【文档说明】【精准解析】广东省东莞市光明中学2020届高三下学期第一次月考数学（理）试题.doc，共(23)页，1.965 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第二学期高三年级第一次月考高三年级理科数学试卷（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合220AxRxx，1,0,1B，则AB（）A.1,0,1B.1,0C.0,1D.0【答案】C【解析】由A中不等式变形得，210xx，解得12

x，即1,2A，1,0,1,0,1BAB，故选C.2.已知复数z满足：（2＋i）z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（）A.15－35iB.15＋35iC.13iD.13i【答案】B【解析】【分析】把等式变形，根据复数的运算先求出z，再根据共轭复数的

定义得出答案.【详解】由（2＋i）z＝1－i，得z＝12ii＝(1)(2)(2)(2)iiii＝15－35i∴z＝15＋35i.故选：B.【点睛】本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义.3.已知等比数列na的前n项和为nS，且54S，1010S，则15

S（）A.16B.19C.20D.25【答案】B【解析】【分析】利用5S，105SS，1510SS成等比数列求解【详解】因为等比数列na的前n项和为nS，所以5S，105SS，1510SS成等比数列，因为5

4S，1010S，所以1056SS，15109SS，故1510919S.故选：B【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题4.点1,1M到抛物线22yax准线的距离为2，则a的值为()A.1B.1或3C.18或124D.14或112【答案】C【解析

】【分析】对a分成0a和0a两种情况进行分类讨论，结合抛物线的定义求得a的值.【详解】依题意可知0a，抛物线的标准方程为212xya当0a时，抛物线的准线方程为18ya，点1,1M到18ya的距离为1111288aa，解得124a.当0

a时，抛物线的准线方程为18ya，点1,1M到18ya的距离为1111288aa，解得18a.所以a的值为18或124.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和准线方程，属于基础题.5.如图所示的程序框图，若输出的结果

为4，则输入的实数x的取值范围是（）A.18,279B.81,927C.12,9D.1,29【答案】A【解析】1n，12x≥，否，31xx；2n，否，3

13194xxx；3n，否，94312713xxx；4n，12x≥，是，即271312x；解不等式271x，127x，且满足9412x，89x，综上所述，若输出的结果为4，则输入的实数x的取值范围是1

8279，，故选A．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.在ABC中，角

A，B，C所对边长分别为a，b，c，若2abc，则cosC的最小值为()A.12B.12C.22D.32【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理表示cosC，再利用基本不等式求得cosC的最小值.【详解】由余弦定理得2222222cos22ab

ababcCabab22323221882abababababab，当且仅当ab时等号成立.故选：B【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，属于基

础题.7.已知两点2,0A，2,0B以及圆C：22243xyr（0r），若圆C上存在点P，满足0PAPB，则r的取值范围是()A.3,6B.3,7C.4,7D.4,6【答案】B【

解析】【分析】求得以AB为直径的圆O的圆心和半径，根据圆O与圆C有公共点列不等式，解不等式求得r的取值范围.【详解】由于圆C上存在点P，满足0PAPB，故以AB为直径的圆O与圆C有公共点.圆O的圆心为0,0，半径为2.圆C的圆心为4,3，半

径为r所以22rOCr，而22435OC，所以252rr，解得37r.故选：B【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.8.给出下列说法：①设0x，yR，则

“xy”是“xy”的充分不必要条件；②若11fxxx，则00,x，使得01fx；③na为等比数列，则“123aaa”是“45aa”的充分不必要条件；④命题“xR，xN，使得2nx”的否定形式是“xR，nN，使得2nx”.其中正确说法

的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】将“xy”与“xy”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断①的正确性.利用基本不等式等号成立的条件，判断②的正确性.将“123aaa”与“45aa”相互推导，根据能

否推导的情况判断充分、必要条件，由此判断③的正确性.根据命题的否定的知识，判断④的正确性.【详解】对于①，当“xy”时，如12，结论12错误，“xy”不是“xy”的充分条件，故①错误.对于②，当0x时，1111211111fx

xxxx，当且仅当11,01xxx时等号成立，所以1fx，故②错误.对于③，在等比数列na中，当“123aaa”时，所以等比数列na是单调递增数列，所以“45aa”.当“45aa”时，如1,2,4,8,16,，不能推

出“123aaa”.所以③正确.对于④，命题“xR，xN，使得2nx”的否定形式是“xR，nN，使得2nx”，故④错误.综上所述，正确说法个数为1个.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查命题的否定，考查基

本不等式等号成立的条件，属于基础题.9.已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A.8B.4C.22D.2【答案】A【解析】【分析】判断出球心和半径，由此计算出外接球的表面积.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为两个

正四棱锥的组合体，由于正四棱锥的底面是正方形，由三视图可知，正方形的中心即外接球的球心，且正方形的对角线长的一半为外接球的半径，即外接球的半径为2.所以外接球的表面积为2428.故选：A【点睛】本小题主要考查三视图，考查几何体外接球的表面积的求法，属于基础题

.10.不等式组10200xxyy表示的点集记为A，不等式组21020xxyyx表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为()A.49B.23C.202

7D.716【答案】C【解析】【分析】画出点集,AB的图像，用阴影部分的面积除以三角形ABC的面积，由此求得所求的概率.【详解】点集A表示的图像为如图所示三角形ABC，点集B表示的图像为如图所示阴影部分

.由于三角形ABC的面积为193322，阴影部分的面积为1212xxdx23112|23xxx71310663.所以所求的概率为920210273.故选：C

【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查定积分，考查不等式组表示区域的画法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴

的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BD⊥F1A，则椭圆C的离心率等于（）A.13B.3C.12D.33【答案】D【解析】【分析】由题意可得A，B的坐标，且知点D为1FA的中点，再由1BDFA，利用斜率之积等于1列式求解．【详解】由题意可得，2(,)bAca，2(,)b

Bca，则点D为1FA的中点，2(0,)2bDa，由1BDFA，得11BDFAkk，即222212bbbaaacc，整理得232bac，223()2acac，∴23+230ee解得33e．故选D．

【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．12.已知函数3()logfxx的图象与函数()gx的图象关于直线yx对称，函数()hx是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x时，()()1hxgx，若函数()()ykfxhx有

3个零点，则实数k的取值范围是（）A.71,2log3B.52,2log3C.52log3,1D.71log3,2【答案】B【解析】【分析】把函数()()ykfxhx有3个零点，转化为3log()kxhx有3个不同根，画出

函数3logykx与()yhx的图象，转化为关于k的不等式组求解．【详解】解：由函数3()logfxx的图象与函数()gx的图象关于直线yx对称，得()3xgx，函数()hx是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x

时，()()131xhxgx，函数()()ykfxhx有3个零点，即3log()kxhx有3个不同根，画出函数3logykx与()yhx的图象如图：要使函数3logykx与()yhx的图象有3个交点，则k0，且33log32log52kk

，即522log3k．∴实数k的取值范围是52,2log3．故选：B．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，

每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上.13.已知定义在R上的奇函数fx满足当0x时，3lnfxxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为______.【答案】4【解析】【分析】利用奇函数的定义求出函数yfx

在,0上的解析式，然后利用导数可求出1f的值，即为所求结果.【详解】当0x时，3lnfxxx，由于函数yfx为奇函数，当0x时，0x，则33lnlnfxfxxxxx

，此时，2231311fxxxxx，11341f.因此，曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为4.故答案为4.【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析

式，考查计算能力，属于中等题.14.如果13nxx的展开式中各项系数之和为128，则展开式中41x的系数是______.【答案】-189【解析】令1x，得展开式中各项系数之和为2n.由2128n，得7n，所以展开式的通项为737217(1)3rr

rrrTCx.由7342r，得=5r，展开式中41x的系数是57557(1)3189C.15.已知ABC中，3AC，4BC，2C，点P为ABC外接圆上任意一点，则CPABAC

的最大值为______.【答案】18【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求得ABC外接圆的方程，设出点P的坐标，利用向量数量积的坐标运算，求得CPABAC的表达式，并由此求得CPABAC的最大值.【详

解】以C为坐标原点建立平面直角坐标系，依题意3,0,0,4AB，3,4,3,0ABAC，0,4ABAC.ABC外接圆的圆心3,22D，半径为52，所以外接圆的方程为22235222xy，设355co

s,2sin,0,2222P，则CPABAC355cos,2sin0,4222810sin，故当2时，CPABAC的最大值为81018.故答案为：18【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查数形结合

的数学思想方法，属于中档题.16.在数列na中，113a，1133nnnaaa，Nn，且13nnba.记12nnPbbb，12nnSbbb，则13nnnPS______.【答案】3【解析】【分析】利用累乘法求得nP，利用裂项求

和法求得nS，由此求得13nnnPS.【详解】由于1133nnnaaa，13nnba，所以13nnnaba，12nnPbbb31212341133333nnnnaaaaaaaaaa，.又1131133nnnnn

aaaaa，∴111nnnbaa，所以12nnSbbb12231111111nnaaaaaa113na.所以13nnnPS111113333nnnnaaa.故答案为：3【点睛】本小题主要考查累乘法、裂项求和法，考查化归与转化

的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在锐角三角形ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知()(sinsin)(sinsin)acACbAB.（1）求角C的

大小；（2）求22coscosAB的取值范围．【答案】（1）3；（2）13[,)24．【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数

，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.试题解析：（1）因为sinsinsinsinacACbAB，由正弦定理得acacbab，即222abcab，则222122abcab根据余弦定理得1cos2C又因为0C，所以3C

（2）因为3C，所以4223BA则221cos21cos21coscos1cos2cos2222ABABAB141cos2cos223AA1131cos2sin2222AA11cos223A

因为三角形ABC为锐角三角形且3C，所以62A则242333A所以11cos262A，所以2213coscos24AB即22coscosAB的取值

范围为1324，点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小

.18.如图，在矩形ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点，23ABAEAD，现将ABE沿BE边折至PBE位置，且平面PBE平面BCDE.(1)求证：平面平面；(2)求二面角的大小.【答案】（1）详见解析；（2）150.【解析】【详解】试题分析：(1)利用直角三角形

，先证明折前有,折后这个垂直关系没有改变，然后由平面PBE平面BCDE的性质证明平面,最后由面面垂直的判定定理即可证明平面PBE平面PEF；（2）为方便计算，不妨设3AD，先以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平

面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立空间直角坐标系，写给相应点的坐标，然后分别求出平面PEF和平面PCF的一个法向量，接着计算出这两个法向量夹角的余弦值，根据二面角的图形与计算出的余弦值，确定二面角的大小即可.试题解析：(1)证明:由题可知：折前，这个垂直

关系，折后没有改变故折后有（2）不妨设3AD，以D为原点，以DC方向为x轴，以ED方向为y轴，以与平面EBCD向上的法向量同方向为z轴，建立空间直角坐标系7分则设平面PEF和平面PCF的法向量分别为，由10nFP及可得

到即，不妨取又由20nFP及可得到即不妨取9分11分综上所述，二面角大小为12分.考点：1.线线垂直的证明；2.线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量在解决空间角中的运用问题.19.某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况，对2019年元旦期间的90位游客

购买情况进行统计，得到如下人数分布表.购买金额（元）0,1515,3030,4545,6060,7575,90人数101520152010（1）根据以上数据完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少

于60元与性别有关.不少于60元少于60元合计男40女18合计（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元

.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附：参考公式和数据：22nadbcKabcdacbd，nabcd.附表：0k2.0722.7063.8416.6357.87920PKk…0

.1500.1000.0500.0100.005【答案】(1)见解析，有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.(2)分布列见解析，数学期望75【解析】【分析】（1）完善列联表，计算214403.841247K得到答

案.（2）先计算13p，分别计算16527PX，2709PX，4759PX，88027PX，得到分布列，计算得到答案.【详解】（1）22列联表如下：不少于60元少于60元合计男124052女182038合计306090229012

204018144053.84130605238247K，因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.（2）X可能取值为65，70，75，80，且10201903p.3331165327PX

C，22312270339PXC，21312475339PXC，3032880327PXC，所以X的分布列为X65707580PX12729498271248657075807527

9927EX.【点睛】本题考查了列联表，分布列，意在考查学生的应用能力和计算能力.20.已知椭圆2222:1(0)xyabab的焦距为26,短轴长为22.(1)求的方程;(2)直线1:(0)lykxmk与相切于点M,1l与两坐标轴的交点为A

与B,直线2l经过点M且与1l垂直,2l与的另一个交点为N.当AB取得最小值时,求ABN的面积.【答案】(1)22182xy(2)42【解析】【分析】（1）直接计算得到2b，2228abc，得到椭圆方程.（2）联立22182y

kxmxy，计算0得到2282mk，221||821ABkk，根据均值不等式得到212k，26m，再计算面积得到答案.【详解】(1)因为226c,所

以6c又222b,所以2b,所以2228abc,所以的方程为22182xy.(2)联立22182ykxmxy,消去y,得222148480kxkmxm.因为直线l与相切,所以222(8)414480kmkm

,即2282mk.1l在x轴､y轴上的截距分别为,mmk,则22222211||1821mABmmkkkk22281081032kk,当且仅当2228k

k,即22k时取等号.所以当212k时,AB取得最小值,此时26m.根据对称性,不妨取2,62km,此时28832143Mkmxk,即433Mx,从而43266323My联立22643233182yxxy

消去y,得29163160xx,则4316339MNNxxx,解得439Nx,所以8||123MNMNxx,故ABN的面积为18324223【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.

21.已知函数13ln3fxaxaxx（0a）.（1）讨论fx的单调性；（2）若对任意的3,4a，1x，21,2x恒有12ln23ln2mafxfx成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）见

解析；（2）196m.【解析】【分析】（1）求得函数fx的定义域和导函数，对a分成0<<3a、3a、3a三种情况，讨论fx的单调区间.（2）先求得12fxfx的最大值，由此化简不等式

12ln23ln2mafxfx，得到132ma，构造函数132hama，利用一次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m的取值范围.【详解】（1）由2231

1313xaxafxaxxx（0x）①当0<<3a时，fx在10,3和1,a上是减函数，在11,3a上是增函数；②当3a时，fx在()0,+?上是减函数；③当3a时，fx在10,a

和1,3上是减函数，在11,3a上是增函数（2）当34a时，由（1）可知fx在1,2上是减函数，∴121123ln232fxfxffaa由12ln23ln2mafxf

x对任意的3,4a，121,2xx恒成立，∴12maxln23ln2mafxfx即1ln23ln23ln232maaa对任意34a恒成立，即132ma对任意34a

恒成立，设132hama，则1913306212519340286mmmmm.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查不等式恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想

方法，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22212xtyt（t为参数），曲线C的参数方程为cossinxmyan

（0m，0n，为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为8sin.（1）求a，m，n的值；（2）已知点P的直角坐标为0,1，l与曲线C交于A，B两点，求PAPB.【答案】（1）4amn；（2）46.【

解析】【分析】（1）根据极坐标方程得到22416xy，根据参数方程得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到23270tt，根据韦达定理得到12320tt，1270tt，计算12PAPBtt得到答案.【详解】（1）由8sin

，得28sin，则228xyy，即22416xy.因为0m，0n，所以4amn.（2）将22212xtyt代入22416xy，得23270tt.设A，B两点对应的参数分别为1t，2t，则12320tt

，1270tt.所以121212446tttPPBtAtt.【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.23.已知函数3124fxxx.（1）求不等式3fx的解集；（2）若对任意x

R，不等式228fxxtt恒成立，求t的取值范围，【答案】（1）4(,10),5；（2）,19,.【解析】【分析】（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式3fx的解集；（2）利

用绝对值三角不等式求出2fxx的最大值，得出关于t的不等式，求出解集即可．【详解】（1）当1x时，()3(1)(24)3fxxx，解得10x；当12x时，()3(1)(24)3fxxx，解得45x，则425x；当2x时，(

)3(1)(24)3fxxx，解得4x，则2x.综上，不等式3fx的解集为4(,10),5；（2）()|2|3|1||24||2|fxxxxx3|1|3

|2|xx|33||36|xx|33(36)|9xx，若对任意xR，不等式2()|2|8fxxtt恒成立，则289tt，解得1t或9t.因此，实数t的取值范围是,19,.【点睛】本题考查了含有绝对

值的不等式解法与应用，同时考查了不等式恒成立问题，属于中档题．