【文档说明】湖南省娄底市名校联考2025届高三上学期11月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，1.116 MB，由小赞的店铺上传

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2025届·普通高中名校联考信息卷（月考一）（高考研究卷）数学（考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、向量与复数、数列与立体几何）考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟.2.请将答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足()34i43iz−=+，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数除法、模的求法化简求复数z，进而判断对应点所在象限

.【详解】由43i55(34i)34i34i34i(34i)(34i)5z+++====−−−+，对应点为34(,)55在第一象限.故选：A2.设集合()0.5log10Axx=−，24xBx=，则（）

A.AB=B.AB=C.ABB=D.ABB=【答案】D【解析】【分析】计算出集合A、B后，结合集合的运算即可得.【详解】()0.5log10x−，即()0.50.51log1logx−，则011x−，解得12x，所以12Axx=，2222xBxxx==

，所以AB，从而ABB=.故选：D.3.已知向量a与b是非零向量，且满足ab−在b上的投影向量为2b−，2ab=，则a与b的夹角为（）A.120B.150C.60D.90【答案】A【解析】【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】设a与

b的夹角为()0180，ab−在b上的投影向量为()22abbbabbbbbb−−=所以22cos2abbb−=−，所以222cos12cos12,cos2bbbb−=−=−=−，所以钝角，且120=.故选：A4.最早的测雨器记载见于南宋数学家秦

九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知

数据如图（注意：单位cm），则平地降雪厚度的近似值为（）A.91cm12B.31cm4C.95cm12D.97cm12【答案】C【解析】为【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可.【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为204015cm4+=，所以平地降雪厚度的近似

值为()2221π2010151015953cmπ2012++=.故选：C5.定义：满足(211:nnnnaaqqaa+++=为常数，*Nn）的数列na称为二阶等比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列na∣的

二阶公比为122,1,2aa==，则使得2024na成立的最小正整数n为（）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】【分析】根据数列新定义可得()112nnnaa−−=，利用累乘法求得na的表达

式，解数列不等式，即可求得答案.【详解】由题意知二阶等比数列na∣的二阶公比为122,1,2aa==，则212aa=，故()()1212121,,22,2nnnnnnaaaaaa−−−−−===，将以上各式累乘得：()()()()(1)11224122222nnnnnnnaa−−−

−===，故(1)42nnna−=，令()1422024nn−，由于101121024,22048==，故()1104nn−，即()140nn−，又()1nn−的值随n的增大而增大，且(71)742(81)856,−=−=，当7n=时，()12110

14202222222024nn−===，当8n=时，()4141222024nn−=，故n的最小值为8，故选：B6.已知函数()3()eexxfxx−=−，若m满足()()20.51loglog2eefmfm+−

，则实数m的取值范围是（）A.1,22B.(2,)+C.10,2D.10,(2,)2+【答案】A【解析】【分析】根据题意，由奇偶性的定义可得()fx是定义在R上的偶函数，然后求导得()fx，即

可判断()fx在()0,+上的单调性，再将不等式化简求解，即可得到结果.【详解】因为函数()3()eexxfxx−=−定义域为R关于原点对称，且()()()()()33eeeexxxxfxxxfx−−−=−−=−=，所以(

)fx是定义在R上的偶函数，又()()()32ee3eexxxxfxxx−−=++−，当0x时，e1,0e1xx−，则()0fx，所以()fx在()0,+单调递增，又0.52loglogmm=−，则()

()()0.522logloglogfmfmfm=−=，且()11eef=−，则不等式()()20.51loglog2eefmfm+−可化为()()22log21fmf，即()()2log1fmf，且()fx是定义在R

上的偶函数，()fx在()0,+单调递增，则2log1m，即21log1m−，即2221logloglog22m，所以122m，即实数m的取值范围是1,22.故选：A7.在ABCV中

，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2sinsin3sinaAbBcC−=，若S表示ABCV的面积，则2Sb的最大值为（）A.74B.106C.233D.52【答案】D【解析】【分析】由条件利用正弦定理得,,abc的关系，由

余弦定理可得cosA，结合三角形面积公式求得22()Sb的表达式，根据二次函数的性质可求得最大值，进而得解.【详解】因为2sinsin3sinaAbBcC−=，由正弦定理得22223abc−=，所以2221322abc=+，由余弦定理得22222cos24bcabcAbcbc+−−=

=，所以222224222422421(sin)sin(1cos)1182()(1)4464bcAScAcAccbbbbbb−====−+−，令22ctb=，则22215()(181)644Sttb=−+−，

当且仅当9t=，即3cb=时取等号，所以252Sb，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查的知识并不算困难，但计算量较大，解决的关键是熟练掌握数学的计算，做到不出错即可得解.8.已知函数()()4cos(0),12fxxfx=−在区间0,3

上的最小值恰为−，则所有满足条件的的积属于区间（）A.(1,4B.4,7C.()7,13D.)13,+【答案】C【解析】【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可.【详解】当0,3x时,1212312x

−−−，因为此时()fx的最小值为0−，所以3122−，即74.若312−，此时()fx能取到最小值4−，即44−=−=，代入可得4312−，满

足要求；若()fx取不到最小值4−，则需满足312−，即134，()ππ4cos312p=−在713,44上单调递减，所以存在唯一符合题意；所以4ω=或者713,44，所以所有满足条件的的积属于区间()7,1

3，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列结论正确的是（）A.若0ab，则22aabbB.若xR，则22122xx+++的最小值为2C.若2ab+=，则22ab+的最

大值为2D.若(0,2)x，则1122xx+−【答案】AD【解析】【分析】利用作差法比较大小判断A，利用基本（均值）不等式判断BCD，要注意“一正二定三相等”.【详解】因为2()0aabaab−=−，所以2aab，因为2()0=−−b

ababb，所以2abb，所以22aabb，故A正确；因为221222xx+++的等号成立条件22122xx+=+不成立，所以B错误；因为222122abab++=，所以222ab+

，故C错误；因为11111121(2)2(22)2222222xxxxxxxxxx−+=+−+=+++=−−−，当且仅当112xx=−，即1x=时，等号成立，所以D正确.故选：AD10.已知定义域在R上的函数()fx满足：()1fx+是奇函数

，且()()11fxfx−+=−−，当1,1x−，()21fxx=−，则下列结论正确的是（）A.()fx的周期4T=B.5324f=C.()fx在5,4−−上单调递增D.()2fx+是偶函数【答案】BC【解析】【分析】根据函数的性质结合周期性的定义

即可求解A，利用性质作出函数的图象，即可结合图象逐一求解.【详解】由于()1fx+是奇函数，所以()()11fxfx+=−−+，则()()=2fxfx−−又()()11fxfx−+=−−，则()()24fxfx−=−，所以()()()()488fxfxfxfx=−−=−−−

=−，所以()fx的周期为8，A错误，，2511312224ff=−−=−−−=，故B正确，根据函数的性质结合1,1x−，()21fxx=−，作出函数图象为：由图象可知：()fx在

5,4−−上单调递增，C正确，由于()fx的图象不关于2x=对称，所以()2fx+不是偶函数，D错误故选：BC11.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，2AD=，1ABAPPD===，平面PA

D⊥平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则（）A.存在点M使得BDAM⊥B.四棱锥PABCD−外接球的表面积为3πC.直线PC与直线AD所成角为π3D.当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，

D，M作截面交PB于点N，则四棱锥PADMN−的体积是18【答案】BCD【解析】【分析】取AD的中点G，证明BD⊥平面PGC，然后由线面垂直的性质定理判断A，把四棱锥PABCD−补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC，由BD⊥平面PGC，当动点M到直

线BD的距离最小时HMPC⊥，从而得M为PC的中点，N为QA的中点，再由体积公式计算后判断D．【详解】如图1，取AD的中点G，连接GC，PG，BD，GCBDH=,则PGAD⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，平

面PAD平面ABCDAD=，PG平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，BD平面ABCD，则PGBD⊥．又因为tantan1ABCDADBDGCADGD==，所以GCBD⊥，又PGGCG=，,PGGC平面PGC，所以BD⊥平面PGC．

因为M平面PGC，A平面PGC，所以BDAM⊥不成立，A错误．因为△APD为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥PABCD−的外接球即为正方体的外接球，其半径32R=，即四棱锥PABCD−外接球

的表面积为3π，B正确．如图2，直线PC与直线AD所成角即为直线PC与直线BC所成角，为π3，C正确．如图1，因为BD⊥平面PGC，当动点M到直线BD距离最小时HMPC⊥，由上推导知PGGC⊥，22261()22GC=+=，16cos3

62DCDCGCG===，6cos3CHDCDCH==，66GHGCCH=−=，22222266[1()]()263PHPGGH=+=−+=，PHCH=，因此M为PC的中点．如图3，由M为PC的中点，即为QD中点,平面AD

M即平面ADQ与BP的交点的也即为QA与BP的交点,可知N为QA的中点，故3331144468PADMNPAQDQAPDVVV−−−====，D正确．故选：BCD．【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的

几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列na满足*

1111,2)0(nnnnaaaaan++=−+=N，则数列na的通项公式为__________．【答案】121nna=−【解析】【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.【详解】数列na中，11a

=，1120nnnnaaaa++−+=，显然0na，则有11121nnaa+=+，即11112(1)nnaa++=+，而1112a+=，因此数列1{1}na+是以2为首项，2为公比的等比数列，所以112nna+=，即121nna=−．故答案为：121nna=−13.已知函数

π()2sin(0)4fxx=+，若()()12123,fxfxxx==−−的最小值为π2，则π8f=________．【答案】3【解析】【分析】由题意得π4π2π43ixk+=+或125ππ2π,,33kkxx+−Z，结合题意可

得，然后代入求值即可.【详解】π2sin34ix+=−，()π3sin,1,242ixi+=−=，所以，π4π2π43ixk+=+或125ππ2π,,33kkxx+−Z，()ππ22π,,2sin23334fxx===+

，所以ππππ2sin2sin381243f=+==．故答案为：3.14.已知函数()2e,0,0xxfxxx=−，若函数()fx的图象在点()()()111,0Axfxx和点()()()222,0Bxfxx处的两条切线相互平行且分

别交y轴于M、N两点，则AMBN的取值范围为______.【答案】e,2+【解析】【分析】由()()12fxfx=可得出21e2xx=−，利用弦长公式得出22e2xAMBNx=，利用导数求出函数()e2xgxx=在(0,+∞)上的值域，即可为所求.【详解】当0x时，(

)2fxx=−，()2fxx=−，则()112fxx=−，当0x时，()exfx=，()exfx=，则()22exfx=，因为函数()fx的图象在点()()()111,0Axfxx和点()()()222,0Bxfxx处的两

条切线相互平行，则()()12fxfx=，即212exx−=，则21e2xx=−，21114AMxx=+，2221exBNx=+，所以，222111222214e21exxAMxxxBNxxx+==−=+，令()e2xgxx=，其中0x，则()()2e12xxgx

x−=，当01x时，()0gx，此时函数()gx在(0,1)上单调递减，当1x时，()0gx，此时函数()gx在(1,+∞)上单调递增，所以，()()e12gxg=，因此，AMBN的取值范围是e,2+

.故答案为：e,2+.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出2x、1x所满足的关系式，然后将AMBN转化为含2x的函数，转化为函数的值域问题求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在

ABCV中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2222sin0acAacb++−=．（1）若π6A=，2a=，求ABCV的面积；（2）求2224sin3sin2sinCAB++的最小值，并求出此时B的大小．【答案】（1）3（2）2224sin3sin2sinCA

B++的最小值是5，此时2π3B=【解析】【分析】（1）结合余弦定理与面积公式即可得；（2）结合三角恒等变换与三角形内角和，将原式中多变量换成单变量，再结合基本不等式即可得.【小问1详解】由题意得222sin02acbAac+−+=，

因为222cos2acbBac+−=，所以sincos0AB+=，故cossinBA=−，又π6A=，所以1cos2B=−．因为B、C是ABCV的内角，所以B为钝角，所以2π3B=，所以π6C=，所以ABCV是等腰三角形，则2ac==，所以113sin223222ABCSacB==

=△．【小问2详解】由（1）可知，ABCV中，cossin0BA=−，即B为钝角，则π2BA=+，因为πABC++=，3ππ22CABB=−−=−，所以2222224sin3sin24cos23cos2sinsinCABBBB++++=，设()2224cos23cos2sinBBfBB

++=，则()()()2222412sin31sin2sinBBfBB−+−+==4222216sin19sin9916sin19sinsinBBBBB−+=+−，由()2sin0,1B，故()22229916sin1921

6sin195sinsinfBBBBB=+−−=，当且仅当22916sinsinBB=，即3sin2B=，结合B钝角，即当2π3B=时等号成立，所以2224sin3sin2sinCAB++的最小值是5，此时2π3B=．16.如图，在正三棱锥PABC−中，有一半径为1半球，其底面圆O与

正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，ADP=．在为的（1）用分别表示线段BC和PD长度；（2）当0,2时，求三棱锥的侧面积S的最小值．【答案】（1）23sinBC=；1sincosPD=（2）272【解析】【分析】（

1）连接OP，由题意O为ABCV的中心，则可得POD为直角三角形，设半球与面PBC的切点为E，然后分别在RtODE△和RtPOD中求解即可，（2）由已知条件可得233sincosS=，0,2，令cost=，则上述函数变形

为()333Sttt=−，()0,1t，然后利用导数可求得结果【小问1详解】连接OP，由题意O为ABCV的中心，且⊥PO面ABC，又AD面ABC，所以POAD⊥，所以POD为直角三角形．设半球与面PBC的切点为E，则1OE=且OEPD⊥．在RtODE△中，

13sin32OEODBC==，所以23sinBC=．在RtPOD中，1cossincosODPD==．【小问2详解】由题知，132313322sinsincosPBCSSBCPD===△，化简得233sincosS=，0,2，

令cost=，则上述函数变形为()333Sttt=−，()0,1t，所以()()()2233331tSttt−=−，令()0St=，得33t=．当30,3t时，()0St，()St单调

递减，当3,13t时，()0St，()St单调递增，所以当33t=时，三棱锥的侧面积S的最小值为32732S=．17.已知函数2()ln()fxxxaxaaR=−+.（1）若函数()fx在1x=处的切线与直线210xy−+=垂直，求实数a

的值.（2）若函数()fx存在两个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）34a=；（2）10,2.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义求参数a的取值范围；（2）首先求函数的导数()ln12fxxax=+−，函数

有两个极值点，转化为()0fx=有两个零点，设()()ln12gxfxxax==+−，则1()2gxax=−，讨论0a和0a两种情况下函数的单调性，分析函数的零点，求参数a的取值范围.【详解】（1）()ln12fxxax=+−，(1)12

fa=−，则(12)21a−=−，解得34a=.（2）()ln12fxxax=+−，由题设可知()0fx=有两个不同的零点，且()fx在零点的附近()fx的符号发生变化.令()ln12gxxax=+

−，则1()2gxax=−，若0a，则()0gx，则()gx为(0,+∞)上为增函数，()gx在(0,+∞)上至多有一个零点.当0a时，若102xa，则()0gx，故()gx在10,2a上为增函数，若12xa，则()0gx，故()gx在1,2a+

上为减函数，故max11()ln022gxgaa==，故102a.又112ea且12()0agee=−，故()gx在10,2a上存在一个零点；下证当2t时，总有2lntt.令()2

lnhttt=−，则()221thttt−=−=，当2t时，()2210thttt−=−=，故()ht为()2,+上的减函数，故()(2)2ln220hth=−，故2lntt成立.令,4txx=，则lnxx，故当4x时，有()12gxxax+−，取()2

2118max4,16aMa++=，则当xM时，有118118122044aaxaxaxxaa++−++−=−−−，故()0gx，故在1,2a+上，存在实数x，使得()0gx，由零点存在定理及()gx的单调性可知可得()

gx在1,2a+上存在一个零点.综上可知，实数a的取值范围是10,2.【点睛】本题考查导数的几何意义，根据函数的零点个数求参数的取值范围，重点考查逻辑推理能力，分类讨论的思想，函数与方程思想，属于中档题型.18.已知数列na满足()*1222332

222nnnaaann++++=−N，记数列na的前n项和为nS．（1）求nS；（2）已知*Nnk且121,2kk==，若数列nka是等比数列，记nk的前n项和为nT，求使得nnST成立的n的取值范围．【答

案】（1）2nSn=（2）1,2,3．【解析】【分析】（1）由递推关系首先得21nan=−结合等差数列求和公式即可求解.（2）由题意首项得1312nnk−+=，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求()24211*3nnn−+不等式的正整

数解集.【小问1详解】1222332222nnnaaan++++=−①()11221121322222nnnaaann−−−++++=−②②-①得，nnna2n122−=，得21nan=−．当1n=时，①式为1213222a=−=，得11

a=，也满足上式．21nan=−，数列{𝑎𝑛}是等差数列，所以()21212nnnSn+−==．【小问2详解】12121,3kkaaaa====，则数列nka是以1为首项，3为公比的等比数列，13nnka−=，又121,213nnknnakk−=−

−=，得1312nnk−+=，得1133212134nnnnTn−+−=+=−．令nnST，即23214nnn+−，即()24211*3nnn−+．当1,2,3n=时，经验证，（*）式满足要求．令()24213nnnfn−+=，则()()()()22114(1)21143

24211333nnnnnnnnnfnfn+++−++−−++−=−=，所以当4n时，()()574181fnf=，即当4n时，()*式不成立．使得nnST成立的n的取值范围是1,2,3．19.牛顿法(Newton'smethod)是牛顿在17世纪提出的一种

用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设r是()0fx=的根，选取x．作为r的初始近似值，过点00(,())xfx作曲线()yfx=的切线L，L的方程为000()()()yfxfxxx=+−.如果0(

)0fx，则L与x轴的交点的横坐标记为1x，称1x为r的一阶近似值．再过点11(,())xfx作曲线()yfx=的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标记为2x，称2x为r的二阶近似值．重复以上过程，得r的近似值序列：12,,,nxxx，根据已有精

确度，当||nxr−时，给出近似解．对于函数()lnfxxx=+，已知()0fr=.（1）若给定01x=，求r的二阶近似值2x；（2）设1(),()(1)()lneexxnnxgxhxxgxx−+==−+−+−①试探求函

数h(x)的最小值m与r的关系；②证明：3e4m−.【答案】（1）21ln23x+=；（2）①21e,12rmrrr=−−；②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定方法，求出()fx的导数，依次求出12,xx即可.（2）①求出函数(),(

)gxhx，利用导数探讨函数()hx的最小值，结合()0fr=求出m与r的关系；②由①的结论，构造函数2()e,0xuxxxx=−−，利用导数探讨函数()ux在(0,1)上的单调性即可推理得证.【小问1详解】函数()lnfxxx=+，求导得1()1fxx=

+，依题意，00000100000()ln(1ln)1()11fxxxxxxxxfxxx+−=−=−=++，当01x=时，112x=，同理1121(1ln)1xxxx−=+，而112x=，所以21ln23x+=.【小问2详解】①由（1）知，1(1ln)()1nnnnnxxxgx

x+−==+，则(1ln)(),01xxgxxx−=+，()(ln1)lneexxhxxxx−=−−+−，求导得1()lneexxhxxx−=−++，令1()lnee,0xxxxxx−=−++，求导得211()ee0xxxxx−=++−，()hx在()0,+

上单调递增，函数()fx在(0,)+上单调递增，11()ln20,(1)1022ff=−=，由()0fr=，得112r，且1lnlnrrr=−=，则1e,errrr−==，1()lnee0rrhrrr−=−++=，当0xr时，()0hr，当xr时，()0hr

，于是函数()hx在(0,)r上单调递减，在(,)r+上单调递增，函数()hx在xr=处取得最小值2()lnlneeerrrmhrrrrrrr−==−−+−=−−.②由①知，21e,12rmrrr=−−，令2()e,0xuxxxx=−−，

求导得()e21xuxx=−−，令e21,0xyxx=−−，求导得e2xy=−，当0ln2x时，0y，当ln2x时，0y，则函数()ux在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,)+上单调递增，而(0)0,(1)e30uu==−

，则当01x时，()0ux恒成立，即函数()ux在(0,1)上单调递减，而112r，因此13()()e24uru=−，所以3e4m−.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.