【文档说明】《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题05 三角函数图像与性质的综合应用（解析版）.docx，共(15)页，1.009 MB，由管理员店铺上传

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专题05三角函数图像与性质的综合应用专题点拨函数y＝Asin(ωx＋φ)的问题；解决y＝Asin(ωx＋φ)的问题，通常利用整体思想换元，转化为基本函数解决，同时要注意复合函数的性质．①“五点法”画图：分别令ωx＋φ＝0，π2、π、3π2、2π，求出五个特殊点．②给出y

＝Asin(ωx＋φ)的部分图像，求函数表达式时，比较难求的是φ，一般从“五点法”中取靠近y轴的已知点代入突破．易错点：(1)求对称轴方程：令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求对称中心：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)．(2)

求单调区间：分别令－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)；π2＋2kπ≤ωx＋φ≤32π＋2kπ(k∈Z)，同时注意A、ω符号．真题赏析1.（2016·上海）设,,abR,[0,2π)c，若对任意实数x都有π2sin(3)sin()3xabxc−=+

，则满足条件的有序实数组(,,)abc的组数为______________.【答案】4【解析】(i)若2a=若3b=，则5π3c=；若3b=−，则4π3c=.(ii)若2a=−，若3b=−，则π3c=；若3b=，则2π3c=共4组.2．（2018·上海）设常数，函数

．(1)若为偶函数，求的值；(2)若，求方程在区间上的解．【解析】(1)若为偶函数，则对任意，均有；即，化简得方程对任意成立，故；(2)，所以，aR2()sin22cosfxaxx=+()fxa()314f=+()12

fx=−−［，］()fxRx()()=−fxfx22sin22cossin2()2cos()+=−+−axxaxxsin20=axRx0=a2()sin(2)2cos()131444=+=+=+faa3=a故．则方

程，即，所以，化简即为，即，解得或，若求该方程在上有解，则，，即或1；或1，对应的的值分别为：、、、．例题剖析【例1】求函数()lgtan1y2sin1xx+=+的定义域．【解析】函数定义域满足下列不等式组：tan12sin10xx−+因此，函数定义域为372,22,26246kkk

k−+++.【例2】（2021•宝山区校级模拟）为了得到函数sin23cos2yxx=+的图象，可以将函数3sin2cos2yxx=−的图象作这样的平移变换得到()A．向左6B

．向左4C．向右2D．向右3【分析】根据已知条件，以及三角函数两角和、两角差公式，分别得到原函数与目标函数，再结合平移变换法则，即可求解．【解答】解：由题意可得，313sin2cos22(sin2cos2)2sin(2)226yxxxxx=−=−=−，设

()2sin(2)6fxx=−，2()3sin22cos=+fxxx()12=−fx23sin22cos12+=−xx23sin22cos12+−=−xx2sin(2)26+=−x2sin(2)62+=−x1124=−+xk5

24=−+xk,Zkk[,]−1335[,]2424−k1929[,]2424−k0=k0=kx1124−1324524−192413sin23cos22(sin2cos2)2sin(2)223yxxxxx

=+=+=+，设()2sin(2)3gxx=+，设()gx是由()fx平移个单位得到，则2sin[2()2]2sin(2)63xkx+−+=+，kZ22263xx+−=+，即4k=+，当0k=时，4

=，根据左加右减原则，()gx是由()fx向左平移4个单位得到，故选：B．【例3】（2019·宝山区一模）已知函数()3sin211cos22001xfxx−=，将()fx的图像向左移()0个单

位得函数()ygx=的图像．（1）若4=，求()ygx=的单调递增区间；（2）若0,2，()ygx=的一条对称轴为12x=，求()ygx=，0,2x的值域．【解析】（1）()3

cos2sin22sin(2)3fxxxx=−=−−()()2sin(22)3gxfxx=+=−+−4=，()2sin(2)6gxx=−+，令()322,2622xkkkZ+++，解得()2,63

xkkkZ++，所以()ygx=的单调递增区间是()2,63xkkkZ++。（2）若()ygx=的一条对称轴12x=，则221232k+−=+，解得()23kkZ=+，因为)2,0(，所以3=．()2si

n23gxx=−+，因为0,2x，所以42,333x+，因而3sin2,132x+−，即值域为]3,2[−.【变式训练1】已知函数,其中常数;(1)若在上单调递增,求的取值范围;(2)令,将

函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间(且)满足:在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.【解析】(1)因为,根据题意有.(2),或,即的零点相离间隔依次为和.故若在上至少含有30个零点,则的最小值为.【例4】方程sinx＋cosx＝－1的解集是__

____．【答案】{x|x＝2kπ－π2或x＝2kπ－π，k∈Z}【解析】由题得sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)＝－1，sin(x＋π4)＝－22，x＋π4＝2kπ＋5π4或x＋π4＝2kπ＋7π4(k∈Z)，得x＝2kπ＋π或x＝

2kπ＋32π(k∈Z)，即x＝2kπ－π2或x＝2kπ－π(k∈Z)，所以方程的解集为{x|x＝2kπ－π2或x＝2kπ－π，k∈Z}．【变式训练2】方程的解集()2sin()fxx=0()yfx=

2[,]43−2=()yfx=6()ygx=[,]ab,abRab()ygx=[,]ab[,]abba−034202432−−()2sin(2)fxx=()2sin(2())

12sin(2)163gxxx=++=++7,12xkkZ=−()gx323()ygx=[,]abba−2431415333+=−=−47,4,12cos32sinxxx【

解析】∴.∵,∴.巩固训练一、填空题1.（2021•黄浦区三模）若实数a、b满足22430abb+−+=，函数()sin2cos21fxaxbx=++的最大值为(,)ab，则(,)ab的最小值为2．【分析】利用已知的等式，得到点(,)ab在圆22(2)1ab+−=上，然后将

将(,)ab转化为原点到点(,)ab的距离再加上1，求解圆上的点到原点距离的最小值即可．【解答】解：因为实数a，b满足22430abb+−+=，所以22(2)1ab+−=，表示以(0,2)为圆心，以1为半径的圆，因为()sin2cos21fxaxb

x=++的最大值为(,)ab，则22(,)1abab=++，它表示原点到点(,)ab的距离再加上1，由点(,)ab在圆22(2)1ab+−=上，所以原点到圆心(0,2)的距离为2，故圆上的点到原点的距离的最小值为1，所以(,)ab的最小值为2．故答案为：2．2.设函数π()cos(

)(0)6fxx=−，若π()()4fxf≤对任意的实数x都成立，则的最小值为___．【答案】23【解析】由于对任意的实数都有π()()4fxf≤成立，故当4x=时，函数()fx有最大值，故()14f=，246k

−=(kZ)，∴283k=+(kZ)，又0，∴min23=．3．（2021•杨浦区二模）函数()sin()3cos()(0)fxxx=+，若有且仅有一个实数m满2132sin=−xZkkxkx+=+

=,1274或−47,4x1219,45,127,4=x足：①02m剟；②xm=是函数图象的对称轴，则的取值范围是．【分析】利用两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的取值范围．【解答】解：函数(

)sin()3cos()(0)2sin()3fxxxx=+=+，若有且仅有一个实数m满足：①02m剟；②xm=是函数图象的对称轴，故函数的图象的对称轴只有一条在[0，]2上，32mk+=+，即1()6xk=+，kZ，令0k=，可得函数的图象的对称轴方程6x

=，62„，且12622+，求得1733„，故答案为：1[3，7)3．4．（2021•浦东新区二模）将函数()2sin2fxx=的图象向左平移6个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()ygx

=图象．若()ygx=在[0，](0)bb上至少含有2021个零点，则b的最小值为．【分析】由题意利用函数sin()yAx=+的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得b的值．【解答】解：将函数()2sin2fxx=的图象向左平移6

个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()2sin(2)13ygxx==+−图象．若()ygx=在[0，](0)bb上至少含有2021个零点，即方程1sin(2)32x+=在[0，](0)bb上至少含有2021个解

．则当b最小时，满足52202036b+=+，求得40414b=，故答案为：40414．二、选择题5.若()cossin=−fxxx在[,]−aa是减函数，则a的最大值是()A．π4B．π2C．3π4D．π【答案】A【解析】()cossin2cos()4=−=+πfxxxx，且函数

cos=yx在区间[0,]上单调递减，则由04+≤≤x，得344−≤≤x．因为()fx在[,]−aa上是减函数，所以434−−≥≤aa，解得4≤a.6．设函数2()sinsinfxxb

xc=++，则()fx的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【答案】B【解析】由于21cos2()sinsinsin2xfxxbxcbxc−=++=++．当0b=时，()fx的最小正周期为；当0b时，()fx的最小正周

期2.7．将函数图像上的点向左平移()个单位长度得到点．若位于函数的图像上，则()A．，的最小值为B．，的最小值为C．，的最小值为D．，的最小值为【答案】A【解析】因为点在函数的图象上，所以，又在函数的图象上，所以，则sin(2)3yx=−(,)4P

ts0sPPsin2yx=12t=s632t=s612t=s332t=s3(,)4Ptsin(2)3yx=−sin(2)43t=−=1sin62=1(,)42Ps−sin2yx=1sin2()24s=−或，，得

或，．又，故的最小值为，故选A．三、解答题8.设函数，其中．已知．(1)求；(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．【解析】(1)因为，所以由题设知，所以，．故，，又，所以．(2)由(

1)得.所以．因为，所以，当，即时，取得最小值．9.已知函数()sin(),fxx=+其中0，||2(1)若coscossinsin0,44−=求的值；w.w.w.k.s.5.u.c

.o.m2()246sk−=+52()246sk−=+kZ6sk=−+6sk=−−kZ0ss6()sin()sin()62fxxx=−+−03()06f=()yfx=4

()ygx=()gx3[,]44−()sin()sin()62fxxx=−+−31()sincoscos22fxxxx=−−33sincos22xx=−133(sincos)22x

x=−3(sin)3x=−()06f=63k−=kZ62k=+kZ032=()3sin(2)3fxx=−()3sin()3sin()4312gxxx=+−=−3[,]44x−2[,]1233x−

−123x−=−4x=−()gx32−(2)在（1）的条件下，若函数()fx的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3，求函数()fx的解析式；并求最小正实数m，使得函数()fx的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数.【解析】(1)由

3coscossinsin044−=得coscossinsin044−=即cos()04+=又||,24=(2)由(1)得，()sin()4fxx=+依题意，23T=.又2,T=故3,()sin(3

)4fxx==+.函数()fx的图像向左平移m个单位后所对应的函数为()sin3()4gxxm=++.()gx是偶函数当且仅当3()42mkkZ+=+,即()312kmkZ=+从而，最小正实数12m=.10.（2021•黄浦区

校级三模）已知函数()sin(0)fxx=在区间(0,]6上是增函数，将函数()yfx=的图象向左平移3个单位后得到的图象与将其向右平移23个单位后所得到的图象重合．（1）求的值；（2）已知锐角三角形ABC

内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且()()2AffA=，4bc+=，求a的取值范围．【分析】（1）利用函数()fx的单调性确定的取值范围，再利用三角函数图象变换得到2sin()sin()33xx

+=−，则2()2,33kkZ−−=，从而求出的值；（2）由（1）得到()fx的解析式，结合题意，求出A，进而求出角B的范围，由正弦定理以及两角和差公式表示出2sin()6aB=+，然后利用正弦函数的性质求出a的取值范围即可．【解答】解：（

1）因为(0,]6x，则(0,]6x，已知()sin(0)fxx=在区间(0,]6上是增函数，则62„，解得03„，由题意可得，2sin[()]sin[()]33xx+=−，

即2sin()sin()33xx+=−，所以2()2,33kkZ−−=，当1k=时，2=符合题意，故2=；（2）根据题意可得，()sin2fxx=，因为()()2AffA=，故sinsin2AA=，即sin2sincosAAA=，因为(0,)2A

，所以sin0A，则1cos2A=，故3A=，所以23CB=−，在锐角ABC中，可得022032BB−，解得62B，由正弦定理可得(sinsin)4sinabcBCA+=+=，所以2[sinsin()]4332aBB+−=，即31(

sincossin)2322aBBB++=，所以3sin()236aB+=，则2sin()6aB=+，因为62B，所以2363B+，故3sin()(,1]62B+，所以243

[2,)3sin()6aB=+，故a的取值范围为43[2,)3．11．（2021•浦东新区三模）已知函数()sin()(0fxAx=+，0)2的部分图象如图所示．（1）求函数()fx的

解析式；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()22Af=，2a=，求ABC周长的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和函数的图象求出函数的解析式；（2）利用函数的关系式求出A的值，进一步利用正弦

定理和三角函数的关系式和正弦型函数的性质的应用求出周长的范围．【解答】解：（1）根据函数的图象，函数的周期1152()1212T=−=，故2=．由于点5(,0)12满足函数的图象，所以5si

n(2)012A+=，由于02，所以6=．由于点(0,1)在函数的图象上，所以2A=．故函数()2sin(2)6fxx=+．（2）由于()2sin()226AfA=+=，所以3A=．由

正弦定理：4sinsin3baBA==，整理得4sin3bB=，同理442sinsin()333cCB==−，由于2(0,)3B，所以4422sinsin()24sin()3633ABClabcBBB=++=++−=++，由于2(0,)3B，所以5(,)66

6B+，所以1sin()(,1]62B+．所以：(4ABCl，6]．12．（2021•浦东新区二模）已知函数()sinfxx=，xR．（1）设2()3(2)2()2gxfxfx=++，求函数()gx的值域；（2）在ABC中，角A

，B，C所对应的边为a，b，c．若f（A）32=，1b=，ABC的面积为3，求sinC的值．【分析】（1）由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；（2）由已知f（A）3sin2A=

=先求出A，然后结合正弦定理求出b，再由余弦定理可求．【解答】解：（1）22()3(2)2()3sin22sin()22gxfxfxxx=++=++，23sin22cos3sin2cos212sin(2)16xxxxx=+=+−=++，因为1sin(2)16x−+剟，所以1()

3fx−剟，故函数的值域[1−，3]；（2）f（A）3sin2A==，所以3A=或23A=，因为13sin324ABCcSbcA===，所以4c=，当3A=时，222161413abcbc=+−=+−=，所以13b=，所以sin239sin1

3cACa==；当23A=时，222161421abcbc=++=++=，故21b=，所以sin27sin7cACa==，故27sin7C=或239sin13C=．13．（2021•黄浦区二模）已知ABC中，内角A、B、

C所对边长分别为a、b、c，且1b=，sin3sinaAB=．（1）求正实数a的值；（2）若函数()sin2cos2()fxaxxxR=+，求函数()fx的最小正周期、单调递增区间．【分析】（1）由已知结合正弦定理，

求出a的值；（2）先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质，求出函数()fx的最小正周期、单调递增区间．【解答】解（1）在ABC中，1b=，sin3sinaAB=，根据正弦定理2sinsinsinabcRABC===，得2223

,3(0)22abaaRR==，3a=．（2）由（1）知，3a=，()sin2cos23sin2cos22sin(2)6fxaxxxxx=+=+=+，函数()fx的最小正周期为22T==．由222()262kxkkZ−

++剟，得()36kxkkZ−+剟．函数()fx的递增区间是[,]()36kkkZ−+．24．（2021•杨浦区校级三模）已知、是实常数，cossin()()sin()cosxxfxxx−=+．（1）当1=，3=时，求函数()yfx=的最小

正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在，使得()fx是与有关的常数函数（即()fx的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的，若不存在，说明理由．【分析】（1）将1=，3=代入化简后的()fx

中，求出周期、单调区间和最大值即可；（2）根据()fx的解析式知，只需102+=，即可．【解答】解：cossin()()||sin()cosxxfxxx−=+22222cos(sincoscossin)xxx=−−2222(sin)coscossinxx=+−221sinc

oscos222x++−=+，（1）当1=，3=时，3()cos24fxx=+，()fx的周期T=，当从cos21x=时，最大值为74，由222()kxkkZ−+剟，得()2kxkkZ−+剟，()fx的单调增区间为[,]()2kkkZ

−+，（2）221sincos()cos222fxx++−=+，显然当102+=，即1=−时，()fx的值与x的取值无关，存在1=−，使得()fx是与有关的常数函数．