【文档说明】辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高二下学期期中考试 数学 答案.docx，共(24)页，1.852 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度（下）沈阳市五校协作体期中考试高二年级数学试卷考试时间：120分钟满分：150分试卷说明：试卷共二部分：第一部分：选择题型（1-12题60分）第二部分：非选择题型（13-22题90分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题1.等差数列na的前n项

和为nS．若2341,3,aaS===（）A.12B.10C.8D.6【答案】C【解析】【分析】利用等差数列定义，先求出322daa=−=，再求出14,aa，最后得到4S.【详解】设等差数列的公差为d,则322daa=−=，12431,5aadaad=−=−=+=4

12348Saaaa=+++=,故选：C.2.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为A.116B.316C.14D.1316【答案】D【解析】【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥

的，每一种情况的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为111111111322222222216111222++=，所以灯泡亮的概率为31311616−=，故选D．3.现有17匹善于奔驰的马，它们从同一个

起点出发，测试它们一日可行的路程．已知第i（1216i=，，，）匹马的日行路程是第1i+匹马日行路程的1.05倍，且第16匹马的日行路程为315里，则这17匹马的日行路程之和约为（取171.052.292=）（）A.7750里B.7

752里C.7754里D.7756里【答案】B【解析】【分析】由等比数列的前n项和公式计算.【详解】3153001.05=，依题意可得，第17匹马、第16匹马、……、第1匹马的日行路程里数依次成等比数列，且首项为300，公比为1.05，故这17匹马的日行路程之和为()()1717

30011.0560001.0516000(2.2921)775211.05−=−=−=−（里）．故选：B.4.口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4

时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）A.E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η）B.E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C.E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η）D.E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）【答案】A【解析】【分析】当3n=时，的可能取值为1，2

，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E=，()25D=；当4n=时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167E=，()2449D=，即可得解．【详解】当3n=时，ξ的可能取值为1，2，3，()134336115CCPC===

，()342236325CCPC===，()343136135CCPC===，∴()131232555E=++=，()112555D=+=；当4n=时，η可取1，2，3，4，()1434374135CCPC===，()22437418235CPCC===，()31

437412335CPCC===，()4404375143CCPC===，∴()41812116234353535357E=+++=，()22224161816121611612343573573575494

372D=−+−+−+−=；∴()()EE，()()DD．故选：A．【点睛】本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.5.已知函数(

)()*lnNfxnxxn=+的图象在点11,fnn处的切线的斜率为na，则数列11nnaa+的前n项和nS为（）A.11n+B.()()235212nnnn+++C.()41nn+D.()()235812nnnn++

+【答案】C【解析】【分析】先根据导数的几何意义求出na，再利用裂项相消法即可得解.【详解】()1fxnx=+，则12nnafn==，所以()11111122241nnaannnn+==−++，所以()111111111142231414

1nSnnnnn=−+−++−=−=+++.故选：C.6.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立

，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜．已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为13，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为14，若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为（）A.24B.25C.26D.27【答案】A【解析】【分析

】由二项分布及其期望计算即可.【详解】设选择与甲进行比赛且获胜的业余棋手人数为X，选择与乙进行比赛且获胜的业余棋手人数为Y；设选择与甲进行比赛的业余棋手人数为n，则选择与乙进行比赛的业余棋手人数为32-n．X所有可能取值为0，1，2，，n，则1~,3XBn，()3n

EX=；Y所有可能的取值为0，1，2，，32-n，则132,4YBn−−，()324nEY−=，所以获胜的业余棋手总人数的期望()()()3296103412nnnEXYEXEY−++=+=+=，解得24n．故选：A．7.已知函数(

)fx与()gx定义域都为R，满足()()()1exxgxfx+=，且有()()()0gxxgxxgx+−，()12eg=，则不等式()4fx的解集为（）A.()1,4B.()0,2C.(),2−D.()1,+【答案】D【解析】【分析】利用导数结合题意可知()0fx，(

)fx在(),−+上单调递减，又()()41fxf=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1exxgxfx+=可得()()()()()()()()()()2e1e1eeexxxxxgxxgxx

gxxgxgxxgxfx++−++−==.而()()()0gxxgxxgx+−，∴()0fx，∴()fx在(),−+上单调递减，又()12eg=，则()()1214e14eegf===，的所以

()()41fxf=，则1x，故不等式()4fx的解集为()1,+．故选：D．8.若函数()()3log(0afxaxxa=−且1)a在区间()0,1内单调递增，则a的取值范围是（）A.)3,+B.(

1,3C.10,3D.1,13【答案】A【解析】【分析】令()3gxaxx==−，利用导数求出函数()gx的单调区间，再分1a和01a两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解.【详解】令()3gxaxx==

−，则()23gxax=−，当3ax或3ax−时，()0gx，当33aax−时，()0gx，所以()gx在,3a+和,3a−−上递减，在,33aa−上递增，当1a时

，logay=为增函数，且函数()fx在区间()0,1内单调递增，所以10313aaa−，解得3a，此时()gx在()0,1上递增，则()()00gxg=恒成立，当01a时，logay=减函数，且函数()fx在

区间()0,1内单调递增，所以0301aa，无解，综上所述，a的取值范围是)3,+.故选：A.为二、多选题9.以下说法正确的是（）A.89，90，91，92，93，94，95，96，9

7的第75百分位数为95B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据()11,xy，()22,xy，，(),nnxy，由此得到的线性回归方程为ˆˆˆybxa=+，回归直线ˆˆˆybxa=+至少经过点()11,xy，()22,xy，，(),nnxy中的一个点C.相关系数r的绝

对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强D.已知随机事件A，B满足()0PA，()0PB，且()()|PBAPB=，则事件A与B不互斥【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：结合百分位数定义即可求解；对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；对于C选项：根据相关系数的

性质即可判断；对于D选项：根据互斥事件的定义和事件的相互独立性即可求解.【详解】对于A选项：从小到大排列共有9个数据，则975%6.75i==不是整数，则第75百分位数为从小到大排列的第7个数据，即第75百分位数为95，所以A选项正确；对于B选项：线性回归方程ˆˆˆybx

a=+不一定经过点()11,xy，()22,xy，，(),nnxy中的任何一个点，但一定经过样本的中心点即(),xy，所以B选项错误；对于C选项：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，所以

C选项正确；对于D选项：因为()()|PBAPB=，则()()()()()|PABPBAPAPBPA==，则事件A与B相互独立，所以事件A与B不互斥，所以D选项正确；故选：ACD.10.设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，并满足条件11a

，201920201aa，20192020101aa−−，下列结论正确的是（）A.20192020SSB.2019202110aa−的C.2020T是数列nT中的最大值D.若1nT，则n最大为4038．【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意可确定01q

，根据20200a可判断A；根据等比数列的性质结合20201a可判断B；根据数列na是递减数列，且20191a，20201a判断C；再根据nT的公式，结合20191a，20201a判断D即可.【详解】对A，∵11a，

201920201aa，20192020101aa−−，且数列na为等比数列，∴20191a，20201a，∴01q，因为20200a，∴20192020SS，故A正确；对B，∵22019202120201aaa=，∴2019202110aa−，故B正确；

对C，因为等比数列na的公比01q，11a，所以数列na是递减数列，因为20191a，20201a，所以2019T是数列nT中的最大项，故C错误；对D，(1)11212211111

1...1nnnnnnnTaaqaqaqaqaq−−−===，因为20191a，20201a，故201811aq，201911aq，故120192n−，即4039n，故n最大为40

38，故D正确．故选：ABD．11.已知函数()321fxxx=−+，则下列结论错误的是（）．A.()fx有两个极值点B.()fx有一个零点C.点()0,1是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】BD【解析】【分析】对于A选项，对()fx求导后判断

函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造()32gxxx=−，判断()gx的奇偶性，进一步得到对

称中心；对于D选项，根据条件直接求出切点坐标即可判断结果；【详解】对于A选项，由()321fxxx=−+，定义域为R，可得()232fxx=−，令()0fx=，可得63x=，因为()2320fxx=−

，得63x或63x−，()2320fxx=−，得6633x−，所以，()fx在66(,)33−单调递减，()fx在6(3,)−−，(6,)3+单调递增，所以，63x=−是()fx有极大值点

，63x=是()fx有极小值点，故A选项正确；对于B选项，由A可知()fx极大值为0969364f+−=，()fx极小值0639694f−=，()28410f−=−++，()28410f=−+所以，根据(

)fx的单调性和零点存在定理可知，()fx在6(3,)−−，66(,)33−，(6,)3+各存在1个零点，即函数()321fxxx=−+有3个零点，故B错误；对于C选项，可设()32gxxx=−，得()32()gxxxgx−=−+=−，则()gx为奇函数，所以()gx图象关于(0,0)对

称，将()gx向上平移1个单位可得()fx，故函数()fx关于(0,1)对称，故C选项正确；对于D选项，由A知()232fxx=−，令()2322fxx=−=，解得233x=，则9233943f−=，2343939

f+−=，由于切点92,39343−，23439,39+−均不满足2yx=，故D选项错误；故选：BD12.如图，有一列曲线1，2，……，n，……，且1是边长为1的等

边三角形，1i+是对()1,2,ii=进行如下操作而得到：将曲线i的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i+，记曲线()1,2,nn=的边数为nL，周长为nC，围成的面积为nS，则下列说法正确的是（）A.数列{nL}是首项

为3，公比为4的等比数列B.数列{nC}是首项为3，公比为43的等比数列C.数列}nS是首项为34，公比为43的等比数列D.当n无限增大时，nS趋近于定值235【答案】ABD【解析】【分析】结合图形规律得134nnnnLLLL+=+=，即可判断A,根据第n个图形的边长

为113n−，113nnnCL−=即可判断B，根据22113143nnnnSSL−−−=+，利用累加法及等比数列的前n项和公式求出nS．【详解】1nL+是在nL的基础上，每条边新增加3条新的边，故134nnnnLL

LL+=+=，又13L=,所以数列{nL}是首项为3，公比为4的等比数列,且134nnL−=故A正确，第n个图形的边长为113n−，所以()1111114343333nnnnnnCL−−−−

===，故数列{nC}是首项为3，公比为43的等比数列，故B正确，因为2是在1的每条边上再生出一个小正三角形，于是21233413SS+=，同理，对n是在

1n−每条边上再生出一个小正三角形，于是n的面积等于1n−的面积加上1nL−个新增小三角形的面积，即22113143nnnnSSL−−−=+，1113449nnnSSS−−=+于是可以利用累加的方法得到11

13449nnnSSS−−=+21213449nnnSSS−−−=+2113449SSS=+将上面式子累加得211134444999nnSSS−=++++

11834559nS−=−49138344559n−=−当n→+时，3823455nS→=，故C错误，D正确，故选：ABD第Ⅱ卷

（非选择题共90分）三、填空题13.记nS为数列na的前项和，若21nnSa=+，则10S_______．【答案】1023−【解析】【分析】对=1n和2n分类讨论，结合1nnnaSS−=−，()2n，计

算得出数列{}1nS-是等比数列，并写出通项公式，得到12nnS=−，即可得出10S.【详解】当=1n时，11121,1Saa=+=-的当2n时12()1nnnSSS-=-+1121nnSS--\=-所以数列{}1nS-是首项

为2−，公比为2的等比数列则12nnS-=-12nnS\=-即101012=1023S=--故101023S=-【点睛】形如1(1)nnabadb+=+?，常用构造等比数列：对1nnabad+=+变形得()1nnaxbax++=+（其中1dxb=-），则{}nax+是公比为b

的等比数列，利用它可求出na．14.随机变量的分布列如下表所示，则方差()D的取值范围是_________.012P13ab【答案】28[,]99【解析】【分析】结合概率之和为1求出a与b之间的关系，进而用b表示出期望公式和方差公式，最后结合二次函

数性质即可求解.【详解】由题意可知，12133ab+=−=，则203a，203b，故随机变量的数学期望12()02233Eababb=++=+=+，从而()3221511[()]()612iiiDEPb==−=−−

+，因为203b，所以由二次函数性质可知，()2899D，故方差()D的取值范围是28[,]99.15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数()yfx=满足如下条件：（1）在闭区间,

ab上是连续不断的；（2）在区间(),ab上都有导数.则在区间(),ab上至少存在一个数ξ，使得()()()()fbfafba−=−，其中ξ称为拉格朗日中值.则()lngxx=在区间1,e上的拉格朗日中值ξ=___________.【答

案】e1−【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得()1e1g=−，进而求得的值即可.【详解】()1gxx=，则()1g=由拉格朗日中值的定义可知，函数()lngxx=在区间1,e上的

拉格朗日中值满足，()()()()e1e1ggg−=−所以()()()e11e1e1ggg−==−−，所以()11e1g==−，则e1=−故答案为：e1−16.在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不

合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为(01)pp，若当0pp=时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则0p=___________．【答案】1515−##1515−+【解析】【分析

】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得()32()(1)2fpppp=−−，利用导数研究函数在(0,1)上的最值，根据最值成立的条件即得0p.【详解】至少射击4次合格通过的概率为()3432()(1)(1)(1)2fpppppppp=−+−=−−，所以

()22()(1)5102fpppp=−−+，令()0fp=，解得1515p=−，故()fp在150,15−上单调递增，在151,15−上单调递减，当1515p=−时()fp得最大值，故

01515=−p．故答案为：1515−【点睛】关键点点睛：用p表示至少射击4次合格通过的概率()fp，并利用导数研究在(0,1)上的最值即可.四、解答题17.已知数列na是首项为2，公差为4的等差数列，等比数列nb满足11445,2bab

aa==+.（1）求nb的通项公式；（2）记nnnacb=，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）2nnb=（2）12362nnnT−+=−【解析】【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式可解；（2）利用错位相减法求数列前n项和【小问1详解】由题

可知()21442nann=+−=−.因为11445,2babaa==+，所以14452,232bbaa==+=，得416b=.设等比数列nb的公比为q，则34116bbq==，所以2q=，1222nnnb−==，即nb的通项公式为2nn

b=.【小问2详解】.由（1）得()114221121222nnnnnncn−−−−===−，则()()211111132321222nnnTnn−−=+++−+−，()()211111113232122222nnn

Tnn−=+++−+−，两式相减得()2111111122122222nnnTn−=++++−−()111211221211212nnn−−=+−−−2332nn+=−故12362nnnT−+=−.18.设3x=−是函

数()323fxaxbxxc=+−+的一个极值点，曲线()yfx=在1x=处的切线斜率为8.（1）求()fx的单调区间；（2）若()fx在闭区间1,1−上的最大值为10，求c的值.【答案】（1）单调递增区间是

(),3−−和1,3+，单调递减区间是13,3−（2）4【解析】【分析】（1）求导后，根据()()3018ff−==求出,ab，再利用导数可求出单调区间；（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.【小问1详

解】()2323fxaxbx=+−，由已知得()()3018ff−==，得276303238abab−−=+−=，解得1,4ab==．于是()()()2383331fxxxxx=+−=+−，由()0fx¢>，得3x−或13x，由()0fx，得

133x−，可知3x=−是函数()fx的极大值点，1,4ab==符合题意，所以()fx的单调递增区间是(),3−−和1,3+，单调递减区间是13,3−.【小问2详解】由（1）知()3243fxxxxc=+−+，因为()fx在区间11,3−上是单调递减函

数，在1,13上是单调递增函数，又()()1216fcfc=+−=+，所以()fx的最大值为()1610fc−=+=，解得4c=.19.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如

下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116（1）由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布()2,N，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且6.1=，若全校有3000名学

生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；（2）调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活

动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生女生合计并依据小概率值0.05=的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互

影响.附：参考数据：()0.6827PX−+=；()220.9545PX−+=；()330.9973PX−+=.()()()()()()22nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++α

0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）476人（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布(14.9,6.1)XN−，利用参考数据求得参

加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.【小问1详解】由频数分布表知42.5157.53312.53117.5112

2.5627.514.9100+++++==，则(14.9,6.1)XN−，()0.6827PX−+=，10.6827(21)(14.96.1)0.158652PXPX−=+==

，30000.15865475.95476=，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.【小问2详解】由频数分布表知，锻炼活动的天数在[0,15]的人数为：4153352++=，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活

动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：522032−=由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30]的人数为3111648++=，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：483

018−=列联表如下：性别活动天数合计[0,15](15,30]男生203050女生321850合计5248100零假设为0H：学生性别与获得“运动达人”称号无关22100(30322018)5.769

3.84150505248−=依据0.05=的独立性检验，我们推断0H不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：

300.650=和180.3650=，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的0.61.670.36倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易

获得运动达人称号.20.已知数列na和nb满足21nnabn+=−，数列,nnab的前n项和分别记作,nnAB，且nnABn−=.（1）求nA和nB；（2）设122nbnnCA=+，求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）(

)()11,22nnnnnnAB+−==（2）121nnSn=−+【解析】【分析】（1）确定2nnABn+=，再根据nnABn−=解得答案.（2）计算1nbn=−，得到11121nncnn−=+−+，根据等比数列求和公式和裂项相消法计算得到答案.【小问1详解】21nnabn+=−，所以数列n

nab+是首项为1，公差为2的等差数列，所以其前n项和()211212nnAnBnn=++=−，又因为nnABn−=，所以()12nnnA+=，()12nnnB−=，【小问2详解】当2n时，()()()1112122nnnnnnnbBBn−−−−=−=−

=−.当1n=时，110bB==也适合通项公式，故1nbn=−.所以()111111222211nbnnnncAnnnn−−=+=+=+−++，所以()2111111122212231nnSnn−=+++++−+−++−+()112111212

11nnnn−=+−=−−++.21.已知函数()21ln(0)2fxxxxaa=−+.（1）若1a=，求函数()fx在点()()1,1f处的切线方程；（2）若函数()21ln(0)2fxxxxaa=−+在其

定义域上有唯一零点，求实数a的值.【答案】（1）2210xy−−=（2）12【解析】【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln20xaxax−−=在()0

,+有唯一实数解.构造函数()22ln2gxxaxax=−−，和()2ln1,hxxx=+−利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【小问1详解】当1a=时，()111221f=−+=，且()()11,11fxxfx=−+=，函数()

fx在点()()1,1f处的切线方程112yx−=−，即2210xy−−=.【小问2详解】()21ln(0)2fxxxxaa=−+在其定义域上有唯一零点，方程21ln02xxxa−+=，即22ln20xaxa

x−−=在()0,+有唯一实数解.设()22ln2gxxaxax=−−，则()2222xaxagxx−−=.令()0gx=，即20.0,0,xaxaax−−=20xaxa−−=的两个根分别为21402aaax−+=（舍去），2242

aaax++=.当()20,xx时，()()0,gxgx在()20,x上单调递减，当()2,xx+时，()()0,gxgx在()20,x上单调递增，当2xx=时，()()0,gxgx=取最小值()2gx，要使()gx在()0,+有唯一零点，则须()()

220,0,gxgx==即22222222ln20,0,xaxaxxaxa−−=−−=()22222ln0,0,2ln10.*axaxaaxx+−=+−=设函数()2ln1,hxxx=+−当0x时()hx是增函数

，()hx至多有一解.()10,h=方程()*的解为21x=，即2412aaa++=，解得12a=，实数a的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，

往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22.马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即

第1n+次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第1,2,3,nnn−−−次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行()*N

nn次操作后，记甲盒子中黑球个数为nX，甲盒中恰有1个黑球的概率为na，恰有2个黑球的概率为nb.（1）求1X的分布列；（2）求数列na的通项公式；（3）求nX的期望.【答案】（1）答案见解析（2）321559nna=+−（3）1【解析】【分析】（

1）由题意分析1X的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到11293nnaa+=−+，判断出数列35na−为以132545a−=−为首项，以19−为公比的等比数列即

可求解；（3）利用全概率公式求出12193nnnbab+=+求出111559nnb=−−，进而求出()nEX.【小问1详解】（1）由题可知，1X的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：()1122

0339PX===;()111225133339PX==+=;()12122339PX===，故1X的分布列如下表：1X012P295929【小问2详解】由全概率公式可知：()11nPX+=()()()()11111212nnnnnnPX

PXXPXPXX++====+===()()1010nnnPXPXX++===()()()11222211210333333nnnPXPXPX=+=+=+=()()()522120933nnn

PXPXPX==+=+=，即：()15221933nnnnnaabab+=++−−，所以11293nnaa+=−+，所以1313595nnaa+−=−−，又()11519aPX===，所以，数列35na

−为以132545a−=−为首项，以19−为公比的等比数列，所以132121545959nnna−−=−−=−，即：321559nna=+−.【小问3详解】由全概率公式可得

：()12nPX+=()()()()11121222nnnnnnPXPXXPXPXX++====+===()()1020nnnPXPXX++===()()()21111200333nnnPXPXPX==+=+=,即：12193nnnbab+

=+,又321559nna=+−,所以11232139559nnnbb+=++−,所以11111]1111[5593559nnnnbb++−+−=−+−

,又()11229bPX===,所以111121105599545b−+−=−−=,所以1110559nnb−+−=,所以111559nnb=−−,所以()()20121nnnnnnnEXababab=++−−=+=.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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