【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.423 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中2021—2022学年度第二学期期末考试高一数学试题时间：100分钟分值：150分一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合|,Z44kMxxk==+，集合,Z84kNxxk==−，

则MN=（）A.B.MC.ND.Z【答案】B【解析】【分析】化简得()21|,Z8kMxxk+==，()2,Z8kNxxk−==，再分析即可【详解】由题意，()21|,Z8kM

xxk+==，()2,Z8kNxxk−==，因为()()21,Zkk+表示所有偶数，()2Zkk−能表示所有整数，故MNM=故选：B2.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温

度为0T，则经过一定时间t分钟后的温度T满足()012thaaTTTT−=−，h称为半衰期，其中aT是环境温度．若25aT=℃，现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至55℃，大约还需要（参考数据：lg30.48，lg50.70，l

g111.04）（）A.3.5分钟B.4.5分钟C.5.5分钟D.6.5分钟【答案】C【解析】【分析】根据已知条件代入公式计算可得1110211h=，再把该值代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解：由题意，25aT=℃，由一杯

80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得()11752580252h−=−，所以11501025511h==，又水温从75℃降至55℃，所以()1552575252ht−=−，即13032505t

h==，所以11110322115ttthh===，所以10113lg3lg3lg50.480.75log5.51051lg1111.04lg11t−−====−−，所以水温从75℃降至55℃，大约还需要5.5分钟.故选：C.3.已

知函数()fx的定义域为R，()2fx+为奇函数，()21fx+为偶函数，则函数()fx的周期是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】由奇函数性质可得()()22fxfx−+=−+，由偶函数性质可得()()2121fxfx−+=+，化简整理可得()()2fxfx+=−，即可求

出周期.【详解】因为()2fx+为奇函数，所以()()22fxfx−+=−+，因为()21fx+为偶函数，所以()()2121fxfx−+=+，则()()11fxfx−+=+，则()()112fxfx−++=+，即()()2fxfx−=+，所以()()2fxfx−

+=−−，即()()2fxfx+=−，则()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx的周期是4.故选：C.4.已知平面向量()abab、满足||3a=，且b与ba−的夹角为60，则||b的最大值为（）A.23B.6C.32D.8【答案】A【解析】【分析】

根据向量减法的三角形法则，构造出三角形后运用余弦定理得到关于||ba−的方程，由判别式大于等于0可得||b的最大值.【详解】根据题意和向量减法的三角形法则，可构建如图所示三角形.所以60B=，设||bb=，||

bax−=(,0)bx在OAB中根据余弦定理22232cos60bxbx=+−化简得2290xbxb−+−=有正解，又因为二次函数对称轴()0212bbx−=−=，所以只需要判别式()()224190bb=−−−即可，解得212b，所以max||23b=.故选：A

.5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.4+43B.42C.4+22D.4+42【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个正四棱锥，且底面边长为2，高为1，从而可求出其表面积【

详解】因为该几何体的三视图中，正视图与侧视图均为等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，所以该几何体是一个正四棱锥，且底面边长为2，高为1，如图所示，所以其表面积为2212242114422+

+=+，故选：D6.若sin2cos=，则()cos1sin2sincos+=+（）A.35B.25C.25−D.35-【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为sin2cos=，显然cos0，故tan

2=，()()2cos1sin2cossincossincossincos++=++()2222cossincostan1213sincostan1215+++====+++故选：A7.数列{}na中，12a=，mn

mnaaa+=，若177121022kkkaaa++++++=−，则k=（）A.3B.5C.4D.6【答案】D【解析】【分析】令1m=，求得12nnaa+=，得到数列{}na是首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，列出方程，即可求解.【

详解】由题意，数列{}na中，12a=，mnmnaaa+=，令1m=，可得112nnnaaaa+==，即12nnaa+=，所以数列{}na是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nna=，又由110101117712102(12)222212kkkkkkaaa+++++++−+++==−=−−

，解得6k=.故选：D.8.若两个正实数,xy满足12+1=xy，且不等式2+32+yxmm有解，则实数m的取值范围是（）A.(4,1)−B.(1,4)−C.()(),41,−−+UD.()(),14,−−+【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合基本

不等式求得2yx+的最小值为4，把不等式2+32+yxmm有解，转化为2+34mm，即可求得实数m的取值范围.【详解】由题意，正实数,xy满足12+1=xy，则1222()()22242222yyyxyxxxxyxyxy+=++=+++=，当且仅当22yxxy=时，即2,

4xy==时，等号成立，即2yx+的最小值为4，又由不等式2+32+yxmm有解，可得2+34mm，即2+340mm−，解得4m−或1m，即实数m的取值范围为()(),41,−−+U.故选：C.9.在平面直角坐标系xOy中，曲线:3Cxy=上任意一点P到直线

:30lxy+=的距离的最小值为（）A.1B.32C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，求得点P到直线:30lxy+=的距离，结合基本不等式，即可求解.【详解】设曲线:3Cxy=上任意一点(,)Pxy，则3yx=可得点P到直线:30lxy+=的距离为223333221(3

)xxxyxxd+++===+由于333223xxxxxx+=+=，当且仅当3xx=时，即3x=时，等号成立，所以点P到直线:30lxy+=的距离最小距离为3.故选：C.10.在△ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB+−=−+，则△ABC的形状是（）A.

等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦和差角公式可化简2222()sin()()sin()abABabAB+−=−+得22sincoscossinbABaAB

=，再运用正弦定理将边化为角，根据正弦的二倍角公式化简，可得出三角形的角的关系，可判断出三角形的形状.【详解】由()()2222sin()sin()abABabAB+−=−+得22sin()sin()sin()sin()bABABaABAB−+

+=+−−，即得22sincoscossinbABaAB=，即22sincoscossinABaABb=，再由正弦定理可得sinsinabAB=，即sinsinaAbB=，所以2222sincos

sincossinsinABaAABbB==，所以sincossincosAABB=，即11sin2sin222AB=，解得22AB=或22180AB+=，即AB=或90AB+=，所以ABC

的形状为等腰三角形或直角三角形。故选：D.的【点睛】本题主要考查正弦的和差角公式，正弦定理的应用，正弦的二倍角公式，关键在于运用相应的公式进行三角形的边角进行转化，统一边或角，属于中档题.11.在平面中，过定点()2,1P作一直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，OAB面积最小值

为（）A.2B.22C.4D.42【答案】C【解析】【分析】设直线AB的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线AB不经过原点，故设直线AB的方程为1(0,0)xyabab+=，因为直线AB过定点()2,1P，故21

1ab+=，所以21212212ababab=+=，故22,8abab.当4,2ab==时等号成立故142OABSab=故选：C12.已知菱形ABCD的边长为3，60ABC=，沿对角线AC折成一个四面体，使平面ACD垂直平面ABC，则经过这个四面体所有顶点的球的体积为（）

．A.515π2B.6πC.515πD.12π【答案】A【解析】【分析】设球心为O，OFx=，则3BF=，32EF=，可得22222333(3)()()22Rxx=+=−+，求出x，可得R，即可求出球的体积．【详解】E是AC的中点，由题意可

知：DE⊥平面ABC,如图所示，设球心为O，在平面ABC中的射影为F，E是AC的中点，OFx=，则233BFBE==，1332EFBE==,33322DEAD==所以22222333(3)()()22Rxx=+=−+，32x=2154R=球的体积为3

4π515π32R=．的故选：A．13.已知数列na满足0na，+12=1+−nnnanaan，记数列na的前n项和为nS，则1+nnSa=（）A.nB.+1nC.2nD.()2+1n【答案】A【解析】【分析】将+12

=1+−nnnanaan变为2111nnnnnannnaaaa++−−==+，即可得11nnnnnaaa+−=−，利用裂项求和的方法可得1nnnSa+=，即可求得答案.【详解】因为0na,121nnnanaan+=

+−，所以2111nnnnnannnaaaa++−−==+，所以11nnnnnaaa+−=−，又122132110211()()()nnnnnnSaaaaaaaaa+−=+++=−+−++−1110nnnnaaa++==−，故1nnSan+=，故选：A14.设函数()fx的定义域为R，若存在

常数0m，使|()|||fxmx„对一切实数x均成立，则称()fx为“F函数”.给出下列函数：①()0fx=；②2()fxx=；③()2(sincos)fxxx=+；④2()1xfxxx=++；⑤()fx是定义在R上的奇函数，且对

一切实数12xx有()()12122fxfxxx−−„.其中是“F函数”的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【解析】【分析】对①,直接根据“F函数”定义分析即可.对②,代入2()fxx=有||xm„恒成立,m不存在故2()fxx=不是“F函数”；对③,举反例当0x=时不成立即可

.对④,代入化简可得211mxx++„恒成立,再根据二次函数的最值求解即可.对⑤,取1xx=,20x=即可证明|()|2||fxx„恒成立,故()fx是“F函数”.【详解】①()0fx=时,由0m,||0mx…恒成立,故()fx是“F函数”；②2()f

xx=时,|()|||fxmx„,即2||||xmx„,0x时即||xm„恒成立,而||(0,)x+,故m不存在,2()fxx=不是“F函数”；③()2(sincos)fxxx=+时,|(0)|2|0|fm=,故|()|

||fxmx„在0x=时不成立,()2(sincos)fxxx=+不是“F函数”；④2()1xfxxx=++时,|()|||fxmx„,0x=时左右相等,0x时即211mxx++„恒成立.22133124

4xxx++=++,21413xx++„,43m…即可,2()1xfxxx=++,是“F函数”；⑤由()fx是定义在R上的奇函数,则(0)0f=.取1xx=,20x=,则|()(0)|2|0|fxfx−−„,即|()|2||fxx„恒成

立,2m…即可,()fx是“F函数”.综上,“F函数”的个数为3个.故选：B【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用,需要根据函数满足的关系式,结合已知函数的值域进行分析,或者举出反例.属于中档题.二、填

空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．15.不等式22301xxx+−+的解集为__________．【答案】[3,1)[1,)−−+【解析】【分析】将22301xxx+−+等价转化为223010xxx+−

+或223010xxx+−+，解不等式组可得答案.【详解】原不等式等价于223010xxx+−+或223010xxx+−+，解得1x或31x−−，故答案为：[3,1)[1,)−−+1

6.直线1:10lxy+−=关于直线2:330lxy−−=的对称直线方程为__________．【答案】710xy−−=【解析】【分析】先求得两直线的交点坐标，然后在1:10lxy+−=任取一点，求得其关于直线2:330lxy−−=的对称点，即可求得答案.【详解】联立1:10lxy+−=和直线2:

330lxy−−=，求得它们的交点为0(1)A，,在直线1:10lxy+−=取点(0,1)B，设其关于2:330lxy−−=的对称点为(,)Cab，则113133022baab−=−+−−=，解得121(,)5

5C，故直线1:10lxy+−=关于直线2:330lxy−−=的对称的直线为AC,其斜率为11512715=−，直线方程为1(1)7yx=−，即710xy−−=，故答案：710xy−−=为17.已知x、y满足2025020xyxyy−−+−−，则21xyzx++=+的最小值是___

_______．【答案】32##1.5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，21111xyyzxx+++==+++，其中11yx++表示点(),Pxy与()1

,1−−连线的斜率，由图可知，直线PA的斜率最小，联立方程20250xyxy−−=+−=，解得31xy==，所以min3123312z++==+.故答案为：32.18.在ABC中，若2π3B=，ABC的面积为3，角B

的平分线交AC于点D，且52BD=，则AC=________．【答案】46【解析】【分析】根据面积关系可得4ac=，10ac+=，再利用余弦定理即可求出.【详解】设三角形的三边分别为,,abc，则13sin324ABCSacBac===，所以4ac=

，又1212sinsin3253253ABCABDCBDSSSca=+=+=，所以10ac+=，由余弦定理()22222222cos963bacacacacacac=+−=++=+−=，即46AC

b==.故答案为：46.19.在锐角三角形ABC中，sin3coscosABC=，则tantantanABC的最小值是________．【答案】275##5.4【解析】【分析】由已知sin3coscosABC=

结合三角函数恒等变换公式可得tantan3BC+=，再由ABC为锐角三角形，可求出91tantan4BC，而tantantantantantantantantan1BCABCBCBC+=−3tantantantan1BCBC=−，

令tantanBCt=（914t），换元化简可求出其最小值【详解】因为在ABC中，()ABC=−+，sin3coscosABC=,所以sin[()]3coscosBCBC−+=，所以sin()3coscosBCBC+=，所以

sincoscossin3coscosBCBCBC+=，因为ABC为锐角三角形，所以cos0,cos0BC，所以sincoscossin3coscoscoscosBCBCBCBC+=，所以tantan3BC+=因为ABC为锐角三角形，所以t

an0,tan0,tan0ABC，所以3tantan2tantanBCBC=+，所以9tantan4BC，当且仅当tantan=BC时取等号，由tan0A，得tantan0tantan1BCBC+−，所以tantan1BC，所以91

tantan4BC，当且仅当tantan=BC时取等号，所以tantantantantantantantantan1BCABCBCBC+=−3tantantantan1BCBC=−，令tantanBCt=（914t

），则33tantantan111tABCtt==−−因为914t，所以4119t，所以1419t−−−，所以15019t−，所以33327tantantan151519tABCtt==

=−−，当且仅当tantan=BC时取等号，所以tantantanABC的最小值为275，故答案为：27520.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，点E是棱1CC上的一个动点，平面1BED交棱1AA于点F.给

出下列四个结论：①存在点E，使得11AC//平面1BEDF；②存在点E，使得1BD⊥平面1BEDF；③对于任意的点E，平面11ACD⊥平面1BEDF④对于任意的点E，四棱锥11BBEDF−的体积均不变其中，所有正确结论的序

号是________.【答案】①③④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可．【详解】解：①当E为棱1CC上的中点时，此时F也为棱1AA上的中点，此时11//ACEF；满足11//AC平面1BEDF成立，①正确．②1BD平面1BED

F，若存在点E，使得1BD⊥平面1BEDF，则11BDBD⊥，则矩形11BDDB，是正方形或菱形，在正方体中，12BDBB=．则矩形11BDDB，不可能是正方形或菱形，不可能存在点E，使得1BD⊥平面1BEDF，②错误．③连

结1DB，则1DB⊥平面11ACD，而1BD平面1BEDF，平面11ACD⊥平面1BEDF，成立，③正确．④四棱锥11BBEDF−体积等于1111DBBFDBBFVV−−+，设正方体的棱长为1，无论E，F在

何点，三角形1BBE的面积为111122=为定值，三棱锥11DBBE−的高111DC=，保持不变．三角形1BBF的面积为111122=为定值，三棱锥11DBBF−的高为111DA=，保持不变．三棱锥11DBBE−和

三棱锥11DBBF−体积为定值，即四棱锥11BBEDF−的体积等于1111DBBFDBBFVV−−+为定值，④正确．故答案为：①③④三、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知数列na前n项和nS满足()*11(33)2nnnSN+=−

．的的（1）求数列na的通项公式；（2）已知__________，求数列nb的前n项和nT．从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对第（2）问进行解答．条件：①()()*21nnbnanN=+；②()()()*12

311nnnnbnNaa+=−−；③()*213(1)lognnnbanN+=−注：如果选择多个条件分别解答，以第一个解答计分．【答案】（1）3nna=（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由()11332nnS+=−，利用1nnnaSS−=−，即可求得数列na的通项公式；（

2）分别选择条件①②③，求得数列nb的通项公式，结合乘公比错位相减法、裂项法和分类讨论，进而求得数列nb的前n项和nT.【小问1详解】解：因为在数列na中，()11332nnS+=−．当1n=时，13a=；

当2n时，()1113332nnnnnnaSS+−=−=−=，又因为13a=也满足3nna=，所以数列na的通项公式为3nna=．【小问2详解】解：选择条件①：由(21)(21)3nnnbnan=+=+，可得123335

373(21)3nnTn=+++++，23413335373(21)3nnTn+=+++++，两式相减得()231292333(21)3nnnTn+−=++++−+()()21111131392(21)3993(21)32313nnnnnnnn−++++−

=+−+=−−−+=−−，故13nnTn+=．选择条件②：由（1）知3nna=，所以()()()()1112323111131313131nnnnnnnnnbaa+++===−−−−−−−∴1231223111131313131nnTbbbb

=++++=−+−+−−−−1111113131231nnn+++−=−−−−.选择条件③：因为321(1)log(1)(21)nnnnban+=−=−+，当n为偶数时，()()()

12341nnnTbbbbbb−=++++++(35)(79)[(21)(21)]222222nnnn=−++−+++−−++=++++==；当n为奇数时，()()()1234513(2)(2)(2)nnnTbbbbbbb−=+++++++=−+−+−++−13

(2)22nn−=−+−=−−，综上所述：数列nb的前n项和,2,nnnTnn=−−为偶数为奇数.22.在锐角ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()cos3sincos2−=+ABAB，3c=（1）求角

C的大小；（2）求2ab−取值范围．【答案】（1）π3C=（2）()0,3【解析】【分析】（1）根据已知结合和的余弦公式和二倍角公式化简可得3sin2C=即可求出；（2）利用正弦定理化边为角，由正弦函数的性质即可求出.【小问1详解

】由cos3sincos(2)ABAB−=+可得2cos3sincos2cossin2sinsincosABAABABB−=−−，化简可得32cossin2sincos2sin()2sinABABABC=+=+=，即3s

in2C=，又因为三角形为锐角三角形，所以π3C=．【小问2详解】根据正弦定理32sinsinsin32abcABC====，可得2sinaA=，2sin2sinsin3cos3bBAAA==+=+故π23sin3cos23sin6abAAA−=−=−，又因

为ππ62A，所以023ab−．23.如图所示，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面PCD，底面ABCD满足AD∥BC，142APABBCAD====，90ABC=，E为AD的中点，AC与BE的交点为O．（1

）设H是线段BE上的动点，证明：三棱锥HPCD−的体积是定值；（2）求四棱锥PABCD−的体积；（3）求直线BC与平面PBD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）162（3）31111【解析】【分析】（1）证明BE∥平面PCD，由于H是线段BE上

的动点，即可证明三棱锥HPCD−的体积是定值；（2）PO⊥平面ABCD，说明PO是四棱锥PABCD−的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案；（3）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角

公式结合三角函数同角的关系求得答案.【小问1详解】因为底面ABCD为梯形，AD∥BC，E为AD的中点，且12BCADED==，所以四边形BCDE为平行四边形，则BECD∥，又BE平面PCD，CD平面PCD，所以BE∥平面PCD，又因为H为

线段BE上的动点，PCD的面积是定值，从而三棱锥HPCD−的体积是定值．【小问2详解】因为PA⊥平面PCD，所以PACD⊥，结合BECD∥，所以APBE⊥，又因为1,2ABBCABBCAD⊥==，且E为AD的中点，所以四边形ABCE为正方形，所以BEAC

⊥，结合APACA=，则BE⊥平面APC，连接PO，则BEPO⊥，因为PA⊥平面PCD，所以PAPC⊥，因为22ACABAP==，所以PAC△是等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点，所以POAC⊥，

且ACBEO=I，所以PO⊥平面ABCD，所以PO是四棱锥PABCD−的高，又因为梯形ABCD的面积为11()(48)42422BCADAB+=+=，在RtAPC△中，1222POAC==，所以11242216233PABCDABCDVSPO−==

=．【小问3详解】以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz−，如图所示，则(22,0,0),(0,22,0),(42,22,0),(0,0,22)BCDP−，则(22,22,0),(22,0,22

),(42,22,22)BCPBPD=−=−=−−，设平面PBD的法向量为(,,)nxyz=，则00nPBnPD==，即222204222220xzxyz−=−+−=，则3xzyz==，令1z=，得到(1,3,1)n=，设BC与平面PBD所成的角

为，则22122322sin|cos,|11411BCn−+===，所以2311cos1sin11=−=，所以直线BC与平面PBD所成角的余弦值为31111．24.已知二次函数()2fxaxbxc=++.（1）若()10f−=，试

判断函数()fx零点个数；（2）是否存在,,abcR，使()fx同时满足以下条件：①对任意,(4)(2)xRfxfx−=−，且()0fx；②对任意xR，都有210()(1)2fxxx−−.若存在，求出,,abc的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0ac−=时，函数()f

x有一个零点；当0ac−时，函数()fx有两个零点；（2）存在，14a=，12a=，14c=.【解析】【分析】（1）由()10f−=，可得bac=+，代入判别式，讨论判别式的符号，可得函数的零点个数；（2）假设a，b，c存在，由①对称轴和顶点，由②可得()()min

10fxf=−=以及()0fxx−联立求解.【详解】解：（1）()10f−=0abc−+=，即bac=+又已知2224()4()bacacacac=−=+−=−当0ac−=时，0=，函数()fx有一个零点；当0ac−时，0，函数()fx有两个零点；（2）假设a，b，c存在，由()()

42fxfx−=−可得()fx的对称轴为1x=−.即2ba=①又由()0fx得即()()min10fxf=−=②联立①②可得22bac==故()fx可化作()()2221fxaxaxaax=++=+.由条件②()0fxx−可得220axaxax++−.∴()2

242104aaa−−得14a.()221212axaxaxx++−−即2112022aaxa−++−∴2214420142102aaaa−−−−，解得104a，又14a14a=，12a=，14c=.综上所述：存在14a=

，12a=，14c=使其满足条件①②.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com