【文档说明】河南省郑州市2024-2025学年高二上学期9月阶段性检测数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.790 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年9月阶段性检测高二数学试题注意事项：1.本试卷为闭卷考试，考试时间为120分钟，总分150分；2.请在密封线内填写清楚班级、姓名、考场、考号.3.本试卷分试题卷和答题卡，所有答案全部写在答

题卡上.一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知空间两点(2A，1，1)，(3B，2，1)，下列选项中的a→与AB→共线的是（）A.(1a→=，0，1)B.(2a→=，1，1)C.(2a→=，2−，0)D.

(2a→=，2，0)【答案】D【解析】【分析】由题得(1AB→=，1，0)，再利用空间向量共线定理判断得解.【详解】解：由点(2A，1，1)，(3B，2，1)，所以(1AB→=，1，0)，对于A，(1a→=，0，1)，不满足aAB→→=

，所以a与AB→不共线；对于B，(2a→=，1，1)，不满足aAB→→=，所以a与AB→不共线；对于C，(2a→=，2−，0)，不满足aAB→→=，所以a与AB→不共线；对于D，(2a→=，2，0)，满足2aAB→→=，所以a→与AB→共线．故选：D2.已知空间向量()1,0,1a=，

()1,1,bn=，且3ab=，则向量a与b的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】A【解析】【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n，再利用向量夹角公式求出夹角.【详解】103ab

n=++=，解得2n=，则()1,1,2b=，1012a=++=，1146b=++=，设向量a与b的夹角为，则33cos226abab===，0,π，π6=，即a与b的夹角为π6．故选：A．

3.直线1l的方向向量()1101=−，，，直线2l的方向向量()2202=−，，，则不重合直线1l与2l的位置关系是（）A相交B.平行C.垂直D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据向量的关系，判断直线的位置关系.【详解】因为212=−，所以12//，所以直线1l与2l平

行.故选：B4.已如向量()1,1,0a=r，()1,0,1b=−，且kab+与a互相垂直，则k=（）．A.13B.12C.13−D.12−【答案】B【解析】【分析】计算()1,,1kabkk+=−，根

据向量垂直得到答案.【详解】()1,1,0a=r，()1,0,1b=−，则()1,,1kabkk+=−，kab+与a互相垂直，则()10akkbka+=−+=，12k=.故选：B.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，属于简单题.5.已知向量(2,0,1)n=为平面法向量，点(1,2,1)

A−在内，则点(1,2,2)P到平面的距离为（）.的A.55B.5C.25D.510【答案】B【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可【详解】因为(1,2,1)A−，(1,2,2)P所

以(2,0,1)PA=−−，因为平面的法向量(2,0,1)n=，所以点P到平面的距离|||41|5||5PAndn−−===.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题6.在空间四边形OABC中，,,OAaOBb

OCc===，点M在OB上，且3OMMB=，N为AC的中点，则NM=（）A.131242abc−+−B.121232abc−++C.131242abc++D.121232abc−+【答案】A【解析】【分析】利用

空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】()()31311314242242NMOMONOBOAOCbacabc=−=−+=−+=−+−.故选：A7.在正方体中1111ABCDABCD−，直线1AB与平面11BCD所成的角为（）.A.2π3B.π6C.π4

D.π3【答案】B【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()()()()1111,0,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1ABDC，所以()()()

1110,1,1,1,0,1,1,1,1BABCBD=−=−=−−，设平面11BCD的一个法向量为(),,nxyz=，直线1AB与平面11BCD所成的角为π0,2，则1100nBDxyz

nBCxz=−−+==−+=，令10,1xyz===，即()1,0,1n=，所以11111sincos,222nBAnBAnBA====，所以π6=.故选：B8.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，M､N分别为AC，1AB的中点，则下列说法错误的

是（）A.//MN平面11ADDAB.MNAB⊥C.直线MN与平面ABCD所成角为45°D.异面直线MN与1DD所成角为60°【答案】D【解析】【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB

⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．【详解】如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴

MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于4

5°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，属于中档题．二、多选题（每小题

6分，共18分）9.已知直线12ll、的方向向量分别是(2,4,),(2,,2)ABxCDy==，若||6AB=且12,ll⊥则xy+的值可以是（）A.3−B.1−C.1D.3【答案】AC【解析】【分析】根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】(2

,4,),(2,,2)ABxCDy==，若||6AB=且12ll⊥，则22224622420xyx++=++=，解得43xy==−或41xy=−=，所以1xy+=或3−.故选：AC10.已知空

间三点()1,0,1A−，()1,2,2B−，()3,0,4C−，则下列说法正确的是（）A.3ABAC=B.//ABACC.23BC=D.3cos,65ABAC=【答案】AC【解析】【分析】由条件可得,,ABACBC的坐标，然

后逐一判断即可.【详解】因为()1,0,1A−，()1,2,2B−，()3,0,4C−，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2ABACBC==−=−−所以0033ABAC=++=uuur

uuur，3365cos,65513ABACABACABAC===，44423BC=++=所以,ABAC不共线.故选：AC11.如图，AE⊥平面,//,//,ABCDCFAEADBCADAB⊥，82,1,7AEBCABADCF=====，则（）A

.BDEC⊥B.//BF平面ADEC.平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为13D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为49【答案】BCD【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究位置关系与线面夹角，面面夹角即可.【详解】根据

题意可知,,AEABAD两两垂直，不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，可得()()()()81,0,0,1,2,0,0,1,0,0,0,2,1,2,7BCDEF，则()1,1,0BD=−，()()1,2,2,1,0,2ECBE=−=−

，所以()11120210BDEC=−++−=，所以BD，EC不垂直，故A错误；依题意，()1,0,0AB=是平面ADE的法向量，又80,2,7BF=，可得0BFAB=，则BFAB⊥，又因为直线BF平面ADE，所以//BF平面ADE，故B正

确；设(),,mabc=为平面BDE的一个法向量，则020mBDabmBEac=−+==−+=，令22,1bac===，可得()2,2,1m=，而()0,0,2AE=即底面ABCD的一个法向量

，设平面EBD与平面ABCD夹角，则21coscos,323mAEmAEmAE====,故C正确；设直线CE与平面BDE所成角为，()1,2,2CE=−−，则4sincos,9CEmCEmCEm===

，故D正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知直线l过点()2,3,1A，且()0,1,1n=为其一个方向向量，则点()4,3,2P到直线l的距离为____________.【答案】322【解析】【分析】由点到直线的距离公式22PAndPAn

=−求解.【详解】解：因为点()2,3,1A，点()4,3,2P，所以()2,0,1PA=−−，所以点()4,3,2P到直线l的距离为：()2222132522PAndPAn−=−=−=

，故答案为：32213.已知()()()()0,1,1,2,1,0,3,5,7,1,2,4ABCD−，则直线AB和CD所成角的余弦值为______.【答案】52266【解析】【分析】利用空间向量的数量积与夹角公式计算即可.【详解】由题意知()()2,2,1,2,3,3ABDC=

−−=，则()22222222313522coscos,66221233ABDC−−===+−+++，故答案为：52266.14.四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且1PD=，3AB=，G是ABCV的重心，则PG与平面P

AD所成角的正弦值为______.【答案】23【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面PAD的一个法向量m及PG，由PG与平面PAD所成角，根据sincos,mPGmPGmPG==即可求解.【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面

ABCD正方形，所以,,DADCDP两两垂直，以D为坐标原点，,,DADCDP的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D，()0,0,1P，()3,0,0A，()3,3,0B，()0,3,0C，则重心()2,

2,0G，因而()2,2,1PG=−，()3,0,0DA=，()0,0,1DP=，设平面PAD的一个法向量为(),,mxyz=，则300mDAxmDPz====，令1y=则()0,1,0m=，是则22si

ncos,133mPGmPGmPG====，故答案为：23.四、解答题15.已知向量(,1,2),(1,,2),(3,1,)axbycz==−=rrr，向量ab∥，bc⊥（1）求向量a，b，c的坐标；（2）求ac+与bc+所成角的余弦

值.【答案】（1）(1,1,2),(1,1,2),(3,1,1)abc=−=−−=rrr（2）517【解析】【分析】（1）利用向量垂直、平行的条件即可求解；（2）利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为向量ab∥，所以1212xy=

=−，解得：1x=−，1y=−，则(1,1,2)a=−，(1,1,2)b=−−，又因为bc⊥，则3120bcz=−−=，解得1z=，所以(3,1,1)c=【小问2详解】由（1）知()()()1,1,2,1,1,2,3,1,1abc=−

=−−=，所以(2,2,3)ac+=，(4,0,1)bc+=−，则17ac+=，17bc+=，()()835acbc++=−=，即ac+与bc+所成角的余弦值()()5cos,17acbcacbcacbc++++==++16.已知空间三点()()()0,2,3,2,1,6,1

,1,5ABC−−.（1）求AB（2）求ABCV的面积；【答案】（1）14.（2）732【解析】【分析】（1）先求出向量坐标，再根据模长公式计算即可；（2）先求出向量AB，AC的夹角，再利用三角形的面

积公式即可求解；【小问1详解】()2,1,3AB=−−，41914.ABAB==++=【小问2详解】设向量AB，AC的夹角为，由()()()0,2,3,2,1,6,1,1,5ABC−−，()2,1,3AB=−−，()1,3,2AC=−，||4191

4.AC=++=()()2113321cos21414ABACABAC−+−−+===，又三角形中()0,π，π3=11π73sin1414sin2232ABCSABAC===.17.如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC=，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线

段AD上，已知8432BCPOAOOD====，，，．（1）求证：AP⊥BC；（2）若点M是线段AP是一点，且3AM=．试证明平面AMC⊥平面BMC．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相

关点坐标，求出向量,APBC的坐标，计算APBC，即可证明结论；（2）求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，计算法向量的数量积，结果为0，即可证明结论.【小问1详解】证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为

Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示；则(000),(0,30),(420),(420),(004)OABCP−−，，，，，，，，，，故(034)AP=，，，(800)BC=−，，，∴0(8)30400AP

BC=−++=，∴AP⊥BC，即⊥APBC；【小问2详解】证明：因为⊥PO平面ABC，AO平面ABC，所以POAO⊥,因为43POAO==，，故5AP=，∵M为AP上一点，且3AM=，∴M(0,65−，125)，∴AM=(0,95,125)，BM=(-4,165−,125)，CM=(

4,165−,125)；设平面BMC的法向量为(,,)nabc=，则00nBMnCM==，即1612405516124055abcabc−−+=−+=，令1b=，则n=(0,1,4)3；

设平面AMC的法向量为(,,)mxyz=，则00mAMmCM==，即91205516124055yzxyz+=−+=，令5x=，则(54,3)m=−，；由于40514(3)03nm=++−=，得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC．18.如图，四棱锥PA

BCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PDDC==，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）求BC；（2）求二面角APMB−−的正弦值．【答案】（1）2；（2）7014【解析】【分析】（1）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2BCa=，由已

知条件得出0PBAM=，求出a的值，即可得出BC的长；（2）求出平面PAM、PBM的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形

，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz−，设2BCa=，则()0,0,0D、()0,0,1P、()2,1,0Ba、(),1,0Ma、()2,0,0Aa，则()2

,1,1PBa=−，(),1,0AMa=−，PBAM⊥，则2210PBAMa=−+=，解得22a=，故22BCa==；[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法如图，连结BD．因为PD⊥底面ABCD，且AM底面AB

CD，所以⊥PDAM．又因为PBAM⊥，PBPDP=，所以AM⊥平面PBD．又BD平面PBD，所以AMBD⊥．从而90ADBDAM+=．因为90+=MABDAM，所以=MABADB．所以∽ADBBAM，于是=ADBAABBM．所以2

112BC=．所以2BC=．[方法三]：几何法+三角形面积法如图，联结BD交AM于点N．由[方法二]知AMDB⊥．在矩形ABCD中，有∽DANBMN，所以2==ANDAMNBM，即23ANAM=．令2

(0)=BCtt，因为M为BC的中点，则BMt=，241=+DBt，21=+AMt．由1122==DABSDAABDBAN，得221241123=++ttt，解得212t=，所以22==BCt．（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法设平面PAM的法向

量为()111,,mxyz=，则2,1,02AM=−，()2,0,1AP=−，由111120220mAMxymAPxz=−+==−+=，取12x=，可得()2,1,2m=，设平面PBM的法向

量为()222,,nxyz=，2,0,02BM=−，()2,1,1BP=−−，由222220220nBMxnBPxyz=−==−−+=，取21y=，可得()0,1,1n=，3314cos,1472mnmnmn===，所以，270sin,1cos,

14mnmn=−=，因此，二面角APMB−−的正弦值为7014.[方法二]：构造长方体法+等体积法如图，构造长方体1111ABCDABCD−，联结11,ABAB，交点记为H，由于11ABAB⊥，1ABBC⊥，所以AH⊥平面11ABCD．过H作1DM的垂线，垂足记为

G．联结AG，由三垂线定理可知1⊥AGDM，故AGH为二面角APMB−−的平面角．易证四边形11ABCD是边长为2正方形，联结1DH，HM．111111111,2DHMDHMDAHHBMMCDABCDSDMHGSSSSS==−−−正方形，由等积法解得31010=HG．在RtAHG中，

2310,210==AHHG，由勾股定理求得355=AG．所以，70sin14AHAGHAG==，即二面角APMB−−的正弦值为7014．【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似

进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体

方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.19如图，四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，2PAAC==，1,3BCAB==．的.（1）若ADPB⊥，证明：//AD平面PBC；（2）若ADDC⊥，且二面角ACPD−−的正弦值为427，求AD．【答案】（1）证明

见解析（2）3【解析】【分析】（1）先证出AD⊥平面PAB，即可得ADAB⊥，由勾股定理逆定理可得BCAB⊥，从而//ADBC，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D作DEAC⊥于E，再过点E作EFC

P⊥于F，连接DF，根据三垂线法可知，DFE即为二面角ACPD−−的平面角，即可求得tan6DFE=，再分别用AD的长度表示出,DEEF，即可解方程求出AD．【小问1详解】（1）因为PA⊥平面ABC

D，而AD平面ABCD，所以PAAD⊥，又ADPB⊥，PBPAP=，,PBPA平面PAB，所以AD⊥平面PAB，而AB平面PAB，所以ADAB⊥.因为222BCABAC+=，所以BCAB⊥，根据平面知识可知//ADBC，又AD平面PBC，BC平面PB

C，所以//AD平面PBC．【小问2详解】如图所示，过点D作DEAC⊥于E，再过点E作EFCP⊥于F，连接DF，因为PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC平面ABCDAC=，所以DE⊥平面PAC，又EFCP⊥，所以⊥CP平面DEF，根据二面角的定义可知，DFE即为二面

角ACPD−−的平面角，即42sin7DFE=，即tan6DFE=．因为ADDC⊥，设ADx=，则24CDx=−，由等面积法可得，242xxDE−=，又()()222244442xxxCEx−−=−−=，而EFC为等腰直角三角形，所以2422xEF−=，故2242tan

6422xxDFEx−==−，解得3x=，即3AD=．