【文档说明】福建省南安市第三中学2021-2022学年高二上学期第5周周考数学试题 答案.docx，共(13)页，1005.987 KB，由小赞的店铺上传

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南安三中2023届高二年上学期数学周考试卷(第5周)答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆22(1)3xy−+=的圆心坐标和半径分别

是（）A．(-1，0)，3B．(1，0)，3C．()1,0,3−D．()1,0,3【答案】D【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.【详解】根据圆的标准方程可得，22(1)3xy−+=的圆心坐标为(1,0)，半径为3，故选：D.2．直线333yx=

+的倾斜角为()A．56B．23C．3D．6解：设直线的倾斜角是，[0，)．直线333yx=+，tan3=，直线333yx=+的倾斜角为3=．故选：C．3．已知直线1:32lyx

=−，直线221:60lxy−+=，则1l与2l之间的距离为（）A．52B．54C．102D．104【详解】直线1l的方程可化为6240xy−−=，则1l与2l之间的距离14104364d+==+．故选：D4．已知(2,1,4),(1,1,2),(7,5,

)abcm=−=−−=，若,,abc共面，则实数m的值为(B)A.607B.14C.12D.6275．O为坐标原点，P为圆22:(1)()1Cxyb−+−=（常数0)b上的动点，若||OP最大值为3，则b的值为（）A．1B．2C．3D．2解：

圆22:(1)()1Cxyb−+−=的圆心为(1,)Cb，半径为1，所以圆C上的点P到原点的最大距离为||||13OPOC=+=，即22113b++=，解得3b=，又0b，所以b的值为3．故选：C．6．数学家欧拉在1765

年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点()2,0A，()0,4B，ACBC=，则ABC的欧拉线方程为（）A．230xy+−=B．230xy−+=C．230xy−−

=D．230xy−+=【详解】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=12（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此ABC

的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．7．过点A(1，0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2=1相交于A，B两点，若|AB|=2，则该直线的斜率为（）A．±1B．±2C．±3D．±2【解析】由题意，该直线斜率存在，设直线l方程为(1)ykx=−，则圆心到直线

l的距离为22|1|111kk−=++，则弦21||2121ABk=−=+，解得1k=.故选：A.8．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCDABCD−中，1AB=，2BC

=，13AA=，则异面直线AC与1BC之间的距离是（）A．55B．77C．66D．67【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3ACBC，则()2,1,0AC=−，()12,0,3

BC=−，设AC和1BC的公垂线的方向向量(),,nxyz=，则100nACnBC==，即20230xyxz−+=−+=，令3x=，则()3,6,2n=，()0,1,0AB=，67ABndn==.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l的方程是0AxByC++=，则下列说法正确的是（）A．若0ABC，则直线l不过原点B．若直线l不过第四象限，则一定有0ABC．

若0AB，且0AC，则直线l不过第四象限D．若222ABC+=，则直线l与圆221xy+=相切【解】当0ABC时，即,,ABC都不等于0，当0xy==时，000ABC++，所以直线l不过原点，故A正确；若直线不过第四象限，若有直线过第一，二象限时，此时0A=，0CB−，则

0AB=，故B不正确；若0AB，0AC时，0AB−，0CA−，即直线的斜率大于0，直线的横截距小于0，则直线过第一，二，三象限，不过第四象限，故C正确；当222ABC+=时，圆心到直线的距离221CdAB==+，即直线l与圆221xy+=相切，故D正确.故选：A

CD10．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如(2,1,4),(4,2,0),(1,2,1)ABADAP=−−==−−uuuruuuruuur,则下列结论正确的是()A.APAB⊥B.APAD⊥C.APuuur是平面A

BCD的法向量D.APBDuuuruuurP解析：0,0,,ABAPADAPABAPADAP==⊥⊥uuuruuuruuuruuurQ,则选项A,B正确.又ABuuur与ADuuur不平行,APuuur是平面AB

CD的法向量,则选项C正确.(2,3,4),(1,2,1),BDADABAPBD=−==−−uuuruuuruuuruuuruuurQ与APuuur不平行,故选项D错误.故选：ABC11．已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中正确的是（）A．圆M的圆心为(4

，﹣3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为5【解析】对于选项,AC，圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则圆的标准方程为(x﹣4)2+(y+3)2=25.所

以圆的圆心坐标(4，﹣3)，半径为5.所以选项A正确，选项C不正确；对于选项B,令(x﹣4)2+(y+3)2=25中的0y=，得2(4)16,44,0xxx−=−==或8x=，所以圆M被x轴截得的弦长为8，所以选项B正确；对于选项D,令(

x﹣4)2+(y+3)2=25中的0x=，得2(3)9,33,0yyy+=+==或6y=−，所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D错故选：AB12．如图，点P在正方体1111ABCDABCD−的面

对角线1BC上运动，则下列结论中正确的是（）A．三棱锥11APBD−的体积不变B．//DP平面11ABDC．11APBD⊥D．平面1ACP⊥平面PBD【解析】对于A，11ABD的面积是定值，11//ADBC，1AD平面11ABD，1BC平面11ABD，∴1//BC平面1

1ABD，故P到平面11ABD的距离为定值，∴三棱锥11PABD−的体积是定值，即三棱锥11APBD−的体积不变，故A正确；对于B，111111111/,,///,ADBCBDBDADBDDBCBDB=

=，∴平面11//ABD平面1BDC，DP平面1BDC，//DP平面11ABD，故B正确；对于C，以1D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，P在1BC上，故可设(,2,),02Paa

a剟，则11(2,0,0),(2,2,2),(0,0,0)ABD，1(2,2,)APaa=−，1(2,2,2)BD=−−−，则()1122424APBDaaa=−−−−=−不一定为0，1AP和1BD不垂直，故C错误；对于D，设(,2,),02Paaa

剟，则11(2,0,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,0,0),(0,0,2)ACBDD，1(2,2,)APaa=−，1(2,2,2)AC=−，(,2,2)DPaa=−，(2,2,0)DB=，设平面平面1ACP的法向量(,,)

nxyz=，则11(2)202220nAPaxyaznACxyz=−++==−++=，取1x=，得221,,22aanaa−=−−，设平面PBD的法向量(,,)mabc=，则20220mDPaxya

zmDBxy=+−==+=，取1x=，得()1,1,1m=−−，221022aamnaa−=−−=−−.∴平面1ACP和平面PBD垂直，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两条直线1:l230a

xy−−=，2:l4630xy+−=，若1l的一个法向量恰为2l的一个方向向量，则a=________.【详解】因为直线1:l230axy−−=的一个法向量恰为2:l4630xy+−=的一个方向向量，所以12ll⊥，所以()4260a+−=，解得：

3a=，故答案为：3.14．点P（-1,1）为圆()22125xy−+=的弦AB的中点,则直线AB的方程为____________【解析】根据题意，设圆()22125xy−+=的圆心为M，则M的坐标10（，），则0111(1)2MPk−==−−−，由11P−（，为圆M的弦AB的中点，则

MPAB⊥，则2ABk=，则直线AB的方程为y121x−=+（），即230xy−+=；故答案为230xy−+=．15．己知()3,1A−，()5,2B−，点P在直线0xy+=上，若使PAPB+取最小值，则点P

的坐标是___________.【详解】点()3,1A−关于直线0xy+=的对称点为()1,3E−，又()5,2B−，则直线BE的方程为135123xy−+=−−+，即4130xy−−=，联立41300xyxy−−=+=，解

得135x=，135y=−，所以使PAPB+取最小值的点P的坐标是1313,55−.故答案为：1313,55−.16．如图，已知圆22:16,,OxyAB+=是圆O上两个动点，

点(2,0)P，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是__________【解析】设点(,)Cxy，如图连接,ABPC交于M，由矩形PACB可知M为PC的中点，2,22xyM+，PMMB=连接,OBOM，在直角OMB△中，OMM

B⊥，则22222OBOMBMOMMP=+=+即2222221622222xyxy+++=+−+，整理得2228xy+=，所以顶点C的轨迹方程是2228xy+=故答案为：2228xy+=四、解答题：本大

题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知直线:(12)(1)720lmxmym++−++=．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线

1l的方程．解：（1）证明：直线l整理得：(2)(27)0xymxy−++++=，令20270xyxy−+=++=解得：31xy=−=−，则无论m为何实数，直线l恒过定点(3,1)−−，（2）根据题意，设直线1

l，与x轴的交点为(,0)a，与y轴的交点为(0,)b，过定点(3,1)M−−作一条直线1l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，则有3212ab=−=−，解可得6a=−，2b=−，即直线1l

过(6,0)−，(0,2)−，则直线1l的方程为123yx=−−，即360xy++=．18.（本题满分12分）已知()2,0A，()3,3B，()1,1C−.（1）求点A到直线BC的距离；（2）求ABC的外接圆

的方程.【解析】（1）()311312BCk−==−−，由()1112yx−=+得直线BC的方程为230xy−+=.所以点A到直线BC的距离23514d+==+（2）设ABC外接圆的方程为220xyDxEyF++++=，由题意，得()22222220200333

30110DEFDEFDEF++++=++++=−+−++=解得240DEF=−=−=即△ABC的外接圆的方程为22240xyxy+−−=.19.（本题满分12分）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD,1,60ADDCCBABC===

=，四边形ACFE为矩形，10,,FBMN=分别为,EFAB的中点.(1)求证：MN∥平面FCB；(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB夹角的余弦值.20.答案：(1)取BC的中点Q，连接,NQFQ，如图所示，则1,2NQACNQAC=P.又1,,,2MFAC

MFACMFNQMFNQ==PP，则四边形MNQF为平行四边形，即MNFQP.FQQ平面,FCBMN平面FCB，MNP平面FCB.(2)由,1,60ABCDADDCCBABC====P，可得9

0,3,2ACBACAB===.Q四边形ACFE为矩形，,ACBCAC⊥⊥平面FCB，则AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即30AFC=，3FC=.22210,,FBFBFCCBFCBC==+⊥Q，则可建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，33(

3,0,0),(0,1,0),,0,3,,0,322ABMMA=−uuur，3,1,32MB=−−uuur.设(),,xyz=m为平面MAB的法向量，则00MAMB==mmuuuruuur，即33023302xzxyz−=

−+−=，取23x=，则(23,6,1)=m为平面MAB的一个法向量.又(3,0,0)CA=uur为平面FCB的一个法向量，23323cos,773||||CACACA===mmmuuruuruur，故平面MAB与平面FCB夹角的余弦值为237.20.（本题

满分12分）已知圆22:1Cxy+=与直线:30lxym−+=相交于不同的A、B两点.（1）求实数m的取值范围；（2）若||3AB=，求实数m的值.答案：（1）由221,30xyxym+=−+=消去y得，2242310xmxm++−=，由已知得，22(23)16(1)0

mm−−，解得22m−，故实数m的取值范围是(2,2)−.（2）设圆C的半径为r，因为圆心(0,0)C到直线:30lxym−+=的距离为||||231mmd==+，所以2222||22144mABrdm=−

=−=−，由已知得243m−=，解得1m=.21.（本题满分12分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：A

B1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．21.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力。方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，11112,4,2,

,ABAABBAAABBBAB===⊥⊥11122ABAB==2221111ABABAA+=111ABAB⊥2BC=112,1,BBCC==11,BBBCCCBC⊥⊥115BC=2,120ABBCABC===23AC=由，得，所以，故.因此平面.

（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：1C

CAC⊥113AC=2221111ABBCAC+=111ABBC⊥1AB⊥111ABC1C111CDAB⊥11ABDAD1AB⊥111ABC111ABC⊥1ABB111CDAB⊥1CD⊥1ABB1CAD1AC1ABB1111115,22,21BC

ABAC===11111161cos,sin77CABCAB==13CD=11139sin13CDCADAC==1AC1ABB3913111(0,3,0),(1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),(0,3,1),ABABC−−因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.

由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.22.（本题满分12分）如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,2)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2，直线l与圆C

相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．解：（1）因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点(0,2)，所以圆心在直线2y=上，设圆C与x轴交于P，Q点，又因为被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2，所以可得23PCQ=，所以4r=

，圆心C的坐标：(4,2)−，11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23,3),ABABAC==−=−uuuruuuuruuuur1110ABAB=uuuruuuur111ABAB⊥1110ABAC=uuuruuuur1

11ABAC⊥1AB⊥111ABC1AC1ABB11(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),ACABBB===uuuruuuruuur1ABB(,,)xyz=n10,0,ABBB==uuuruuurnn30,20

,xyz+==(3,1,0)=−n111|39sin|cos,|13|||ACACAC===uuuruuuruuurn|nn|1AC1ABB3913所以圆C的方程：22(4)(2)16xy++−=；（2）依题意，只需求出点N（或)M在劣弧

PQ上运动时的直线ON（或)OM斜率，设其直线方程为(0)ytxt=，此时有2|42|241tt−−+„，解得304t„；若点M在劣弧PQ上，则直线OM的斜率kt=，于是304k„；若点N在劣弧上，则直线OM的斜率1kt=−，于是43k−

„；又当0k=时，点N为(0,2)也满足条件；综上所述，所求直线OM的斜率k的取值范围为43(,][0,]34−−．