【文档说明】甘肃省兰州一中2020-2021学年第一学期高三年级10月月考试题数学（理）解析版.pdf，共(13)页，528.142 KB，由小赞的店铺上传

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兰州一中2020-2021-01学期高三年级10月月考试题数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{|02}Axx=≤≤，{|1}Bxx=>，则()(AB=R)A．[0,1]B．(1,2]C．(,2]

−∞D．[0,)+∞【考点】交集及其运算【答案】C【解析】因为(){|1}Bxx=≤R，所以(](,2)AB=−∞R，故选C．2．i为虚数单位，512izi=+，则z的共轭复数为()A．2i+B

．2i−C．2i−−D．2i−+【考点】复数的运算【答案】B【解析】55(12)105212(12)(12)5iiiiziiii−+====+++−，∴复数z的共轭复数为2i−．故选B．3．某中学为了解1000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这

些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生【考点】系统抽样方法【答案】C【解析】从1000

名学生从中抽取一个容量为100的样本，∴系统抽样的分段间隔为10，46号学生被抽到，则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10

为公差的等差数列，设其数列为{}na，则610(1)104nann=+−=−，1令104616n−=，即62n=，故616号被抽到．故选C．4．函数21()logfxxx=−的零点所在区间()A．(1

,2)B．1(2，1)C．1(0,)2D．(2,3)【考点】函数零点的判定定理【答案】A【解析】函数()fx的定义域为(0,)+∞，且函数()fx单调递增，(1)f2log1110=−=−<，2111(2)log210222f=−=−=>，∴在(1,2)内函数()fx存在零

点，故选：A．5．已知向量(,1)am=，(3,2)bm=−，则3m=是//ab的()A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件【答案】D【解析】由于向量(,1)am=，(3,2)b

m=−，当//ab时，有(2)31mmm−=∴=−或3m=；故3//mab=⇒；反之，//ab时，未必有3m=；3m∴=是//ab的充分不必要条件．故选：D．6．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年

有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有

晷长之和为49．5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10．5尺，则立秋的晷长为()A．1．5尺B．2．5尺C．3．5尺D．4．5尺【考点】等差数列的通项公式【答案】D【解析】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降

是连续的九个节气，其晷长依次成2等差数列{}na，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49．5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10．5尺，193649.5ad+=，13510.5aaa++=，即13610.5ad+=．解得1d=，11.5a=．∴立秋的

晷长41.534.5a==+=．故选：D．7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是()A．12yxx=−B．tanyxx=C．sinyxx=−D．22xxy−=−【考点】奇偶性与单调性的综合【答案】A【解析】A．12yxx=−是奇函数，且1yx=和2yx=−在(0,)+

∞上都是减函数，∴12yxx=−在(0,)+∞上单调递减，∴该选项正确．B．tanyxx=是偶函数，∴该选项错误；C．1cos0yx′=−，sinyxx∴=−在(0,)+∞上是增函数，∴该选项错误；D．22xxy−=−在(0,)+∞上单调递增，∴该选项错误；故选

A．8．函数()sinln||fxxxx=−的图象大致为()ABCD【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】因为()fx为偶函数，故AC错误，又(1)sin10f=>，只有B符合，故选：B．9．已知函数()fx的图象关于原点对称，且满足(1)(3)0fxfx++−=，当

(2,4)x∈时，312()log(1)fxxm=−−+，若(2021)1(1)2ff−=−，则实数m的值是()A．43B．34C．43−D．34−【考点】函数的周期性【答案】C【解析】根据题意，函数()fx满足(1)(3)0fxfx++−=，又由()fx为奇

函数，则(1)(3)(3)fxfxfx+=−−=−，即(4)()fxfx+=，故函数()fx的周期为4，则(2021)(12020)fff=+=（1），当(2,4)x∈时，12()log(1)fxxm=−−+，则f（3）1m=+，即

(2021)ff=（1）f=−（3）1m=−−，又由()fx为奇函数，则(1)ff−=−（1）1m=+，若(2021)1(1)2ff−=−，则有1112mm−−−=+，解可得：43m=−；故选：C．10．函数()fx的定义域为R，对任意的1x、2[1x∈，)+∞（12xx≠），恒有2121

()()0fxfxxx−<−，且函数(1)fx+为偶函数，则()A．(2)(3)(1)fff−<<B．(3)(2)(1)fff<−<C．(1)(2)(3)fff<−<D．(2)(1)(3)fff−<<【考点】函数奇偶性的性质与判断【答案】A11．若函

数2()ln2fxxax=+−在区间1(2，2)内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是()A．(−∞，2]−B．1(8−，)+∞C．1(2,)8−−D．(2,)−+∞【考点】利用导数研究函数的单调性【答案】D【解析】1()2fxaxx′=+，若()fx在区间1(2，2)内存在

单调递增区间，则()0fx′>在1(2x∈，2)有解，故21()2minax>−，4而21()2gxx=−在1(2，2)递增，1()()22gxg>=−，故2a>−，故选：D．12．已知定义在R上的函数()fx满足()(2)fxx=+，且当11x−时，||()2x

fx=，函数()2gxx=+，实数a，b满足3ba>>．若1[xa∀∈，]b，2[2x∃∈−，0]，使得12()()fxgx=成立，则ba−的最大值为()A．12B．1C．2D．2【考点】函数的最值及其几何

意义【答案】B【解析】当[2,0)x∈−时，()(0,2]gx∈，令||22x=可得12x=±．()(2)fxfx=+，()fx∴的周期为2，所以()fx在[1−，5]的图象所示：结合题意，当17422a=−+=，19422

b=+=时，ba−取得最大值．最大值为1．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设曲线ln(1)yaxx=−+在点(0,0)处的切线方程为20xy−=，则a=．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【答案】3【解析】ln(1)yaxx=−+的导

数11yax′=−+，由在点(0,0)处的切线方程为20xy−=，5得1201a−=+，则3a=．故答案为：3．14．函数212log(2)yxx=−的单调递增区间是．【考点】对数型复合函数的单调性【答案】(,0)−∞【解析】函数22yxx=−在(,

0)−∞递减，∴函数212log(2)yxx=−在(,0)−∞递增，故答案为：(,0)−∞．15．已知1240xxa++⋅>对一切(x∈−∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题【答案】3

(,)4−+∞【解析】1240xxa++⋅>可化为212224xxxxa−−+>−=−−，令2xt−=，由(x∈−∞，1]，得1[2t∈，)+∞，则2att>−−，2213()24ttt−−=−++在1[2，)+∞上递减，当12t=时2tt−−取得最大

值为34−，所以34a>−．故答案为3(,)4−+∞．16．已知()fx是定义域为R的奇函数，()fx′是()fx的导函数，(1)0f−=，当0x>时，()3()0xfxfx′−<，则使得()0fx>成立的x的取值范围是．【考点】利用导

数研究函数的单调性【答案】(,1)(0,1)−∞−【解析】当0x≠时，令3()()fxgxx=，则，4()3()()xfxfxgxx′−′=又当0x>时，()3()0xfxfx′−<，0x∴>时，()0gx′<，()gx∴在(0,)+∞上为减函数，6又()fx是定义域为R的奇函数

，则0x≠时，3()()fxgxx=为偶函数，且(1)(1)0(1)gfg−=−−==，∴当01x<<时，3()()0fxgxx=>；当1x>时，3()()0fxgxx=<，则此时()0fx>成立的x的取值范围是(0,1)；当10x−<<时，3()()0fxgxx=>；当1x

<−时，3()()0fxgxx=<，则此时()0fx>成立的x的取值范围是(,1)−∞−；综上，()0fx>成立的x的取值范围是(,1)(0,1)−∞−．三、解答题（本大题共7小题，共70分，22-23二选一）1

7．ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：2coscoscosbBCAacca=+．（1）求B；（2）若ABC∆面积为23S=，外接圆直径为4，求ABC∆的周长．【考点】正弦定理；余弦定理【解析】（1）2cosco

scos2coscoscosbBCAbBaCcAacca=+⇒=+，得12sincossincossincossin()sincos2BBACCAACBB=+=+=⇒=，∴3Bπ=．（2）ABC∆的面积1sin2382SacBac==⇒

=，423sinbbB=⇒=，由222222cos12bacacBacac=+−⇒+−=，2()12336acac+=+=，则6ac+=，ABC∴∆的周长为623+．18．如图是某校某班44名同学的某次考试的

物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数7据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：4214641iix=

=∑，4213108iiy==∑，421350350iiixy==∑，4221()13814.5iixx=−=∑，4221()5250iiyy=−=∑，其中ix，iy分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1i=，2，…，42．y与x的相关系数0.82r=

．（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r，试判断0r与r的大小关系（不必说理由）；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01)，并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学

成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）．附：回归方程ˆˆˆyabx=+中121()()ˆ()niiiniixxyybxx==−−=−∑∑，ˆˆaybx=−．【考点】线性回归方程【解析】（1）0rr<

．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，①异常点A，B会降低变量间的线性相关程度；②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小；③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大；

④42个数据点更贴近其回归直线l；⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：4211110.542iixx===∑，42117442iiyy===∑，1()()35035042110.5746916niiixxyy=−−=−××=∑，所以1

21()()6916ˆ0.50113814.5()niiiniixxyybxx==−−==≈−∑∑，ˆˆ740.501110.518.64aybx=−=−×≈，所以ˆ0.5018.64yx=+，将125x=代入，得ˆ0.5012518.6462.518.6481y=×+=+≈，所以估计B同学的物理

成绩约为81分．19．如图，三棱锥DABC−中，2ADBD==，2AB=，233AC=，AC⊥平面ABD，AEBC⊥于点E．8（1）求证：BD⊥平面ACD；（2）求二面角CAED−−的余弦值．【考点】

二面角的平面角及求法；直线与平面垂直【解析】（1）证明：AC⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，ACBD∴⊥，2ADBD==，2AB=，满足222ADBDAB+=，ADBD∴⊥，又AD、AC⊂平面ACD，ADACA=，BD∴⊥平

面ACD．（2）取AB的中点O，作OHAE⊥于H，连接HD，OD，AC⊥面ABD，AC⊂面ABC，∴面ABD⊥面ABC，ADBD=，ODAB∴⊥，112ODAB==，又面ABD⊥面ABCAB=，OD∴⊥

面ABC，即HD在面ABC内的投影为OH，AEHD∴⊥，DHO∴∠即为二面角BAED−−的平面角．在ABC∆中，ACAB⊥，2AB=，233AC=，30ABC∴∠=°，又AEBC⊥，3BE∴=，OHAE⊥，

AEBC⊥，//OHBC∴，又O为AB的中点，H∴为AE的中点，1322OHBE==，在RtDOH∆中，123tan332ODDHOOH∠===，21cos7DHO∴∠=．二面角BAED−−与二面角CAED−−互补，∴二面角CAED−−的余弦值为217−．20．已知F为椭圆2222:1(0)x

yCabab+=>>的右焦点，点(1,)Pm在C上，且PFx⊥轴，椭圆C的离心率为912．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:2lykx=+与椭圆C相交于A，B两点，且2(OAOBO⋅>为坐标原点），求k的取值范围．【考点】直线与椭圆的综合【解析】（1）由PFx⊥轴，得1c=，又1

2ca=，解得2a=，则2223bac=−=，∴椭圆C的方程为22143xy+=；（2）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立222143ykxxy=++=，得22(43)1640kxkx+++=，直线:2lykx=+与椭圆C交于不同的两点A、B，∴△22(16)16(

43)0kk=−+>，解得214k>，①且有1221643kxxk−+=+，122443xxk=+，∴1(OAOBx⋅=，12)(yx，21212)yxxyy=+1212(2)(2)xxkxkx=+++21212(1)2()4kxxkxx=

++++22224432424343kkkk+−=++>++，解得212k<，②由①②得，21142k<<，解得2122k−<<−，或1222k<<，∴斜率k的取值范围是2(2−，11)(22−，2)2．21．已知函数()(ln)fxxxa=−，1()(2

2xegxe=−为自然对数的底）．（1）讨论()fx的极值；（2）当1a=时，若存在0(0x∈，]m，使得0()()0fxgm−，求实数m取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的

最值【解析】（1）依题()ln1fxxa′=−+，1()0afxxe−′=⇒=，10x，()fx′，()fx的变化如下：x1(0,)ae−1ae−1(ae−，)+∞()fx′−0+()fx极小值列表分析可知，()

11aaffee−−==−极小值，()fx无极大值．（2）对于()(ln1)fxxx=−，可得()lnfxx′=．因此，当(0,1)x∈时，()fx单调递减；当(1,)x∈+∞时，()fx单调递增．（1）当01m<时，()(

)(ln1)lnminfxfmmmmmm==−=−．依题意可知()()02ln(21)0mfmgmmmem−⇒+−−．构造函数：()21(01)mmemmϕ=−−<，则有()2mmeϕ′=−．由此可得：当(0

,ln2)m∈时，()0mϕ′<；当(ln2,1)m∈时，()0mϕ′>，即()mϕ在(0,ln2)m∈时，单调递减，(ln2,1)m∈单调递增．注意到：(0)0ϕ=，ϕ（1）0=，因此()0mϕ<．同时注意到2

ln0mm，故有2ln(21)0mmmem+−−．（2）当1m>时，()(1)1minfxf==−．依据题意可知1()()01()031ln322mmefmgmem−⇒−−−⇒⇒<≤．综上（1）、（2）所述，所求实数m取值范围为0ln3m<≤．22．在直角坐标系xOy中，曲

线1C的参数方程为3cos(sinxyααα==为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224πρθ+=．（1）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在1C上，点Q在2C上，求||PQ的最小值及此时P的直角坐标

．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程11【解析】（1）曲线1C的参数方程为3cos(sinxyααα==为参数），移项后两边平方可得2222cossin13xyαα+=+=，即有椭圆221:13

xCy+=；曲线2C的极坐标方程为sin()224πρθ+=，即有22(sincos)2222ρθθ+=，由cosxρθ=，sinyρθ=，可得40xy+−=，即有2C的直角坐标方程为直线40xy+−=；（2）由题意可得当直线40xy+−=的平行线与椭圆相切时，||PQ取得最值．设与直线40xy

+−=平行的直线方程为0xyt++=，联立22033xytxy++=+=可得2246330xtxt++−=，由直线与椭圆相切，可得△223616(33)0tt=−−=，解得2t=±，显然2t=−时，||PQ

取得最小值，即有|4(2)|||211PQ−−−==+，此时241290xx−+=，解得32x=，即为3(2P，1)2．另解：设(3cosPα，sin)α，由P到直线的距离为|3cossin4|2dαα+−=

|2sin()4|32πα+−=，当sin()13πα+=时，||PQ的最小值为2，此时可取6πα=，即有3(2P，1)2．23．设函数()|21||4|fxxx=−−+．（1）解不等式：()0fx>；（2）若()3|4||1|fxxa++−对一切

实数x均成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法12【解析】（1）5,41()33,4215,.2xxfxxxxx−+−=−−−<<…−（3分）当4x−时，由()0fx>得50x−+>，解得

4x−，…（4分）当142x−<<时，由()0fx>得33x−−>，解得41x−<<−，…（5分）当12x时，由()0fx>得50x−>，解得5x>，…（6分）综上，得()0fx>的解集为{|1xx<−，或5}x>．…（7分）（2）()3|4||21|2|4||12||28||(12

)(28)|9fxxxxxxxx++=−++=−++−++=．…（8分）∴由题意可知|1|9a−，解得810a−，…（9分）故所求a的取值范围是{|810}aa−．…（10分）13