【文档说明】湖南省郴州市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（解析版）.docx，共(21)页，1.186 MB，由小赞的店铺上传

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郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷高二数学（试题卷）注意事项：1．试卷分试题卷和答题卡，试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分．考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上．3．考生作答时，选择题

和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．1.集合220Axxx=−−，集合28xBx=N，则AB=（）A.12xx−B.13xx−C.0,1D.0,1,2【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式和指数不等式可分别求得集合,AB，根据交集定义可得结果.【详解】

由220xx−−得：12x−，即12Axx=−；由28x得：3x，即30,1,2,3Bxx==N；0,1AB=.故选：C.2.为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、

劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为45，乙合格的概率为23，则甲、乙至少有一人合格的概率为（）A.23B.715C.815D.1415【

答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出甲乙都不合格概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，测试中，甲乙是否合格相互独立，甲乙两人都不合格的概率为421(1)(1)5315−−=，所以甲、乙至少有一人合格的概

率为11411515−=.故选：D3.在等差数列na中，已知54a=，2610aa+=，则数列na的公差为（）A.1−B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，根

据54a=，2610aa+=可得答案.【详解】设等差数列na的公差为d，由题意得51261424106=+=+=+=adaadaa，即118=−=da.故选：A.4.正四面体P-ABC中，M为PC的中点，则异面直线AM与PB所成角的余弦值为（）A16B

.26C.36D.66【答案】C【解析】【分析】取BC中点N，连接AN，MN，则//MNPB，AMN是异面直线AM与PB所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AM与PB所成角的余弦值．【详解】解：BC中点N，连接A

N，MN，设正四面体的棱长为2，则413AMAN==−=，1MN=，且//MNPB，∴AMN是异面直线AM与PB所成角（或所成角的补角），故异面直线AM与PB所成角的余弦值为：的.2223133cos26231AMMNANAMNAMMN+−+−===

．故选：C．5.为进行学考复习，某高一学生将地理、历史、化学、生物4科的作业安排在周六，周日集中突破，要求每天至少完成一科，则完成作业的不同方式种数为（）A.48B.56C.64D.72【答案】D【解析】【分析】每天至少完成一门学科，即一天

一门一天三门，或两天各两门，注意同一天完成的学科也有顺序.【详解】分类讨论，当一天完成一科，一天完成三科，情况有113423CCA48=种，当两天各复习两科时，情况有222422CAA24=种，因此一共72种方法.故选：D.6.如图，直角

梯形ABCD中ABCD∥，ABAD⊥，1AB=，3AD=，2CD=，则BCBD=（）A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】先用向量，ABAD表示,BCBD，再根据数量积的运算律和定义计算BCBD.【详解】由图形可得2BCBAADDCABADABABAD

=++=−++=+，BDADAB=−，所以()()222BCBDADABADABADAB=+−=−=，故选：D.7.3月21日是世界睡眠日，2022年世界睡眠日的中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉

教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校3000名学生平均每天的睡眠时间()8,1XN，则该校每天平均睡眠时间为67小时的

学生人数约为（）（结果四舍五入保留整数）附：若()2,XN，则()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=，()330.9973PX−+=．A.64B.408C.472D.815【答案】B【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合3原则，可求得()670.1359PX=，由此可确定对应的学生人数.【详解】()8,1XN，8=，211==，()()0.95450.68276720.13592PXPX−=−−==，该校每天平均睡眠时间为6

7小时的学生人数约为30000.1359408.故选：B.8.过点()0,b作曲线exy=的切线有且只有两条，则b的取值范围为（）A.()0,1B.(),1−C.(,1−D.(0,1【答

案】A【解析】【分析】设切点()00,Pxy，进而求得切线方程，进而得到()00e1xbx=−，构造函数()()1exgxx=−分析()()1exgxx=−的单调性与取值范围即可判断()00e1xbx=−有且

仅有两根时b的取值范围即可【详解】设切点为()00,Pxy，exy=，故过()00,Pxy的切线方程为()000eexxyxx−=−，即()000e1exxyxx=+−.故()00e1xbx=−有且仅有两根.设()()1exgxx=−，则()exxgx

=−，令()0gx则0x，令()0gx则0x，且()001eg==，又当0x时，()0gx，()10g=.故()00e1xbx=−有且仅有两根则b的取值范围为()0,1故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数z满足()1i3iz+=−，（其中i为虚数单位）（）A.5z=B.复数z的虚部为2C.5zz=D.复数z在复平面内对应的点位于

第四象限【答案】ACD【解析】【分析】由复数除法运算可求得z，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可.【详解】()()()()3i1i3i24i12i1i1i1i2z−−−−====−++−；对于A，()22125z=+−=，A正确；对于B，由虚部定义知：z的虚部为2

−，B错误；对于C，12iz=+，()()12i12i5zz=−+=，C正确；对于D，z对应的点的坐标为()1,2−，位于第四象限，D正确.故选：ACD.10.一个口袋中有大小形状完全相同的3个红

球和2个白球，下面几个命题中正确的是（）A.如果随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是35B.如果是不放回地抽取2球，则取出两个红球和取出两个白球是对立事件C.如果是有放回地抽取2球，则取出1个红球1个白球的概率是625D.如果是不放回地抽

取2个球，则在第1次取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是12【答案】AD【解析】【分析】随机取出一球，易求出第一次摸到红球的概率可判断A；由对立事件的概念可判断B；有放回地抽取2球，则求出任取一

个球分别求出取到红球和白球的概率，由独立事件的乘法公式可判断C；由条件概率的计算公式可判断D.【详解】一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是35，故A正确；不放回地抽取2球，取出两个红球和至少一个白球是对立事件，故B不正确；有放回地抽取2球，则任取

一个球取到红球的概率为35，白球的概率为25，所以取出1个红球1个白球的概率是321225525=，所以C不正确；不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球为事件A，第2次取出红球为事件B，所以()()()32154325PABPABPA===.所以D正确；故选：AD

.11.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M在底面正方形ABCD内运动，则下列结论正确的是（）A.若122AM=，则M点轨迹长度为πB.若1AM∥平面11DBC，则M点的轨迹长度为2C.若111AMDB⊥，则M点的轨迹长度为2D.若1AM平面1ADB，则三棱

锥11BMDC−的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】若122AM=，则在平面ABCD上M点的轨迹是以A为圆心、圆心角为DAB、半径为2的圆弧，求出长度可判断A；连接11、、ABADDB，由平面11//DBC平面ADB，得M点在线段D

B上，求出长度可判断B；若111AMDB⊥，得出BD⊥平面1AAM，则M点的轨迹为AM，求出长度可判断C；若1AM平面1ADB，M在线段DB上，利用//DB平面11DBC、三棱锥1111−−=BMDCMBDCVV，可判断D.【详解】对于A，若122AM=，则在平面ABCD上

M点的轨迹是以A为圆心、圆心角为π2DAB=、半径为2211842−=−=AMAA的圆弧，其长度为12π2π4=，故正确；对于B，连接11、、ABADDB，因为11//DBBD，DB平面11DBC，11DB平面11DBC，所以//DB平面11DBC，因为11//AB

DC，1AB平面11DBC，1DC平面11DBC，所以1//AB平面11DBC，且1ABBDB=，所以平面11//DBC平面ADB，当M平面1ADB即1AM平面1ADB时，有1//AM平面11DBC，此时M点在线段DB上，轨迹长度为22

，故错误；的对于C，若111AMDB⊥，因为11//BDDB，所以1AMBD⊥，因为ABD△为等腰直角三角形，所以M为BD的中点，22AM=，因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，且1AAAMA=，所以BD⊥平面1AAM，则M点的轨迹为AC，其长度为22，故

错误；对于D，若1AM平面1ADB，则M在线段DB上，因为//DB平面11DBC，所以直线DB上每一点到平面11DBC的距离都相等，且底面11BDC的面积不变，所以三棱锥11−MBDC的体积不变，由三棱锥1111−−=BMDCMB

DCVV，即11BMDC−的体积即为定值，故正确.故选：AD.12.2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图()1n−中每个正六边形的边长的12．

记图（n）中所有正六边形的边长之和为na，则下列说法正确的是（）A.图（4）中共有294个正六边形B.410294a=C.na是一个递增的等比数列D.记nS为数列na的前n项和，则对任意的*Nn且2n，都有1

nnaS−【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列的性质求解即可.【详解】对于A，由图可知，图()1至图()n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图()4中共有373

43=个正六边形，A错误；对于B，由题可知，图()n中每个正六边形的边长为112n−，1111767622nnnna−−−==，3471029624a==，B正确；对于C，1762nna−=是底数大于1的指数

型函数，na是一个递增的等比数列，C正确；对于D，1762nna−=，16a=，72q=，7612712nnS−=−，当*Nn且2n时，1111117776112121218277226607225512nnnnnnnaS

−−−−−−−−+−=−=+=−对任意的*Nn且2n，都有1nnaS−，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.()513x−的展开式中的3x的系数为_________．【答案】270−【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】()513x−的展开式的通项为155C(3)C(3)rrrrrrTxx+=−=−，令3r=，所以3x的系数为335C(3)270−=−.

故答案为：270−14.某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为_________．【答案】6%【解析】【分析】根据题意利用全概

率公式求解即可.【详解】设事件1A表示甲厂中的配件，则()10.4PA=，事件2A表示乙厂中的配件，则()20.6PA=，事件B表示次品的配件，则()10.09PBA=，()20.04PBA=，()()()()()1212

0.40.090.60.040.066%.PBPAPBAPAPBA=+=+==故答案为：6%.15.双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右顶点为,AB，过原点的直线l与双曲线C交于,MN两点，若,AMAN的斜率满足2AMANkk=，

则双曲线C的离心率为_________．【答案】3【解析】【分析】由对称性可证得四边形AMBN为平行四边形，可知2AMANAMBMkkkk==；设()00,Mxy，利用两点连线斜率公式可化简得到222AMBMbkka==，由221bea=+可求得双曲线的离心率.【详解】由

题意知：(),0Aa−，(),0Ba，若O为坐标原点，则OAOB=，=OMON，四边形AMBN为平行四边形，//ANBM，即ANBMkk=，2AMANAMBMkkkk==；设()00,Mxy，则()2200221,0xyabab

−=，22022200022222000012AMBMxbayyybkkxaxaxaxaa−=====+−−−，双曲线C的离心率2213bea=+=.故答案为：3.16.函数()()()e1lnRmx

fxmxxm=+−−．若对任意0x，都有()0fx，则实数m的取值范围为_________．【答案】1,e+【解析】【分析】将条件转化为elnmxmxxx++，然后设()()ln0gxxxx=+，则问题

转化为()()emxggx，进而根据函数()gx为增函数得到e0mxx，最后通过分离参数求得答案.【详解】由题意，()()ln0lneemxmxmxxxmxxfxx+−+++=，设()()ln0gxxxx=+，则问题可转化为()()em

xggx.因为()lngxxx=+是()0,+上的增函数（增+增），所以()lne00mxxxmxx恒成立.设()()ln0xhxxx=，则()21lnxhxx−=，()0,ex时()0hx，()hx单调

递增，()e,x+时()0hx，()hx单调递减，所以()()max1eehxh==，于是1[,)em+.故答案为：1[,)e+.【点睛】本题的破解点在于设()()ln0gxxxx=+，进而得到()()emxggx，此方法叫“同

构”，平常注意归纳总结.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记正项数列na的前n项和为nS，已知12a=，．从①232nnnS+=；②121nnanan++=+；③2211nnnnaaaa++−=+这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解

答下面的问题：（1）求数列na的通项公式；（2）求数列()11nnaa−的前n项的和nT，求证：1nT．【答案】（1）1nan=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）选择①利用()12−=−nnnaSSn可得答案；选择②利

用累乘法可得答案；选择③利用等差数列的定义可得答案；（2）利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】选择①，当2n时1nnnaSS−=−()()22131322nnnn−+−+=−1n=+，而1n=时，2113122a++==满足左式，∴1nan=+．选择②，

123211232114321132nnnnnnnaaaaannaanaaaaann−−−−−+===+−，选择③，由()()1110nnnnaaaa+++−−=，得11nnaa+−=，从而得1nan=+．【小问2详解】因为()1

1111(1)1nnaannnn==−−++，所以11111111112233411nTnnn=−+−+−++−=−++因为*Nn，所以101n+，∴1111n−+.18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

满足coscos2cosbCcBaC+=．（1）求角C的值；（2）若2c=，1ABCS=△，求ABC的周长．【答案】（1）4C=（2）222+【解析】【分析】(1)利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简可求C

；(2)由三角形面积公式可求ab，再结合余弦定理求出ab+可得ABC的周长．【小问1详解】由条件及正弦定理可得：2sincossincossincosACBCCB=+∴2cossinsincossincossinCACBBCA=+=∵()0,A

∴sin0A∴2cos2C=，()0,C，∴4C=【小问2详解】∵1sin12ABCSabC==∴22ab=由余弦定理：222222cos22cababCabab=+−=+−∴226ab+=结合22ab=可得：22ab+=+，则ABC的周长222+．19.如图，

直三棱柱111ABCABC−中，ABC是边长为2的正三角形，O为AB的中点．（1）证明：CO⊥平面11ABBA；（2）若直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，求平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值．【答案】（1）证明

见解析；（2）57．【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11ABBA，又直线1BC与平面11ABBA所成的角的正切值为155，可得12BB=，以O为坐标原点

建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．【详解】（1）ABC是正三角形，O为AB的中点，COAB⊥．又111ABCABC−是直三棱柱，1AA⊥平面ABC，1AACO⊥．又1ABAAA=，CO⊥平面11ABBA．（2）连接1OB，由（1）知CO⊥平面11

ABBA，∴直线1BC与平面11ABBA所成的角为1CBO，115tan5CBO=．ABC是边长为2的正三角形，则3CO=，15OB=．直角1BBO中，1OB=，15OB=，12BB=．建立如图所示坐标系，则()1,0,0B，()1,0

,0A−，()11,2,0A−，()11,2,0B，()10,2,3C．()12,2,0BA=−，()11,2,3BC=−，设平面11ABC的法向量为(),,mxyz=，则在11·0·0mBAmBC==，即220230xyxyz−+=−++=，解得平面1

1ABC的法向量为()3,3,1m=−．()2,0,0AB=，()11,2,3AC=，设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=，则1·0·0nABnAC==，即20230xxyz=++=，解得

平面1ABC的法向量为()0,3,2n=−．设平面11ABC与平面1ABC夹角为，则5cos7mnmn==．平面11ABC与平面1ABC夹角的余弦值为57．20.溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康

成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：性别了

解安全知识的程度得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生3050（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛

，记这3名学生中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望()EX．（2）根据小概率值0.001=的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．附：参考公式()()()()()22nadb

cabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．下表是2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值a0.10.050.010.0050.001ax2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）

分布列见解析，2；（2）性别与了解安全知识的程度有关，答案见解析.【解析】【分析】（1）首先按照分层抽样比例得到抽取男生4人，女生2人，然后得出X的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列，再利用期望计算公式求解即可；（2）利用独立性检验相关公式求解出观

测值，再根据临界值表得出结论，进一步根据相关性结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异即可.【小问1详解】200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得：男生人数：10064150=人，

女生人数：5062150=人，故X的所有可能取值为1，2，3，则()1242364111205CCPXC====，()2142366232205CCPXC====，()3042364113205CCPXC====．所以X的分布列为：X123P153515数学期望()1311232555

EX=++=；【小问2详解】根据列联表可：()2220020503010010011.1110.82812080501509−==，根据小概率值0.001=的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．

由表中数据可得男生中得分不超过85分的所占比例为16，女生中得分不超过85分的所占比例为38，女生的比例为男生的2.25倍，根据频率稳定概率的原理，我们认为该校女生和男生在了解安全知识的程度方面存在差异．21.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，左顶点坐标

为()2,0−．（1）求椭圆C的方程；（2）过点()1,1P−的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点()0,1B，问：直线BM，BN的斜率之和BMBNkk+是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=（2）BMBNkk+为定值，定值为-2【解析】【分析】（1）由题

意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得2b的值，即可得答案.（2）当直线l斜率存在时，设直线l：ykxm=+，与椭圆联立，根据韦达定理，可得1212,xxxx+的表达式，根据斜率公式，求得BMBNkk+的表达式，

化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：1x=，所以120yy+=，化简计算，可得BMBNkk+为定值，即可得答案.【小问1详解】由题意得2a=又32cea==，所以3c=所以2221bac=−=，所以椭圆C：2214xy+=．【小问2详解】当直线l斜率存在时，设直线l：y

kxm=+，（其中1mk+=−），()11,Mxy，()22,Nxy，联立2244ykxmxy=++=，消y可得()222418440kxkmxm+++−=，则()221641km=+−()16320kk=−，解得0k或23k，12221228414441kmxxkmx

xk−+=+−=+，所以121212121111BMBNyykxmkxmkkxxxx−−+−+−+=+=+()()122128212144xxkmkmkmxxm+−=+−=+−−222

211kmkkmm−=+==−++（定值）当直线l的斜率不存在时，直线l：1x=，则M，N关于x轴对称，所以120yy+=，所以1211211BMBNyykk−−+=+=−，综上可得2BMBNkk+=−（定值

）22.已知()21ln22fxaxxx=+−（Ra且0a），()cossingxxxx=+．（1）求()gx在,−上的最小值；（2）如果对任意的1,x−，存在21,xee，使得()()212fxagxx−≤成立，求实数a的取值范围．【答案】（

1）-1（2）()1,00,2−+【解析】【分析】（1）对()gx求导，因为()gx为偶函数，求出()gx在()0,x的单调性，即可求出,−上的最小值；（2）由（1）知，()gx在,−上的最小值为1−，所以21,x

ee，使得()221fxax−−≤成立，即()222221ln2axxxx−−≥成立，即2222212lnxxaxx−−≥，设()212lnxxxxx−=−，1,xee，即

只需()minax≥即可．【小问1详解】()sinsincoscosgxxxxxxx=−++=，显然()gx为偶函数，当0x时，0,2x时，cos0xx，()0gx，∴()gx0,

2单调递增；,2x时，cos0xx，()0gx，∴()gx在,2ππ单调递减；()01g=，22g=，()1g=−，∴()gx在()0,上的最小值为1−．由偶函数图象的对称性可知()gx在(),−上的

最小值为1−．【小问2详解】先证ln1−xx，设()ln1hxxx=−+，则()111xhxxx−=−=，令()001hxx，令()01hxx，∴()hx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减．()()10hxh=故ln1−xx①恒成立．由题意可得21,xee

，使得()221fxax−−≤成立，即()222221ln2axxxx−−≥成立．在由①可知22ln10xx−≥，参变分离得2222212lnxxaxx−−≥，设()212lnxxxxx−=−，1,xee，即只需()minax≥即可．()()()()()

()2221111ln1ln122'lnlnxxxxxxxxxxxxxxx−−−−−−−+==−−由①知ln1−xx得ln1xx−−，∴1114ln111202222xxxxxx−−++−+=−=≥令()'01xxe

，令()1'01xxe，∴()x在1,1e上单调递减，在()1,e上单调递增．∴()()min112x==−，∴12a−，又已知0a故a的取值范围为()1,00,2−+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信

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