【文档说明】【精准解析】天津市南开区南开中学2020届高三下学期第六次月考数学试题.doc，共(16)页，1.347 MB，由小赞的店铺上传

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南开中学高考模拟考试数学试题一、选择题（共9小题；共45分）1.设集合1,1,2,3,5A=−，2,3,4B=，{|13}CxRx=„，则()ACB=A.{2}B.{2，3}C.{-1，2，3}D.{1，2，3，4}【答案】D【解析】【分析】先求AC

，再求()ACB．【详解】因为{1,2}AC=，所以(){1,2,3,4}ACB=.故选D．【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设Rx，则“11||22x−”是“

31x”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x

−111222x−−01x，由31x1x.据此可知1122x−是31x的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.若a>b，则A.ln(a−b)>0B.3a<3bC.

a3−b3>0D.│a│>│b│【答案】C【解析】【分析】本题也可用直接法，因为ab，所以0ab−，当1ab−=时，ln()0ab−=，知A错，因为3xy=是增函数，所以33ab，故B错；因为幂函数3yx=是增函数

，ab，所以33ab，知C正确；取1,2ab==−，满足ab，12ab==，知D错．【详解】取2,1ab==，满足ab，ln()0ab−=，知A错，排除A；因为9333ab==，知B错，排除B；取1,

2ab==−，满足ab，12ab==，知D错，排除D，因为幂函数3yx=是增函数，ab，所以33ab，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推

理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4.设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx−+−=,2(2)(log12)ff−+=（）A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】()()()()()22log12

1log622221log223,log12226,2log129ffff−−=+−−====−+=.故选C.5.函数()fx=cos()x+的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为（）A.13(,),44k

kkZ−+B.13(2,2),44kkkZ−+C.13(,),44kkkZ−+D.13(2,2),44kkkZ−+【答案】D【解析】由五点作图知，1+42{53+42==，解得=，=4

，所以()cos()4fxx=+，令22,4kxkkZ++，解得124k−＜x＜324k+，kZ，故单调减区间为（124k−，324k+），kZ，故选D.考点：三角函数图像与性质6.已知等比数列na的首项为1，若14a，22a，

3a成等差数列，则数列1na的前5项和为（）A.3116B.2C.3316D.1633【答案】A【解析】【分析】设{}na的公比为q，由14a，22a，3a成等差数列求出q，再由等比数列前n和公式得1na的前5项和．【详解】设{}na的公比为q，因为14a，2

2a，3a成等差数列，所以21344aaa=+，即244qq=+，所以2q=，所以12nna-=．所以1112nna−=，1na是首项为1，公比为12的等比数列，所以55111231116

12S−==−．故选：A．【点睛】本题考查求等比数列的前n项和，解题方法是基本量法，掌握等比数列的基本量法是解题基础．7.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A.85

B.56C.49D.28【答案】C【解析】试题分析：根据题意：1221272742749CCCC+=+=，故选C.考点：排列组合.8.已知双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线过点()2,3，且双曲线的一个焦点在抛物线247yx=的准线上，则双曲

线的方程为（）A.2212128xy−=B.2212821xy−=C.22134xy−=D.22143xy−=【答案】D【解析】试题分析：双曲线的一条渐近线是byxa=，则23ba=①，抛物线247yx=的准线是7x=−，因此7c=，即2227abc+==②，由①②联立解得23ab==

，所以双曲线方程为22143xy−=．故选D．考点：双曲线的标准方程．9.定义在R上()fx满足()()222fxfx+=−,当(0,2x时,()2,0,1()1,1,2xxxfxxx−=,若(0,4x时,()2732ttfxt−−恒成立，则实数t的取值范围

是（）A.1,2B.52,2C.51,2D.)2,+【答案】A【解析】【分析】利用等式()()222fxfx+=−，求出函数在(2,4x上的解析式，求出函数在(0,4x时

的值域，最后解不等式组进行求解即可.【详解】当(0,1)x时,22111(),()[,0)24)4(xxxffxx−=−−−=;当[1,2]x时，11()()[,1]2xffxx=.因为()()222f

xfx+=−，所以有()()222fxfx=−−，当(2,3)x时,25552(),()[,2)222()xxxff=−−−−；当[3,4]x时，()22()[1,0]2fxfxx=−−−，()5[

,2)[1,0]2fx−−−因此(0,4x时,()511[,2)[1,0][,0)[,1]242fx−−−−因为(0,4x时,()2732ttfxt−−恒成立，所以275,1322ttt−−−，解得实数t的取值范围是1,2，故选：A.【点睛】本题考查了分段函数值

域，本题考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.二、填空题（共6小题；共30分）10.i是虚数单位，若复数()()12iai−+是纯虚数，则实数a的值为.【答案】2−【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12iai−+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.11

.在614xx−的展开式中，2x的系数为.【答案】1516【解析】614xx−展开式的通项为6621661144rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，由622r−=得

2r=，所以222236115416TCxx=−=，所以该项系数为1516.考点：二项式定理及二项展开式的通项.12.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为92,则正方体的棱长为.【答案】3【解析】【分析】根据正方体的性质，结

合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：3493322RR==，即23R=，则333aa==，故答案为：3．【点睛】本题考查了正方

体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.13.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的

公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．【答案】【解析】∵P(X＝0)＝112＝(1－p)2×13，∴p＝12，随机变量X的可能值为0,1,2,3，因此P(X＝0)＝112，P(X＝1)＝23×(12)2＋2×13×(12)2＝13，P(X＝2)＝2

3×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P(X＝3)＝23×(12)2＝16，因此E(X)＝1×13＋2×512＋3×16＝53．14.已知x，y为正实数，则44xyxyxy+++的最大值为________

．【答案】43【解析】【详解】【分析】试题分析：2222224483144545xyxxyyxyxyxyxxyyxxyy+++==+++++++3145xyyx=+++，因为44xyyx+，所以43414453xyxyxy++=+++，当且仅当4xyyx=时等号成立.考点：基本不等式.15

.在ABC中，已知9ABAC=uuuruuur，sincossinBAC=，6ABCS=，P为线段AB上的点，且||||CACBCPxyCACB=+，则CPBP的最小值为________．【答案】6425−【解析】【分析】由数量积的定义通过解三角形求出

ABC中各边．发现这是一个直角三角形，然后以以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，则条件||||CACBCPxyCACB=+为点(,)Pxy，且满足134xy+=．用坐标求出CPBP，结

合几何意义可得最小值．【详解】依题意得：cos9,sincos,sin1sin6,2bcABbACcbcA====解得4tan3A=，3cos5A=，3b=，5c=，222232co

s3523545abcbcA=+−=+−=，所以ABC为Rt，所以90=C．以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，则由题目条件得点(,)Pxy，且满足134xy+=．222(4)(2)4CPBPxyyxy=+−=+−−，点(0,2)到

直线134xy+=即43120xy+−=的距离为226126543d−==+，则CPBP最小值为26644525−=−．故答案为：6425−．【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查正弦定理的边角转化，余弦定理，考查转化与化归思想，解题

关键是建立平面直角坐标系，用坐标表示数量积的运算，从而利用几何意义求得最值．三、解答题（共5小题；共75分）16.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为1315,2,cos4bcA−==−．(1

)求a和sinC的值；(2)求cos(2)6A+的值．【答案】（1）8a=，15sin8C=（2）157316−【解析】【分析】（1）由面积公式可得24,bc=结合2,bc−=可求得解得6,4.bc==再

由余弦定理求得a=8.最后由正弦定理求sinC的值;（2）直接展开求值.【详解】（1）△ABC中,由1cos,4A=−得15sin,4A=由1sin3152bcA=,得24,bc=又由2,bc−=解得6,4.bc==由2222cos

abcbcA=+−,可得a=8.由sinsinacAC=,得15sin8C=.（2）()2πππ3cos2cos2cossin2sin2cos1sincos6662AAAAAA+=−=−−,157316−=【点睛】本题主要考查三角变换及正弦定理、余弦定理等基

础知识,考查基本运算求解能力.17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，90BCD=，//ABCD，又1ABBCPC===，2PB=，2CD=，ABPC⊥．（1）求证：PC⊥平面ABCD

；（2）求PA与平面ABCD所成角的余弦值；（3）求二面角BPDC−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63；（3）23.【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理得PCBC⊥，再有已知垂直可得证线面垂直；（2）由（1）PAC为PA与平面

ABCD所成的角，在PAC中可求得这个角；（3）过C作CMPD⊥于M，连接BM．可证明CMB为二面角BPDC−−的平面角，然后在BCM求解．【详解】（1）在PBC中，1BCPC==，2PB=，222BCPCPB+=，90

PCB=，即PCBC⊥．ABPC⊥，ABBCB=，PC⊥平面ABCD．（2）如图，连接AC，由（1）知PC⊥平面ABCD，AC为PA在平面ABCD内的射影，PAC为PA与平面ABCD所成的角．在ABC中，90

ABC=，1ABBC==，222ACABBC=+=．在PAC中，90PCA=，1PC=，2AC=，223PAPCAC=+=，6cos3ACPACPA==PA与平面ABCD所成角的余弦值为63．（3）由（1）知PCBC⊥，又BCCD⊥，PCCDC

=，BC⊥平面,PCDPCPD⊥．如图，过C作CMPD⊥于M，连接,BMBCCMC=．PD⊥平面BCM，PDBM⊥，CMB为二面角BPDC−−的平面角．在PCD中，90PCD=，1PC=，2CD=，225PDPCCD=+=，又CMP

D⊥，PDCMPCCD=，255PCCDCMPD==．在CMB中，90BCM=，1BC=，255CM=，355BM=,2cos3CMCMBBM==，二面角BPDC−−的余弦值为23．【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角

和二面角，解题时需作出直线与平面所成的角和二面角的平面角，为此又需要找到线面垂直．线面垂直是本题的解题关键．18.已知数列na是首项为正数的等差数列,数列11nnaa+的前n项和为21nn+.（1）求3a,并求出数列na的通项公式;（2）设2nannba=,求数

列nb的前n项和nT.【答案】（1）35a=，21nan=−；（2）1*10654()918nnnTnN+−=+【解析】【分析】（1）分别令1n=和2n=，得到123aa=，2315aa=，化成基本量表示，得到关于1,ad的方程组，解得1,ad，从而得到3a和na的通项；（2

）由（1）得()12142nnbn=−，利用错位相减法，得到nT.【详解】（1）设数列na的公差为d，因为数列11nnaa+的前n项和为21nn+，令1n=，得12113aa=，所以123aa=①令2n=，得1223112

5aaaa+=，所以2315aa=②由①②得211221133215aadaadd+=++=解得1a1,d2==，所以3125aad=+=，()1121naandn=+−=−.（2）由（1）知，()12142nnbn=−()12

32143454214nnTn=++++−()23418143454214nnTn+=++++−两式相减，得()()23164244...4214nnnTn+−=++++−−()()11116142054221424143

3nnnnn−++−=+−−=−+−−所以110654918nnnT+−=+，()*nN【点睛】本题考查等差数列通项的基本量计算，错位相减法求数列前n项的和，属于中档题.19.已知椭圆2222:1xyCab+=的右焦点为(1,

0)，且经过点(0,1)A.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线:(1)lykxtt=+与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2

，求证：直线l经过定点.【答案】（Ⅰ）2212xy+=；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点

为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b=，所以2222abc=+=，故椭圆的方程为2212xy+=.（Ⅱ）设1122(,),(,)PxyQxy联立2212(1)xyykxtt+==+

得222(12)4220kxktxt+++−=，21212224220,,1212kttxxxxkk−+=−=++，121222()212tyykxxtk+=++=+，222212121222()12tkyykxxktxxtk−=+++=+.直线111:1yAPyxx−−=，令

0y=得111xxy−=−，即111xOMy−=−；同理可得221xONy−=−.因为2OMON=,所以1212121212211()1xxxxyyyyyy−−==−−−++；221121ttt−=−+，解之得0t=，所以直线方程为yk

x=，所以直线l恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力

，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.已知函数()2xxxefx=+−，()2gxxaxb=++，,abR.（Ⅰ）当1a=时，求函数()()()Fxfxgx=−的单调区间；（Ⅱ）若曲线()yfx

=在点()0,1处的切线l与曲线()ygx=切于点()1,c，求,,abc的值；（Ⅲ）若()()fxgx恒成立，求+ab的最大值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2,2,1.abc=−==（Ⅲ）1e−【解析】【详解】（Ⅰ）()2xFxexb=−−，则()2xFxe=−

.令()20,xFxe=−得ln2x，所以()Fx在()ln2,+上单调递增.令()20,xFxe=−得ln2x，所以()Fx在(),ln2−上单调递减.（Ⅱ）因为()21xfxex=+−，所以()00f=，所以l的方程为1y=.依题意，12a−=，1

c=.于是l与抛物线()22gxxxb=−+切于点()1,1，由2121b−+=得2b=.所以2,2,1.abc=−==-（Ⅲ）设()()()()1xhxfxgxeaxb=−=−+−,则()0hx恒成立.易得()()1.xhxea=−+（1）当10a+时，因为()0hx，所以此

时()hx在(),−+上单调递增.①若10a+=，则当0b时满足条件，此时1ab+−；②若10a+，取00x且01bx,a1−+此时()()()000111101xbhxeaxbaba−=−+−−+−=+，所以()0hx

不恒成立．不满足条件；（2）当10a+时，令()0hx=，得()ln1.xa=+由()0hx，得()ln1xa+；由()0hx，得()ln1.xa+所以()hx在()(),ln1a−+上单调递减，在()()ln1,a++上单调递增.要使得“()()10xhxea

xb=−+−恒成立”，必须有“当()ln1xa=+时，()()()()min11ln10hxaaab=+−++−”成立.所以()()()11ln1baaa+−++.则()()()211ln11.abaaa++−++−令()2ln1,0,Gxxxxx=−−则()1ln.

Gxx=−令()0Gx=，得.xe=由()0Gx，得0xe；由()0Gx，得.xe所以()Gx在()0,e上单调递增，在(),e+上单调递减,所以，当xe=时，()max1.Gxe=−从而，当1,0aeb=−=时，+ab的最大值为1e−.-【点睛】利用导

数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转

化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.