【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(32)页，1.964 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题

，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线28yx=−的准线方程为（）A.=2y−B.4x=−C.2x=D.2x=−2.

双曲线22916144xy−=的焦点坐标为（）A.(7,0),(7,0)−B.(0,7),(0,7)−C(5,0),(5,0)−D.(0,5),(0,5)−3.若点P到点()2,0的距离比它到直线30x+=的距离小1，则点P的轨迹方程是（）A

.28yx=B.28yx=−C.28xy=D.28xy=-4.若直线1:90lxy++=与直线()2:2330lxy−++=平行，则的值为（）A.3B.1−C.3或1−D.25.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O比水面高2米，水面宽度12AB=米．水面下降1米后水面宽

（）米A.36B.83C.66D.1236.已知双曲线22:13xEy−=，直线:1lykx=+，若直线l与双曲线E两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是（）.的A.33k−或33kB.3333k−C.3k−或3kD.33k−7

.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F与椭圆2212516xy+=的右焦点重合．斜率为()0kk的直线l经过点F，且与C的交点为,AB．若2AFBF=，则直线l的斜率为（）A.1B.2C.24D.228.已知圆22:1Oxy+=，若曲线12ykx=++上存在四个点

()1,2,3,4=iPi，过点iP作圆O的两条切线，,AB为切点，满足32iiPAPB=，则k的取值范围是（）A.4,03−B.4,3−−C.()4,00,3−+D.()4,0,3−−+二、多选题：本题共4小题

，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆()221:34Cxy−+=，圆222:1Cxy+=，则（）A.圆1C与圆2C内切B.直线1x=是两圆一条公切线C.直线2xmy=+被圆1C截得的最短

弦长为23D.过点32,22作圆2C的切线有两条10.已知12,FF同时为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=左右焦点，设椭圆1C与双曲线2C在第一象限内交于点M，

椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为12,,eeO为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.22221122abab−=+B.若12π3FMF=，则22123bb=C.若122FFOM=，则22121113ee+=D.若122MFM

F=则(21,2e的的11.已知抛物线2:6Cyx=的焦点为F，过点F的直线交C于,MN两个不同点，则下列结论正确的是（）A.MN的最小值是6B.若点5,22P，则MFMP+的最小值是4C.113MFNF+=D.若18MFNF=，则直线MN的斜率为1

12.已知O为坐标原点，12,FF分别是双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左，右焦点，直线4:3lyx=与双曲线E交于,AB两点，220FAFB=．M为双曲线E上异于,AB的点，且,MAMB与坐标

轴不垂直，过2F作12FMF平分线的垂线，垂足为N，则下列结论正确的是（）A.双曲线E的离心率为25B.双曲线E的渐近线方程是2yx=C.直线MA与MB的斜率之积为4D.若1ON=，则12AFF△的面积为4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空

题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点P为圆22:2440Cxyxy+−−−=上一点，则点P到直线3450xy++=距离的最小值为______．14.已知椭圆()2222:10,0yxCabab+=的离心率为

63，点12,AA为其长轴两端点，点P为椭圆C上异于12,AA的一点，则直线1PA和2PA的斜率之积等于______．15.已知直线1yx=−+与椭圆()222210xyabab+=>>相交于,AB两点，且线段A

B的中点在直线:40lxy-=上，则此椭圆的离心率为______．16.抛物线()220ypxp=的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足0AFFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则23MNAB的最大值是___________.四、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()():120,1,1,2,1lkxykkPQ−++=−−R．（1）若经过,PQ两点的直线与直线l垂直，求此时直线l的斜率；（2）1k=

时，若点P关于直线l的对称点为点P，求线段PQ的长度．18.已知半径为4的圆C与双曲线221916xy−=的渐近线相切，且圆心C在x轴正半轴上．（1）求圆C的方程；（2）经过()8,0点，且斜率为k的直线l交圆C于,AB两点，若21

3AB=，求直线l的方程．19.已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，点1,8Am在抛物线上，且OAF△的面积为2216p（O为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与x轴交于点T，过点T的直线l交抛

物线C于,MN两点，若以MN为直径的圆过点F，求直线l的方程．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点12,FF在x轴上，离心率为12，点P在C上，且12PFF△的周长为6．（1）求椭圆C标准方程；（2）过点2F的直线l交椭圆C于两点,AB，求1AB

F面积的取值范围．21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点与椭圆22212xy+=的焦点相同，且双曲线C经过点()1,1P．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设,AB为双曲线C上

异于点P的两点，记直线,PAPB的斜率为12,kk，若()()12111kk−−=．求直线AB恒过的定点．22.有一个半径为42的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为26，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点,FE所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标系．记折痕与

ME的交点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）P为曲线C上第一象限内的一点，过点P作圆()22:11Mxy++=的两条切线，分别交y轴于的,DH两点，且32DH=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，直线l与曲线C交于,AB两点，且直线,PAPB的倾斜角互补

，判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．哈三中2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分15

0分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的．1.抛物线28yx=−的准线方程为（）A.=2y−B.4x=−C.2x=D.2x=−【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的准线方程即可求解.【详解】抛物线28yx=−中，28p=，所以4p=，故抛物线的准线方程为2px=，即2x

=，故选：C2.双曲线22916144xy−=的焦点坐标为（）A.(7,0),(7,0)−B.(0,7),(0,7)−C.(5,0),(5,0)−D.(0,5),(0,5)−【答案】C【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即

可.【详解】因为双曲线方程为22916144xy−=，化为标准方程为：221169xy−=，所以216925c=+=，由于焦点在x轴上，所以焦点坐标为：(5,0),(5,0)−.故选：C.3.若点P到点()2,0的距离比它到直线30x+=的距离小1，则点P的轨迹

方程是（）A.28yx=B.28yx=−C.28xy=D.28xy=-【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由于点P到点()2,0的距离比它到直线30x+=的距离小1，故点P到点()2,0的距离比它到直线20x+=的距离相等，故点P是在以()2,0为焦点，以2

x=−为准线的抛物线上，故轨迹为28yx=，故选：A4.若直线1:90lxy++=与直线()2:2330lxy−++=平行，则的值为（）A.3B.1−C.3或1−D.2【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件，列出方程组，解出即可.【详解】因为两条直线平行，所以3(2)

039(2)−−=−，解得1=−，故选：B.5.如图，一抛物线型拱桥的拱顶O比水面高2米，水面宽度12AB=米．水面下降1米后水面宽（）米A.36B.83C.66D.123【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出抛物线方程即可.

【详解】如图建系，设抛物线方程为22xpy=由()6,2B−可得218p=−所以抛物线方程为218xy=−，和3y=−相交于()()36,3,36,3CD−−−故水面宽66米故选：C.6.已知双曲线22:13xEy−=，直线:1lykx=+，若直

线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是（）A.33k−或33kB.3333k−C.3k−或3kD.33k−【答案】B【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，再结合一元二次方程判别式及韦达定理列式求解即得.【详解】由22133ykxxy=+−=消去

y并整理得：22(13)660kxkx−−−=，由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，得2222130Δ3624(31)06031kkkk−=−−−，解得3333k−，所以k的取值范围是3333k−.故选：B7.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点F与

椭圆2212516xy+=的右焦点重合．斜率为()0kk的直线l经过点F，且与C的交点为,AB．若2AFBF=，则直线l的斜率为（）A.1B.2C.24D.22【答案】D【解析】【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.【详解】由椭圆方程可知()3,0F，则2:12Cyx=，由题意可设直线

l的方程为：13xyk=+，()()1122,,,AxyBxy，l与抛物线方程联立可知212360yyk−−=，即1236yy=−，又12212232,62AFBFyyyy==−=−=，所以()1

2623236,223262xxk−−====−.故选：D8.已知圆22:1Oxy+=，若曲线12ykx=++上存在四个点()1,2,3,4=iPi，过点iP作圆O的两条切线，,AB为切点，满足32iiPAPB=，则k的取值范围是（）A.4,03−B.4,3

−−C.()4,00,3−+D.()4,0,3−−+【答案】B【解析】【分析】设||,iiPOdAPO==，根据题意利用32iiPAPB=推出2d=，确定()1,2,3,4=iPi在圆224xy+=上，继而将问题转化为

(1)2,(1)ykxx=−++−和224xy+=有两个交点的问题，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求得答案.【详解】设||,iiPOdAPO==，由题意知iPAOA⊥，则1sind=，则22311cos22iiPAPBdd−−==，即()()

()222223112sin112ddd−−=−−=，整理得422940dd−+=，解得24d=或212d=，由于()1,2,3,4=iPi在圆22:1Oxy+=外，故1d，则2d=，即()1,2,3,4=iPi的轨迹方程为圆224xy+=，曲线12ykx=

++过定点(1,2)−，由射线(1)2,(1)ykxx=++−和射线(1)2,(1)ykxx=−++−组成，且(1)2,(1)ykxx=++−和(1)2,(1)ykxx=−++−关于直线=1x−对称，结合图象可知要使曲线12ykx=++上存在四个点()1,2,

3,4=iPi满足题意，需使得(1)2,(1)ykxx=−++−和224xy+=有两个交点，故需有0k−且2|2|21kk−+，解得43k−，即4,3k−−，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要满足曲线12ykx=++上存在四个点()1,2,3,4=

iPi，使得32iiPAPB=，因而要由此推出()1,2,3,4=iPi的轨迹方程，进而将问题转化为(1)2,(1)ykxx=−++−和224xy+=有两个交点的问题，即可求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选

项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆()221:34Cxy−+=，圆222:1Cxy+=，则（）A.圆1C与圆2C内切B.直线1x=是两圆的一条公切线C.

直线2xmy=+被圆1C截得的最短弦长为23D.过点32,22作圆2C的切线有两条【答案】BCD【解析】【分析】由两圆的标准方程得出圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系分别判断即可．【详解】由题意得，圆()221:34Cxy−+=的圆心为1(

3,0)O，半径12r=，圆222:1Cxy+=的圆心为2(0,0)O，半径21r=；对于A，123OO=，12213rr+=+=，即1212OOrr=+，两圆外切，故A错误；对于B，圆心1(3,0)O到直线1x=的距离

112dr==，则1x=与圆1C相切，圆心2(0,0)O到直线1x=的距离221dr==，则1x=与圆2C相切，所以1x=是两圆的一条公切线，故B正确；对于C，直线2xmy=+恒过点(2,0)M，连接1MO，过M作1ABMO⊥，交于圆1C于点,AB，如图所示，则AB即为直线2x

my=+被圆1C截得的最短弦，则11OM=，由勾股定理得，2211413MBOBOM=−=−=，则23AB=，所以直线2xmy=+被圆1C截得最短弦长为23，故C正确；的对于D，因为22325()()1224+=，所以32

,22在圆2O外部，所以过点32,22作圆2C的切线有两条，故D正确；故选：BCD．10.已知12,FF同时为椭圆()221112211:10xyCabab+=与双曲线()222222222:10,0xyCabab−=的左右焦点，

设椭圆1C与双曲线2C在第一象限内交于点M，椭圆1C与双曲线2C的离心率分别为12,,eeO为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.22221122abab−=+B.若12π3FMF=，则22123bb=C.若122FFOM=，则22121113ee+=D.若122MFMF=则(21,2

e【答案】AB【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合余弦定理，三角形三边关系计算即可.【详解】对于A项，由题意可设()2,0Fc，则222221122ababc−=+=，故A正确；对于B项，在12

FMF△中，设12,MFmMFn==，则有1222mnamna+=−=，由余弦定理可知()()2222221122222241434122cos22424122mnmncbmnmncmnFMFmnbm

nmnmncmn+−−==+−===−+−=，显然22123bb=，故B正确；对于C项，若1212290FFOMFMF==，结合B项及勾股定理可知()()2222212242442mnmncmnmnbbmn+−==

−+==，222222121222221211123aabccbeecc+++−+===，故C错误；对于D项，若212121214423232223maamnnaMFMFmnnanaa==−===+

====，则222623mncace+，故D错误.故选：AB11.已知抛物线2:6Cyx=的焦点为F，过点F的直线交C于,MN两个不同点，则下列结论正确的是（）A.MN的最小值是6B.若点5,22P，则MFMP+的最小值是4C.113

MFNF+=D.若18MFNF=，则直线MN的斜率为1【答案】ABD【解析】【分析】A，根据12||=MNxxp++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,PMA三点共线时MFMP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求

解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)MxyNxyxx，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32xky=+，联立抛物线得2690yky−−=，则12126,?9yykyy+==−，所以()()221212121212399363,244kxx

kyykxxkyyyy+=++=+=+++=，则212||=3666MNxxk++=+（当且仅当0k=时等号成立），A正确；对B，如图MA⊥抛物线准线，MFMPMAMP+=+要使其最小，即,,PMA三点共线时取得最小值，即53||422MFMPMAMP

PA+=+==+=，B正确；对C，由()121212311||||239||||||||324xxNFMFMFNFMFNFxxxx++++===+++，C错误；对D，1212123339()()()2224MFNFxxxxxx=++=+++2293993(63)(63)1842

422kk=+++=++=，解得1k=,D正确故选：ABD.12.已知O为坐标原点，12,FF分别是双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左，右焦点，直线4:3lyx=与双曲线E交于,AB两点，220FAFB=．M为双曲线E上异于,

AB的点，且,MAMB与坐标轴不垂直，过2F作12FMF平分线的垂线，垂足为N，则下列结论正确的是（）A.双曲线E的离心率为25B.双曲线E的渐近线方程是2yx=C.直线MA与MB的斜率之积为4D.若1ON=，则12AFF△的面积为4【答案】BCD【解析】【分析】由直

线斜率为43可知24tan3AOF=，不妨设A在第一象限，即可得到34,55Acc，代入双曲线方程，即可得到关于e的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A、B，则双曲线方程可化为2224yxa−=，设()()1

100,,,AxyMxy，根据对称性得()11,Bxy−−，利用点差法判断C，求出动点N的轨迹方程，即可得到a，从而求出12AFF△的面积，即可判断D.【详解】依题意得直线43yx=与双曲线两交点,AB关于原点对称，不妨设A在第一象限，由2

20FAFB=，所以22FAFB⊥，设()2,0Fc，由直线斜率为43可知24tan3AOF=，则24sin5AOF=，23cos5AOF=，则34,55Acc，代入双曲线方程有222

291612525ccab−=，即()2222291612525ccaca−=−，化简得222169251eee−=−，化简得42950250ee−+=，1eQ，解得25e=，则5e=，故A错误；由2222215cabbeaaa+===+=，所以2ba

=，所以双曲线E的渐近线方程是2yx=，故B正确；由224ba=，则双曲线方程可化为2224yxa−=，设()()1100,,,AxyMxy，根据对称性得()11,Bxy−−，根据点,AM在双曲线上则有222

002221144yxayxa−=−=①②，①−②得222010124yyxx−−=，即002212214yyxx−=−，22010112211000104AMBMyyyyyykkxxxxxx−+−===−+−，故C正确；点2F关于12FMF的角平分

线MN的对称点G在直线1PF的延长线上，故1212FGMFPFa=−=，又ON是21FFG中位线，故ONa=，点N的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，则点N的轨迹方程为222xya+=，因为1ON=，所以1a=，所以双曲线方程

为2214yx−=，所以5c=，则3545,55A，又12225FFc==，所以1214525425AFFS==△，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：由直线的斜率表示出A点坐标，从而求出离心率是解决ABC的关键，D

选项的关键是求出动点的轨迹方程.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点P为圆22:2440Cxyxy+−−−=上一点，则点P到直线3450xy++=距离的最小值为______

．【答案】15##0.2【解析】【分析】先判断圆与直线相离，故而圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线距离dr−.【详解】由圆22:2440Cxyxy+−−−=的圆心为()1,2，半径为3r=所以圆心到直线34

50xy++=的距离为：的2231425163534dr++===+，所以圆与直线相离，所以圆上的点P到直线的距离的最小值为：161355dr−=−=，故答案为：15.14.已知椭圆()2222:10,0yxCabab+=离心率为63，点12,AA为其长轴两端点，点P为椭圆

C上异于12,AA的一点，则直线1PA和2PA的斜率之积等于______．【答案】3−或13−【解析】【分析】讨论若,ab的大小，若0ab，设000(,)(0)pxyx，根据点在椭圆上可得2222002()bxaya−

=，结合210000PAPAyayakkxx+−=化简可得1222PAPAakkb=−，再根据椭圆离心率求出22ba，同理可求0ba时情况，即可得答案.【详解】由题意知若0ab，则不妨取1

2(0,),(0,)−AaAa，设000(,)(0)Pxyx，则()220022:10,0yxCabab+=，则2222002()bxaya−=，则122222200002000222202()PAPAyayayay

aakkxxxaabby+−−−====−−，由于椭圆()2222:10,0yxCabab+=的离心率为63，即22262,33cabaa−==，即2213ba=，故12223APAPakkb−=−=；

若0ba，则不妨取12(,0),(,0)AbAb−，的设000(,)()pxyxb，则()220022:10,0yxCabab+=，则2222002()bbyax−=，则1222000202222022

20020()PAPAaxyyyabkkxbxbxbxbbb−====−+−−−，由于椭圆()2222:10,0yxCabab+=离心率为63，即22262,33cbabb−==，即2213ab=，故122213PAPAakkb−=−=

，故答案为：3−或13−15.已知直线1yx=−+与椭圆()222210xyabab+=>>相交于,AB两点，且线段AB的中点在直线:40lxy-=上，则此椭圆的离心率为______．【答案】32##132【解析】【分析】联立140yxxy=−+−=

，得到线段AB的中点为41,55骣琪琪桫，设1yx=−+与()222210xyabab+=>>的交点分别为()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法能求出椭圆的离心率.【详解】联立140yxxy=−+−=得：4515xy==，所

以直线1yx=−+与直线40xy-=的交点坐标为41,55骣琪琪桫，所以线段AB的中点为41,55骣琪琪桫，设1yx=−+与()222210xyabab+=>>的交点分别为()11,Axy，()22,Bxy，的所以12425xx+=，12125yy+=，则1285xx+=，1225yy

+=，分别把()11,Axy，()22,Bxy代入到椭圆()222210xyabab+=>>得：22112222222211xyabxyab+=+=，两式相减得：()()()()2121221212yyyybxxxxa-?=--?，因为直线AB为：1yx=−

+，所以12121AByykxx−==−−，且121214yyxx+=+，所以()2211144ba-=?=-，所以2214ba=，即224ab=，所以()2224aac=−，所以2234ac=，所以2234ca=，所以32cea==.故答案为：3216

.抛物线()220ypxp=的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足0AFFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则23MNAB的最大值是___________.【答案】23【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何性质

，可得222ABAFBF=+，()12MNAFBF=+，可得222ABMN，进而可得23MNAB的最大值为23.【详解】如图，过A点作ACl⊥，过B作BDl⊥，设AFm=，BFn=，则由抛物线的定义知BDBFn==，ACAFm==，由题意知()()112

2MNBDACmn=+=+，因0AFFB=得AFBF⊥，22222ABAFBFmn=+=+，因()2222mnmn++，当且仅当mn=，即AFBF=时等号成立，所以222ABMN，22MNAB，所以2233MNAB，故答案为：23四、解答题：本大题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()()():120,1,1,2,1lkxykkPQ−++=−−R．（1）若经过,PQ两点的直线与直线l垂直，求此时直线l的斜率；（2）1k=时，若点P关于直线l的对称点为点P

，求线段PQ的长度．【答案】（1）32k=（2）5【解析】分析】（1）根据两点坐标求解斜率，即可根据垂直关系求解，（2）根据点关于直线对称，求解()2,2P−，即可由两点间距离公式求解.【【小问1详解】由()()1,1,2,1PQ−−得()1121

23PQk−−==−−−，由于lPQ⊥，所以32lk=，【小问2详解】当1k=时，:30lxy−+=设点P关于直线l的对称点为点(),Pab，则113022111abba−+−+=−=−+，解得2,2ab=−=,故()2,2P−

，所以()()2222215PQ=−−++=18.已知半径为4的圆C与双曲线221916xy−=的渐近线相切，且圆心C在x轴正半轴上．（1）求圆C的方程；（2）经过()8,0点，且斜率为k的直线l交圆C于,AB两点，若213AB=，求直线l的方程．

【答案】（1）()22516xy−+=（2）2422yx=−或2422yx=−+【解析】【分析】（1）相切转化为距离关系即可.（2）弦长转化为圆心到直线的距离即可.【详解】（1）因为圆心C点在x轴正半轴上，设圆心(),0(0)Ct

t．圆C的标准方程为：()2216xty−+=．双曲线的渐近线方程为：430xy=．因为双曲线的渐近线与圆C相切，所以圆心(),0Ct到双曲线一条渐近线430xy+=的距离与圆的半径相等．22444543tt

dr====+，解得5t=，所以圆心坐标为()5,0，圆的标准方程为()22516xy−+=（2）如图，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：()8ykx=−，即80kxyk−−=．因为直线l截圆C所得线段AB长度213AB=，设圆心()5,0C到直线l的距离为

d，则2222216213ABrdd=−=−=，解得3d=．由250831kkdk−−==+解得22k=或22k=−．故直线l的方程为：2422yx=−或2422yx=−+19.已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，点1,8Am在抛物线上，且OAF△的

面积为2216p（O为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与x轴交于点T，过点T的直线l交抛物线C于,MN两点，若以MN为直径的圆过点F，求直线l的方程．【答案】（1）24yx=（2

）210xy++=或210xy−+=【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及点A在抛物线上可列方程组，解得p，确定抛物线方程；（2）设直线方程，直曲联立，结合0FMFN=可求出直线方程.【小问1详解】由已知可知,02pF，所以2122416OA

FpmpSOFm===△，所以24pm=．又点1,8Am在抛物线上，所以221112848mppp===，又0p，所以2p=，所以抛物线的标准方程为24yx=．【小问2详解】由题意，()()1,0,1,0TF−，当直线l斜率为0时，显然不成立，所以直线l斜率不为0

，设直线l方程为1xmy=−，设()()1122,,,MxyNxy由214xmyyx=−=消元得2440ymy−+=，所以124yym+=，124yy=，因直线l交抛物线C于,MN两点，所以2Δ16160m=−

，解得21m，即1m或1m−,因为以MN为直径的圆过点F,所以0FMFN=又()()11221,,1,FMxyFNxy=−=−所以()()121211FMFNxxyy=−−+()()121222mymyyy=−−+()()21212124myymyy=+−++

()()214244mmm=+−+2840m=−=所以22m=，所以2m=符合题意，所以直线l的方程为21xy=−，即210xy++=或210xy−+=.20.已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点12,FF在x轴上，离心率为12，

点P在C上，且12PFF△的周长为6．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点2F的直线l交椭圆C于两点,AB，求1ABF面积的取值范围．【答案】（1）22143xy+=（2）(0,3【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率为12，12PFF△的周长为6求出,ab可得

答案；（2）当l的斜率不存在时，令1x=求出AB可得1FAB的面积；当l的斜率存在时，设()():10lykxk=−与椭圆方程联立，利用弦长公式求出AB、点到直线的距离公式求出点2F到直线1l的距离d，可得

1FAB的面积为24264434+=+kkSk，令2343kt+=得231116433=−++St，再由t的范围可得答案．【小问1详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为,,abc，因为12cea==，则2ac=，

因为12126PFPFFF++=，则226ac+=，即3ac+=，于是23cc+=，解得1c=，从而222,3abac==−=，因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程是22143xy+=；【小问

2详解】由（1）知，22431cab=−=−=，故()()121,0,1,0FF−，当l的斜率不存在时，令1x=得，32y=，故331,,1,22AB−，故3AB=，故1FAB的面积为12332S==，当l的斜率存在时，设()():10lykxk=−，

联立22:143xyC+=得()22223484120kxkxk+−+−=，因为直线l过椭圆内的点2F，所以Δ0，设()()1122,,,AxyBxy，则221212228412,3434kkxxxxkk−+

==++，则()222222121222841214143434kkABkxxxxkkk−=++−=+−++()2222212114414413434kkkkk++=+=++，设点()21,0F到直线1l的距离为d，则221kdk=+，故1FAB的面积为(

)22422261264434341kkkkSkkk++==+++，令2343kt+=，则234tk−=，则222236344233111664433ttttSttt−−+−−===−++，因为3t，所以110,3t，故21

1121114,,,333399tt++，223111131111,,0,433124334−+−−−++tt，故()231

1160,3433St=−++，综上：1FAB面积的取值范围是(0,3．【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用弦长公式求出AB、点到直线的距离公式求出点2F到直线1l的距离d，可得1

FAB的面积．21.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点与椭圆22212xy+=的焦点相同，且双曲线C经过点()1,1P．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设,AB为双曲线C上异于点P

的两点，记直线,PAPB的斜率为12,kk，若()()12111kk−−=．求直线AB恒过的定点．【答案】（1）2221xy−=（2）()0,1−【解析】【分析】（1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定

理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解.【小问1详解】椭圆22212xy+=的焦点坐标为6,0,2故6,02为双曲线C的焦点，故双曲线23C:2c=，设双曲线C的方程为：222211.5xyaa−=−，代入()1,1P点，2

21111.5aa−=−，可得212a=或23a=，又因为双曲线中22ac，故212a=，双曲线方程为2221xy−=．【小问2详解】当直线AB斜率为0时，易得直线AB方程为：1y=，此时120kk==，符合()()121

11kk−−=，此时AB直线经过()0,1−，直线AB斜率不为0时，设直线:ABxmyn=+，联立直线AB与双曲线方程可得：()()22222214210,Δ8m20mymnynn−++−==+−．设()()1122,,,AxyBxy

，则直线PA斜率11111ykx−=−，直线PB斜率22211ykx−=−．由()()12111kk−−=易知：1212kkkk=+．代入12,kk可得：()1212121210xyyxxxyy+−+−+=．又因为1122,xmynxmyn=+=+．

原式可转化为()()()121221210myymnyyn−−−+−+=，由韦达定理可得：2121222214,2121nmnyyyymm−−=+=−−，代入式子中化简可得：()()10mnmn+−−=．故mn=或10mn+−=．若mn=，直线为xmym=+，恒过点()0,1−，若1

0mn+−=，直线方程为()1xmym=+−，直线恒过定点()1,1p，与题目中,AB为异于P的点矛盾，故直线恒过定点为()0,1−．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点问题：一般常采用两种方式：参数法：通过设点或者设参数，建立一个直线系或者曲线系方程，得到一个关于定点坐标的方程式

，将复杂的问题转化为简单的计算问题，特殊一般法，从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关.22.有一个半径为42的圆形纸片，设纸片上一定点F到纸片圆心E的距离为26，将纸片折叠，使圆周上一点M与点F重合，以点,FE所在的直线为x轴，线段EF的中点O为原点建立平面直角坐标

系．记折痕与ME的交点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）P为曲线C上第一象限内的一点，过点P作圆()22:11Mxy++=的两条切线，分别交y轴于,DH两点，且32DH=，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，直线

l与曲线C交于,AB两点，且直线,PAPB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22182xy+=（2）()2,1P（3）是定值，12【解析】【分析】（1）根据椭圆定义可得答案；（2）设点()()()

0000,0,0,0,PxyxyDm，()0,Hn，求出直线PD的方程，根据圆心M到直线、PDPH的距离为1可知,mn为方程()2000220xxyxx+−−=的两个实根，从而可得()24=−=+−DHmnmnmn，再由点P在椭圆C上，可得答案；（3）设:lykxm=

+，且()()1122,,,AxkxmBxkxm++，与椭圆方程联立，根据直线,PAPB的倾斜角互补，可得12k=或210km+−=代入直线方程可得答案.【小问1详解】由题意可知，4226PFPEPMPEMEEF+=+===，所以P点轨迹是以,FE为焦点，42为

长轴长的椭圆，所以曲线C的方程，即椭圆方程为22182xy+=；【小问2详解】由（1）可知C的方程为22182xy+=，设点()()()0000,0,0,0,PxyxyDm，()0,Hn，则直线PD的方程为00ymyxmx−=+，即()0000ymxxy

mx−−+=，因为圆心()1,0M−到直线PD的距离为1，即()0022001ymxmymx−++=−+，即()()()222220000002ymxymxmymxm−+=−−−+，即()2000220xmymx+−−=，同理()2000220x

nynx+−−=；由此可知，,mn为方程()2000220xxyxx+−−=的两个实根，所以00002,22yxmnmnxx+==−++；()()()22220000022000444484222yxxyxDHmnmnmnxxx++=−=+−=+

=+++，因为点()00,Pxy在椭圆C上，则2200182xy+=，则220024xy=−，则()20020388322xxDHx++==+，则2003440xx−−=，因为00x，则220002,214xxy==−=，即01y=，故存在点()2,1P满足题设条件；【小问3详解】由（1）可

知C的方程为22182xy+=，由题意，直线斜率存在，设:lykxm=+，且()()1122,,,AxkxmBxkxm++，联立方程组22182ykxmxy=++=，整理得()222418480kxkmxm+++−=，则()()()222Δ8441480kmkm=−

+−，可得2282mk+，且2121222848,4141kmmxxxxkk−+=−=++，因为直线,PAPB的倾斜角互补，所以0PAPBkk+=，可得121211022kxmkxmxx+−+−+=−−，整理得()()()1212212

410kxxmkxxm+−−+−−=，代入可得()()2224882124104141mkmkmkmkk−+−−−−−=++，即()242410kmkm+−+−=，即()()21210kk

m−+−=，解得12k=或210km+−=，当210km+−=时，即12mk=−，可得12ykxk=+−，即()12ykx−=−，此时直线l经过点()2,1P，不符合题意，所以直线l的斜率为12．获得更多资源请扫码

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