【文档说明】《备战2022年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）》专题03 函数模型（解析版）.docx，共(15)页，855.212 KB，由管理员店铺上传

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专题03函数模型专题点拨随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中6大学科素养中，其中2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。另外就是构造函数的能力

。真题赏析1.(2020·上海)已知()1fxx=−，其反函数为1()fx−，若1()()fxafxa−−=+有实数根，则a的取值范围为______.【答案】3[,)4+【解析】解：因为1()yfxa−=−与()yfxa=+互为反函数，若1()yfxa−=−与()yfxa=+有实数根，则()y

fxa=+与yx=有交点，所以1xax+−=，即221331()244axxx=−+=−+…，故答案为：3[,).4+2.(2020·上海)设aR，若存在定义域为R的函数()fx同时满足下列两个条件：(1)对任意的0xR，0()fx的值为0x或20x；(2)关于x的方程()fxa=无实数解

，则a的取值范围是_________.【答案】(,0)(0,1)(1,)−+【解答】解：根据条件(1)由函数的基本概念可得200xx=，解得00x=或01x=，又因为关于x的方程()fxa=无实数解，所以0a且1a，故(,0)(0,1)(1,)a−+，故答案

为(,0)(0,1)(1,).−+3．(2020·上海)在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为qvx=，x为道路密度，q为车辆密度．1100135(),040()3(40)8

5,4080xxvfxkxx−==−−+剟，0.k(1)若交通流量95v，求道路密度x的取值范围；(2)已知道路密度80x=时，交通流量50v=，求车辆密度q的最大值．【答案】解：(1)当4080x剟时，因为0k，

()vfx=是单调递减函数，v最大为85，不符合题意；于是只需令1100135()953x−，解得3x，故道路密度x的取值范围为(3,40).(2)把80x=，50v=代入()(40)85vfxkx==−−+中，得504085k=−+，解得7.8k=1100135(),0403

7(40)85,40808xxxxqvxxxxx−==−−+剟，当040x时，q单调递增，40110040135()4040003q−；当4080x剟时，271208qxx=−

+，q是关于x的二次函数，开口向下，对称轴为4807x=，此时q有最大值，为2748048028800()1204000.8777−+=故车辆密度q的最大值为28800.7例题剖析【例1】（2021·上海徐汇·二模）已知函数(

)21fxxax=+−−．（1）若2a=，求函数f（x）的零点；（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．解：（1）根据题意，函数()21fxxax=+−−，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，由2a=，得2210xx+−−=，化简

得222210xx++=，即()2210x+=，则22x=−∈[﹣1，1]，所以，函数f（x）的零点为22x=−；（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；代

入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是11aa==−无解，所以函数f（x）不能为奇函数，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；又当a＝0时，()21fxxx

=−−，则()()2211fxxxxxfx−=−−−=−−=；对任意x∈[﹣1，1]都成立，综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．【变式训练1】（2021·上海·格致中学三模）已知函

数()yfx=的定义域是[0,)+，满足2201()4513,?2834xxfxxxxxx=−+−+且(4)()fxfxa+=+，若存在实数k，使函数()()gxfxk=+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a

的取值范围为____【答案】11(,)505504−【分析】方程()()gxfxk=+在[0,2021]x上恰有2021个零点，等价于存在kR，使()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，作出函数()fx的图像，数形结合，再根据函数

周期性的应用，使每个交点都处在(1,2)之间才能取到2021个点，代入条件求得参数取值范围.【解析】由函数在[0,4)x上的解析式作出如图所示图像，由(4)()fxfxa+=+知，函数()fx是以4为周期，且每个周期上下平移|a|个单位的一个函数，若使[0,202

1]x时，存在kR，方程()()gxfxk=+在[0,2021]x上恰有2021个零点，等价于()fxk=−在[0,2021]x上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k−时满足条件，且

必须每个周期内均应使k−处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点，则当0a时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f，即(2018)(2)50415042ffaa=+=+，解得1504a，即1[0,)504a当0a时，需使最后一

个极大值(2021)1f，即(2021)(1)50525051ffaa=+=+，解得1505a−，即1(,0)505a−，综上所述，11(,)505504a−故答案为：11,505504−【例2】已知函数（）(1)判断函数的奇偶性，并说明理

由；(2)设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；(3)设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【解析】(1)，若是偶函数，则，即，所以对任意实数成立，所以；若是奇

函数，则，即，所以对任意实数成立，所以.综上，当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.(2)当时，若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，则函数是偶函数，即对任意实数，，故，化简得，因为上式对任意成立，所以，．所以，函数的图像是轴对称图形，其对称

轴是直线．(3)由得，，即，此方程有且只有一个实数解．令，则，问题转化为：方程有且只有一个正数根．()22xxfxk−=+xR()fx0k()fxxm=m1k=−14()223xxhxaa−=−−()fx()hxaxxkxf22)(+=

−−)(xf)()(xfxf=−xxxxkk−−+=+22220)22)(1(=−−−xxkx1=k)(xf)()(xfxf−=−xxxxkk−−−−=+22220)22)(1(=++−xxkx1−=k1=k)(xf1−=k)(xf1k)(xf0k)(xfmx=)(xmf+x)()

(xmfxmf+=−)()(2222xmxmxmxmkk+−+−−−+=+0)22)(22(=−−−−mmxxkRx022=−−mmkkm2log21=)(xfkx2log21=)()(xhxf=03422)1(

=−−−−aaxx012342)1(2=−−−xxaaxt2=0t0134)1(2=−−−atta①当时，，不合题意．②当时，(i)若△，则或，若，则，符合题意；若，则，不合题意．(ii)若△，则或，由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得．综上，实数的取值范围

是．【变式训练2】已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.(1)若且，证明：函数必有局部对称点；(2)若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；(3)若函数在上有局部对称点，求实数的取值范

围.【解析】(1)由得，代入得，，得到关于的方程（），其中，由于且，所以恒成立，所以函数（）必有局部对称点.(2)方程在区间上有解，于是，设（），，其中，所以(3)，由于，所以，于是……（*）在上有解令（），则，

所以方程（*）变为在区间内有解，需满足条件：，即，化简得.【例3】（2021·上海黄浦·二模）某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金y（单位：万元）随经济收益x（单

位：万元）的增加而增加，且0y，奖金金额不超过20万元.（1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求1=a43−=t1a0=3−=a433−=a21=t43=a2

−=t03−a43a011−−a1aa),1(}3{+−()yfx=0x00()()fxfx−=−0x()fx,abR0a2()fxaxbxa=+−()2xfxc=+[1,2]−c12()423xxfxmm+=−+−Rmabxaxxf−+=2)(abxaxxf−−=−2)

(0)()(=+−xfxf()()022=−−+−+abxaxabxaxx02=−aax0a24a=Ra0a0abxaxxf−+=2)(0a0222=++−cxx]2,1[−xxc−+=−222xt2=21−x421tttc12+=−41712+

tt1817−−c324)(21−+−=−+−−mmxfxx0)()(=+−xfxf)324(3242121−+−−=−+−++−−mmmmxxxx0)3(2)22(2)44(2=−++−+−−mmxxxxR

txx=+−222t2442−=+−txx082222=−+−mmtt),2[+−+−−=22)8(420)4(84222mmmm−−22312222mm2231−m的

理由；(答案不唯一)（2）若该企业采用函数11,50500,50119,5001500xxyaxx+=−+作为奖励函数模型，试确定实数a的取值范围.解：(1)答案不唯一.构造出一个函数；说明是单调增函数；函数的取值满足要求.如

，11,[50,1500]100yxx=+，就是符合企业奖励的一个函数模型.理由：根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数；当50x=时，1350101002y=+=，当1500x=时，1150011620100y=+=

，即奖金金额0y且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当50500x时，易知1150yx=+是增函数，且当50x=时，15012050y=+=，当500x=时，15001112050y=+=，即满足奖金

0y且不超过20万的要求；故当50500x时，1150yx=+符合企业奖励要求.当5001500x时，函数1()19afxx−=+是增函数，即对任意12(500,1500]xx、，且12xx时，211212()()(1)0xxfxfxaxx−−=−成立.故当且仅当10a−，即

1a时，此时函数在(500,1500]上是增函数.由1190500a−+，得9501a；进一步可知，10ax−，故1191920ayx−=+成立，即当19501a时，函数符合奖金0y且金额不超过20万的要求.依据函数模型11,50500,50119,5001500xxy

axx+=−+是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，于是，有1150011950500a−++，解得4001a.综上，所求实数a的取值范围是14001a.【变式训练3】某企业生产某种商品x吨，此时所需生产费用为(�

�2−100𝑥+10000)万元，当出售这种商品时，每吨价格为p万元，这里𝑝=𝑎𝑥+𝑏(𝑎,b为常数，𝑥>0)(1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低，那么这种商品的产量应为多少吨？(2)如果生产出来的商品能全部卖完，当产量是120吨时企业利润最大，此时出售价格是每吨160

万元，求a，b的值．【解析】(1)商品的生产费用平均为𝑥2−100𝑥+10000𝑥=𝑥+10000𝑥−100≥2√𝑥⋅10000𝑥−100=100当且仅当𝑥=100时，取等号，∴当产量𝑥=1

00吨时，生产费用平均最低；(2)设出售x吨时，利润是y元，则根据题意有：𝑦=(𝑎𝑥+𝑏)𝑥−(𝑥2−100𝑥+10000)=(𝑎−1)𝑥2+(𝑏+100)𝑥−10000=(𝑎−1)[𝑥+𝑏+1002(𝑎−1)]2−(𝑎−1)[𝑏

+1002(𝑎−1)]2−10000，∵𝑥=120时利润最大，∴𝑎−1<0，即𝑎<1，−𝑏+1002(𝑎−1)=120，①又160=120𝑎+𝑏，②联立①②，解得：𝑎=−16，𝑏=180

．巩固训练一、填空题1.（2021·上海普陀·二模）函数1yxx=−的零点为___________．【答案】1【解析】令10yxx=−=，得1xx=，两边平方得：()310xx=，解得1x=，所以函数1yxx=−的零

点为1.故答案为：1.2.（2021·上海浦东新·三模）设函数()cos([0,3])fxxmx=−的零点为1x､2x､3x，若1x､2x､3x成等比数列，则实数m的值为___________.【答案】12−【解析】解：原问题等价于()

cos([0,3])fxxx=与ym=有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为1x､2x､3x，结合余弦函数图象，由对称性得，212xx+=，324xx+=，又2213xxx=，∴()()211122xxx

−=+，∴123x=，∴21cos32m==−，故答案为：12−.3.（2021·上海浦东新·二模）已知a、b、c为正整数，方程20axbxc++=的两实根为12,xx，且12||1,||1xx，则abc++的最小值为________

___.【答案】9．【解析】依题意，可知212124000bacbxxacxxa=−+=−=…，从而可知1x，2(1,0)x−，所以有240(1)01bacfabcca−−=−+…，故24bacbacca+…，

又a，b，c为正整数，取1c=，则1abab+…，所以22444abacaa=厖?，所以2416bac厖．又415b+=，所以4b=，因此abc++有最小值为9．故答案为：94.2021·上海市七宝中学高三月考）函数()22

xfxmxnx=++，记集合()0,Axfxx==R，集()()0,Bxffxx==R．若AB=，且A、B都不是空集，则mn+的取值范围是________．【答案】)0,4【解析】解：设1{

|()0}{|(())0}xxfxxffx===，11()(())0fxffx==，(0)0f=，即(0)0fm==，故0m=；故2()fxxnx=+，当0n=时，成立；当0n时，2()0fxxnx=+=的解为0x=或n−，又(())0ffx=，则2(

)0fxxnx=+=或2()fxxnxn=+=−，由AB=，则2()fxxnxn=+=−应无解，故240nn=−，解得：04n；综上所述，04nm+„.故答案为：)0,4.5.函数且方程恰有两解，则实数的取值范围是.【答案】2−a【解析】当10x时

，011−−x，()()axfxfx+=−=−1211，如图所示，()00f，即11022aa−+−.()()−+=.0,1,0,21xxfxaxfx()xxf=a二、

选择题6.（2021·上海市控江中学三模）方程2sin216x+=在区间[2,2)−上的解的个数是（）A．4B．6C．8D．9【答案】C【解析】原方程化为1sin262x+=，在同一坐标系内作出函数sin26yx=+

[2,2)x−图象与直线12y=，如图：观察图象知：在[2,2)x−时函数sin26yx=+的图象与直线12y=有8个公共点，所以方程2sin216x+=在区间[2,2)−上8个解.故选：C7.（2021·上海市大同中学三模）Logis

tic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()It(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(50)()1tKIte−−=+，其中K为最大确诊病例数.当()*0.95ItK=时，标志着己初步遏制疫情，则*t约为（）A．59B

．61C．63D．6512【答案】C【解析】由题意0.23(*50)0.951tKKe−−=+，0.23(*50)0.0526te−−=，ln0.0526*5062.8630.23t=+−．故选：C．8.若关于的不等式至少有一

个负解，则参数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】2222xaxaxx−−−−−，令()()axxgxxf−=−=,22，在同一直角坐标系中，作出它们的图像，则()xf与()xg在y轴左侧至少有一个交点，由axx−=−22

有等根()490241−==++=aa，若()xgy=中，2=a，其图像其好过点()2,0，如图所示，可得249−a，故选C.三、解答题9.（2021·上海市七宝中学一模）对核污染水的处理是当今全球环境治理的热点问

题之一，某环保企业准备研发一款设备用于处理核污染水中的放射性碘，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为()fn.经计算发现当010n时，()fn近似地满足9()nAfnpqa=+，其中232a−=，p，q为常数，(0)fA=.已知3年

后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍.问（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.解：（1）由题意知(0)fA=，(3)3fA=.xaxx−−22a5

,24−7,24−9,24−7,34−2（0，2）所以99314AApqAApq=+=+解得18pq==.所以9()18nAfna=+.令()8

fnA=，得9818nAAa=+，解得164na=，即231264n−=，所以9n=，所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍.（2）由（1）知9()18nAfna=+第n年的投入资金()(1)fnfn=−−=1991818nnAAaa−−++.99188nnA

aAaaa=−++()()72(1)188nnnAaaaaa−=++72(1)8(1)64nnAaaaaa−=+++72(1)2648(1)nnAaaaaa−++2272(1)9(1)8(1)(1)AaAaaa−−==++当且仅当64nnaaa=，即()22131264

n−−=等号，此时5n=.所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多.10.（2021·上海嘉定·二模）设常数aR，函数()133xxfxa=+．（1）若函数()fx是奇函数，求实数a的值；（2）若函数()2yfxa=+在0,1x时有零点，

求实数a的取值范围．解：（1）由题意知：函数()fx的定义域为R，()fx是奇函数，()()fxfx−=−，即113333xxxxaa−−+=−+，即13333xxxxaa+=−+，整理可得：()()1910xa++=，对任意xR都成立，10

a+=，解得：1a=−．（2）将问题转化为()20fxa+=在区间0,1上有实数解，即关于x的方程13203xxaa++=在区间0,1上有实数解．设3xt=，0,1x，1,3t，则原问题等价于关于t的方程2210atat++=（*）在区间1,3

上有实数解．当0a=时，方程（*）不成立，0a，则方程（*）可化为：()2121,3ttta−=+，即函数1=−ya与函数()221,3yttt=+的图象有公共点．函数()221,3yttt=+为增函数，则该函数的值域为3,15，1315

a−，解得：11315a−−，即实数a取值范围为11,315−−.11.对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”．设函数的定义域为，且．(1)若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最

小值；(2)若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较与+2的大小，并说明理由．【解析】(1)当[1,2)x时，()|23|fxkx=−−，令1x=，可得(1)13fk=−=，解得4k=，即[1,2)x时，()4|23|fxx=−−，故()fx在[1,2)上的取值范围是[3,4]．又(2

,0)−是()fx的一个“P数对”，故(2)2()fxfx=−恒成立，当1[2,2)kkx−(*)Nk时，1[1,2)2kx−，()2()4()24xxfxff=−==…11(2)()2kkxf−−=−，故k为奇数时，()fx在1[2,2)kk−上的取值范围是11[32,2]kk

−+；当k为偶数时，()fx在1[2,2)kk−上的取值范围是11[2,32]kk+−−−．所以当1n=时，()fx在[1,2)n上的最大值为4，最小值为3；当n为不小于3的奇数时，()fx在[1,2)n上的最大值为12n+，最小值为2n−

；当n为不小于2的偶数时，()fx在[1,2)n上的最大值为2n，最小值为12n+−．(2)由(2,2)−是()fx的一个“类P数对”，可知(2)2()2fxfx−恒成立，即1()(2)12fxfx+恒成立，令12kx=(*)Nk，可得1111()(

)1222kkff−+，即1111()2[()2]222kkff−−−对一切*Nk恒成立，所以1211111()2[()2][()2]22242nnnfff−−−−−…11[(1)2]22nnf−=，故(2)

22nnf−−+(*)Nn．()yfx=,ab(2)()fxafxb=+(,)ab)(xfp(2)()fxafxb+(,)ab)(xf)(xfR+(1)3f=(2,0)−()fx[1,2)x()fx=23kx−−()fx[1,2)n(*)Nn()fx(2,2)−()fx(2)

nf−2n−(*)Nn