【文档说明】2023届江西省九江市高三第二次高考模拟统一考试数学（文）答案和解析.docx，共(27)页，1.788 MB，由小赞的店铺上传

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九江市2023年第二次高考模拟统一考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名等内容填写在答题卡上．2．第

Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题

卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足31ii22z=+，则2z=（）A.13i22+B.13i22−C.13i22−−D.13i22−+【答案】C

【解析】【分析】根据题意，由复数的运算即可得到z，从而得到结果.【详解】因为31ii22z=+，则31i22z−=−，即13i22z=−，所以221313ii2222z=−=−−.故选:C2.已知集合{|0}Axx=，

1lnBxyxx==−∣，则()AB=RIð（）A.()1,0−B.(,0)−C.()2,1−−D.(,1)−−【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可.【详解】由()()111001x

xxxxx+−−，或10x−，因为{|0}Axx=，所以A=Rð{|0}xx，所以()AB=RIð()1,0−，故选：A3.已知实数x，y满足条件21110xyxyy+−−，

则34zxy=−的最大值为（）A.7−B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出可行域，结合图像可知，当31:44lyxz=−经过点A时，z最大，即可得到结果.【详解】由约束条件可得可行域的区域，因为34zxy=−，

可转化为3144yxz=−，平移直线31:44lyxz=−，结合图像可得，当直线l过点A时，z取得最大值，且211xyxy+=−=，解得10xy==，即点()1,0A，所以max3103z=−=.故选:D4.已知命题p：xR，2220xxa++−，若p为假

命题，则实数a的取值范围为（）A.(1,)+B.[1,)+C.(,1)−D.(,1]−【答案】D【解析】【分析】首先由p为假命题，得出p为真命题，即xR，2220xxa++−恒成立，由0，即可求出实数a的取值范围．【详解】因为命题p：xR，2220xxa++−，所

以p：xR，2220xxa++−，又因为p为假命题，所以p为真命题，即xR，2220xxa++−恒成立，所以0，即224(2)0a−−，解得1a，故选：D．5.正方体1111ABC

DABCD−中，M是1BC的中点，则直线DM与1AC的位置关系是（）A.异面垂直B.相交垂直C.异面不垂直D.相交不垂直【答案】B【解析】【分析】如图，通过证明11BCAD，可得DM与1AC共面相交，后利用三角形相似可得DM与1AC的位置关系.【详解】如图，因

11ABCD，且11ABCD=，则四边形11ABCD为平行四边形，故11BCAD.又1MBC，则DM与1AC共面相交.设DM与1AC相交于E.又设正方体棱长为2，则1222,MCAD==，1623，MDAC==.注意到1MCEDAE，则1112M

ECEMCEDEADA===，则可得62333，MECE==.因22224233MECEMC+=+==，则1DMAC⊥，即DM与1AC的位置关系是相交垂直.故选：B6.执行下边的程序框图，如果输入的是1n=，0S=，输出的结果为40954096，则判断框中“”应填入的

是（）A.13nB.12nC.12nD.11n【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的循环结构，不断循环直到满足为止.【详解】根据程序框图，输入1n=，0S=，则12S=，满足循环条件，2n=，32,4nS==，满足循环条件，3n=，……，409512,4096nS==，不满足循环条件，输

出结果.故A，B，D错误.故选：C.7.已知双曲线2222:1(,0)xyCabab−=的左右焦点分别为12,FF，M是双曲线C左支上一点，且12MFMF⊥，点1F关于点M对称的点在y轴上，则C的离心率为（）A.31+B.21

+C.51+D.51−【答案】A【解析】【分析】由题意可知21FFF为等边三角形，即可得到1MFc=，23MFc=，再根据双曲线的定义122MFMFa−=，即可求出离心率.【详解】解：设点1F关于点M对称的点为

F，可知1MFMF=，又12MFMF⊥，所以21FFF为等腰三角形，则212FFFF=，又因为12OFOF=，所以12FFFF=，则1212FFFFFF==，21FFF为等边三角形，因为122FFc=，所以11212MFFFc==，()22223MFc

cc=−=，由双曲线的定义可知，122MFMFa−=，即()312ca−=，所以23131cea===+−，故选：A.8.已知数列na的通项为21(1)1nan=+−，则其前8项和为（）A.910B.920C.5845D

.2945【答案】D【解析】【分析】运用裂项相消法进行求解即可.【详解】()22111111(1)12222nannnnnnn====−+−+++，所以前8项和为111111111111291123

24358102291045−+−+−++−=+−−=，故选：D9.定义在R上的奇函数()fx在(0,)+上单调递增，且(1)0f−=，则关于x的不等式()0xfx的解集为（）A.(1,0)(0,1)−B.(,1)(0,1)−−C.,1(),

)1(−−+D.(1,0)(1,)−+【答案】A【解析】【分析】首先由()fx为R上的奇函数，在(0,)+上单调递增和(1)0f−=得出，()fx在(0)−，上单调递增，且(0)0f=，(1)0f=，画出大致图像，分类讨论x的取值，即得出不等式

的解集．【详解】因为函数()fx是定义在R上的奇函数，且在(0,)+上单调递增，所以()fx在(0)−，上单调递增，且(0)0f=，(1)0f=，可画出其大致图像，如图所示，因为()0xfx，所以当0x时，()0fx，解得01x，当0x时，()0fx，解得10

x−，当0x=时，显然不合题意，所以不等式()0xfx的解集为()()1,00,1−，故选：A．10.已知函数ππ()sinsin44fxxx=++−，则下列结论正确的是（）A.()fx周期为π，在π5π,24上单调递减B.()fx周期为2π，在π5π,

24上单调递减C.()fx周期为π，在π5π,24上单调递增D.()fx周期为2π，在π5π,24上单调递增【答案】B【解析】【分析】根据正弦型函数的正负性、单调性，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.【详解】当()π2π2ππZ4kxk

k−+时，即()π5π2π+2πZ44kxkk+，ππππ()sinsinsinsin2sin4444fxxxxxx=++−=++−=，显然该函数此时在π5π,24上单调递减，当()π2ππ2π2πZ4kxk

k+−+时，即()5π9π2π+2πZ44kxkk+，ππππ()sinsinsinsin2cos4444fxxxxxx=++−=+−−=，因此函数的周期为2π，在π5π,24上单调递减，故选：B11.青

花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长

轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P，盘子的中心为O，筷子与大椭圆的两交点为A、B，点A关于O的对称点为C．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等

；③PAPB=；④BC与小椭圆相切.其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为()1，设点()00,Pxy、()11,Axy、()22,Bxy，建立平面直角坐标系，利用椭圆的几何性质可判断①②；利用直线

与椭圆的位置关系，结合韦达定理可判断③的正误；取()0,Pb以及2，可判断④的正误.【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为()1，设点()00,Pxy、()11,Axy、()22,Bxy，以椭圆的中心为坐标原点

，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为()22222210,xyabcabab+==−，则大椭圆的方程为2222xyab+=，对于①，大椭圆的焦距长为22222abcc−=，两椭圆的焦距不相等，①错；对

于②，大椭圆的离心率为22abcceaaa−===，则两椭圆的离心率相等，②对；对于③，当直线AB与坐标轴垂直时，则点A、B关于坐标轴对称，此时点P为线段AB的中点，合乎题意，当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为ykxm=+，联立222222ykxmbxay

ab=++=可得()()2222222220kabxakmxamb+++−=，()()422222222440akmambkab=−−+=，可得2222mkab=+，此时，22202222akmakmkaxkabmm=−=−=−+，联立22

2222ykxmbxayab=++=可得()()2222222220kabxakmxamb+++−=，由韦达定理可得22212022222222akmakmakxxxkabmm+=−=−=−=+，即点P为线段AB的中点，综上所述，PAPB=，③对；对于④，当点P的坐标为(

)0,b时，将yb=代入2222xyab+=可得1xa=−，不妨取点()1,Aab−、()1,Bab−−，则()1,Cab−−−，若2，则直线BC的方程为1xa=−−，此时直线BC与椭圆

不相切，④错.故选：B.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然

后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.12.设1sin2a=，e1b=−，3ln2c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.bcaD.cba【答案】B在【解析】【分析】分别

构造函数()(1)fxsinxlnx=−+和()()esin1xhxx=−+，利用导数讨论其单调性可得.【详解】将12用变量x替代，则sinax=，e1xb=−，ln(1)cx=+，其中()0,1x，令()(1)fxsinx

lnx=−+，则1()cos1fxxx=−+，令1()()cos1gxfxxx==−+，则21()sin(1)gxxx=−++，易知()gx在()0,1上单调递减，且(0)10g=，1(1)sin104g=−，∴0(0,1)x，使得()00gx=，当()00,

xx时，()0gx，()fx单调递增；当()0,1xx时，()0gx，()fx单调递减．又(0)0f=，1(1)cos102f=−，∴()0fx，∴()fx在()0,1上单调递增，∴()()00fxf=，即sinln(1)xx+，11sinln(1)22

+∴ac，记()()esin1xhxx=−+，()0,1x，则()ecos0xhxx=−，()hx在()0,1上单调递增，又()()00esin010h=−+=，所以1()(0)02hh=，所以121e1sin2−,所以ba综上，bac.故选：B．第Ⅱ卷（非选择题90

分）考生注意：本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，学生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a，b满足(1,2)a=，且()aab⊥−，则ab=______

．【答案】5【解析】【分析】根据题意，由向量垂直可得其数量积为0，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()aab⊥−，且(1,2)a=，则()0aab−=，即()222125aba==+=.故答案为:51

4.从边长为1的正六边形的各个顶点中，任取两个顶点连成线段，则该线段长度为2的概率为______．【答案】15##0.2【解析】【分析】列举出所有的线段，并列举出长度为2的线段，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】如下图所示，在边长为2的正六边形AB

CDEF中，任取两个顶点连成线段，所有的线段有：AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15条，其中长度为2的线段有：AD、BE、CF，共3条，故所求概率为31155P==.故答案为：15.15.函数π

()4sin12fxxx=−−的所有零点之和为______．【答案】6【解析】【分析】令()0fx=，两个解即为零点，将零点问题转换成()π4sin2gxx=，()1hxx=−两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且()gx和()hx的函数图象关于1x=对称，零点也关于1x=，即可求出

所有零点之和.【详解】解：令()0fx=，得π4sin12xx=−，解得3x=−或5x=，即为零点，令()π4sin2gxx=，()1hxx=−，可知()gx的周期2π4π2T==，对称轴14,xkk=+Z，且()hx的对称轴1x=，做出()π4sin2gxx=和()

1hxx=−的图象如图所示：显然，()fx在()0,1和()1,2上各存在一个零点，()π4sin2gxx=在()5,4处的切线为x轴，()fx在()4,5上存在零点，同理()fx在()3,2−−上存在零点，所以()fx在3,5−上存在6个零点

，因为()gx和()hx的函数图象关于1x=对称，则()fx零点关于1x=对称，所以()fx的所有零点之和为616=.故答案为：6.16.根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半

径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为10cm，里面注入高为1cm的水，将一个

半径为4cm的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______cm．（注：321.26）【答案】1.48【解析】分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面

下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为2π4116πV==水，相应圆台的体积为()()()3224π1164ππ44π443333hhh−−−−=−，所以()3

4π64π16π33h−=−，解得33416422421.261.48h=−=−−=cm，故答案为：1.48三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文了解和重视，组织全校高三

学生进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100），现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]文科生11

6234416理科生92427328合计1040507624（1）在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生．①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至

少有一名文科生的概率．（2）如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关？参考数据：()20PKk0.100.050.010.0050.0010k2.7063.8416.

6357.87910.828【的22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．【答案】（1）①文科生2人，理科生3人；②710（2）没有99.9％的把握认为获"创文竞赛优秀奖"与文理科类有

关．【解析】【分析】（1）求出抽取的5人中文科生2人，理科生3人，再利用列举法求出概率作答.（2）先列联表，求出2K的观测值，再与临界值表比对作答.【小问1详解】①得分小于80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和60，比

例为2:3,所以抽取的5人中，文科生2人，理科生3人．②这5名学生有2人是文科生，记这两人为,ab，3人是理科生，记这三人为1,2,3，随机抽取两名同学2人包含的基本事件有：(,),(,1),(,2),

(,3),(,1),(,2),(,3),(1,2),(1,3),(2,3)abaaabbb，共10个，其中至少有一名文科生情况有7种：(,),(,1),(,2),(,3),(,1),(,2),(,3),abaaabbb因此抽取的2名学生至少有一名文科生的概率为7()10PA=.【小问2详解】由

题中数据可得如下联表：创文竞赛优秀奖未获优秀奖合计文科生6040100理科生4060100合计100100200则2K的观测值：222200(6060(4040)810.82810010010010)()()()()0n

adbcKabcdacbd−=−==++++，所以没有99.9％的把握认为获"创文竞赛优秀奖"与文理科类有关．18.在锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知()()0abcabcab−+−

−+=，sin3cos3cosbcCcAaC=+．（1）求c；（2）求ab+的取值范围．【答案】（1）23（2）(6,43]【解析】【分析】（1）由()()0abcabcab−+−−+=得出π3C=，再利用正弦

定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将sin3cos3cosbcCcAaC=+转化为3sin3sin2BcB=，即可求出答案；（2）利用正弦定理，将ab+转化为4sin4sinAB+，再根据三角形内

角和得出2π3BA=−，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出π43sin6abA+=+，再由ABC为锐角三角形得出角A的范围，即可ab+的取值范围．【小问1详解】解：()()0abcabcab−+−−+=，222abcab+−=，即222122abcab+−=，1cos2

C=，又0πC，π3C=，3sin2C=，sin3cos3cosbcCcAaC=+，3sin2C=3sin3(sincossincos)3sin()3sin2BcCAACACB=+=+=，0πB，即sin0B，332c=，解得23c=．【小问2

详解】解：由正弦定理得，234sinsinsin32abcABC====，4sinaA=，4sinbB=，4sin4sinabAB+=+，πABC++=，π3C=，2π3BA=−则2π4sin4sin3abAA

+=+−314(sincossin)22AAA=++6sin23cosAA=+π43sin6A=+，ABC为锐角三角形，π0,2A，π0,2Bππ,62Aππ2π,633A

+，π3sin,162A+，(π43sin6,436A+，即(6,43]ab+．19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，AC⊥平面11A

ABB，1π3ABB=，1AB=，12ACAA==，D为棱1BB的中点．（1）求证：AD⊥平面11ACD；（2）若E为棱BC的中点，求三棱锥1EACD−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）由题意可得ABD△为

等边三角形，11ABD△为等腰三角形，进而证明1ADAD⊥，利用线面垂直的性质可得ACAD⊥，再利用线面垂直的判定即可证明AD⊥平面11ACD；（2）由（1）1ACD△为直角三角形，求出其面积，连接1A

B，以A为原点，1,,ABACAB的正方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出1,1,02AE=和平面1ACD的一个方向量()3,3,1n=−−，利用点到平面的距离公式即可求出高，在根据锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】证明：已知1π3AB

B=，1AB=，12AA=，则112ABAB==，111ABAB==，11π2ππ33DBA=−=又D为棱1BB的中点，则11112BDBDBB===，所以ABD△为等边三角形，11ABD△为等腰三角形

，则π3BDA=，1112πππ236BDA=−=，所以111ππ2ADABDABDA=−−=，即1ADAD⊥，因为AC⊥平面11AABB，AD平面11AABB，所以ACAD⊥，即11

ACAD⊥，而1111ACADA=，111,ACAD平面11ACD，所以AD⊥平面11ACD.【小问2详解】由（1）可知，1AD=，由AD⊥平面11ACD，1CD平面11ACD，所以1ADCD⊥，则1ACD△为直角三角形，由AC⊥平面11AABB，1AA平面

11AABB，所以1ACAA⊥，所以111ACAA⊥，因为1112ACAA==，所以在11RtAAC△中，22111122ACAAAC=+=，则在1RtACD△中，22117CDACAD=−=，所以111722ACDSADCD==，连接1AB，已知1π3ABB=，1AB=，12B

B=，由余弦定理111122212cos1421232ABABBBABBBBBA=+−=+−=，满足21122BBABAB=+，所以1π2BAB=，即1ABAB⊥，而AC⊥平面11AABB，所以1,,AB

ABAC两两垂直，以A为原点，1,,ABACAB的正方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，1,1,02E，13,0,22D，()11,2,3C−，所以1,1,02AE=，13,0,22AD=，()11,

2,3AC=−，设(),,nxyz=r为平面1ACD的一个法向量，则100nADnAC==，即13022230xzxyz+=−++=，令1z=，则()3,3,1n=−−，所以点E到平面1ACD的距离332321147nAEdn−−===，则三棱锥1EACD−的体积1

4113213134732ACDSVd===.20.已知P是抛物线2:2(0)Expyp=上一动点，()0,3Q是圆22:(1)()1Mxym−+−=上一点，PQ的最小值为22．（1）求抛物线E的方程；（2）(),Nab是圆

M内一点，直线l过点N且与直线MN垂直，l与抛物线C相交于12,AA两点，与圆M相交于34,AA两点，且1324AAAA=，当ab+取最小值时，求直线的方程．【答案】（1）24xy=（2）220xy−+=【解析】【分析】（1）取2,2xPxp

，则42213194PQxxpp=+−+，利用二次函数的性质求最值即可得到2p=，进而求出抛物线方程；（2）根据题意求出圆M的方程，即可得到直线MN的斜率，利用垂直关系求出直线l的斜率，得到直

线l的方程，联立抛物线可得()()()()2341130bxaxaabb−+−+−−−=，由韦达定理可知()12413xbxa−+−−=，根据圆的性质可知342xxa+=，将1324AAAA=转化为1234xxx

x+=+，求得21ba=+，利用均值不等式可知2a=时ab+取最小值，进而求出b，即可得到直线方程.【小问1详解】解：取2,2xPxp，则2242221331942PxpQxxxpp=+−=+−+，∵PQ的最小值为22，故42213194yxxpp

=+−+的最小值为8，令20tx=，则221319,04ytttpp=+−+的最小值为8，∵2213194yttpp=+−+开口向上，对称轴()23123124ptppp−=−=−，且0p，则有：若()230p

p−，即3p时，当0=t时，2213194yttpp=+−+取到最小值9，不合题意；若()230pp−，即03p时，当()23tpp=−时，2213194yttpp=+−+取到最小值()2398p−−+=，解得2p=或4p=（舍去）；综上所

述：2p=，所以抛物线E的方程24xy=.【小问2详解】已知()0,3Q是圆22:(1)()1Mxym−+−=上一点，所以22(01)(3)1m−+−=，解得3m=，所以圆22:(1)(3)1Mxy−+−=，圆心()1,3M，半径1r=，因为(),Nab是圆M内一点，当直线MN的

斜率不存在时，直线l垂直于y轴，不可能有1324AAAA=，所以直线MN的斜率存在且不为0，31MNbka−=−，所以直线l的斜率113MNakkb−=−=−，设直线l的方程为()13aybxab−−=−−，联立抛物线方程24xy=，可得()()()()2341

41430bxaxaabb−+−+−−−=，则()12413xbxa−+−−=，设()111,Axy，()222,Axy，()333,Axy，()444,Axy，已知1324AAAA=，则1342xxxx−=−，所以1234xxxx+=+①，

由于342xxa+=，所以()412213aabba−==+−−，当ab+取最小值时，即22112122aabaaa++=+=++（当且仅当2aa=，即2a=时等式成立），此时2112ba=+=+，所以1222123k

−==+−，故直线l的方程为()()21222yx−+=−，整理得220xy−+=.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可

首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.已知函数()esinxafxxx−=−−，aR．（1）当0a=时，证明：()0fx；（2）当1a=时，判断()fx零点的个数并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）2个零点，理由见解析【解析】分

析】（1）当0a=时，()esinxfxxx=−−，设()exgxx=−，()sinhxx=，xR，由()gx说明()(0)1gxg=，则()()gxhx，由(0)(0)gh，得出()()gxhx，即可证明结论；（2）当1a=时，1()e

sinxfxxx−=−−，设1()exgxx−=−，()sinhxx=，由()gx确定()gx的增减区间，画出()gx和()hx的简图，分区间讨论()gx和()hx交点情况，即可得出()fx的零点个数．【【小问1详解】当0a=时，()esinxfxxx=−−，设()exgxx=−，()sin

hxx=，xR，则()e1xgx=−，令()0gx=，解得0x=，所以当(,0)x−时，()0gx，即()gx在(,0)−上单调递减，当,()0x+时，()0gx，即()gx在(0,)+上

单调递增，所以()(0)1gxg=，因为()sin[1,1]hxx=−，所以()()gxhx，又因为min()(0)1gxg==，(0)sin00h==，即(0)(0)gh，所以()()gxhx，即esinxxx−，所以()esin0xfxxx=−−．【小问2详解

】当1a=时，1()esinxfxxx−=−−，令()0fx=，得1esin0xxx−−−=，即1esinxxx−−=，设1()exgxx−=−，()sinhxx=，则1()e1xgx−=−，令()0gx=，解得1x=，当(,1)x−时，(

)0gx，则()gx在(,1)−上单调递减，当(1,)x+时，()0gx，则()gx在(1,)+上单调递增，所以()(1)0gxg=，在同一直角坐标系中，画出()gx和()hx的简图，如图所示，当π,12x−，()gx单调递减

，()hx单调递增，且ππ22gh−−，(1)(1)gh，则()gx与()hx在π,12−有一个交点；当π1,2x，()gx单调递增，()hx单调递增，且()π12gh，则

()gx与()hx在π1,2没有交点；当π,π2x，()gx单调递增，()hx单调递减，且ππ22gh，()()ππgh，则()gx与()hx在π,π2有一个交点；因为()π1eπ1g−=−，且()gx在(

)π,+上单调递增，()[1,1]hx−，所以当()π,x+时，()()gxhx，即()gx与()hx在()π,+无交点；因为π12ππe122g−−−=+，且()gx在π,2−−上单调递减，()[1,1]hx−，所以当π,2

x−−时，()()gxhx，即()gx与()hx在π,2−−无交点；综上所述，()gx与()hx共有2个交点，即()fx有2个零点．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.

在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2210xy++=，曲线C的参数方程为1costanxy==（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程；（2）

设直线()0ykxk=与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求222111||||||OAOBOC++最大值．【答案】（1）直线l的极坐标方程：2cos2sin10++=，曲线C的普通方程：221xy−=（2）222+【解析】【分析】（1

）利用公式cossinxy==、22sincos1+=以及消参的方法求解.（2）利用方程联立、两点间的距离公式、换元法以及函数进行计算求解.【小问1详解】因为直线l的方程为2210xy++=，coss

inxy==，所以直线l的极坐标方程：2cos2sin10++=，曲线C的参数方程为1costanxy==，所以22222sincos1tancostanxy+==+=，消去参数有：

221xy=+，所以曲线C的普通方程：221xy−=.【小问2详解】因为直线()0ykxk=与曲线C相交于点A，B，由(1)有：曲线C221xy−=，由221xyykx−==，得()22110kx−

+=，解得2211xk=−，2221kyk=−，所以22OAOB=，()2410k=−−，解得01k，所以22221111kOAOBk−==+，又直线()0ykxk=与与直线l相交于点C，由2210xyykx++==得，1k

−，()22121xk=+，()22221kyk=+，所以()2222111kOCk+=+，的所以()()22222222212111144||||||111kkkOAOBOCkkk−++++=+=+++，令1

,tk=+由01k有：12t，所以()22414421222ktktttt+==++−+−，因为12t，所以)2223tt+，，所以(4422222tt++−，,所以()(24142221kk+++，，所以2221

11||||||OAOBOC++的最大值为222+选修4—5：不等式选讲23.已知函数()2|1|||(R)fxxxaa=−+−．（1）若()fx的最小值为1，求a的值；（2）若()||6fxax+恒成

立，求a的取值范围．【答案】（1）0或2（2）)3,4【解析】【分析】（1）根据1()(1)1xaxxaxa−+−−−−=−结合取等条件即可得解；（2）把()||6fxax+恒成立，转化为()216

0gxxxaax=−+−−−恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【小问1详解】因为1()(1)1xaxxaxa−+−−−−=−，当且仅当()(1)0xax−−时取等号，()2|1||||1||1|

|1|fxxxaxaa=−+−−+−−，当且仅当1x=时取等号，所以11a−=，解得0a=或2a=，故a的值为0或2；【小问2详解】令g()2|1|||6xxxaax=−+−−−，由题意知()0gx恒成立，当1xxx且xa时,(

)()()g()21638xxxaaxaxa=−+−−−=−−−,要使得()0gx恒成立,则30,a−可得3,a当3a时,()()()()()34,034,0118,138,axaxaxaxgxaxaxaaxa

xa−+−−++−=−+−−−−因为()0gx恒成立,则max()0gx,由图像可知()max()0gxg=所以()g()g040xa=−,所以4a综上可知，实数a

的取值范围为)3,4．