【文档说明】浙江省强基联盟2023-2024学年高一上学期12月综合测试数学试题 含解析.docx，共(19)页，859.868 KB，由管理员店铺上传

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浙江强基联盟2023学年第一学期高一12月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合,ab的真子集个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】利用集合元素个数即可求出集

合,ab共有,,ab三个真子集.【详解】根据题意可知集合,ab中有3个元素，所以共有2213−=个，即有,,ab三个真子集.故选：A2.若2:1,320pxxx−+，则p的否定为（）A.21,320xxx−+B.21,

320xxx−+C.21,320xxx−+D.21,320xxx−+【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定求解即可.【详解】命题2:1,320pxxx−+是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以命题

p的否定为21,320xxx−+.故选：D.3.若0a，0b，则“1ab+”是“21ab”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断，注意基本不等式的应用

即在0,0ab的情况下，判断两个命题121abab+和211abab+．.【详解】解：取1a=，19b=，满足1ab+，但2213ab=，充分性不满足；反过来，21abab+成立，故必要性成立.故选：A．4.若一

圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则此圆弧所对的圆心角的弧度数为（）A.π3B.π2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】画图设外接圆半径2r=，利用正三角形性质可得圆弧长23l=，再由弧度制定义可得3=.【详解】不妨设正ABC的外接圆半径2r=，圆心

为O，取BC的中点为D，连接,ADOC，易知O在AD上，且30OCB=，ADBC⊥；如下图所示：在RtOCD△中，112ODOC==，所以3,23CDBC==；依题意可知该圆弧长23lBC==，所以圆心角2332lr===.故选：C5.已知()1,3P为角终边上一点

，则2sincossin2cos−=+（）A.−7B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】先根据三角函数的定义求出tan3=，再利用齐次化将弦化切进行求解.【详解】()1,3P为角终边上一点，故tan3=，故2sincos2tan151sin2costan25−−=

==++.故选：B6.若mn，pq，且()()0pmpn−−，()()0qmqn−−，则（）A.mpnqB.pmqnC.nmpqD.pmnq【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件判断出p和m、n的关系以及q和m、n的关系，结合pq即可求解.

【详解】因为()()0pmpn−−，所以m和n一个大于p，一个小于p，因为mn，所以mpn，因为()()0qmqn−−，所以m和n一个大于q，一个小于q，因为mn，所以mqn，因为pq，

所以mpqn，故选：C.7.已知函数f(x)＝1331,,log1xxxx则函数y＝f(1－x)的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由()fx得到()1fx−的解析式，根据函数的特殊点和正

负判断即可.【详解】因为函数()fx133,1log,1xxxx=，所以函数()1fx−()1133,0log1,0xxxx−=−，当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0，3

)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当0x时，()1311,(1)log10xfxx−−=−，排除C，故选：D．8.已知关于x的一元二次不等式2310mxx−+的解集为(),ab，则3aabb+的最小值是（）A.2B.22C.3

D.33【答案】A【解析】【分析】由一元二次不等式解集可知0,0ab,且满足113ab+=，将3aabb+化简变形可得341aababb+=+−，利用基本不等式即可求得当1,12ab==时3aabb+的最小值是2.【详解】由一元二次不等式2310mxx−+的解集为(),ab可得

0m，利用韦达定理可得3010abmabm+==，即可得3abab+=，且0,0ab,113ab+=；所以可得3333141aabbababaababbb−+=+=−++=+−；易知()111414115212131441334babababbaaab

ab+++++−=+−=−+−=，当且仅当4baab=，即1,12ab==时等号成立；即3aabb+的最小值是2.故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a，0b，则下列各式正确的是（）A.()44π3π3−=−B.3261abba=C.1mnmnaa−=D.121133332463babab−−−−=−【答案】ABD【

解析】【分析】根据指数的运算公式分别判断各选项.【详解】A选项：由π30−，得()44π3π3−=−，A选项正确；B选项：()11111132236123126002222261ababbaababba−−+−−====，B选项正确；C选项

：1mnnmaa−=，C选项错误；D选项：112121101333333331246663babaababb−−−−−−−−−=−=−=−，D选项正确；故选：ABD.10.已知π3sin22+=

，且ππ22−，则()tanπ+的值可能是（）A.3−B.33−C.33D.3【答案】BC【解析】【分析】由π3sincos22+==，结合ππ22−分情况讨论即可求解.【详解】由题意得π3sincos22+==，(

)tanπαtan+=，因为ππ22−，当π02−时，因为3cos2=，所以21sin1cos2=−−=−，此时sin3tancos3==−，故B项正确；当π02时，因为3cos2=，所以21sin1cos2=−=，此时sin3ta

ncos3==，故C项正确.故选：BC11.已知定义在R上的偶函数()fx满足()()20fxfx−+=，则下列命题成立的是（）A.()fx的图象关于直线1x=对称B.()30f=C.函数()1fx−为偶函数D.函数()1fx+为奇函数【答案】B

D【解析】【分析】由()()20fxfx−+=及奇偶性可得函数的周期性与对称性，进而判断各选项.【详解】因为函数()fx为偶函数，所以函数()fx关于y轴对称，且()()22fxfx−=−，又()()20fxfx−+=，所以()()20fx

fx−+=，且()()()()222fxxfxffx=−=−−+=+−，所以函数()fx关于点()1,0−中心对称，且周期为4，所以函数()fx关于()1,0对称，A选项错误；()()310ff=−=，B选项正确；()1fx−由()fx向右平移一

个单位得到，则()1fx−关于点()0,0对称，为奇函数，C选项错误；()1fx+由()fx向左平移一个单位得到，则()1fx+关于点()0,0对称，为奇函数，D选项正确；故选：BD.12.函数()lnfxx=，已知实数0m，0n，

且mn，则下列命题正确的是（）A.若()()fmfn=，则2mn+.B.若()()fmfn，则1mnC.存在mn，使得()()22mnffD.()()22fmfnmnf++恒成立【答案】D【解析】【分析】根据指数函

数与对数函数的单调性可判断B，C选项，结合基本不等式可判断A，D选项.【详解】由()lnfxx=，可知函数()fx在()0,+上单调递增，若()()fmfn=，则()()fmfn=−，即1lnlnlnm

nn=−=，可得1mn=，A选项：2mnmn+，当且仅当mn=时等号成立，又mn，则2mn+，A选项错误；B选项：1mn=，mn，则01mn或01nm，B选项错误；C选项：若mn，则22mn，则()()22mnff恒成立，C选项错误；D选项：由ln2

2mnmnf++=，()()lnlnl2n2fmfnmnmn++==，又2mnmn+，当且仅当mn=时成立，又mn，所以2mnmn+，则lnln2mnmn+，即()()22fmfnmnf++

，D选项正确；故选：D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（其中第16题第一空2分，第二空3分）13.已知幂函数()()1mfxmx=−的图象过点()2,Ma，则=a__________.【答案】4【解析】【分析】根据幂

函数的定义可得2m=，再根据函数图象过点()2,Ma，可得a.【详解】由函数()()1mfxmx=−为幂函数，得10m−=，即2m=，所以()2fxx=，又函数()fx过点()2,Ma，则()2224af===，故答案为：4.14.在中国，周朝时期的商高提出了“勾三

股四弦五”的勾股定理的特例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形“弦”的长度为4，则该矩形周长的最大值为____________.【答案】82【解析】【分析】确定222416ab+==，矩形周长为()2ab+，根据均值不等式

计算得到答案.【详解】设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则222416ab+==，,0ab，矩形周长为()2ab+，()()2222222222232abababababab+=+++++=+=，故42ab

+，当且仅当22ab==时等号成立，故周长的最大值为82.故答案为：82.15.已知实数1ba，且17loglog4abba+=，则ln4lnba−=__________.【答案】0【解析】【分析】通过换底公式可得lnln17lnln4baab+=，可得ln4lnba=，即可得解

.【详解】由17loglog4abba+=，换成以e为底，可得lnln17lnln4baab+=，设lnlnbta=，则1174tt+=，解得4t=或14t=，又1ba，lnln0ba，则ln1lnbta=

，所以4t=，即ln4lnba=即ln4ln0ba−=，故答案为：0.16.已知函数()221,0lg1,0xxxfxxx−−=−，则函数()fx的零点为__________；若关于x的方程()()22130fxmfxm++

−=有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是__________.【答案】①.12x=−−和10x=②.52,1,133−−【解析】【分析】结合分段函数性质令()0fx=即可解得()fx的两个零点为12

x=−−和10x=，画出函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于t的方程22130tmtm++−=有两个不相等的实根12,tt且满足(12,1t−−，21t−；再由一元二次方程根的分布即可求得实数m的取

值范围.【详解】根据题意可得当0x时，()221fxxx=+−，令()0fx=，解得12x=−−或12x=−+（舍）；当0x时，()lg1fxx=−，令()0fx=，解得10x=，所以可得函数()fx的零点为12x=−−和10x=；因此可得()221,0lg1,0

xxxfxxx+−=−，画出函数图象如下图所示：令()fxt=，则方程()()22130fxmfxm++−=可转化为22130tmtm++−=；结合图象可知，当(2,1t−−时，函数yt=与函数()fx有

三个交点，当2t=−或1t−时，函数yt=与函数()fx有两个交点，当2t−时，函数yt=与函数()fx有一个交点；若关于x的方程()()22130fxmfxm++−=有5个不同的实数根，则方程22130t

mtm++−=有两个不相等的实根12,tt，且满足(122,1,2tt−−=−或21t−；若22t=−可得23250mm+−=，解得11m=，253m=−；经检验当11m=时，方程22130tmtm++−=即为220tt+−

=，解得121,2tt==−，不合题意；当253m=−时，关于t的方程可化为232205tt−−=，解得1211,23tt==−，不合题意；所以可知方程22130tmtm++−=有两个不相等的实根12,tt需满足(12,1t−−且21t−；若

()12,1t−−,故()()()222222Δ4130113022130mmmmmm=−−−−+−−−+−，解得513m−−或213m，若11t=−，可得2320mm+−=，即31m=−或423m=；检验当31m=−时，关于t的方程

可化为220tt−−=，此时121,21tt=−=−，满足题意；当423m=时，关于t的方程可化为23210tt+−=，此时1211,13tt=−=−，满足题意；综上可知，实数m的取值范围为513m−−或213m，所以实数m的取值范围

是52,1,133−−.故答案为：12x=−−和10x=；52,1,133−−【点睛】方法点睛：求解方程根的嵌套问题时，经常利用换元法将方程转化，再结合函数图象利用根的

分布情况得出参数满足的条件即可求得参数取值范围.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合28,14AxxBxmxm==−||.（1）若1m=，求AB；（2）若AB，求实数m的取值范

围.【答案】（1）|24ABxx=（2）23m【解析】【分析】（1）将1m=代入可得|04Bxx=，由交集运算即可求得出结果；（2）根据集合间的包含关系即可求得23m.【小问1详解】由1m=可得|

04Bxx=，由28|Axx=可得|24ABxx=；【小问2详解】若AB可得1248mm−，解得23m，所以实数m的取值范围是23m.18.在平面直角坐标系xOy中，角以x轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆221xy+=交于第二象限内的点(),Pmn.（

1）若35n=，求tan及()2sincoscos2cos2++++的值；（2）若7sincos13+=，求点P的坐标.【答案】18.34−；111019.512,1313P−【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义

式，结合同角三角函数关系式及诱导公式化简可得解；（2）根据三角函数定义式列方程，解方程.【小问1详解】由已知角的终边与单位圆221xy+=交于第二象限内的点(),Pmn，则sinn=，cosm=，t

annm=，221+=mn，且0m，由35n=，得2415mn=−−=−，则335tan445nm===−−，再由诱导公式可得()4212sincos2sincos2tan11134sin2costan210cos2cos1

223−−+++−+−+====−+−+++−−+【小问2详解】由7sincos13+=，得713mn+=，0,0mn，又221+=mn，则()22249212169mnmnmnmn

+=++=+=，解得60169mn=−，所以()22212028921169169nmmnmn−=+−=+=，所以1713nm−=，所以513m=−，1213n=，即512,1313P−.19.某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这

批机器可获得的利润y（单位：万元）与运转时间x（单位：年）的函数关系式为2144yxx=−+−（13x，且*Nx）（1）当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？（2）当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

【答案】（1）当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45（2）当运转2年时，这批机器的年平均利润最大【解析】【分析】（1）根据二次函数性质可得最大利润；（2）根据基本不等式可得年平均利润的最大值.【小问1详解】由()

22144745yxxx=−+−=−−+，13x，可知当7x=时，y取最大值为45，即当这批机器运转第7年时，可获得最大利润，最大利润为45；【小问2详解】由已知可得年平均利润2144441414yxxsxxxxxx−+−===−−+=−+

+，13x，则414241410sxx=−++−+=，当且仅当4xx=，即2x=时，等号成立，即当运转2年时，这批机器的年平均利润最大.20.函数()21axbfxx+=+是定义在()1,1−上的奇函数，且13

310f=.（1）求()fx的解析式；（2）利用单调性定义证明()fx在()1,1−上为增函数；（3）解不等式()()120fxfx−+.【答案】（1）()()21,1,1xfxxx+−=（2）证明见解析；（3）10,3【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性

定义以及函数值13310f=可求得1a=，0b=可得解析式；（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形定号、下结论等步骤证明即可；（3）利用函数奇偶性和单调性，结合定义域得出不等关系即可解得不等式解集为10,3.【小问1详解】对于()1,

1x−，都有()1,1x−−，所以()21axbfxx−+−=+；又函数()21axbfxx+=+是定义在()1,1−上的奇函数，的所以()()fxfx−=−，即2211axbaxbxx−++=−++，可得0b=，所以()21axfxx=+；由13310

f=可得21133331010113afa===+，解得1a=；所以()21xfxx=+，因此()fx的解析式为()()21,1,1xfxxx+−=【小问2详解】取()12,1,1xx−，且12xx，则()()()()()()()()()()221221

12121212222222121212111111111xxxxxxxxxxfxfxxxxxxx+−+−−−=−==++++++，因为()12,1,1xx−，且12xx，所以12120,1xxxx−，即1210xx−，可得()()()()121222121011

xxxxxx−−++，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx；所以()fx在()1,1−上为增函数；【小问3详解】将不等式()()120fxfx−+转化为()()12fxfx−−，又()fx是定义在(

)1,1−上的奇函数,所以可得()()12fxfx−−，再根据（2）中的结论可知12111121xxxx−−−−−，解得103x；即不等式()()120fxfx−+的解集为10,3.21.已知函数()()()

22,xfxxaa=−−R.（1）当1a=时，解关于x的方程()0fx=；（2）当3x时，恒有()1fx，求实数a取值范围；（3）解关于x的不等式()0fx.的【答案】（1）2x=或0x=；（2）(,7−；（3）答案见解析；【解析】【分析】（1）将1

a=代入即可解出方程()0fx=的根为2x=或0x=；（2）将不等式()1fx恒成立问题转化为)min12,3,2xaxx−+−，再利用函数单调性即可得7a满足题意；（3）对参数a取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集.【小问1详解

】当1a=时，方程()0fx=即为()()()2210xfxx=−−=，解得2x=或0x=；【小问2详解】当3x时，不等式()1fx可化为122xax−−，依题意可知，需满足)min12,3,2xaxx−+−，由于函数2xy=在)3,+上单调递增，函

数12yx=−−在)3,+上单调递增；所以函数122xyx=−−在)3,+上单调递增，因此3min11227232xax−=−=−−，即实数a的取值范围是(,7−；【小问3详解】由()0fx可得()()220xxa−−，①当0a时，可得20xa−

，不等式等价20x−，此时不等式解集为)2,+；②当04a时，方程()()220xxa−−=有两根，即1222,logxxa==，且22loga；此时不等式解集为)(22,,loga+−；③当4a=时，方程

()()220xxa−−=仅有一根，即2x=，此时不等式解集为R；的为④当4a时，方程()()220xxa−−=有两根，即1222,logxxa==，且22loga；此时不等式解集为)(2log,,2a+−；22.设,,abmR，若满足22()()ambm−−，则称a比b

更接近m.（1）设2x比1x+更接近0，求x的取值范围；（2）判断“21xymxy+−−−”是“x比y更接近m”的什么条件，并说明理由；（3）设0x且33,1xxyx+=+，试判断x与y哪一个更接近3.【答案】（1）)0,1（2）充分不必要条件，理由见

解析；（3）y更接近3【解析】【分析】（1）依据定义列出不等式，结合一元二次不等式解法即可求得x的取值范围；（2）根据已知条件分别判断充分性和必要性是否成立即可得出结论；（3）由0x且33,1xxyx

+=+利用函数单调性，分别对03x和3x时3y−与3x−的大小进行比较，即可得出结论.【小问1详解】根据题意可得()()222010xx−+−，即3210xx−−；可得()()3110xx+−，解得01x；即x的取值范围为)0,1；【小

问2详解】充分性：显然xy，由21xymxy+−−−可得()()1xmymxy−+−−−，①若0xy−，则()()xmymyx−+−−，可得0xm−；又0xy−可得xy，所以0ymxm−−；即可得()()22xmym−−，此时可以得出

“x比y更接近m”；②若0xy−，则()()xmymyx−+−−，可得0xm−；又0xy−可得xy，所以0xmym−−；即可得()()22xmym−−，此时可以得出“x比y更接近m”；因此充分性成立必要性：由x比y更接近m

可得()()22xmym−−，即xmym−−，若0,3,1xym===，此时2113xymxy+−=−−−，即必要性不成立；所以“21xymxy+−−−”是“x比y更接近m”的充分不必要条件；【小问3详解】当3x时，显然32111xyx

x+==+++在()3,+上单调递减，所以3333131xyx++==++，即3y；易知()3133323331111xxyxxx−+−+−=−==−−+++，所以()()223323123111yxxxxx−−−=−−−=−+

+++，由对勾函数性质可知()211yxx=+++在()3,+上单调递增，所以()()2211323131yxx=++++=++，即可得()()23323101yxxx−−−=−+++，即33yx−−；同理当03x时，由

单调性可知3333131xyx++==++，即3y；可知()()2332311yxxx−−−=−++++，又由对勾函数性质可知函数()211yxx=+++在()0,21−上单调递减，在()21,3−上

单调递增；又()()2223100,231300131−+++−+++=++，所以()()23323101yxxx−−−=−++++在03x时恒成立，即33yx−−；综上可得满足()()22

33yx−−，即y更接近3.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解新定义的概念，并结合不等式性质以及函数单调性比较出两绝对值大小，再由定义得出结论.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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