【文档说明】湖南省郴州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.186 MB，由小赞的店铺上传

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郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷高二数学（试题卷）注意事项：1．试卷分试题卷和答题卡，试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证

号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上．3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共

8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合220Axxx=−−，集合28xBx=N，则AB=（）A.12xx−B.13xx−C.

0,1D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式和指数不等式可分别求得集合,AB，根据交集定义可得结果.【详解】由220xx−−得：12x−，即12Axx=−；由28x得：3x，即30,1,2,3Bxx==N；0,1A

B=.故选：C.2.为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为45，乙合格的概率为23，则甲、乙至

少有一人合格的概率为（）A.23B.715C.815D.1415【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出甲乙都不合格概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，测试中，甲乙是否合格相互独立，甲乙两人都不合格的概率为421(1)(1)5315−−=，所以甲、乙至少有一人

合格的概率为11411515−=.故选：D3.在等差数列na中，已知54a=，2610aa+=，则数列na的公差为（）A.1−B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，根据54a=，2610aa+=可得答案.【详解】设等差数列na的公差为

d，由题意得51261424106=+=+=+=adaadaa，即118=−=da.故选：A.4.正四面体P-ABC中，M为PC的中点，则异面直线AM与PB所成角的余弦值为（）A16B.26C.36D.66【答案】C【解析】【分析】取BC中点N，连接AN，MN，

则//MNPB，AMN是异面直线AM与PB所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AM与PB所成角的余弦值．【详解】解：BC中点N，连接AN，MN，设正四面体的棱长为2，则413AMAN==−=，1MN=，且//MNPB，∴AMN是异面直线AM与PB所成角（

或所成角的补角），故异面直线AM与PB所成角的余弦值为：的.2223133cos26231AMMNANAMNAMMN+−+−===．故选：C．5.为进行学考复习，某高一学生将地理、历史、化学、生物4科的作业安排在周六，周日集

中突破，要求每天至少完成一科，则完成作业的不同方式种数为（）A.48B.56C.64D.72【答案】D【解析】【分析】每天至少完成一门学科，即一天一门一天三门，或两天各两门，注意同一天完成的学科也有顺序.【详解】分类讨论，当一天完成一科，一天完成三

科，情况有113423CCA48=种，当两天各复习两科时，情况有222422CAA24=种，因此一共72种方法.故选：D.6.如图，直角梯形ABCD中ABCD∥，ABAD⊥，1AB=，3AD=，2CD=，则BCBD=（）A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】先用向量，A

BAD表示,BCBD，再根据数量积的运算律和定义计算BCBD.【详解】由图形可得2BCBAADDCABADABABAD=++=−++=+，BDADAB=−，所以()()222BCBDADABADABADAB=+−=

−=，故选：D.7.3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．

某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠时间()8,1XN，则该校每天平均睡眠时间为67小时的学生人数约为（）（结果四舍五入保留整数）附：若()2,XN，则()0.68

27PX−+=，()220.9545PX−+=，()330.9973PX−+=．A.64B.408C.472D.815【答案】B【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合3原则，可求得()670.1359PX=，由此

可确定对应的学生人数.【详解】()8,1XN，8=，211==，()()0.95450.68276720.13592PXPX−=−−==，该校每天平均睡眠时间为67小时的学生人

数约为30000.1359408.故选：B.8.过点()0,b作曲线exy=的切线有且只有两条，则b的取值范围为（）A.()0,1B.(),1−C.(,1−D.(0,1【答案】A【解析】【分析】设切点()00,Pxy，进而求得切线方程，进而得到()00e1xbx=−，构造函数()()

1exgxx=−分析()()1exgxx=−的单调性与取值范围即可判断()00e1xbx=−有且仅有两根时b的取值范围即可【详解】设切点为()00,Pxy，exy=，故过()00,Pxy的切线方程为()000eexxyxx−=−

，即()000e1exxyxx=+−.故()00e1xbx=−有且仅有两根.设()()1exgxx=−，则()exxgx=−，令()0gx则0x，令()0gx则0x，且()001eg==，又当0x时，()0gx，()10g=.故()00e1

xbx=−有且仅有两根则b的取值范围为()0,1故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数z满足()1i3iz+=−，（其中i为虚数单位）（）A.5z

=B.复数z的虚部为2C.5zz=D.复数z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【解析】【分析】由复数除法运算可求得z，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可.【详解】()()()()3i1i3i24i12i1i1i1i

2z−−−−====−++−；对于A，()22125z=+−=，A正确；对于B，由虚部定义知：z的虚部为2−，B错误；对于C，12iz=+，()()12i12i5zz=−+=，C正确；对于D，z对应的点的坐标为()1,2−，位于第四象限，D正确.故选：ACD.10.一个口

袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，下面几个命题中正确的是（）A.如果随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是35B.如果是不放回地抽取2球，则取出两个红球和取出两个白球是对立事件C.如果是有放回地抽取2球，则取出1个红球1个白球的概

率是625D.如果是不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是12【答案】AD【解析】【分析】随机取出一球，易求出第一次摸到红球的概率可判断A；由对立事件的概念可判断B；有放回地抽取2球，则求出任取一个球分别求出取到红球和白球的概率，由独立事件的乘法公式

可判断C；由条件概率的计算公式可判断D.【详解】一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是35，故A正确；不放回地抽取2球，取出两个红球和至少一个白球是对立事件，故B不正确；有

放回地抽取2球，则任取一个球取到红球的概率为35，白球的概率为25，所以取出1个红球1个白球的概率是321225525=，所以C不正确；不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球为事件A，第2次取出红球为事件B，所以()()()32154325P

ABPABPA===.所以D正确；故选：AD.11.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M在底面正方形ABCD内运动，则下列结论正确的是（）A.若122AM=，则M点轨迹长度为πB.若1AM∥平面11DB

C，则M点的轨迹长度为2C.若111AMDB⊥，则M点的轨迹长度为2D.若1AM平面1ADB，则三棱锥11BMDC−的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】若122AM=，则在平面ABCD上M点的轨迹是以A为圆心、圆心角为DAB、半径为2的圆弧，求出长度可判断A；连接11、、ABADD

B，由平面11//DBC平面ADB，得M点在线段DB上，求出长度可判断B；若111AMDB⊥，得出BD⊥平面1AAM，则M点的轨迹为AM，求出长度可判断C；若1AM平面1ADB，M在线段DB上，利用//DB平面11DBC、三棱锥1111−−=BMDCMBD

CVV，可判断D.【详解】对于A，若122AM=，则在平面ABCD上M点的轨迹是以A为圆心、圆心角为π2DAB=、半径为2211842−=−=AMAA的圆弧，其长度为12π2π4=，故正确；对于B，连接11、、ABADDB，因为11//

DBBD，DB平面11DBC，11DB平面11DBC，所以//DB平面11DBC，因为11//ABDC，1AB平面11DBC，1DC平面11DBC，所以1//AB平面11DBC，且1ABBDB=，所以平面11//DBC平面ADB，当M平面1ADB即1AM平面1ADB时，有1//A

M平面11DBC，此时M点在线段DB上，轨迹长度为22，故错误；的对于C，若111AMDB⊥，因为11//BDDB，所以1AMBD⊥，因为ABD△为等腰直角三角形，所以M为BD的中点，22AM=，因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，且1AAAMA=，所以BD⊥平面1A

AM，则M点的轨迹为AC，其长度为22，故错误；对于D，若1AM平面1ADB，则M在线段DB上，因为//DB平面11DBC，所以直线DB上每一点到平面11DBC的距离都相等，且底面11BDC的面积不变，所以三棱锥11−MBDC的体积不变，由三棱锥1111−−=BMDCMBDC

VV，即11BMDC−的体积即为定值，故正确.故选：AD.12.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图()1n−中每个正六边形的边长的12．记图（n）中所有正六边

形的边长之和为na，则下列说法正确的是（）A.图（4）中共有294个正六边形B.410294a=C.na是一个递增的等比数列D.记nS为数列na的前n项和，则对任意的*Nn且2n，都有1nnaS−【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列

的性质求解即可.【详解】对于A，由图可知，图()1至图()n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图()4中共有37343=个正六边形，A错误；对于B，由题可知，图()n中每个正六边形的边长为112n−，11117676

22nnnna−−−==，3471029624a==，B正确；对于C，1762nna−=是底数大于1的指数型函数，na是一个递增的等比数列，C正确；对于D，17

62nna−=，16a=，72q=，7612712nnS−=−，当*Nn且2n时，1111117776112121218277226607225512nnnnnnnaS−−−−−−−−+

−=−=+=−对任意的*Nn且2n，都有1nnaS−，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.()513x−的展开式中的3x的系数为_____

____．【答案】270−【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】()513x−的展开式的通项为155C(3)C(3)rrrrrrTxx+=−=−，令3r=，所以3x的系数为335C(3)270−=−.故答案为：270−14.某工厂

从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为_________．【答案】6%【解析】【分析】根据题意利用全概率公式求解即可.【详解】设事件1A表示甲厂中的配件，则()10.4

PA=，事件2A表示乙厂中的配件，则()20.6PA=，事件B表示次品的配件，则()10.09PBA=，()20.04PBA=，()()()()()12120.40.090.60.040.066%.PBPAPBAPAPBA=+=+=

=故答案为：6%.15.双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右顶点为,AB，过原点的直线l与双曲线C交于,MN两点，若,AMAN的斜率满足2AMANkk=，则双曲线C的离心率为_________．【答案】3【解析】【分析】由对称

性可证得四边形AMBN为平行四边形，可知2AMANAMBMkkkk==；设()00,Mxy，利用两点连线斜率公式可化简得到222AMBMbkka==，由221bea=+可求得双曲线的离心率.【详解】由题意知：(),0Aa−，(),0Ba，若O为坐标原点，则O

AOB=，=OMON，四边形AMBN为平行四边形，//ANBM，即ANBMkk=，2AMANAMBMkkkk==；设()00,Mxy，则()2200221,0xyabab−=，220222000222220000

12AMBMxbayyybkkxaxaxaxaa−=====+−−−，双曲线C的离心率2213bea=+=.故答案为：3.16.函数()()()e1lnRmxfxmxxm=+−−．若对任意0x，都有()0fx，则实数m的取值范围为______

___．【答案】1,e+【解析】【分析】将条件转化为elnmxmxxx++，然后设()()ln0gxxxx=+，则问题转化为()()emxggx，进而根据函数()gx为增函数得到e0mxx，最后通过

分离参数求得答案.【详解】由题意，()()ln0lneemxmxmxxxmxxfxx+−+++=，设()()ln0gxxxx=+，则问题可转化为()()emxggx.因为()lngxxx=+是()0,+上的增函数（增+增），所以()lne00mxxxm

xx恒成立.设()()ln0xhxxx=，则()21lnxhxx−=，()0,ex时()0hx，()hx单调递增，()e,x+时()0hx，()hx单调递减，所以()()max1

eehxh==，于是1[,)em+.故答案为：1[,)e+.【点睛】本题的破解点在于设()()ln0gxxxx=+，进而得到()()emxggx，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

．17.记正项数列na的前n项和为nS，已知12a=，．从①232nnnS+=；②121nnanan++=+；③2211nnnnaaaa++−=+这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：（1）求数列na的通项公式；（2）求数列()11nnaa−

的前n项的和nT，求证：1nT．【答案】（1）1nan=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）选择①利用()12−=−nnnaSSn可得答案；选择②利用累乘法可得答案；选择③利用等差数列的定义可得答

案；（2）利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】选择①，当2n时1nnnaSS−=−()()22131322nnnn−+−+=−1n=+，而1n=时，2113122a++==满足左式，∴1nan=+．选择②，123211232114321132nnnn

nnnaaaaannaanaaaaann−−−−−+===+−，选择③，由()()1110nnnnaaaa+++−−=，得11nnaa+−=，从而得1nan=+．【小问2详解】因为()11111(1)

1nnaannnn==−−++，所以11111111112233411nTnnn=−+−+−++−=−++因为*Nn，所以101n+，∴1111n−+.18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足coscos2cosbCc

BaC+=．（1）求角C的值；（2）若2c=，1ABCS=△，求ABC的周长．【答案】（1）4C=（2）222+【解析】【分析】(1)利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简可求C；(2)由三角形面积公式可求ab，再结合余弦定理求出ab+可得ABC的周长．【小问1详解】由条件及正弦

定理可得：2sincossincossincosACBCCB=+∴2cossinsincossincossinCACBBCA=+=∵()0,A∴sin0A∴2cos2C=，()0,C，∴4C=【小问2详解】∵1sin12ABCSa

bC==∴22ab=由余弦定理：222222cos22cababCabab=+−=+−∴226ab+=结合22ab=可得：22ab+=+，则ABC的周长222+．19.如图，直三棱柱111ABCABC−中，

ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．（1）证明：CO⊥平面11ABBA；（2）若直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，求平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）57．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的

判定定理证明即可；（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11ABBA，又直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，可得12BB=，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．【详解】（1）ABC是正三角形，O为AB的中点

，COAB⊥．又111ABCABC−是直三棱柱，1AA⊥平面ABC，1AACO⊥．又1ABAAA=，CO⊥平面11ABBA．（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11ABBA，∴直线1BC与平面11ABBA所成的角为1CBO，115tan5CB

O=．ABC是边长为2的正三角形，则3CO=，15OB=．直角1BBO中，1OB=，15OB=，12BB=．建立如图所示坐标系，则()1,0,0B，()1,0,0A−，()11,2,0A−，()11,2,0B，()10,2,3C．()12,2,0BA=−，()11,2,3BC=

−，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则在11·0·0mBAmBC==，即220230xyxyz−+=−++=，解得平面11ABC的法向量为()3,3,1m=−．()2,0,0AB=，()11,2,3AC=，设平面1ABC的法向量为(),

,nxyz=，则1·0·0nABnAC==，即20230xxyz=++=，解得平面1ABC的法向量为()0,3,2n=−．设平面11ABC与平面1ABC夹角为，则5cos7mnmn==．平面11ABC与平面1ABC夹角

的余弦值为57．20.溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某

学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：性别了解安全知识的程度得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生3050（1）现从得分超过85分的学生中根据性别

采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望()EX．（2）根据小概率值0.001=的独立性检验，能否推断该校高二年级男生

和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．附：参考公式()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．下表是2独立性检验中几个常用的

小概率值和相应的临界值a0.10.050.010.0050.001ax2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）分布列见解析，2；（2）性别与了解安全知识的程度有关，答案见解析.【解析

】【分析】（1）首先按照分层抽样比例得到抽取男生4人，女生2人，然后得出X的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列，再利用期望计算公式求解即可；（2）利用独立性检验相关公式求解出观测值，再根据临界值表得出结论，进一步根据相关性结合表中数据分析了解安全知识

的程度与性别的差异即可.【小问1详解】200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得：男生人数：10064150=人，女生人数：5062150=人，故X的

所有可能取值为1，2，3，则()1242364111205CCPXC====，()2142366232205CCPXC====，()3042364113205CCPXC====．所以X的分布列为：X123P153515数学期望()1311232555EX=++=；

【小问2详解】根据列联表可：()2220020503010010011.1110.82812080501509−==，根据小概率值0.001=的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．由表中数据可

得男生中得分不超过85分的所占比例为16，女生中得分不超过85分的所占比例为38，女生的比例为男生的2.25倍，根据频率稳定概率的原理，我们认为该校女生和男生在了解安全知识的程度方面存在差异．21.已知椭圆C：()22

2210xyabab+=的离心率为32，左顶点坐标为()2,0−．（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,1P−的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点()0,1B，问：直线BM，BN的斜率之和BM

BNkk+是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）BMBNkk+为定值，定值为-2【解析】【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系

，可得2b的值，即可得答案.（2）当直线l斜率存在时，设直线l：ykxm=+，与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,xxxx+的表达式，根据斜率公式，求得BMBNkk+的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：1x=，所以120yy+=，化简计算，可得BMB

Nkk+为定值，即可得答案.【小问1详解】由题意得2a=又32cea==，所以3c=所以2221bac=−=，所以椭圆C：2214xy+=．【小问2详解】当直线l斜率存在时，设直线l：ykxm=+，（其中1mk+=−），()11,Mxy，()22,Nxy，联立2244ykxm

xy=++=，消y可得()222418440kxkmxm+++−=，则()221641km=+−()16320kk=−，解得0k或23k，12221228414441kmxxkmxxk−+=+

−=+，所以121212121111BMBNyykxmkxmkkxxxx−−+−+−+=+=+()()122128212144xxkmkmkmxxm+−=+−=+−−222211kmkkmm−=+==−++（定值）当直线l的斜率不存

在时，直线l：1x=，则M，N关于x轴对称，所以120yy+=，所以1211211BMBNyykk−−+=+=−，综上可得2BMBNkk+=−（定值）22.已知()21ln22fxaxxx=+−（Ra且0a），()cossingxxxx=+．（1）求()gx在,−上的最小值；（2）如

果对任意的1,x−，存在21,xee，使得()()212fxagxx−≤成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）-1（2）()1,00,2−+【解析】【分析】（1

）对()gx求导，因为()gx为偶函数，求出()gx在()0,x的单调性，即可求出,−上的最小值；（2）由（1）知，()gx在,−上的最小值为1−，所以21,xee，使得()221fxax−−≤成立，即()222221ln2axxxx−−≥成立，即2

222212lnxxaxx−−≥，设()212lnxxxxx−=−，1,xee，即只需()minax≥即可．【小问1详解】()sinsincoscosgxxxxxxx=−++=，显

然()gx为偶函数，当0x时，0,2x时，cos0xx，()0gx，∴()gx0,2单调递增；,2x时，cos0xx，()0gx，∴()gx在,2ππ单调递减；()01g=，22g=，

()1g=−，∴()gx在()0,上的最小值为1−．由偶函数图象的对称性可知()gx在(),−上的最小值为1−．【小问2详解】先证ln1−xx，设()ln1hxxx=−+，则()111xhxxx−=−=，令()001hxx，令()01hxx

，∴()hx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减．()()10hxh=故ln1−xx①恒成立．由题意可得21,xee，使得()221fxax−−≤成立，即()222221ln2axxxx−−≥成立．在由①可知22ln10xx−≥，参变分离得2222212

lnxxaxx−−≥，设()212lnxxxxx−=−，1,xee，即只需()minax≥即可．()()()()()()2221111ln1ln122'lnlnxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−−+==−−由①

知ln1−xx得ln1xx−−，∴1114ln111202222xxxxxx−−++−+=−=≥令()'01xxe，令()1'01xxe，∴()x在1,1e上单调递减，在()1,e上单调递增．∴()()min112x==−，

∴12a−，又已知0a故a的取值范围为()1,00,2−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com