【文档说明】宁夏银川唐徕回民中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.830 MB，由小赞的店铺上传

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银川唐徕回民中学2022～2023学年度第一学期期中考试高二年级数学试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足()713z+=−ii，z是z的共轭复数，则下列

说法中不正确的是（）A.z实部与虚部之积为2B.z的共轭复数为2i−C.z在复平面内对应的点在第三象限D.|2|13zz−=【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简得2iz=+，进而根据复数的实部和虚部可判断A，根据共轭复数的定义可判断B

，根据复数对应的点可判断C，根据复数模长的计算可判断D.【详解】由()713z+=−ii得()()()()73i1i3i3i===2i1i1i1i1iz−+−−=++−−+，对于A,复数z的虚部为1，实部为2

，故A正确，对于B,z的共轭复数为2i−,B正确，对于C,z在复平面内对应的点为()2,1，故点在第一象限，C错误，对于D，()2=2i22i=23i|2|23i=13zzzz−+−−−+−=−+，，D正确，故选：C2.在等差数列na中，1815360aaa++=，则9102aa−的值为

（）A.6B.8C.12D.13【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的下标和性质可求得8a的值，再根据98102aaa=+即可计算出最后结果.【详解】因为1815360aaa++=，所以8560a=，所以812a=，所以9101801082

12aaaaaa=+−==−，的故选：C.【点睛】本题考查等差数列下标和性质的应用，难度一般.在等差数列na中，已知()*,,,mnpqmnpq+=+N，则有+mnpqaaaa=+.3.等比数列na中，11a=，238aa=，则45

12aaaa+=+（）A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】【分析】由题设结合等比数列通项公式求得公比2q=，进而求4512aaaa++.【详解】由题设，231238aaaq==，又11a=，可得2q=，∴344

51112112483aaaqaqaaaaq++===++.故选：A4.为庆祝中国共产党成立100周年，安康市某学校开展“唱红色歌曲，诵红色经典”歌咏比赛活动，甲、乙两位选手经历了7场初赛后进入决赛，他们的7场初赛成绩如茎叶图所示．下列结论正确的是（）A.甲成绩的极差比乙成绩的极差大B.甲

成绩的众数比乙成绩的中位数大C.甲成绩的方差比乙成绩的方差大D.甲成绩的平均数比乙成绩的平均数小【答案】D【解析】【分析】对于A，分别求出极差判断，对于B，求出甲的众数和乙成绩的中位数判断，对于C，根据数据的离

散程度判断，对于D，分别求出平均数判断即可.【详解】甲成绩的极差为927814−=，乙成绩的极差为947222−=，故A错误；甲成绩的众数为85分，乙成绩的中位数为87分，故B错误；由茎叶图的数据的分布规律，可判定甲成绩的数据更集中，乙成绩

的数据更分散，所以甲成绩的方差比乙在成绩的方差小，故C错误；甲成绩的平均数为7884858586889285.47++++++分，乙成绩的平均数为7284868789939486.47++++++分，故D正确．故选：D5.2021年3

月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误．．的是（）A.成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人B.成绩第

1-100名的100人中，高一人数不超过一半C.成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人D.成绩第51-100名的50人中，高二人数比高一的多【答案】D【解析】【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．

【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多200(45%30%)30−=，A正确；由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为120045%45

502=，B正确；成绩第1-50名的50人中，高一人数为20045%0.218=，因此高三最多有32人，C正确；第51-100名的50人中，高二人数不确定，无法比较，D错误．故选：D．6.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，事件B为“向上的点数为奇数”，则下列

说法正确的是（）A.A与B互斥B.A与B对立C.()23PAB+=D.()56PAB+=【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件AB+，然后计算概率．【详解】A与B不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件

AB+表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63PAB+==．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥

事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()PABPAPB++．7.对高三某班级的学生进行体能测试，所得成绩统计如图所示，则该班级学生体能测试成绩的中位数为（）A.82.5B.83C

.83.5D.85【答案】A【解析】【分析】由频率分布直方图求得频率0.5对应的数即得．【详解】由频率分布直方图成绩在[50,80]的频率是(0.010.010.02)100.4++=，而成绩在区间[80,90]上的频率是0.4，

因此中位数在区间[80,90]上，设中位数是x，则800.50.490800.4x−−=−，解得82.5x=．故选：A．8.为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要用警戒线围出400平方米矩形活动区域，则所用警戒线的长度的最小值为（）A.30米B.5

0米C.80米D.110米【答案】C【解析】【分析】设该矩形区域的长为x米，则宽为400x米，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】设该矩形区域的长为x米，则宽为400x米，则所用警戒线的长度为40040022280xxxx+=米，当且仅当400xx=

，即20x=时，取等号.则所用警戒线的长度的最小值为80米.故选：C9.已知a，Rb，且220ab−−=，则193ab+的最小值为（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】由基本不等式求最小值.【详解】显然90,30ab，220ab

−−=，22ab−=，∴2222111932323236333aaaabbbb−+=+===，当且仅当2133ab=，即12a=，1b=-时等号成立．故选：B．10.下列说法错误的是A.命题“若2430xx−+=，则3x=”的逆否命题是“若3x

，则2430xx−+”B.“1x”是“||0x”的充分不必要条件C.若pq为假命题，则p、q均为假命题的D.命题p：“xR，使得210xx++”，则非p：“xR，210xx++”【答案】C【解析】【分析】由命题的逆否命题为将条件

、结论互换,再同时进行否定,可得A正确；由“||0x”的充要条件为“0x”,可得B正确；由“且”命题的真假可得C错误；由特称命题的否定为全称命题可得D正确，得解.【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进行否定,可得命题“若2

430xx−+=，则3x=”的逆否命题是“若3x，则2430xx−+”,即A正确；对于选项B,“||0x”的充要条件为“0x”,又“1x”是“0x”的充分不必要条件,即B正确；对于选项C,pq为假命题，则p、q至少有1个为假命题,即C错误；对于选项D,由特称命题的否定为全称命

题可得命题p：“xR，使得210xx++”，则非p：“xR，210xx++”,即D正确,故选C.【点睛】本题考查了四种命题关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考查了简单的逻辑推理，属基础题.11.

若不等式|1|xa−成立的充分条件为04x，则实数a的取值范围是（）A.{3}aa∣B.{1}aa∣C.{3}aa∣D.{1}aa∣【答案】A【解析】【分析】由已知中不等式|1|xa−成立的充分条件是04x，令不等式的解集为A，可得04xxA，可

以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：不等式|1|xa−成立的充分条件是04x，设不等式的解集为A，则04xxA，当0a时，A=，不满足要求；当0a时，{11}Axa

xa=−+∣，的若04xxA，则1014aa−+„…，解得3a.故选：A.12.若实数,xy满足约束条件0102210xyxy−+，且(0,0)zaxbyab=+

最大值为1，则ab的最大值为（）A.18B.14C.24D.22【答案】A【解析】【分析】首先画出可行域，根据目标函数几何意义得到21ab+=，再利用基本不等式的性质即可得到ab的最大值.【详解】由题知不等式组表示的可行域如下图所示：目标函数zaxby=+转化为azyxbb=−+，

由图易得，直线azyxbb=−+在(1,2)A时，y轴截距最大.所以21ab+=.因为2(2)1244abab+=g，即18ab，当且仅当2ab=，即12a=，14b=时，取“=”.故选：A【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题，同时考查了线性规划，属于中档题.二、填空题：本

大题共4小题，每小题5分．的13.如果复数z满足i1z−=，则z的最大值是___________.【答案】2【解析】【分析】根据复数的几何意义及复数的模公式，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】设()i,Rzxyxy=+，则因为i1z−=，所以()2211xy+−=，

即()2211xy+−=.令cos,1sinxy==+，则()2222222coscos121sins2insin2sinzxy+=+=++=+=++，当sin1=，即π2π+,Z2kk=时，2

z取得最大值为24z=，即2z=，所以z的最大值是2.故答案为：214.某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的

学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生____________名．【答案】1050【解析】【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数；【详解】

解：依题意可得样本中高三年级抽取了150405060−−=名学生，所以该高中共有学生604201050150=名学生；故答案为：105015.向平面区域(),|01,01xyxy内随机投入一点，则该点落在曲线21yx=−

下方的概率为______.【答案】4【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域{(,)|01xyx剟，01}y剟及曲线21(0,0)yxxy=−厖如图，111OA

BCS==正方形，21144S==阴影．向平面区域{(,)|01xyx剟，01}y剟内随机投入一点，则该点落在曲线21yx=−下方的概率为4P=．故答案为：4．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16.从某小学随

机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.用频率分布直方图估计的小学生的身高的平均值为_________【答案】124.5【解析】【分析】根据频率分布直方图，计算身高的平均值【详解】因为直方图中的各个矩形的面积之和为1

，所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）＝1，解得a＝0.030；根据频率分布直方图，计算平均数为105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.

1＝124.5cm故答案为124.5cm【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了平均数的计算问题，是基础题目．三、解答题:本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17.已知函

数()()22sincos2cosfxxxx=++.（1）求()fx的最小正周期和单调递增区间；（2）求()fx在区间0,2上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为，增区间为3,88kk−++(

Z)k；（2）最大值为22+，最小值为1.【解析】【分析】(1)利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简函数()fx，再结合正弦型函数的性质计算作答.(2)由(1)及已知求出函数()fx的相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.【小

问1详解】依题意，()222sin2sincoscos2cos1sin21cos2fxxxxxxxx=+++=+++2sin(2)24x=++，则有()fx的最小正周期为T=，由222,Z242kxk

k−+++得，388kxk−++，Zk，所以()fx的最小正周期为，单调增区间为3,88kk−++(Z)k.【小问2详解】由(1)知，当02x时，52444x+，因正弦函数sinyx

=在[,]42上递增，在5[,]24上递减，因此，当242x+=，即8x=时，()fx取最大值22+，当5244x+=，即2x=时，()fx取最小值1，所以()fx在区间0,2上的最大值为22+，最小值为1.18.如图，四棱锥PABCD−的底面是

矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若1PDDC==，求四棱锥PABCD−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23．【解析】【分析】（1）由PD⊥底面ABCD可得PDAM⊥，又PBAM⊥，

由线面垂直的判定定理可得AM⊥平面PBD，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM⊥平面PBD；（2）由（1）可知，AMBD⊥，由平面知识可知，~DABABM，由相似比可求出AD，再根据四棱锥PABCD−的体积公式即可求出．【详解

】（1）因为PD⊥底面ABCD，AM平面ABCD，所以PDAM⊥，又PBAM⊥，PBPDP=，所以AM⊥平面PBD，而AM平面PAM，所以平面PAM⊥平面PBD．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知AMBD⊥．于是∽ABDBMA，故=

ADABABBM．因为1,,12===BMBCADBCAB，所以2112BC=，即2BC=．故四棱锥PABCD−的体积1233==VABBCPD．[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法由（2）知⊥AMDB,所以1=−AMBDkk．建立如图所示的平

面直角坐标系，设2(0)BCaa=．因为1DC=，所以(0,0)A，(1,0)B，(0,2)Da，()1,Ma．从而2020(2)211001−−==−=−=−−−AMBDaakkaaa．所以22a=，即2DA=．下同方法一.[方法三]【最优解】：空

间直角坐标系法建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，设||=DAt，所以(0,0,0)D，(0,1,0)C，(0,0,1)P，(,0,0)At，(,1,0)Bt．所以,1,02tM，(,1,1)PBt=−，,1,02tAM=−．

所以2110(1)1022ttPBAMt=−++−=−+=．所以2t=，即||2=DA．下同方法一.[方法四]：空间向量法由PBAM⊥，得0PBAM=．所以()0++=PDDAABAM．即0++

=PDAMDAAMABAM．又PD⊥底面ABCD，AM在平面ABCD内，因此PDAM⊥，所以0=PDAM．所以0+=DAAMABAM，由于四边形ABCD是矩形，根据数量积的几何意义，得221||||02−+=DAAB，即

21||102−+=BC．所以||2BC=，即2BC=．下同方法一.【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；方法三直接利用空间直角坐

标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.19.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（x吨）为该商品的进货量，y（天）为销售天数：x

/吨234568911y/天12334568（1）根据上述提供的数据，求出y关于x的回归方程，并预测进货量为16时的销售天数；（结果四舍五入）；（2）在该商品进货量x不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：122

1ˆniiiniixynxybxnx==−=−，aybx=−$$，81241iiixy==，821356iix==.【答案】（1）回归直线方程为49116834yx=−，预测进货量为16时的销售天数约为11天（2）35【解析】【分析】（1）计算出x、y，利用最小二乘法求出b、a的值，

可得出回归直线方程，将16x=代入回归直线方程，可得出结果；（2）列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：23456891168x+++++++

==，1233456848y+++++++==，所以，818222182418644935686688ˆiiiiixyxybxx==−−===−−，所以，4911466834aybx=−=−=−，所以回归

直线方程为49116834yx=−，当16x=时，49111611.26834y=−，预测进货量为16时的销售天数为11天.【小问2详解】解：进货量不超过6吨有2、3、4、5、6，共5个，任取2个的基本事件有：(

)2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,4、()3,5、()3,6、()4,5、()4,6、()5,6，共10种结果，恰好有1次不超过3吨的基本事件有：()2,4、()2,5、()2,6、()3,4、()3,5、()3

,6，共6种结果，所以所求的概率为63105P==.20.新一轮的疫情使得人们的出行受到了极大的限制．在党和政府的正确指挥，全国人民的共同努力下，疫情得到了有效控制，使出行旅游成为可能.2022年“十一”黄金周，某旅行社报名

去红色革命圣地西柏坡、井冈山两地旅游、学习的游客共有800人，旅行社将去这两个目的地的游客分别分为三批组织旅游，为了做好游客的行程安排，旅行社对参加旅游的游客人数（单位：名）作了如下统计：第一批第二批第三批西柏坡160ab井冈山120128c已

知在参加两地旅游的800人中，参加第二批西柏坡游的频率是0.165．（1）现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40人，协助旅途后勤工作，问应在第三批参加旅游的游客中抽取多少人？（2）已知128b，120c，求第三批参加旅游的游客中到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多的概率．【答案】（1）1

3人（2）1013【解析】【分析】（1）利用频率公式可求得a的值，可求得bc+的值，再利用分层抽样可求得在第三批参加旅游的游客中所抽取的人数；（2）由已知可得出260bc+=，求出b的取值范围，将“第三批参加旅游的游

客中到两地旅游的人数”记为(),bc，设“到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多”为事件A，列举出所有的基本事件，并确定事件A所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：因为第二批参加西柏坡游的频率是0.165，所以0.16580

0a=．解得132a=，所以，第三批参加旅游的总人数为800160120132128260bc+=−−−−=，现用分层抽样的方法在所有游客中抽取40名游客，则应在第三批参加旅游的游客中抽取4026013800=人.【小问2详解】

解：由（1）知，260bc+=，128b，120c，所以，128140b，120132c，若将“第三批参加旅游的游客中到两地旅游的人数”记为(),bc，则满足该事件的基本事件有：()128,132、()129,131、()130,130、()131,129、()1

32,128、()133,127、()134,126、()135,125、()136,124、()137,123、()138,122、()139,121、()140,120，共13个．设“到西柏坡旅游的人数比到井冈

山旅游的人数多”为事件A，则事件A满足的基本事件有：()131,129、()132,128、()133,127、()134,126、()135,125、()136,124、()137,123、()138,122、(

)139,121、()140,120，共10个．由古典概型的公式可知，()1013PA=，因此，第三批参加旅游的游客中到西柏坡旅游的人数比到井冈山旅游的人数多的概率为1013.21.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，()sinsin()si

nacAcABbB−++=.（1）求角B；（2）若1b=，求ABC的面积30,12S，求ABC的周长l的取值范围.【答案】（1）3B=（2）(221)+,【解析】【分析】（1）根据内角和定理可知sin()sinABC+=，结合条件，利用正弦定理可得222acbac

+−=，再根据余弦定理即可求解；（2）根据30,12S，结合三角形面积公式可得103ac，根据余弦定理可得2221cos22acbBac+−==，将1b=代入，则221acac+−=，即2()31acac+=+，可得到ac+的范围，即可求解.【小问1详解】

由内角和定理得：sin()sin()sinABCC+=−=，∴()sinsinsinacAcCbB−+=，由正弦定理边角互化得：22()acacb−+=，即222acbac+−=，∴2221cos22acbBac+−==，∵(0,)B

，∴3B=【小问2详解】由（1），3sin2B=，则由题意，13sin0,212SacB=，故330412ac，即103ac，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==，1b=，则221acac+−=，故2(

)31(1,2)acac+=+，所以12ac+，故221abc+++，即ABC的周长l的取值范围为(221)+,22.已知数列na的前n项和为nS，且满足233nnSa=−．（1）证明数列

na是等比数列；（2）若数列nb满足3lognnba=，证明数列nnba的前n项和34nT．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）可根据已知的na与nS的递推关系，利用1n=求解出数列的首项，然后当2n时，递推

做差，利用1nnnaSS−=−消掉nS，即可得到na与1na−之间的关系，从而完成证明；（2）利用第（1）问求解出的数列na的通项公式，带入到nnba中，再使用错位相减法进行求和，根据最后计算的结果与34

比较即可完成证明.【小问1详解】由题意得，当1n=时，1112233aSa==−，∴130a=，当()*2Nnn时，()111222333333nnnnnnnaSSaaaa−−−=−=−−−=−，∴13nn

aa−=，∵130a=，∴10na−，于是有13nnaa−=，故数列na是以3为首项，3为公比的等比数列.得证.【小问2详解】由（1）可知3nna=，∴33l3logognnnban===，3nnnbna=，231123

133333nnnnnT−−=+++++①，231234313333nnnT−=+++++②，②−①得：231111111331321133333322313nnnnnnnnTn−−=+++++−=−=−+−

，∴3231443nnnT+=−，∵*Nn，故231043nn+，∴323134434nnnT+=−得证.