故数列{}ns具有性质P.（3）先证满足性质（1）01221111(1)()()nnnnnnnncnnnnCCCC=+=++++，当2n时1(1)(2)

(1)1211!!kkknnnnnknnnnknnknnnnkC−−−+−−−+==1111!(1)1kkkkk=−−−1111111(1)11(1)()()332231nncnnnn=+=++−+−++−=−−再证数列{}nc满足条件（2

）1111(1)(1)(1)11111(1)(1)(1)(1)1[]1nnnnnncnnnnn++++++++=+=++++111111()(1)11nnnnnncnn+++++==+=++（111n+，等号取不到），故{}nc为递增数列.即数列{}nc具有性质P.