【文档说明】江苏省南京市金陵中学2022届高三下学期3月学情调研数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.274 MB，由小赞的店铺上传

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金陵中学2021~2022学年3月学情调研高三数学一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.复数2i13i−−在复平面内对应的点在第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】A【解析】【分析】根据复

数的乘除法运算求出复数为11i22+，结合复数的几何意义即可得出结果.详解】由题意得，2i(2i)(13i)55i11i13i(13i)(13i)1022−−++===+−−+，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为11(

,)22，属于第一象限.故选：A.2.已知3sin5=，sin20，则cos(π)+的值为（）A.45B.45−C.35D.35-【答案】A【解析】【分析】依题意得出cos0，进而由平方关系与诱导公式可得结果.【详解】由sin22sincos0

=及3sin5=可知cos0，所以2234cos1sin155=−−=−−=−.所以4cos(π)cos5+=−=故选：A.3.设O为坐标原点，直线2x=与抛物线C：22(0)ypxp=交于D，E两点，若ODOE⊥，则C的焦点坐

标为（）【A.1,04B.1,02C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【解析】【分析】根据题中所给的条件ODOE⊥，结合抛物线的对称性，可知4DOxEOx==，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线

2x=与抛物线22(0)ypxp=交于,ED两点，且ODOE⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOxEOx==，所以()2,2D，代入抛物线方程44p=，求得1p=，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到

的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.4.已知52log3a=，51log22b=，7log3c=，则（）A.acbB.abcC.cabD.cb

a【答案】A【解析】【分析】化简式子可得5log3a=，5log2b=，7log3c=，然后借用中间值1来进行比较即可.【详解】化简得5log3a=，5log2b=，7log3c=，且52log41b=，72log91c=，所以acb．故选：A【点睛】本题考查对数式的比较大小

，掌握比较大小的常用方法：作差法、作商法、函数的单调性等，同时借用中间值0，1比较，方便简洁，属基础题.5.正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A.20123+B.282

C.563D.2823【答案】D【解析】【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高()2222222h=−−=，下底面面

积116S=，上底面面积24S=，所以该棱台的体积()()121211282164642333VhSSSS=++=++=.故选：D6.已知(0,0)4+=，则tantan+最小值为（）A.2

2B.1C.222−−D.222−+【答案】D【解析】【分析】根据(0,0)4+=，可得0tan1,0tan1，再根据两角和的正切公式可得tantantantan1++=，结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：因为(0,0)4

+=，所以0,044，所以0tan1,0tan1，()tantantantan11tantan4++===−，所以tantan1tantan+=−，即tantantantan

1++=，.的又因()21tantantantan4+，所以()21tantantantantantantantan4+++++，即()21tantantantan14+++，解得tantan222+−或tantan2

22+−（舍去），所以tantan222+−，当且仅当tantantantantantan1=++=，即tantan21==−时，取等号，所以tantan+的最小值为222

−+.故选：D.7.设函数()1,1,exxxmfxxxm−−=−，且()()gxfxn=−．若存在实数n，使得函数()gx恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A.211,2e−B.211,2e+C.211,2e−−

D.211,2e−+【答案】C【解析】【分析】判断()fx的单调性，得出()fx在各单调区间端点的函数值，根据零点个数判断区间端点函数值的大小即可得出m的范围.【详解】xm时，(

)fx是减函数，且()1−−fxm，xm时，()2e−=xxfx，当2m时，()0fx，()fx在),+m上是减函数，此时()()gxfxn=−最多有两个零点，不符合题意；当2m时，()0fx，()fx在),2m上单调递增，在(

)2,+上单调递减，且()1e−=mmfm，()212e=f，若存在n，使()()gxfxn=−有三个零点，则()21−−fm，即211e−−m，解得2112e−−m.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数零点参数的问题

，解题的关键点是结合图象、利用导数判断单调性可得参数的范围，8.在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=左焦点为F，点M，N在双曲线C上，若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A.3

1−B.51−C.31+D.51+【答案】C【解析】【分析】利用四边形OFMN(O为坐标原点)为菱形，结合双曲线的对称性，求出M的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率.【详解】由题意可知||OFc=，由四边形OFMN为菱形，可得||||MNOFc==，设点M在F

的上方，可知M、N关于y轴对称，可设3(,)22ccM−，代入双曲线方程可得:22223()()221cab−−=，又由222+=abc，化简可得4422480,caac+−=两边同除以4a，可得42480ee+−=，解得2423e=+，因为1e，解得2423(13)31e=+=+=+，的

故选：C【点睛】关键点点睛：根据四边形OFMN(O为坐标原点)为菱形，||||MNOFc==，能写出点M的坐标，是建立方程的关键，结合双曲线的对称性，发现M点横坐标为2c−是突破口.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.9.对于实数,,abc，下列结论正确的是（）A.若ab，则acbcB.若22acbc，则abC.若0ab，则||||abD.

若0cab，则11cacb−−【答案】BCD【解析】【分析】根据不等关系对选项一一分析即可.【详解】对于A，当0c=时，acbc=，故A错误；对于B，若22acbc，则ab，故B正确；对于

C，若0ab，则||||ab，故C正确；对于D，若0cab，则0cacb−−，从而有11cacb−−，故正确.故选：BCD10.已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是（）A.若α⊥β，m⊥α，则m//βB.若α/β，m⊥α，则m⊥βC.若m//α

，m⊥β，则α⊥βD.若m//α，m//β，则α//β【答案】BC【解析】【分析】根据线面和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，若⊥，m⊥，则//m或m，故A错误；对选项B，若//，m⊥，则m⊥，故

B正确；对选项C，若//m，则平面内存在直线l，使得//lm，又m⊥，所以l⊥，故⊥，故C正确；对选项D，若//m，//m，则//或与相交，故D错误.故选：BC11.在平面直角坐标系xOy中，已知12(1

,1),(1,0),(1,0)AFF−，若动点P满足124PFPF+=，则（）A.存在点P，使得21PF=B.12PFF△面积的最大值为3C.对任意的点P，都有2||3PAPF+D.有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32【答案】

ABD【解析】【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆为22143xy+=，从而判断椭圆上是否存在点P，使得21PF=；当点P为椭圆上、下顶点时，12PFF△面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PAPFPAaPFaAF

+=+−−，验证C选项；求得使得1PAFV的面积为32的P点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P的轨迹是2a=，1c=，焦点在x轴上的椭圆，则3b=，椭圆方程为22143xy+=

，当点P为椭圆右顶点时，21PFac=−=，故A正确；当点P为椭圆上、下顶点时，12PFF△面积的取最大值，为12132FFb=，故B正确；22211224(11)145PAPFPAaPFaAF+=+−−=−++=−，因453−，故C错误；设使得1PAFV的面积为32的P点坐标为

00(,)xy，由1,AF坐标知，15AF=，直线1AF的方程为210xy−+=，则0021135225xy−+=，解得00220xy−−=或00240xy−+=，联立002200220143xyxy−−=

+=，化简得200230yy−=，则90=，因此存在两个交点；同理可得直线00240xy−+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32，故D正确；故选：ABD12.在长方体1111ABCDABC

D−中，已知122,,AAABADEF===分别为111,BBDC的中点，则（）A.EFEC⊥B.//BD平面AEFC.三棱锥1CCEF−外接球的表面积为5D.平面11ABCD被三棱锥1CCEF−外接球截得的截面圆面积为98【答案】ACD【解析】

【分析】根据题意一一判断即可有结果.【详解】以点D为原点建立空间直角坐标系如图所示：依题意得：()()()0,2,0,1,2,1,0,1,2CEF则()()1,0,1,1,1,1ECEF=−−=−−所以1010ECEF=+−=则E

FEC⊥，故A正确；取11BC中点M，连结FM，依题意知//BDFM，因为FM与平面AEF相交，所以BD与平面AEF不平行，故B错；设O为CF中点，因为EFEC⊥则1EOOCFOCO===，所以点O为三棱

锥1CCEF−外接球的球心，则1522RCF==，所以外接球的表面积为245SR==，故C正确；设球心O到平面11ABCD的距离为h，又因为O为CF中点，所以点F到平面11ABCD的距离为2h，由于，1112222442hCD===，所以24h=，故截面圆的半径为

2298rRh=−=，所以截面圆面积98，故D正确故选：ACD【点睛】本题的D选项关键在于通过相关点的转换求点到面的距离.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.已知向量OAAB

⊥，3OA=，则OAOB=_________．【答案】9．【解析】【详解】因为向量OAAB⊥，所以0OAAB=，即()0OAOBOA−=，所以20OAOBOA−=，即29OAOBOA==，故应填9．考点：本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题．14.数列na通项公式23nan=

−.若等差数列nb满足：n+N，都有1nnnaba+，则数列nb的通项公式nb=___________.【答案】21n−##12n−+【解析】【分析】根据题意求出1a，进而求出1b；当2n时设1(1)nbnd=+−，根据1nnnaba

+列出关于d的不等式，进而得出2221dn−−，利用不等式的性质求得2d=，结合等差数列的通项公式即可得出结果.【详解】当1n=时，12131a=−=，当2n时，2323nann=−=−，由1nnnaba+，

当1n=时，112aba，又22231a=−=，所以111b，故11b=；当2n时，1nnnaba+，即232(1)3nnbn−+−，整理，得2321nnbn−−，又{}nb为等差数列，设

1(1)nbnd=+−，即231(1)21nndn−+−−，整理，得2221dn−−，对2n恒成立由2n，知20221n−−，则22d，所以2d=，即{}nb是以2为公差，以1为首项的等差数列，故12(1)21nbnn

=+−=−.故答案为：21n−.15.袋中有4个红球m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则()E=___________．【答案】89【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得,mn的值，

再根据随机变量的分布列即可求出()E．【详解】由题得24224461(2)6mnmnCPCC++++====，即2436mnC++=所以49mn++=，P（一红一黄）11424413693mmnCCmmC++====,得3m=，所以2n

=,由于11245522991455105(2),(1),(0)63693618CCCPPPCC==========155158()2106918399E=++=+=．故答案为：89．16.设函数()fx是定义在R上的奇函数，当

0x时，2()(2)fxxax=+−，其中0a，若对任意的xR，都有(2)()fxafx−，则实数a的取值范围为___．【答案】[0,4]【解析】【详解】试题分析：当0x时，2()(2)fxxax=−+−，又①当20a时，函数()fx在R上单调递增，满足(2)()

fxafx−；②当2a时，函数()fx在(2,2)aa−−−上单调递减，在(,2)a−−−及在(2,)a−+上单调递增，要满足(2)()fxafx−，须22(2)(2)(2)(2)xaxxaaxa+−−−+−−恒成立，即22220xax

aaaa−++−恒成立，因此44(22)02024aaaaaaaaa=−+−−−，从而24a，综上①②得实数a的取值范围为[0,4]考点：函数性质综合应用四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，

证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，194a=−，且1439nnSS+=−.（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb满足3(4)0nnbna+−=，求数列nb的前n项和为nT.【答案】（1）()*331,4nnannN

=−（2）1344+=−nnTn【解析】【分析】（1）由1439nnSS+=−，得到1439(2)nnSSn−=−，两式相减，然后利用等比数列的定义求解；（2）由（1）得到()344nnbn=−，再利用错

位相减法求解.【小问1详解】解：由1439nnSS+=−，得1439(2)nnSSn−=−，两式相减得143nnaa+=，即134nnaa+=，因为194a=−，()121439+=−aaa，所以22716=−a，所以2134aa=，所以数列

na是以94−为首项，以34为公差的等比数列，所以()1*93331,444nnnannN−=−=−；【小问2详解】由（1）知：()344nnbn=−，所以()233333321...44444nnT

n=−−−++−，则()234133333321...444444nnTn+=−−−++−，两式相减得()231133333...444444nnTn+=−++

+−−，()1193116493434414nnn−+−=−+−−−，()119933444444nnn++=−+−−−，134nn+=−，所以

1344+=−nnTn.18.在平面四边形ABCD中，3ABC=，2ADC=，8BC=.（1）若ABC的面积为123，求AC；（2）若63AD=，3ACBACD=+，求tanACD.【答案】（1）213（2）337【解析】【分析】（1）由ABC的面积

为1sin1232SABBCABC==，求得AB，再利用余弦定理求解；（2）设ACD=，在RtACD△中，求得AC，然后在ABC中，利用余弦定理求解.【小问1详解】解：在平面四边形ABCD中，3ABC=，8BC=，所以ABC的

面积为1sin1232SABBCABC==，所以6AB=，在ABC中，由余弦定理得：2222cosACABBCABBCABC=+−，13664268522=+−=，解得213AC=；【小问2详解】设ACD=，则,33ACBBACACBABC=+=−−

=−，在RtACD△中，63sinsinADAC==，在ABC中，由正弦定理得sinsinACBCABCBAC=，即638sinsinsin33=−，即3sin2sin3−=，所以333cossin2si

n22−=，即337cossin22=，解得33tan7=，所以33tan7ACD=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120,1,4,15ABCABBCPA====，M，N分别为,BCP

C的中点，,PDDCPMMD⊥⊥.（1）证明：ABPM⊥；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）156．【解析】【分析】（1）要证ABPM⊥，可证DCPM⊥，由题意可得，PDDC⊥，易证DMDC

⊥，从而DC⊥平面PDM，即有DCPM⊥，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，,,MEDMPM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）DCM△中，1DC=，2CM=，60DCM=，由余弦定

理可得3DM=，所以222DMDCCM+=，DMDC⊥．由题意DCPD⊥且PDDMD=，DC⊥平面PDM，而PM平面PDM，所以DCPM⊥，又//ABDC，所以ABPM⊥．（2）由PMMD⊥，ABPM⊥，而AB与D

M相交，所以PM⊥平面ABCD，因为7AM=，所以22PM=，取AD中点E，连接ME，则,,MEDMPM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0,0,22),(3,0,0)APD−,(0,0,0),(3,1,0)MC−又N为PC中点，所以31

335,,2,,,22222NAN−=−.由（1）得CD⊥平面PDM，所以平面PDM的一个法向量(0,1,0)n=从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为5||152sin6||272524

4ANnANn===++‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABPM⊥，可以考虑DCPM⊥，题中与DC有垂直关系的直线较多，易证DC⊥平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由

第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20.甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直

至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､在乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求甲最终获胜的概率.【答案】（1）116

；（2）34；（3）932.【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算即可得出甲赢的概率.【小问1详解】记事件M：

甲连胜四场，则()411216PM==；【小问2详解】记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为()()()()411424PPABABPACACPBCBCPBABA=++

+==，所以需要进行第五场比赛的概率为314PP=−=；【小问3详解】记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M：甲赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以，甲赢

的概率为()4511972232PM=+=.21.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的右焦点为F，点A，B分别为右顶点和上顶点，点O为坐标原点，11eOFOAFA+=，O

AB的面积为2，其中e为E的离心率．（1）求椭圆E的方程；（2）过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆22:4Cxy+=交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为1k，2k，问12kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由

．【答案】（1）22142xy+=（2）12kk为定值23【解析】【分析】（1）根据11eOFOAFA+=，OAB的面积为2，求得,ab，即可得出答案；（2）设点001122(,),(,),(,)MxyPxyQxy，则点00(,)Nxy−−，根据,MN在椭圆E上，可得12AMANkk=−，

设直线AM的方程为2xmy=+，则直线AN的方程为22xym=−+，分别联立222,1,42xmyxy=++=，222,4,xmyxy=++=求得,,MPQ三点的坐标，从而可得出结论.【小

问1详解】解：因为11eOFOAFA+=，所以11ecaac+=−，又22212,,2OABcSabeabca====+，联立可得2,2ab==，所以椭圆E的方程为22142xy+=；【小问2详解】解：

设点001122(,),(,),(,)MxyPxyQxy，则点00(,)Nxy−−，由题意得(2,0)A，因为,MN在椭圆E上，所以2200142xy+=，则220042xy=−，所以220000220000122422yyyyxxxy−−−===−−−−−，即12AMANkk=−

，设直线AM的方程为2xmy=+，则直线AN的方程为22xym=−+，联立222,1,42xmyxy=++=消x得22(2)40mymy++=，由,AM在椭圆E上，所以0242mym=−+，所以20024222mxm

ym−=+=+，所以012022ymkxm==−，联立222,4,xmyxy=++=消x得22(1)40mymy++=，由点,AP在圆C上，所以1241mym=−+，所以21122221mxmym−=+=+，同理：22222828,44mmyxmm−==++，所以22124221(36)3

42yymmmkxxmm−+===−−−，所以2122222233kmmkmm−==−，即12kk为定值23.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定值问题，考查了数据分析能力和数学运算能力，运算量比较大，有一定的难度.22.已知()2e1x

fxaxx=−−−()0a（1）当e2a=时，求曲线()yfx=在()()1,1f处的切线方程；（2）设()()2Fxfx=+，若当(),at+时，()Fx有三个不同的零点，求实数t的最小值．【答案】（1）e102xy+−+=（2）2min14et−=【

解析】【分析】（1）由题可得()ee1xfxx=−−，再利用导数的几何意义即得；（2）由题可得()e21xFxax=−−，分类讨论，当102a时，利用导函数可得函数最多有一个零点，当12a=时，最多有一个零点，当12a时，利用导数可得2212xax−=e，22x，再利用导数求

最值即得.【小问1详解】因为e2a=时，()2ee12xfxxx=−−−，所以()ee1xfxx=−−，()11f=−，又()ee1e11222f=−−−=−，所以切线方程为()e212yx−−=−−，即所求的切线方程为e102xy+−+=．【小问2详解】

∵()2e1xFxaxx=−−+，所以()e21xFxax=−−，令()e21xgxax=−−，则()e2xgxa=−，因为0a，由()0gx，得ln2xa；由()0gx，得ln2xa，所以()Fx在(),ln2a−

上单调递减，在()ln2,a+上单调递增，①当021a，即102a时，ln20a，因为()00F=且()Fx在()ln2,a+上单调递增，所以()ln20Fa，又121ln22eln202aFaaaa−

−=−．所以11ln2,ln22xaaa−，使得()10Fx=，又()Fx在(),ln2a−上单调递减，所以当()1xx−，时，()0Fx，当()1,0xx时，()0Fx

，当()0x+，时()0Fx，所以()Fx在()1，x−上单调递增，在()1,0x上单调递减，在()0+，上单调递增，所以()()020FxF==极小值，所以函数()Fx最多有一个零点，不合题意；②当21a=，即12a=时，ln20a=，此时()0Fx在R

上恒成立，则()Fx在R上单调递增，所以()Fx在R上最多有一个零点，不合题意；③当21a，即12a时，ln20a，因为()00F=且()Fx在(),ln2a−上单调递减，所以()ln20Fa，因

为当0x时，易证得2exx，所以()()()()2121e2211212221120aFaaaaaaa++=−+−+−+−=，易证21ln2aa+，所以()2n2,1l2xaa+，使得()222210xFxax=−−=e，22e21xax=+，

故()Fx在(),0−上单调递增，在()20,x上单调递减，在()2,x+上单调递增，由()()020FxF==极大值，所以要使()Fx有三个零点，必有()22222e210xFxaxx=−−+，所以()2222120axax−−−，即()()22210xax−+

，所以22x，又因为2212xax−=e，令()e12xhxx−=()2x，则()()2112xxhxx−+=e，因为当2x时，()0hx，所以函数()hx在区间()2+，上单调递增，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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