【文档说明】湘豫名校联考2023-2024学年高三上学期8月入学摸底考试 数学答案和解析.pdf,共(9)页,592.580 KB,由小赞的店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-4d373a312fa1380d9603d7958909bbd4.html
以下为本文档部分文字说明:
数学参考答案�第��页�共�页�湘豫名校联考����年�月高三秋季入学摸底考试数学参考答案题号���������������答案�������������������一�选择题�本题共�小题�每小题�分�共��分�在每小题给出的四个选项中�只有一项是符合题目要求的������命题意图�本题考查集
合的运算�解一元二次不等式及对数函数的定义域�考查了数学运算的核心素养��解析�因为集合����������������������������������������������所以������������所以����������������故选�������命题意图�本
题考查复数的乘�除法运算及复数的相关概念�考查了数学运算的核心素养����解析�由题可得�������������������������������������������则����������所以��的虚部为���故选�������命题意图�本题考查直线与圆的位置
关系�考查了数学运算�直观想象的核心素养��解析�依题知圆心��������半径为��则�槡�����������槡���������槡����解得�槡�����或�槡��������故选�������命题意图�本题考查三角函数的定义�正切的和角公式�
诱导公式�考查了数学运算的核心素养��解析�设�������由题可得��������所以�����������������������������������������解得�����所以��������������������故选�������命题意图�本题考查向量的几何意义�向量的数量积运算
�向量的夹角�考查了数学运算�逻辑推理的核心素养��解析�由题可得��������槡�����������������所以������槡���因为��������������所以����������������所以�������
����������������������所以�����������������������������即���������槡���所以����������故选�������命题意图�本题考查异面直线所成的角�余弦定理�
考查了直观想象�逻辑推理�数学运算的核心素养��解析�如图�将该几何体补成一个直四棱柱�������������由题易得底面����为菱形�且����为等边三角形�连接�������易得��������所以������或其补角�是异面直线���与���所成的角�
设�����则�������槡�������������槡�槡���所以����������槡�����槡�����槡������槡�������故选��{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答
案�第��页�共�页������命题意图�本题考查抛物线的概念�直线与抛物线的位置关系�考查了逻辑推理�数学运算等核心素养��解析�因为直线�过点���������������所以直线�的方程为�����������由
���������������������得����������������设������������������则�������������������因为���������槡�������������槡��������������槡�
���������������槡�������������整理得��������������������������解得����所以抛物线�的准线方程是���������故选�������命题意图�本题考查函数的图象变换�函数的奇偶性�考查了直观想象�数学建模�数学运算的核心素养��
解析�因为�������������������������������又����的定义域关于原点对称�且������������所以����是奇函数�所以����的图象关于点������对称�故选�
�二�选择题�本题共�小题�每小题�分�共��分�在每小题给出的四个选项中�有多项符合题目要求�全部选对的得�分�部分选对的得�分�有选错的得�分��������命题意图�本题考查二项式展开式及二项式系数问题�排列数�组合数的计算�考查了数学运算的核心素养��解析�������������
��������������������由题可得������������������解得���������所以��������错误���������������������正确���������展开式系数的最大值为����������
���������正确�令����则����������即��������展开式的各项系数之和为����正确�故选������������命题意图�本题考查数列的性质�累乘求通项�数列求和�考查了逻辑推理�数学运算�数学抽象的核心素养��解析�令������则����������������正
确�由题可知����������������������因为��������所以��������所以����������所以������������即�������������正确�令����则��������所以�����������������������������������
累乘可得������������所以������������������错误�令����则�������������所以����是以�为首项��为公差的等差数列�所以��������������������������正确�故选�����������命题意图�本
题考查频率分布直方图�统计数字特征�考查了数据分析�数学运算的核心素养��解析�因为���������������������所以�������������������������������������
�������������������������������因为��������������������������������������所以������������������������������������������正确�数据�的众数的估计
值为����������设中位数为��因为����������������������������所以�������������������解得��������即数据�的中位数约为������所以数据�的众数小于中位数��错误�
因为�������������������������������������������������������������������所以平均数大于中位数��正确�因为���������������������������所以数据�的第��百分位数小于����错误�故选
���{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答案�第��页�共�页���������命题意图�本题考查函数的图象与性质�考
查了直观想象�数学抽象�数学运算的核心素养��解析�由��������������得������������所以����是以�为周期的周期函数�由������������得����的图象关于直线���对称�因为��������时��
�������������所以����������������������������正确�由题易得���������������������������������������������������所以�����������
��������������������������������正确�作����的图象如图所示�易得����的单调递减区间为�����������������错误�因为曲线����������与����的图象有�个不同的交点�所以������������
�����������解得��������正确�故选����三�填空题�本题共�小题�每小题�分�共��分������答案不唯一�只需���即可���命题意图�本题考查平面向量的坐标运算及平面向量的模�考查了数学运算的核心素养��解析�方法一�因为�����������������所以�����
����������������������又因为������������所以���������槡��������������槡��解得����方法二�因为������������所以����������������������即��
����故��������解得����所以�的一个可能取值为���答案不唯一�只需���即可���������命题意图�本题考查线性回归分析�考查了数学运算�逻辑推理�数据分析等核心素养��解析�因为�������
����所以样本点的中心为�������又因为经验回归直线�����������过样本点的中心�所以�������������所以������所以经验回归方程为������������当�����时��������������������
所以残差为�����������������������命题意图�本题考查导数的应用及解不等式�考查了数学抽象�逻辑推理�数学运算等核心素养��解析�因为�������������������������所以������������
�������因为�����是函数��������������������的两个极值点�所以�������有两个正根�即方程�������������有两个不同的正根������所以������������所以���或�����又�������������������得����故�����因为
���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������又��������
���������所以����������������即����������解得�������综上所述�实数�的取值范围是��������{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#
}数学参考答案�第��页�共�页���������命题意图�本题考查空间几何体的外接球及空间几何体的体积�考查了数学运算�直观想象�逻辑推理等核心素养��解析�如图所示�点�是三棱锥����外接球的球心�设球�的半径为����是����外接圆的圆心�设圆��的半径为��点�到底面���的距离为�
�由题意�可得���������则�������因为����是边长为�的正三角形�所以由正弦定理�可得������������������则�槡���所以三棱锥����的体积为��������������槡��������槡�����三棱锥����的
体积取最大值则需要�最大�由题意可知�点�在过��且与底面����此处底面���为水平�垂直的截面圆的圆周上运动�当点�运动到该圆的最高点时��最大�如图所示�取��的中点��连接����������������过点�作������由圆的对称性可知�此时��
����则������又平面����平面����且平面����平面����������平面����所以���平面����因为在�����中���������������又�����槡���所以�����������������������易得四边形�����为矩形�所以���
����槡���������������槡���因为在����中����������槡�������槡�槡���所以��������������槡����所以���������四�解答题�共��分�解答应写出必要的文字说
明�证明过程或演算步骤�����命题意图�本题考查三角函数的恒等变换�解三角形�考查了数学运算�数学建模的核心素养����解析����因为����������������槡���������槡�������槡����������槡������
�槡�������������������分…………………………………………………………………………又����槡���所以����������槡���因为��������所以������分………………
………………………………………………………………���由正弦定理得�����槡����即������槡����所以�槡����槡�����由余弦定理得������������������������������������当且仅当���时�等号成立�所以������分………………
……………………………………………………………………………………因为������������������槡�����又��的最大值为��所以����面积的最大值为槡������分…………………………………………………………………………����命题意图�本题考查二项分布�互斥事件�独立事件发
生的概率�考查数据分析�数学运算的核心素养��解析����由题易得�随机抽取一球�为黑色球或红色球的概率为�������分………………………………所以������������{#{QQABCQqEoggAQABA
ABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答案�第��页�共�页�所以����������������分…………………………………………………………………………………���甲�乙的得分情况可能为得分情况���
�������������������概率������������������������������������������分…………………………………………………………………………………………………………………则甲的得分比乙的得分高�且差值大于���分的
概率�����������������������������������������������������������������分……………………………………………………………………………………………����命题意图
�本题考查数列的通项�数列求和及不等式�考查了数学运算�逻辑推理的核心素养��解析����若选条件��因为�����������所以������������������两式相减�得�����������������������
因为�����所以�����������������又��������������所以�����所以数列����的奇数项�偶数项分别是以���为首项��为公差的等差数列�当�����������时����������������������当���������时
������������������综上所述�����������所以��������分……………………………………………………………………若选条件��设数列����的公比为��因为����是首项为�的等比数列�且满足����������成等差数列�所以�����且�����������即����
�����解得�����所以�����������因为数列����的各项均为正数���为其前�项和�且满足�������������所以当���时������������������则�����因为�������������所以���
���������������������两式相减得���������������������������即����������������������������因为�����故�����������������所以���������������所以数列����为等差数列�故���
������������所以���������������分………………………………………………………………………………………若选条件��由�����������������得�������������������������令�����������则���������������
�������当���时����������������������������������������������������又����满足上式�所以������即�����������所以当���时����������������������������������������������
��������又����满足上式�所以��������所以��������������分………………………………………………���证明�由���知�������则�����������������������������所以����������
����������������������������{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答案�第��页�共�页����可得����������������������������
�����������������所以����������������������分……………………………………………………………………………因为��������所以�������������又���������������������������������������
�所以����是递增数列�所以�����������������故����������分………………………………………………………………����命题意图�本题考查空间几何体的线面位置关系�二面角�考查了直观想象�逻辑推理�数学运算的核心素养�
�解析����证明�方法一�取��的中点��连接���������因为四边形����是矩形����分别是�����的中点�所以������所以������因为����是等边三角形�所以������因为��������所以��
�平面����因为���平面����所以�������分……………………………因为槡��������所以�������������槡�����槡����槡����������所以����是等腰三角形�因为�是��的中点�所以���
���因为��������所以���平面�����分………………………………………………………………………………………方法二�不妨设��槡���则�����������如图�连接������因为�为��的中点�所以��������所以�������
������分…………………………………………又�为��的中点�所以������������因为��������所以���平面�����分……………………………………………���由���方法一易得��������两两互
相垂直�建立如图所示的空间直角坐标系�����不妨设��槡���则�������槡���则�������������槡����������槡�����������槡�����������槡��槡������������槡�������������������设平面��
�的法向量为����������则�������������������即�槡���槡������槡��������{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答案
�第��页�共�页�令�槡���则��������所以平面���的一个法向量为���槡��������分……………设平面���的法向量为�������������则�������������������即
��槡����槡���������������令�����则����������所以平面���的一个法向量为������������分……………设二面角����的平面角为��则�����������������
���槡������������槡����槡���所以�������槡����槡��槡����所以二面角����的正弦值为槡������分…………………………………………………………………����命题意图�本题考查椭圆的方程�直线与椭圆的位置关系及定点问题�
考查了直观想象�数学运算�逻辑推理等核心素养��解析����因为������的最大值为�����所以�为短轴的顶点时�������������此时易得���槡���又点�到右焦点��距离的最小值为槡��
��即���槡�����解得�����槡���又由���������可得����所以椭圆�的标准方程为����������分………………………………………………………………………���证明�方法一�当直线�的斜率不存在时�设������联立��������������解得
�������槡��所以�������槡������������槡���或��������槡�����������槡����又�������所以�������������槡������������������槡���或��������������槡���
��������������槡����因为以��为直径的圆恒过点��所以������所以���������������������������解得����或����舍去��此时直线�的方程为������分…………………………………………………………………………………当直线
�的斜率存在时�易知直线�的斜率不为��设���������联立�����������������消去�得�������������������������由����得�����������由根与系数的关系�知���
��������������������������������分……………………………………………{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考答案�第��页�共�页�因为���������������������
���������所以��������������������������������������������������������������将���������������������������������代入上式整理得���������
�������即����������������所以������或������当�����时�直线�为���������������此时直线�过点��不符合题意�舍去�当������时�直线�为����������此时直线�过定点���������分…………………………………综上
所述�直线�恒过定点���������分………………………………………………………………………方法二�由题意知�直线�的斜率不为零�设直线�的方程为�������联立�����������������得���������������������由����得�������
���所以������������������������������分……………………………………………………………………因为�������所以������������������������������由题易知����������所以������������������������
������即�����������������������即�������������������������������������分…………………………………………………将����������������������������代入上式整理得�
������������解得���或�������分………………………………………………………………………………………由题知直线�不过点��所以�����所以直线�的方程为��������所以直线�恒过定点���������分…………………………………………
……………………………………方法三�平移齐次化��将椭圆向左平移两个单位长度得曲线����������������即������������则平移后右顶点��������记平移后���的对应点分别为�������分………………设直线��的方程为�����������所以�����
���将上式代入�得������������������分……………………………………………………………………等式两边同时除以���得��������������������由题易知����������所以���
��������������分……………………………………………………………即���������解得������{#{QQABCQqEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}数学参考
答案�第��页�共�页�所以直线��的方程为��������所以平移前直线�恒过定点���������分………………………………………………………………………����命题意图�本题考查函数�方程及不等式的转化�函数的单调性�最值�极值问题�考查了数学运算�数学抽
象�直观想象�逻辑推理的核心素养��解析����由题易得函数����的定义域为�������由�������不等式两边同除以��得����������设�����������������则������������分……………………………………………………
………令��������得����当�������时���������当��������时���������所以����在�����上单调递增�在������上单调递减��分…………………………………………………所以������������������
�����依题知�������得����所以实数�的取值范围为��������分………………………………………………………………………���证明������������������令��������������������则�����
������令��������得�����当��������时���������当���������时���������所以����在������上单调递增�在�������上单调递减��分……………………………………………因为函数����的单调递增区间为�������所
以����������������������所以����������������解得������������������即��������������������又当��������时���������当��������时���������当��������时����
�����所以����在������上单调递减�在������上单调递增�在������上单调递减���分……………………所以����的极大值������������������������������������������
�因为���������������������������������������������������������所以���������所以�������������所以函数����的极大值������������分…………………………………………………………………{#{QQABCQ
qEoggAQABAABhCQQGwCgKQkBGCCIgOAAAEsAIASBFABAA=}#}