【文档说明】【精准解析】内蒙古包头市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题.doc，共(21)页，1.754 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第二学期高一年级期末教学质量检测试卷数学注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择

题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I卷一、选择题（共12小题，

每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1.与直线3450xy−+=关于坐标原点对称的直线方程为（）A.3450xy+−=B.3450xy++=C.3450xy−+=D.3450xy−−=【答案】D【解析】【分析】设出所求对称直线上的点的

坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为(),xy，则关于原点对称点的坐标为(),xy−−，该点在已知的直线上，则3450xy−++=，即3450

xy−−=.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.2.下列命题为真命题的是（）A.若0ab，则22acbcB.若0ab，则22abC.若0ab，则22aabbD.若0ab，则11ab【答案】B【解析】【分析】取特殊值判断,,ACD选

项，根据不等式的性质判断B选项.【详解】解：A中，2c=0时，22acbc=；B中，0ab，由性质7可得22ab；C中，令2,1ab=−=−，则224,2,1aabb===，显然22aabb；D中，令2,1ab=−=−，则111,12ab=−=−，显然11ab.故选：B【点睛】本

题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于基础题.3.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直

观图中仍然是正方形A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据斜二侧画法的基本概念和作图原则，对每一个选项进行判断，即可得到结果．【详解】对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段

在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的12，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45和135，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以

④错误；综上，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．【点睛】本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则，是基础题．4.点(,)Pxy在直线20xy+−=上，O是坐标原点，则||OP的最小值是（）A.1B.2C.2D

.22【答案】B【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，求出原点到直线20xy+−=的距离，即为OP的最小值.【详解】原点到直线20xy+−=的距离为2200222211+−==+.故选：B.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础

题.5.已知na为等比数列，下面结论中正确的是（）A.若13aa=，则12aa=B.若21aa，则32aaC.1322aaa+D.2221322aaa+【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和性质，结合

基本不等式，逐项进行判断即可．【详解】设等比数列na的公比为q，若13aa=，则211aaq=，∴21q=，∴1q=，∴12aa=或12aa=−，故A不正确；若21aa，则11aqa，所以2111321()qqaaaaaqqa−−==−，当

0q时，32aa；当0q时，32aa，故B不成立.若130,0aa，则1122332222aaaaaa+==，当且仅当13aa=，即1q=时取等号；若130,0aa，则131313222()()222aaaaaaaa=+−+−==−，当且仅当13

aa−=−，即1q=时取等号，故C不正确；因为2222221322((2))aaaaqaq+=+，当且仅当2222()()aaqq=，即1q=时取等号，故D正确.故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公

式、等比数列的性质、基本不等式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用基本不等式和等比数列的性质．6.在△ABC中，sin:sin:sin7:3:5ABC=，那么这个三角形的最大角是（）Aπ2B.2π3C.4π5D.5π6【答案】B【解析

】【分析】由正弦定理，可得::7:3:5abc=，设()7,3,50akbkckk===，易知该三角形的最大角是角A，由余弦定理，可求出cosA，进而可求出角A.【详解】由正弦定理，::sin:sin:sin7:3:5abcABC==，设(

)7,3,50akbkckk===，显然该三角形的最大角是角A，由余弦定理，可得222222925491cos22352bcakkkAbckk+−+−===−，因为()0,πA，所以2π3A=.故选：

B.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.某几何体的三视图如图所示，该几何体由一平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】【分析】如图，正方体截去三棱锥

DABC−后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0aa，求出正方体的体积为V，及三棱锥DABC−的体积，从而可求出截去几何体的体积与剩余几何体的体积的比值.【详解】如下图，正方体截去三棱锥DABC−后，所得图形为三视图所对应的几何体，设正方体的棱长为()0aa，

则正方体的体积为3Va=，三棱锥DABC−的体积为3111326Vaaaa==，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为333116156aVVVaa==−−.故选：C.【点睛】本题考查

三视图，考查几何体的体积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.8.已知在正方体1111ABCDABCD−中，,PQ分别为111,ABCC的中点，则异面直线1BC和PQ所成的角为（）A.6B.4C.3

D.2【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角.【详解】解：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,2,0C，()12,2,2B，()2,1,2P，()0,2,1Q()2,1,1PQ=−−，()12,

0,2CB=设异面直线1BC和PQ所成的角为，则()()122222122123cos221122PQCBPQCB−−===−++−+0,26=故选：A【点睛】本题考查利用空间向量法

解决立体几何问题，属于中档题.9.已知点(4,0)A−，(3,1)B−，若直线2ykx=+与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A.11,2−B.1,12−C.1,[1,)2−−+D.

1(,1],2−−+【答案】D【解析】【分析】作出图形，直线2ykx=+恒过定点()0,2C，求出AC、BC的斜率，由直线2ykx=+与线段AB恒有公共点，可求出k的取值范围.【详解】直线2ykx=+恒过定点()0,2C，直线AC的斜率()1201042k−==−−，

直线BC的斜率()221103k−−==−−，当12k或1k−时，直线2ykx=+与线段AB恒有公共点.故选：D.【点睛】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中等题．10.已知01a，01b，则22222222(1)(1)(1)(1)abababa

b+++−+−++−+−的最小值为（）A.2B.22C.23D.4【答案】B【解析】【分析】根据两点之间的距离公式，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)PABaCbO，可得22222222(1)(1)(1)(1),,,abPO

abPCabPAabPB+=+−=−+=−+−=，做出草图，再根据三角形的性质，即可求出结果．【详解】如图，令()()()()0,0,0,1,1,0,1,1,(,)PABaCbO，则22222222(1)(1)(1)(1),,,abPOabPCabP

AabPB+=+−=−+=−+−=可得22222222(1)(1)(1)(1)abababab+++−+−++−+−POPCPAPB=+++，又在PAC中，PAPCAC+，在POB中，POPBOB+22POPCPA

PBACOB++++=当P是AC与OB的交点时，=22POPCPAPBACOB++++=，所以22POPCPAPBACOB++++=．即22222222(1)(1)(1)(1)abababab+++−+−++−+−的最小值为22．故选：B．【点睛】本题

主要考查了两点间距离公式的应用，函数最值得几何意义，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若三棱锥ABCD−为鳖臑，AB⊥平面BCD，2ABBC=

=，22BD=，且三棱锥ABCD−的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A.12B.18C.24D.36【答案】C【解析】【分析】根据题意作出四个面都为直角三角形的三棱锥ABCD−，并根据该三棱锥的特点，作出满足题意的正方体，由此可知DC为该正方体的一条棱，再根

据题中所给数据，即可求出结果.【详解】由于在三棱锥ABCD−中，AB⊥平面BCD，且四个面都为直角三角形，作出三棱锥ABCD−，如下图所示：其中DCBC⊥，DCAC⊥，又ACBCC=，所以DC⊥平面ABC；又因为三棱锥A

BCD−四个面都为直角三角形且四个顶点都在一个正方体的顶点上，所以该正方体如下图所示，可知DC为正方体的一条棱；又2ABBC==，22BD=，所以在RtBCD中，22842DCBDBC=−+=−=;该正方体的表面积为26224=.故选：C.【点睛】本题主要考查了线面垂直关系，同时

考查了对三棱锥的认识和空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.已知函数()yfx=满足()(1)1fxfx+−=，若数列na满足121(0)(1)nnafffffnnn−=+++++，则

数列na的前10项和为（）A.652B.33C.672D.34【答案】A【解析】【分析】根据()(1)1fxfx+−=，并结合倒序相加法可求出12nna+=，再利用等差数列求和公式得到答案.【详解】函数()yfx=满足()(1)1fxfx+−=，121(0)(1)nnafffffnnn−

=+++++①，121(1)(0)nnnafffffnnn−−=+++++②，由①+②可得21nan=+，12nna+=，所以数列na是首项为1，公

差为12的等差数列，其前10项和为10110165222++=.故选：A.【点睛】本题考查了函数的性质，考查倒序相加法求和，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应

题的横线上.13.已知实数x，y满足101xyxyy+−−，则2zxy=+的最小值为________.【答案】3−【解析】【分析】画出不等式组所对应的可行域，当目标函数2zxy=+过点P时

，z取得最小值，求解即可.【详解】画出不等式组所对应的可行域，如下图阴影部分，当目标函数2zxy=+过点P时，z取得最小值，联立01xyy−==−，解得1xy==−，即()1,1P−−，所以2z

xy=+的最小值为()1213−+−=−.故答案为：3−.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14.若关于x的方程2(1)0mxmxm+−+=没有实数根，则实数m的取值范围是.【答案】1(

,1)(,)3−−+【解析】试题分析:若,则,有实数根,故,由题设,即,解之得或,故应填1(,1)(,)3−−+.考点：二次不等式及解法．15.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的

数学著作之一.书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最大的1份为________.【答案】1153【解析】【分析】设每个人所得由少到多为1a，2a，3a，4a，5a，公差为

d，从而可得()1134512754551010021adadaaaaa+=+=++=+，进而求出5a即可.【详解】设每个人所得由少到多为1a，2a，3a，4a，5a，公差为d，由题意，()11345127

54551010021adadaaaaa+=+=++=+，即()1111112204723ddadaaaadad+=++=+++++，整理得11220112adad+==，解得153556a

d==，所以最大的1份为5155511544363aad=+=+=.故答案为：1153.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.16.设三棱锥SABC−的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点.记直线PB

与直线AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB−−的平面角为，则，，中最大的是_________，最小的是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】作出线线角，线面角，二面角，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系.

【详解】作//PDCA交SC于D，由于ABBCCA==，SASBSC==，所以SABC−为正三棱锥，由对称性知BDPB=，取PD中点E，连接BE，作EH⊥平面ABC，交平面ABC于H，连接BH，作PF⊥平面ABC，交平面ABC于F，连接BF，作PGAC⊥，交AC于G，连接

GF，所以BEPD⊥，由于//PDAC，所以BPD=，由于PF⊥平面ABC，所以PBF=，由于PGAC⊥，PF⊥平面ABC，所以PGF=，222sinBEEHBHEHEHBPBPBPBP+===，因为//PDCA，

E在PD上，EH⊥平面ABC于H，PF⊥平面ABC于F，所以EHPF=.所以sinPFEHBPBP==.所以sinsin，由于,都是锐角，所以，由于P在SA上，由对称性PBCP=，而CPPG，则sinsinPFPFPFPGCPBP===，由于也是锐角，所

以，由PBBG,222sinBEEHBHEHEHPFBPBPBPBPBP+====sinPFPG=，所以>综上所述，三个角中的最小角是，最大角是.故答案为：①；②.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档

题.三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知0xy，0z，求证：（1）zzxy；（2）()()()8xyxzyzxyz+++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（

1）由0xy，可得11yx，结合0z，可得zzxy；（2）由0x，0y，0z，利用基本不等式可得2xyxy+，2xzxz+，2yzyz+，三个式子相乘，进而可证明结论成立.【详解】证明：（1）因为0xy，所以0xy，10xy，于是11xyxy

xy，即11yx，由0z，得zzxy.（2）因为0x，0y，0z，所以2xyxy+，2xzxz+，2yzyz+，所以()()()2228xyxzyzxyxzyzxyz+++=，当且仅当xyz==时，等号同时成立，因为xy，所以上式中等号不能同时取得.所以(

)()()8xyxzyzxyz+++.【点睛】本题考查不等式的证明，考查不等式的性质、基本不等式的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.18.已知4sin5=，π,π2，5cos5=−，是第三象限角.（

1）求cos()+的值；（2）求tan()−的值.【答案】（1）11525；（2）2【解析】【分析】（1）求出cos及sin，进而利用cos()coscossinsin+=−，可求出答案；（2）由sintan

cos=，sintancos=，并结合tantantan()1tantan−−=+，可求出答案.【详解】由4sin5=，π,π2，得2243cos1sin155

=−−=−−=−，由5cos5=−，是第三象限角，得22525sin1cos155=−−=−−−=−.（1）cos()coscossinsin+=−35425115555525=−−−−=

.（2）由sintans43co==−，sintan2cos==，得42tantan3tan()241tantan123−−−−===++−.【点睛】本题考

查同角三角函数的基本关系的运用，考查两角和与差的余弦、正切公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2a=，5b=，2BA=.（1）求sinA

；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）114；（2）5516【解析】【分析】（1）由正弦定理可得255sinsin22sincosAAAA==，从而可求出cosA，进而可求出sinA；（2）由余弦定理2222cosabcbcA=+−，可求出c，进而由△A

BC的面积1sin2ABCSbcA=，可求出答案.【详解】（1）由正弦定理，sinsinabAB=，即255sinsin22sincosAAAA==，因为0πA，所以sin0A，所以522cosA=，即5cos4A=.所以22511sin1441cosAA==−=−.（2）

由余弦定理，2222cosabcbcA=+−，即22252(5)254cc=+−，整理得22520cc−+=，解得2c=或12c=.当2c=时，ac=，得AC=，又2BA=，故π4AC==，π2B=，所以222ba==，与5b=矛盾，舍去；当1

2c=时，经检验符合题意.所以△ABC的面积1111155sin5222416ABCSbcA===.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20.已知(3,0)A−，(1,0)B，(0,3)C，试求点D的坐标，使四边形A

BCD为等腰梯形.【答案】(2,3)−或163,55−【解析】【分析】设所求点D坐标为(,)xy，若//ABCD，则||||BCAD=，可求出,xy；若//ADBC，则|||ABCD=∣，可求出,xy，即可得

出点D坐标.【详解】设所求点D坐标为(,)xy.①若//ABCD，||||BCAD=，则22223(01)(30)(3)yxy=−+−=++，解得23xy=−=或43xy=−=，当23xy=−=时，经验证ABCD，符合题意；当43xy

=−=时，()23104AB=−−+=，()()2240334CD=−−+−=，ABCD=，不符合题意，舍去；②若//ADBC，|||ABCD=∣，则()222310030301(0)(3)yxxy−−=

+−=−+−−−+，解得16535xy=−=或43xy=−=，当16535xy=−=时，经验证ADBC，符合题意；当43xy=−=时，()2243310AD=−++=，()221310BC=+−=，ADBC=，

不符合题意，舍去.综上，所求点D的坐标为(2,3)−，或163,55−.【点睛】本题考查等腰梯形的性质，考查平行线的性质，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.

设等差数列na的前n项和为nS，且424SS=，221nnaa=+.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列12−nna的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−；（2）12362nnnT−+=−【解析】【分析】（1）设na的公差为d，由424SS=，221nnaa=

+，可得()1111143442(21)22(1)1daaadandand+=+++−=+−+，即可求出1a，d，进而可求出na的通项公式；（2）由112122nnnan−−−=，进而可利用错位相减法求出该数列的前n项和.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由424S

S=，221nnaa=+，则()1111143442(21)22(1)1daaadandand+=+++−=+−+，即1121daad==−，解得11a=，2d=.所以21nan=−.（

2）由112122nnnan−−−=，则2313572112222nnnT−−=+++++①，23111352321222222nnnnnT−−−=+++++②，①-②得，22211111112121232222312222

22212nnnnnnnnnT−−−−−+=++++−=+−=−−.故12362nnnT−+=−.【点睛】本题考查等差数列的性质，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查学生的计算求解能力，属于中档

题.22.如图，长方体1111ABCDABCD−的底面ABCD是正方形，点E在棱1AA上，1BEEC⊥.（1）证明：1BE⊥平面EBC；（2）若点E为棱1AA的中点，2AB=.①求四棱锥11EBBCC−的体积；②求直线1EC与平面11BBCC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）

①163；②33.【解析】【分析】（1）由BC⊥平面11ABBA，可得1BCBE⊥，结合1BEEC⊥，可证明1BE⊥平面EBC；（2）①由1BE⊥平面EBC，可得1BEBE⊥，进而可证明11ABEABE≌，可知11ABEABE=，从而11

1145ABEAEB==，由AB⊥平面11BBCC，可知E到平面11BBCC的距离dAB=，进而可求出四棱锥11EBBCC−的体积;②先证明EF⊥平面11BBCC，从而可得1EFFC⊥，即1ECF为直线1EC与平面11BB

CC所成的角，求解即可.【详解】（1）证明：由长方体1111ABCDABCD−，可知BC⊥平面11ABBA.∵1BE平面11ABBA，∴1BCBE⊥.∵1BEEC⊥，BCECC=，且,BCEC平面EBC，∴1BE⊥平面EBC.（2）①∵1BE⊥

平面EBC，且BE平面EBC，∴1BEBE⊥，即190BEB=，∵1190AEBAEBAEBABE+=+=，∴11AEBABE=，又111111AEEAABABBAEBAE===，∴11ABEABE≌，∴

11ABEABE=，则111145ABEAEB==，∴1112AEAB==.在长方体1111ABCDABCD−中，1//AA平面11BBCC，1EAA，AB⊥平面11BBCC.∴E到平面11BBCC的距离2

dAB==，∴四棱锥11EBBCC−的体积11624233V==.②取F为棱1BB的中点，连接EF、1CF，则//EFAB.由题意知AB⊥平面11BBCC，所以EF⊥平面11BBCC，∵1FC平面11BBCC，∴1EFFC⊥，∴1ECF为直线1EC与平面11BBCC所成的角.

在11RtABE中，11=22,2BEAE=，在11RtEBC中，22221111(22)223ECEBBC=+=+=.于是1123sin323EFECFEC===.所以直线1EC与平面11BBCC所成的角的正弦值为33.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法

，考查线面角的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.