【文档说明】四川省宜宾市第四中学校2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.454 MB，由小赞的店铺上传

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宜宾市四中2023年秋期高二第一学月考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.当31

4x时，复数()2i42izx=−+−+在复数平面内对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义，根据实部和虚部的符号，求复数在复数平面内对应点所在象限.【详解】复数()()()2i42i2421izxxx=−+−

+=−+−，当314x时，3222x，344x，∴240x−，210x−，∴复数()2i42izx=−+−+在复数平面内对应点位于第二象限.故选：B.2.过点()1,2且与直线210xy−+=垂直的直线方程为（）A.230xy−+=B.25

0xy+−=C.230xy+−=D.240xy+−=【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线210xy−+=的斜率为1122−=−，则所求直线的斜率为2−，故所求直线方程为()221yx−=−−，即240xy+−=

，故选：D.【点睛】结论点睛：已知直线l的一般方程为0AxByC++=.（1）与直线l平行的直线的方程可设为()110AxByCCC++=；（2）与直线l垂直的直线的方程可设为20BxAyC−+=.3.已知向量2,,()35=−a与向量153,,2b=

平行，则等于（）A.23B.92C.92−D.23−【答案】C【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示列方程，化简求得的值.详解】由于//abrr，所以153922332===−−.故选：C4.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc

.若,,243ABa===，则b的值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】C【解析】【分析】由正弦定理即可求出.【详解】因为,,243ABa===，由正弦定理得sinsinabAB=，即32sin23sin22aBbA===.故选：C.5.已知一个圆柱的底面直径与高都等于球O

的半径，则该圆柱的表面积与球O的表面积之比为（）A.3:16B.1:4C.3:8D.1:1【答案】C【解析】【【分析】设球的半径为R,分别求出球和圆柱的表面积即可求解.【详解】设球的半径为R,则该圆柱的底面半径为2R，高为R所以圆柱的表面积为：2232222

2RRRR+=,球的表面积为：24R则圆柱的表面积与球的表面积之比为2233248RR=故选：C6.如图，四面体ABCD中，22BD=，AC=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD所成的角是（）A.3B.2C.6D

.4【答案】D【解析】【分析】取CD的中点P，连接,PMPN，则PMBD∥，PNAC∥，解三角形PMN即可得解.【详解】解：取CD的中点P，连接,PMPN，因为M、N分别为BC、AD的中点，所以PMBD∥且122PMBD==，PNAC∥且112PNAC==，则MPN或其

补角即为异面直线AC与BD所成的角，因为2222PNMNPM+==，所以2PNM=，所以4PMNMPN==，即异面直线AC与BD所成的角是4.故选：D.7.若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC==，D，E，F分别是AB，BC，CA

的中点，则下列结论中不正确的是（）A.//BC平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PAE⊥平面ABCD.平面PDF⊥平面ABC【答案】D【解析】【分析】由//DFBC判断A，由,AEPE与BC垂直，证明线面垂直，再结合平行线判断B，根据面面垂直的判定定理判断C，根据正棱锥的性质

判断D．【详解】P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PAPBPC==，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，//DFBC，DF平面PDF，BC平面PDF，//BC平面PDF，故A正确；PAPBPC=

=，E是BC中点，PEBC⊥，AEBC⊥，PEAEE=，,PEAE平面PAE，BC⊥平面PAE，//DFBC，DF⊥∴平面PAE，故B正确；BC⊥平面PAE，BC平面ABC，平面PAE⊥平面ABC，故C正确；设AEDF

O=，连结PO，O不是等边三角形ABC的重心，PO与平面ABC不垂直，平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．故选：D．8.在ABC中，已知ABACABAC+=−，3AB=，点G满足0GAGBGC++=，则向量BG在向量BA方向上的投影为（）．A.3B.3−C.2D

.2−【答案】C【解析】【分析】根据条件得到ABAC⊥以及G为ABC的重心，再结合投影的定义求解结论即可．【详解】解：在ABC中，||||ABACABAC+=−，222222ABABACACABABACAC++=−+，0ABAC=，即ABAC⊥，点G满足0G

AGBGC++=，则G为ABC的重心，向量BG在向量BA方向上的投影为：2||cos||3||||||BABDBABDBGABGBGBDBABA==，221()2BDBAADABBAACBAABAB=−=+

=，向量BG在向量BA方向上的投影为：222||233||ABABAB==，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的

折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为（）A.日成交量的中位数是16B.日成交量超过日平均成交量的有2天C.10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅D.日认购量的方差大于

日成交量的方差【答案】ABC【解析】【分析】结合图形及统计的基础知识逐一判定即可．【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于A，日成

交量的中位数是26，故A错误；对于B，因为日平均成交量为8131626323816629977++++++=，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误；对于C，10月7日认购量的增幅为276112146

%112−，10月7日成交量的增幅为16638337%38−，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C错误；对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确.故选：ABC10.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A和事

件B，满足()()()()Ω32,16,8,20nnAnBnAB====，则下列结论正确的是（）A.()18PAB=B.1()4PAB=C.A与B互斥D.A与B相互独立【答案】AD【解析】【分析】计算出事件A和事件B，以及AB，AB的概率，即可判断A，B；由

于()4,nABAB=，可判断C；分别计算()()(),PAPBPAB的值，看二者的关系，判断D.【详解】因为()Ω32n=，()()()16,8,20nAnBnAB===，所以()()()()168204nABnAnBnAB=+−

=+−=，()()()Ω322012nABnnAB=−=−=，()()()41Ω328nABPABn===，(12332)()Ω)8(nABPABn===，故A正确，B错误；()4,nABABA=

与B不互斥，故C错误；()()()()()()()()()16181111,,Ω2Ω32324842nAnBPAPBPAPBPABnn=========事件A与B相互独立，故D正确.故选：AD.11.已知直线1l：4320xy+−=，2l：()()21510mxmym++−−−=

（mR），则（）A.直线2l过定点()23，B.当10m=时，12ll∥C.当1m=−时，12ll⊥D.当12ll∥时，两直线1l，2l之间的距离为3【答案】ABD【解析】【分析】将直线变形为()5210mxyxy+−+−−=，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即

可代入m值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.【详解】2l：()()21510mxmym++−−−=（mR）变形为()5210mxyxy+−+−−=，由50,210,xyxy+−=−−=则2,3,xy==因此直线2l过定点()2,3，故A正确；当10m=时，1l：432

0xy+−=，2l：129510xy+−=，所以43212951−=−，故两直线平行，故B正确；当1m=−时，1l：4320xy+−=，2l：240xy−+=，因为()41320+−，故两直线不垂直，故C错误；当12ll∥时，则满足2151432mmm+−−−=−，解得10m=，此时1

l：4320xy+−=，2l：129510xy+−=，即43170xy+−=，则两直线间的距离为()22217343−−−=+，故D正确．故选：ABD．12.在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝1

，BD＝2，三棱锥A－BCD的所有顶点均在球O的表面上，若点M、N分别为△BCD与△ABD的重心，直线MN与球O的表面相交于F、G两点，则（）A.三棱锥A－BCD的外接球表面积为3B.点O到线段MN的距离为33C.26||3FG=D.||

:||23FGMN=【答案】ACD【解析】【分析】根据题意三棱锥A－BCD可放在边长为1的正方体中，三棱锥的外接球球心即为正方体的中心，由此即可计算出各边的长度，即可选出答案.【详解】如图所示，三棱锥A－BCD可放在正方体中，故三棱锥的外接球球心即为正方体的中心

，所以23,432RSR===表．A正确.点M、N分别为线段BE、BO的2：1分点，故212||||||333MNOEAC===，又因22235,2222BOEOBEBOEOBE===+=，，所以在RtBOE△中，点O到线段MN的距离为1336ONBO==，

B错误.所以22223326||2||2263FGRON=−=−=，C正确.262||:||:2333FGMN==．D正确.故选：ACD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在某次数学测验中，5位学生的成绩分别为：

70，85，t，82，75，若他们的平均成绩为81，则他们成绩的75%分位数为________．【答案】85【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】由题意知70858275581t++++=，解得40531293t=−=，把这组数据按从小到大的顺序记为：70，

75，82，85，93，指数50.753.75=，这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第四个数，因此，这组数据的75%分位数为85．故答案为：85．14.设,,ABC为三个随机事件，若A与B互斥，B与C对立，且1()4PA=，()23PC=，则()PAB+=______

_______．【答案】712【解析】【分析】由B与C对立可求出()PB，再由A与B互斥，可得()()()PABPAPB+=+求解.【详解】B与C对立，()()211133PBPC=−=−=，A与B互斥，117()()()4312PABPAPB+

=+=+=.故答案为：712.15.经过点()1,3，且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是______.【答案】30xy−=或40xy+−=【解析】【分析】分类讨论：当直线过原点时，可得斜率，可得方程，当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=，代入点()1,3P可得a的方程，解方

程可得a值，可得直线的方程，整理为一般式即可.【详解】当直线过原点时，斜率为30310−=−，故方程为3yx=，整理为一般式可得30xy−=；当直线不过原点时，设直线方程为1xyaa+=，代入点()1,3P可得13a+=，解得4a

=，故直线方程为4xy+=，整理为一般式可得40xy+−＝，综上可得直线的方程为：30xy−=或40xy+−=，故答案为：30xy−=或40xy+−=.【点睛】本小题主要考查直线的截距式方程、一般式方程，属于基础题.16.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，棱长为2，1P、2P

、3P、4P、5P、6P、7P、8P、9P、10P、11P、12P分别为各棱的中点，则()11,2,,12iAAAPi=的不同值有______个．【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出1AA和()1,2

,,12iAPi=，利用数量积即可得到答案【详解】解：以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0A，()12,0,2A，()11,0,0P，()22,1,0

P，()31,2,0P，()40,1,0P，()52,0,1P，()62,2,1P，()70,2,1P，()80,0,1P，()91,0,2P，()102,1,2P，()111,2,2P，()120,1,2P，所以()10,0,2AA=，()11,0,

0AP=−，()20,1,0AP=−，()31,2,0AP=−，()42,1,0AP=−，()50,0,1AP=，()60,2,1AP=，()72,2,1AP=−，()82,0,1AP=−，()91,0,2AP=−，()

100,1,2AP=，()111,2,2AP=−，()122,1,2AP=−，所以110,AAAP=120,AAAP=130,AAAP=140,AAAP=152,AAAP=162,AAAP=172,AAAP=182,AAAP=19

4,AAAP=1104,AAAP=1114,AAAP=1124,AAAP=则()11,2,,12iAAAPi=有3个不同的值，故答案为：3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2).

（1）求AB的中垂线方程；（2）求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；（3）一束光线从B点射向（2）中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程.【答案】（1）34230xy−−=.（2）4310xy++=.（

3）1127740xy++=.【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求得AB的中点坐标，再利用两直线垂直其斜率间的关系求得AB的中垂线的斜率，再由直线的点斜式方程求得答案；（2）根据平行得出斜率，从而由点斜式求出直线方程；（3）求得点B关于直线l的对称点B'的坐标，然后求出斜率，再由

点斜式求出直线方程.【小问1详解】解：因为82625,222+−+==−，所以AB的中点坐标为(5,2)−，又624,823ABk−−==−−所以AB的中垂线的斜率为34，故AB的中垂线的方程为32(5)4yx+=−

，即34230xy−−=；【小问2详解】解：由（1）得4,3ABk=−所以直线l的方程为43(2)3yx+=−−，即4x+3y+1=0；【小问3详解】解：设B（2，2）关于直线l的对称点B'（m，n），∴232422431022nmmn−=−

++++=，解得14585mn=−=−，∴148(,),55B−−'86115142785BAk−+==−+；由点斜式可得反射光线所在直线的方程为()116827yx+=−−，整理得11x+27y+74=0.18.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记

“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取.甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为45，23，34，在面试部分合格的概率分别为12，23，35，所有考试是否合格相互之间没有影响.（1）假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，谁被录

取的可能性最大?（2）当甲、乙、丙三人都参加了笔试和面试之后，不考虑其它因素，求三人中至少有一人被录取的概率.【答案】（1）丙（2）4960【解析】【分析】（1）记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A，B，C，且A，B，C相互独立，甲、乙、丙三人被录取即三人即通过笔试部分又通过面试部分，由独立

事件概率的乘法公式计算得出()PA，()PB，()PC，比较概率的大小即可得出答案；（2）记三人中至少有一人被录取为事件D，则D与ABC互为对立事件，从而根据对立事件的计算公式与独立事件概率的乘法公式计算得出答案.【小问1详解】记甲、乙、丙三人被录取分别为事件A，B，C，则A，B，C相

互独立，则()412525PA==，()224339PB==，()3394520PC==，()()()PAPBPC，丙被录取的可能性最大.【小问2详解】记三人中至少有一人被录取为事件D，则D

与ABC互对立事件，()()()()()24949111111592060PDPCPPPCABAB=−=−=−−−−=.为19.在四棱锥PABCD−中，PD⊥底面,,1,2,3ABCDCDABADDCCBABDP=====∥．（1）证明：BDPA⊥

；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）作DEAB⊥于E，CFAB⊥于F，利用勾股定理证明ADBD⊥，根据线面垂直的性质可得PDBD⊥，从而可得BD⊥平面PAD，再根据线面垂直的性质即

可得证；（2）以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD中，作DEAB⊥于E，CFAB⊥于F，因为//,1,2CDABADCDCBAB====，所以四边形A

BCD等腰梯形，所以12AEBF==，故32DE=，223BDDEBE=+=，所以222ADBDAB+=，所以ADBD⊥，因为PD⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD⊥，又=PDADD，所以BD⊥平面PAD，又因为PA平面PAD，为所以BDPA⊥；【小问2详解】解：如图

，以点D为原点建立空间直角坐标系，3BD=，则()()()1,0,0,0,3,0,0,0,3ABP，则()()()1,0,3,0,3,3,0,0,3APBPDP=−=−=，设平面PAB的法向量(),,nxyz=，则有30{33

0nAPxznBPyz=−+==−+=，可取()3,1,1n=，则5cos,5nDPnDPnDP==，所以PD与平面PAB所成角的正弦值为55.20.A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件

某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位:克》作为样本.样本数据的茎叶图如图所示.已知A药店根据中药材的质量（单位:克）的往定性选择药厂（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材?（2）若将

抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表:每件中药材的质量（单位:克）购买价格（单位:元/件）15n501520na20n100（i）估计A药店所购买的100件中药材的总质量;（ii）若A药店所购买的

100件中药材的总费用不超过7000元.求a的最大值.【答案】（1）见解析；（2）①1500克，②75【解析】【分析】（1）分别计算出甲、乙两家药厂抽样数据均值和方差，由此选择乙厂的中药材.（2）①根据（1）中抽样样本的均值，作为n的值，乘以100得到总质量.②计算出15,1520,20

nnn的概率，利用总价格列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】（1）x甲15=，S甲244.4=，S乙226.8=，所以选择乙厂的中药材.（2）①从乙药厂所抽取的每件中药材的质量的平均值为()17

911121217182121221510x=+++++++++=，故A药店所购买的100件中药材的总质量的估计值为100151500=克②乙药厂所提供的每件中药材的质量15n的概率为50.5,152010n=的概率为20.210=，2

0n的概率为30.310=则A药店所购买的100件中药材的总费用为()100500.50.21000.3a++依题意得()100500.50.21000.37000a++解得75a；所以a的最大值为

75的【点睛】本小题主要考查概率统计的知识.要选择合适要药厂，主要通过平均数和方差来决定，方差越小越稳定.属于中档题.21.如图，在长方体1111ABCDABCD−中11AAAD==，E为CD中点．（Ⅰ）求证：11BEAD

⊥；（Ⅱ）在棱1AA上是否存在一点P，使得DP//平面1BAE,若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角11ABEA−−的大小为30，求AB的长.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在点P，使得DP//平面1BAE，此时AP＝12（Ⅲ）AB=2【解析】【分析】（Ⅰ）建立空间直角

坐标系，通过坐标运算证明11BEAD⊥；（Ⅱ）假设存在点P并设出坐标，因为DP//平面1BAE,则DP与平面1BAE的法向量垂直可求解；（Ⅲ）利用法向量的夹角公式求解.【详解】（Ⅰ）以A为原点，AB，AD，1AA的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间

直角坐标系如图，设AB＝a，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E,1,02a，1(,0,1)Ba，故1AD＝(0,1,1)，1BE＝,1,12a−−−，1AB＝(a,0,1)，AE＝,1,

02a.∵1AD·1BE＝－2a×0＋1×1＋(－1)×1＝0，11⊥BEAD.（Ⅱ）假设在棱AA1上存在一点0(0,0,)Pz0(01)z，使得DP//平面B1AE.此时DP＝(0，－1，0z)．又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z

)．由n⊥1AB，n⊥AE，得002axzaxy＋＝＋＝，取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1,,2aa−−要使DP//平面B1AE，只要n⊥DP，有2a－a0z＝0，解得0z＝12.又DP平面B1AE，∴存在点P，满足DP//平面B

1AE，此时AP＝12.（Ⅲ）连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D∵B1C//A1D，∴AD1⊥B1C.又由（Ⅰ）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1，∴1AD是平面A1B1E的一个法向量，此时1AD＝(0

,1,1)．设1AD与n所成的角为θ，则cosθ＝11nnADAD＝222214aaaa−−++.∵二面角A－B1E－A1的大小为30，.∴|cosθ|＝cos30，即2325214aa+＝32，解得a＝2，即AB的长为2.22.如图，某植物园内有一块圆形区域，在其内接四

边形ABCD内种植了两种花卉，其中ABD△区域内种植兰花，BCD△区域内种植丁香花，对角线BD是一条观赏小道．测量可知边界60mAB=，20mBC=，40mADCD==．（1）求观赏小道BD的长及种植区

域ABCD的面积；（2）因地理条件限制，种植丁香花的边界BC，CD不能变更，而边界AB，AD可以调整，使得种植兰花的面积有所增加，请在BAD上设计一点P，使得种植区域改造后的新区域（四边形PBCD）的面积最大，并求出这个面积的最大值．【答案】（1）207mBD=，A

BCD面积为28003m；（2）当BDP△为等边三角形时，新区域PBCD的面积最大，最大值为29003m．【解析】【分析】（1）设mBDxc=，利用余弦定理和圆的内接四边形对角互补，建立方程求解即可；（2）利用同弧所对的

圆周角相等，得60PA==，设cmPDm=，()cm,0PBnmn=，则13sin24BDPSmnPmn==，接着利用余弦定理和基本不等式可求最大值.【详解】（1）设mBDxc=，则由余弦定理得2224060cos24060xA+−=，222

4020cos24020xC+−=．由四边形ABCD是圆内接四边形得180AC+=，故coscos0AC+=，即2222224060402002406024020xx+−+−+=，解得207x=（负值舍去），即207cmBD=．从而1cos2A=，所以

60A=，120C=，故114060sin604020sin120800322ABCDS=+=．答：观赏小道BD的长为207m，种植区域ABCD的面积为28003m．（2）由（1）及“同弧所对的圆

周角相等”得60PA==．设cmPDm=，()cm,0PBnmn=，则13sin24BDPSmnPmn==．在BDP△中，由余弦定理有()222222072cosmnmnPmnmnmn=+−=+−434433BDPmnS==，故7003BD

PS（当且仅当207mn==时等号成立）．而14020sin12020032BCDS==，因此，种植区域改造后的新区域PBCD的面积的最大值为29003cm．答：当BDP△为等边三角形时，新区域PBCD的面积最大，最大值为2

9003m．【点睛】本题考查考查余弦定理的运用，基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com