【文档说明】八年级数学第14讲 因式分解之十字相乘-【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（华师大版）（解析版）.doc，共(14)页，476.500 KB，由管理员店铺上传

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1第14讲因式分解之十字相乘【学习目标】1.掌握十字相乘及用法2.灵活运用十字相乘分解因式【基础知识】考点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2

xbxc++，若存在pqcpqb=+=，则()()2xbxcxpxq++=++考点诠释：（1）在对2xbxc++分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若0c，则pq、同号(若0c，则pq、异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定pq

、的符号（2）若2xbxc++中的bc、为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.考点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2axbxc++(a≠0)中，如果二次项系数a

可以分解成两个因数之积，即12aaa=，常数项c可以分解成两个因数之积，即12ccc=，把1212aacc，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221acac+，若它正好等于二次三项式2axb

xc++的一次项系数b，即1221acacb+=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11axc+与22axc+之积，即()()21122axbxcaxcaxc++=++.考点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数

a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.2考点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步

处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.考点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点分组分解法四项二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、一项先完全平方公式后

平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式三项、二项、一项可化为二次三项式考点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因

式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【考点剖析】考点一：十字相乘法例1．将下列各式分解因式：（1）；（2）21016xx−+；（3）2310xx

−−【答案】解：（1）因为78xxx−=−所以：原式＝()()78xx+−3（2）因为2810xxx−−=−所以：原式＝()()28xx−−（3）()()()2210331052xxxxxx−−=−+−=−+−【总结】常数项为正，分解的两个数同

号；常数项为负，分解的两个数异号.二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式1】分解因式：（1）1072++xx；（2）822−−xx；（3）2718xx−−+【答案】解：（1）

()()271025xxxx++=++（2）()()22842xxxx−−=−+（3）()()22718(718)29xxxxxx−−+=−+−=−−+【变式2】因式分解：()()222812xxxx+−++.【答案】解：()()222812xxxx+−++=(

)()2226xxxx+−+−=()()()()1223xxxx−+−+.例2、将下列各式分解因式：（1）22355xx+−；（2）25166xx++（3）22616xxyy−−；（4）.【思路】（3）题21

6y−可看成常数项，21682,826yyyyyy−=−−+=−.（4）题可将()2x+看成一个整体来分解因式.【答案】解：（1）22355xx+−=()315xx+−；4（2）251116623xxxx++=++

.（3）()()2261682xxyyxyxy−−=−+；（4）因为()()()25242292xxx−+−+=−+所以：原式()()225522xx=+−+−()()2158xx=−+【总结

】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）21136xx−+；（2）251124aa−−；（3）10722+−xyyx；（4）()()342

++−+baba.【答案】解：（1）22111121366332xxxxxx−+=+−=+−；（2）2513112443aaaa−−=−+；（3）()()2271025xyxyxyxy−+=−−；（4）()()()()24313ababa

bab+−++=+−+−.例3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案】解：（1）因为591019yyy+=所以：原式＝()()2335yy++（2）因为21183xxx−=所以：原式＝()()2379xx+−【总结】十字相乘法的方法简单

点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）2314xx+−；（2）2344xx−−+；（3）2631105xx+−；【答案】解：（1）()()22314341311xxxxxx+−=−+=

−−；（2）()()223444432123xxxxxx−−+=−−=+−；（3）()()263110521537xxxx+−=+−.考点二：分组分解法例4．先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项

或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a（x+y）+b（x+y）=（x+y）

（a+b）如“3+1”分法：2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1=（x+y）2﹣16=（x+y+1）（x+y﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣2

0ax2+20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．【思路】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重

新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y=（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）=（x+y）（x﹣y﹣1）；（2）45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2=45am2﹣5a（4x2﹣4xy+y2）=5a[9m2﹣（2x﹣y）2]=5a（3m﹣

2x+y）（3m+2x﹣y）；（3）4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1=（4a2+4a+1）﹣b（4a2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b）．【总结】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式：22244ababc+−−【答案】解

：原式()()()22222(44)222aabbcabcabcabc=−+−=−−=−+−−.【真题演练】一.选择题1.将21016aa++因式分解，结果是()7A.()()28aa−+B.()()28aa+−C.()()28aa++D.()

()28aa−−【答案】C2.下列因式分解结果正确的是（）A．()3221510532aaaaa+=+B．()()2943434xxx−=+−C．()2210255aaa−−=−D．()()231025aaaa−−=+−【答案】D；【解析】A、()3221510532aaaa+=+，故此选项错误；

B、()()2943232xxx−=+−，故此选项错误；C、21025aa−−无法因式分解，故此选项错误；D、()()231025aaaa−−=+−，正确.3.如果()()2xpxqxaxb−+=++，那么p等于()A.abB.ab+C.ab−D.ab−−【答案】D；【

解析】()()()2xaxbxabxab++=+++，所以abp+=−.4.若()()236123xkxxx+−=−+，则k的值为()A.－9B.15C.－15D.9【答案】A；【解析】()()2123936xxxx−+=−−.5

.如果，则b为()A．5B．－6C．－5D．6【答案】B；【解析】由题意5306bb=−=−，.6．把2222abcbc−−+进行分组，其结果正确的是（）A.222()(2)acbbc−−−B.222()2abcbc−−+8C.222()(2)abcbc−−−

D.222(2)abbcc−−+【答案】D；【解析】原式＝()()222(2)abbccabcabc−−+=+−−+.二.填空题7.若()()21336mmmamb−+=++，则ab−＝.【答案】±5；【解

析】()()2133649mmmm−+=−−，所以9,4ab=−=−或者4,9ab=−=−.8.因式分解22abacbc−++___________．【答案】()()ababc+−+；【解析】22abacbc−++()()()()()ababcabababc=+−++=+−+.9．分

解因式：3231215xxx−−=．【答案】()()315xxx+−；【解析】()32231215345xxxxxx−−=−+=()()315xxx+−．10.因式分解：axbxcxaybycy+++++＝_________

______；【答案】()()abcxy+++；【解析】原式()()axbxcxaybycy=+++++()()xabcyabc=+++++()()abcxy=+++.11.因式分解()2064xx−+＝.【答案】()()16

4xx−−；【解析】()()()220642064164xxxxxx−+=−+=−−.12.分解因式：321aaa+−−＝________.【答案】()()211aa+−；【解析】321aaa+−−()(

)()()221111aaaaa=+−+=+−.9三.解答题13.若多项式236xpx++可以分解成两个一次因式()()xaxb++的积，其中a、b均为整数，请你至少写出2个p的值．【解析】解：由题意得236()()xpxxaxb++=++，则2236()xpxxabxab++

=+++，36abpab+==，由a、b均为整数，可写出满足要求的a、b，进而求得p，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12)＝4×9＝(－4)×(－9)＝

6×6＝(－6)×(－6)，所以p可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个p值即可．14.因式分解：2x2+x﹣3．【解析】解：原式=（2x+3）（x﹣1）．15.分解因式：（1）268xx−+；（2）21024xx+−；（

3）215238aa−+；（4）22568xxyy−++；（5）225533abab−−+.【解析】解：（1）()()26824xxxx−+=−−；（2）()()21024122xxxx+−=+−；（3）()()2152381581aaaa−

+=−−（4）()()()2222568568542xxyyxxyyxyxy−++=−−−=−+−（5）原式()()()()()()()225353553ababababababab=−−−=+−−−=−+−.10【过关检测】一.选择题1.如

果多项式22mxnx−−能因式分解为()()32xxp++，那么下列结论正确的是().A.m＝6B.n＝1C.p＝-2D.mnp＝3【答案】B；【解析】()()()223233222xxpxpxpmxnx++=+++=−−，∴22,32ppn=−+=−，解得1n=.2.若()2230xabxab

xx+++=−−，且ba，则b的值为().A.5B.－6C.－5D.6【答案】B；【解析】()()23065xxxx−−=−+，由ba，所以6b=−.3.将()()256xyxy+−+−因式分解的结果是().A.()()23xyxy++

+−B.()()23xyxy+−++C.()()61xyxy+−++D.()()61xyxy+++−【答案】C；【解析】把()xy+看成一个整体，分解()()()()25661xyxyxyxy+−+−=+−++.4．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）

（b﹣1）B．（a+1）（b+1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）【答案】B；【解析】解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．5.对224293

xxyy+−−运用分组分解法分解因式，分组正确的是()A.22(42)(93)xxyy++−−B.22(49)(23)xyxy−+−11C.22(43)(29)xyxy−+−D.22(423)9xxyy+−−【答案】B；【解析】A

各组经过提取公因式后，组与组之间无公因式可提取，所以分组不合理.B第一组可用平方差公式分解得()()2323xyxy+−，与第二组有公因式23xy−可提取，所以分组合理，C与D各组均无公因式，也不符合公式，所以无法继续进行下去，分组不合理.6．如果3233xxx

m+−+有一个因式为()3x+，那么m的值是（）A.－9B.9C.－1D.1【答案】A；【解析】由题意当3x=−时，代数式为零，解得9m=−.二.填空题7.分解因式：2242yxyx−−+=．【答案】()()22xyxy−+−−．【解析】解：2

242yxyx−−+=()2224yxyx−+−=()24xy−−=()()22xyxy−+−−．8.分解因式：224202536aabb−+−=．【答案】()()256256abab−+−−；【解析】原式(

)224202536aabb=−+−()()()22256256256ababab=−−=−+−−9．5321xxx−+−分解因式的结果是__________.【答案】()()()22111xxxx+−−+；【解析】原式()()

()()()()()23222321111111xxxxxxxxx=−+−=−+=+−−+.1210.如果代数式有一因式，则a的值为_________．【答案】16；【解析】由题意当4x=时，代数式等于0

，解得16a=.11．若3223aababb−−+有因式()ab−,则另外的因式是_________.【答案】()()abab−+；【解析】()()322322aababbaabbab−−+=−−−()()2abab=−+.12.分解因式：（1）3)32(2−+−+kxk

kx；（2）mnmxmnx−+−+22)2(【答案】()()31kxkx+−+；()()xmxmn−−+；【解析】()()2(23)331kxkxkkxkx+−+−=+−+；()()()()22(2)xnmxmmnxmxmnxmxmn+−+−=−−−=−

−+.三.解答题13.已知0xy+=，31xy+=,求2231213xxyy++的值.【解析】解：()()22231213334xxyyxyxyy++=+++由0xy+=，31xy+=解得12y=所以，原式21301412=+=.14.分解下列因

式：（1）()()128222+−−−aaaa（2）32344xyxyxyxy−++（3）42222459xyxyy−−（4）43226aaa+−【解析】13解：（1）原式()()()()()()22261223aaaaaaaa

=−−−−=+−+−；（2）原式()()()()222244222xyyxxxyxyxyxyxy=−++=+−=++−+；（3）原式()()()()()()2422222245949123231y

xxyxxyxxx=−−=−+=+−+；（4）()()()4322222626232aaaaaaaaa+−=+−=−+.15.先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组

分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2=x2+2xy+y2﹣1

=（x+y）2﹣1=（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣22=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列

问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【解析】解：（1）原式=（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）=（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式=

x2﹣6x+9-1614=（x-3）2﹣16=（x-3+4）（x-3-4）=（x+1）（x﹣7）；（3）原式=a2+4ab﹣5b2=a2+4ab+4b2﹣9b2=（a+2b）2﹣9b2=（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）=（a﹣b）（a+

5b）．