【文档说明】北京市顺义区第一中学2024届高三上学期期中数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.525 MB，由小赞的店铺上传

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2023—2024顺义一中高三第一学期期中考试数学试卷一、选择题（本题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{20},{10}MxxNxx=+=−∣∣，则MN=（）A.{21}xx−∣B.

{21}xx−∣C.{2}xx−∣D.{1}xx∣【答案】A【解析】【分析】先化简集合,MN，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}Mxxxx=+=−∣，{10}{|1}Nxxxx=−=∣，根据交集的运算可知，{|21}MNxx=−.故选：A2.在复平面内，

对应的点的坐标是(1,3)，则z的共轭复数z=（）A.13i+B.13i−C.13i−+D.13i−−【答案】B【解析】【分析】先根据复数的几何意义写出复数z；再根据共轭复数的定义即可得出结果.【详解】

因为复数z对应的点的坐标是(1,3)所以13=+zi则13iz=−故选：B3.已知圆C的圆心坐标为(3,2)−，且点(1,1)−在圆C上，则圆C的方程为（）A.226480xyxy++−+=B.226480xyxy++−−=C.22640xyxy+++=D.22640xyxy++−=【答

案】A【解析】【分析】由圆心坐标可以设出圆的标准方程，再将点C代入可求出圆的半径，最后整理成圆的一般式方程即可.【详解】因为圆C的圆心坐标为(3,2)−，所以设圆C的方程为：()()()222320xyrr++−=，由点(1,1)−在圆C上，则

()()2221312r−++−=，得5r=，则圆C的方程为：()()22325xy++−=，即226480xyxy++−+=，故选：A.4.已知平面向量(1,2)a=−，(3,2)b=−，(,)ctt=，若()//

acb+，则t=（）A.52B.45−C.54−D.74−【答案】B【解析】【分析】先计算ac+，然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.【详解】因为(1,2)a=−，(3,2)b=−，(,)ctt=，所以()1,2actt+=−++，又()//a

cb+，所以()()()3221tt+=−−+，解得45t=−，故选：B.5.记nS为数列na的前n项和，设甲：na为等差数列；乙：{}nSn为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：na为等差数列，设其首项为1a，公差为d，则𝑆𝑛=𝑛𝑎

1+𝑛(𝑛−1)2𝑑,𝑆𝑛𝑛=𝑎1+𝑛−12𝑑=𝑑2𝑛+𝑎1−𝑑2,𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=𝑑2，因此{}nSn为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即

𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=𝑛𝑆𝑛+1−(𝑛+1)𝑆𝑛𝑛(𝑛+1)=𝑛𝑎𝑛+1−𝑆𝑛𝑛(𝑛+1)为常数，设为t，即𝑛𝑎𝑛+1−𝑆𝑛𝑛(𝑛+1)=𝑡，则𝑆𝑛=𝑛𝑎𝑛+1−𝑡⋅𝑛(𝑛+1)，

有𝑆𝑛−1=(𝑛−1)𝑎𝑛−𝑡⋅𝑛(𝑛−1),𝑛≥2，两式相减得：𝑎𝑛=𝑛𝑎𝑛+1−(𝑛−1)𝑎𝑛−2𝑡𝑛，即𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2𝑡，对1n=也成立，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条

件，所以甲是乙的充要条件，C正确.方法2，甲：na为等差数列，设数列na的首项1a，公差为d，即𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑，则𝑆𝑛𝑛=𝑎1+(𝑛−1)2𝑑=𝑑2𝑛+𝑎1−𝑑2，因此{}nSn为等差数列

，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nSn为等差数列，即𝑆𝑛+1𝑛+1−𝑆𝑛𝑛=𝐷,𝑆𝑛𝑛=𝑆1+(𝑛−1)𝐷，即𝑆𝑛=𝑛𝑆1+𝑛(𝑛−1)𝐷，𝑆𝑛−1=(𝑛−1)𝑆1+(𝑛−1)(𝑛−2)𝐷，当2n时，上两式相减得：𝑆𝑛−

𝑆𝑛−1=𝑆1+2(𝑛−1)𝐷，当1n=时，上式成立，于是𝑎𝑛=𝑎1+2(𝑛−1)𝐷，又𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑎1+2𝑛𝐷−[𝑎1+2(𝑛−1)𝐷]=2𝐷为常数，因此na为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C6.金字塔

是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（）A.1B.2C.3D.5【答案】C【解析】【分析】根据题意画图利用图形在正四棱锥中设相关的量结合，线面关系找出金字塔侧面三角形与底面正方形所成角

，在几何体中建立关系求出即可.【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为2ABa=，设O为底面的中心，高为POh=，设M为AD的中点，则设斜高为PMh=，连接OM，设侧面与底面所成的角为，由于,PMADOMAD⊥⊥，所以PMO=即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，由⊥PO平面ABCD，

OM平面ABCD,所以POOM⊥所以tantanPOhPMOOMa===，因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，即14222222ahaaha==，又2222233hhhahaa=+==，所以tantan3hPMOa===，故选：C.7

.过点()0,2−与圆22410xyx+−−=相切的两条直线的夹角为，则sin=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点

到直线的距离公式可得2810kk++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410xyx+−−=，即()2225xy−+=，可得圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，因为()222222PC=+−=，则223PAPCr=−=，可得5

1036sin,cos442222APCAPC====，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC====，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC

==−=−=−，即APB为钝角，所以()15sinsinπsin4APBAPB=−==；法二：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得()22222

2PC=+−=，则223PAPBPCr==−=，因为22222cos2cosPAPBPAPBAPBCACBCACBACB+−=+−且πACBAPB=−，则()336cos5510cosπAPBAPB+−=+−−，即3cos55cosAPBAPB−=+，解得1cos04

APB=−，即APB为钝角，则()1coscosπcos4APBAPB=−=−=，且为锐角，所以215sin1cos4=−=；方法三：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，若切线斜率不存在，则切线方程为𝑥=0，则圆心到切点的距离2

dr=，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx=−，即20kxy−−=，则22251kk−=+，整理得2810kk++=，且644600=−=设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk+=−=，可得()21212124215kkkkkk−=+−=，所以1212tan15

1kkkk−==+，即sin15cos=，可得sincos15=，则2222sinsincossin115+=+=，且()0,π，则sin0，解得15sin4=.故选：B.8.已知函数()3sin2cos2fxxx=−，则（）A

.()fx在π,06−单调递增，且图象关于直线π6x=对称B.()fx在π,06−单调递增，且图象关于直线π3x=对称C.()fx在π,06−单调递减，且图象关于直线π6x=对称D.()

fx在π,06−单调递减，且图象关于直线π3x=对称【答案】B【解析】【分析】化简()fx的解析式，根据三角函数的单调性、对称性确定正确答案.【详解】()π3sin2cos22sin26fxxxx=−=−，

由于6ππ0,62ππ26xx−−−−，所以()fx在π,06−单调递增，ππ2sin1266f==，所以()fx不关于直线π6x=对称.ππ2sin232f==，所以()fx关于直线π3x=对称.故选：B9.若函数2()l

n(0)bcfxaxaxx=++既有极大值也有极小值，则错误的是（）A.0bcB.0abC.280bac+D.0ac【答案】A【解析】【分析】求出函数()fx的导数'()fx，由已知，可得函数'()fx在()0,+上有两个变号零

点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．【详解】函数()fx的定义域为()0,+，由()()2ln0bcfxaxaxx=++，得()223322abcaxbxcfxxxxx−−=−−=，因为函数()fx既有极大值也有极小值，所以

函数'()fx在()0,+上有两个变号零点，而0a，所以方程220axbxc−−=有两个不等的正根12,xx，所以21212Δ80020bacbxxacxxa=++==−，所以280,0,0bacabac+，所以20abc，即0bc．故BCD正确，A错误．

故选：A．10.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点P是该正方体对角线1BD上的动点，给出下列四个结论：①1ACBP⊥；②APC△面积的最小值是2；③只存在唯一的点P，使1BD⊥平面APC；④当233BP=时，平面//ACP平面11ACD.其中正

确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】证明AC⊥平面11BDDB判断①；求出APC△的面积函数求解判断②；利用过一点有且只有一个平面垂直于已知直线判断③；证明1BD⊥平面APC且1

BD⊥平面11ACD判断④.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，1DD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，则1ACDD⊥，又11,,,ACBDBDDDDBDDD⊥=平面11BDDB，则AC⊥平面11BDDB，又111BPBDDB，则1ACBP⊥，①正确；连接BD交AC与E，由1

1EPBDDB，得ACEP⊥，122APCSACPEPE==，在1RtBDD△中，当1PEBD⊥时，PE最小，而22BD=，123BD=，1113sin3DDDBDBD==，此时136sin233PEBEDBD

===，因此APC△面积的最小值为623233=，②错误；由①知，1ACBD⊥，同理11⊥ABBD，而11,,ACABAACAB=平面1ABC，因此1BD⊥平面1ABC，当点P为直线1BD与平面1ABC

的交点时，1BD⊥平面APC，而过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，于是过直线AC与直线1BD垂直的平面有且只有一个，所以存在唯一的点P，使1BD⊥平面APC，③正确；当233BP=时，在BPE中，2BE=，116cos3DBDBDBD==，则2222323

662cos()2223333PEBPBEBPBEPBE=+−=+−=，即有2222PEBPBE+==，则PEPB⊥，又,ACPBACPEE⊥=，于是1BD⊥平面APC，由①同理11111,DABBDCAD⊥⊥，1111111,,A

CADAACAD=平面11ACD，因此1BD⊥平面11ACD，则平面//ACP平面11ACD，④正确，所以正确命题的个数为3.故选：C二、填空题（本大题共5小题，共25分）11.已知函数3()3logxfxx=+，则13f=______.【答案】331−【解析】【分析】将13x

=代入函数解析式中计算即可.【详解】因函数3()3logxfxx=+，所以1333113log3133f=+=−，故答案为：331−.12.已知直线1l：210xy+−=，2l：210xay+−=，若1l∥2l，则a的

值是________．【答案】4【解析】【分析】由两直线平行可得1221ABAB=，代入相关数据计算即可.【详解】解：因为1l∥2l，所以224a==.故答案为：4.13.已知命题p：若,为第一象限角，且，则sinsin.能说明

命题p为假命题的一组,的值可以是=__________，=__________.【答案】①.13π6（答案不唯一）②.π6（答案不唯一）【解析】【分析】只要找到一组满足题意的角即可.【详解】因为,为第一象限角，且，取13ππ,66

==，则且在第一象限，此时13ππ1sinsinsinsin662====，故命题p假命题，满足题意，为为所以,的值可以是13ππ,66==，故答案为：13π6（答案不唯一）；π6（答案不唯一）.14.数列na共9项，该数列的前3项成等比数列，后7项成等差数列，且11

a=，510a=，922a=，则7a=__________，数列na的所有项的和为__________.【答案】①.16②.94或90【解析】【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，结合等差数列前n

项公式进行求解即可.【详解】设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，因为510a=，922a=，所以有952243aadd==+=，于是有75210616aad=+=+=，533321064aadaa=+=+=，因为该数列的前3项成等比数列，所以2132aaa==，当22a=时，数

列na的所有项的和为()422712942+++=；当22a=−时，数列na的所有项的和为()422712902+−+=，故答案为：16；94或9015.已知曲线C的方程为：222||2||(,R)xyxyxy+=+有下列四种描述（1）曲线

C关于yx=对称；（2）曲线C的面积大于16；（3）曲线C与圆225xy+=有四个公共点；（4）若A，B为曲线C与x轴的交点，P为曲线C上的点，则ABP的面积最大为222+；则其中所有正确结论的序号是__________.【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】根据方程的对称性，画出图象，

数形结合，逐项判断即可.【详解】设(),xy是曲线C上任意一点，由于曲线C的方程为222||2||(,R)xyxyxy+=+，则当0x，0y时，曲线C的方程为2222xyxy+=+，即()()2211

2xy−+−=；方程222||2||+=+xyxy中，用x−替换x，用y−替换y，方程不变，故曲线关于x轴，y轴，原点对称，曲线C的图象如下图（由图中实线部分及原点组成），故（1）正确；由图可知，曲线C所围成的图形是由一个边长为22的正方

形和四个全等的半圆组合而成，其中半圆半径为2，故曲线C围成图形的面积为()212222π2484π162+=+，故（2）正确；连接原点与()1,1点，并延长与曲线交于点M，则225OM=，则以()0,0为圆心，半径为5的圆225xy+=与曲线有8个交

点，故（3）错误；因为P为曲线C上的点，由于图象的对称性，不妨设点P为第一象限点，所以()2121yx=+−−，当1x=时，max12y=+，故()14122222ABPS+=+，故（4）正确.故答案为：（1）（2）（4）三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证

明过程或演算步骤）16.已知ABC满足，且10b=，π4B=，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题：（1）sinC；（2）求ABCV的面积.条件①tan𝐴=3，条件：②2222bcac+−=，条件③35bc=.【答案】（

1）选①，②，25sin5C=，选③，310sin10C=；（2）选①，②，6ABCS=，选③，6ABCS=或3.【解析】【分析】（1）若选①，由同角基本关系式求出sinA，cosA，进而可得()sinsinCAB=+可得解，若选②

，由余弦定理可得cosA，由同角基本关系式求出sinA，进而得解；若选③，由正弦定理求得sinC；（2）若选①，由正弦定理可求得c，再由三角形面积公式可得解，若选②，由正弦定理可求得c，再由三角形面积公式可得解，若选③，利用余弦定理可求得a，进而利用三角形面积公式可得解.【小问1详解】若选

①，由tan𝐴=3得sin3cosAA=，A是锐角，又22sincos1AA+=，解得310sin10A=，10cos10A=，()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+310

2102251021025=+=.若选②，由2222bcac+−=，可得2cos2bcAc=，解得cos1bA=，又10b=，解得10cos10A=，由平方关系得310sin10A=，下面同选①.若选③，由35

bc=，可得32c=，由正弦定理可得sin310sin10cBCb==.【小问2详解】若选①，②，由第一问得25sin5C=，由正弦定理得2510sin54sin22bCcB===，由三角形面积公式可得11310sin10462210ABCSbcA===

.若选③，由余弦定理可得2222cosacbacB=+−，即2218102322aa+−=，解得2a=或4，当2a=时，112sin2323222ABCSacB===，当4a=时，112sin4326222ABCSacB===17.为了提高中小学生的身体

素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表：组别男生女生合格不合格合格不合格第一组90108020第二组88127228第三组60405

842第四组80206238第五组82187822.合计400100350150假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.（1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；（2）从该地区众多中小学的男生､女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格

，求X的分布列与数学期望；（3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“1k=”表示第k组同学跳绳成绩合格，“0k=”表示第k组同学跳绳成绩不合格(1,2,3,

4,5k=)，试确定方差13425,,,,DDDDD中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论).【答案】（1）34（2）详见解析（3）1D最小，3D最大【解析】【分析】（1）根据表格求出男女生跳绳合格的

人数，总的人数，利用古典概型求解；（2）根据相互独立事件的概率求出分布列，计算期望即可；（3）根据表格所给数据，由方差的意义直接得到.【详解】（1）设事件A=“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”样本中男生跳绳成绩合格的有:90+88+60+80+82=400人，样本中女生跳

绳成绩合格的有:80+72+58+62+78=350人，样本中男、女跳绳成绩合格的共有:400+350=750，样本中的男生总人数:400+100=500人，样本中的男生总人数:350+150=500人，样本中

男、女生总数:500+500=1000，所以4003503()5005004PA+==+，（2）设事件B=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”,则4004()5005PB==设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”，则

3507()50010PC==由题可知X的可能取值为0，1，2，则473(0)()()()(1)(1)51050PXPBCPBPC====−−=，474719(1)()()()()()(1)(1)51051050PXPBCBCPBPCPBPC====−+−=，4

72814(2)()()()5105025PXPBCPBPC======，所以X的分布列为所以X的数学期望319143()0125050252EX=++=，（3）1D最小，3D最大.18.已知圆22:(2)1

Cxy++=，直线0xym−+=与圆C交于E，F两点.（1）若3EF=，求实数m的值；（2）求·OEOF的取值范围（O为坐标原点）.【答案】（1）222+或222−（2）)2,522+【解析】【分析】（1）利用弦长公式222EFrd=−，再结合圆

心()2,0−到直线0xym−+=的距离为d，从而求解.（2）设出()11,Exy，()22,Fxy，联立直线与圆C方程，然后利用根与系数关系，从而可求解.【小问1详解】由题意得：圆心()2,0C−，𝑟=1，圆心到直线0xym−+=距离22122mmd−+−==，又因

为：()222222132mEFrd−=−=−=，解得：222m=+或222m=−.故：m的值为：222+或222−.【小问2详解】设()11,Exy，()22,Fxy，联立()22210xyxym++=−+=，得：()22222

30xmxm++++=，由题意得：()()2242830mm=+−+，即2222m−+，由根与系数的关系得：122xxm+=−−，21232mxx+=，()()12121212·OEOFxxyyxxxmxm=+=+++()()222121222312xxmxxmmmm=++

+=−+=−+又因为：2222m−+，当1m=时，·OEOF有最小值2，当22m=+时，·OEOF有最大值522+，故·OEOF的取值范围为：)2,522+.19.如图，在四棱锥PABCD−中

，底面ABCD是边长为2的菱形，ADC60=，PAD△为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，M是线段PC上的点．（1）求证：OMBC⊥；（2）当点M为线段PC的中点时，求点M到平面PAB的距离；（3）是否存在点M，使

得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010．若存在，求出此时PMPC的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）155；（3）存在，且𝑃𝑀𝑃𝐶=13.【解析】【分析】（1）连接OC、AC，证明出AD⊥平面POC，利用线面

垂直的性质可得出ADPC⊥，再结合//ADBC可证得结论成立；（2）推导出⊥PO平面ABCD，然后以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M到平面PAB的距离；（3）设PMPC=，其中01≤≤

，利用空间向量法可得出关于的方程，结合01≤≤可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：连接OC、AC，因为四边形ABCD为菱形，则ADCD=，因为ADC60=，则ACD为等边三角形，因为O为AD的中点，故OCAD⊥，因为PAD△为等边三角形，O为AD的中点，则POAD⊥，POO

CO=，AD⊥平面POC，PC平面POC，则ADPC⊥，//BCADQ，故BCPC⊥.【小问2详解】解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，POAD⊥，PO平面PAD，PO⊥平面ABCD，因为OCAD⊥，以点O为坐标原点，OC、OD、OP所在直线分别为x、

y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A−、()3,2,0B−、()3,0,0C、()0,1,0D、()0,0,3P、33,0,22M，设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，()3,1,0AB=−，()0,1,3AP=，

由3030mABxymAPyz=−==+=，取1x=，可得()1,3,1m=−，33,1,22AM=，所以点M到平面PAB的距离为31555AMmdm===.【小问3详解】解：设()()3,0,33,0,3PMPC

==−=−，其中01≤≤，()()()0,1,33,0,33,1,33AMAPPM=+=+−=−，由题意22310cos,106645AMmAMmAMm===−+，整理可得2932

0+−=，因为01≤≤，解得13=，因此，存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为1010，此时𝑃𝑀𝑃𝐶=13.20.已知函数21()ln(1)12fxaxxax=+−++.（I）当0a=时，求曲线()yfx=在点(2,(

2))f处的切线方程；（Ⅱ）若函数()fx在1x=处取得极小值，求实数a的取值范围.【答案】（I）1yx=−；（Ⅱ）1a.【解析】【分析】（Ⅰ）当0a=时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10axaxafxxaxx−++=+−−==时，11x=

和2xa=，并讨论a与0,1的大小关系，求实数a的取值范围.详解】（I）当0a=时，21()12fxxx=−+.所以()1fxx=−，所以(2)1kf==，因为21(2)22112f=−+=.所以切线方程为1yx=−.（Ⅱ）函数()fx的定义域为(0

,+∞).因为21()ln(1)12fxaxxax=+−++所以2(1)()1axaxafxxaxx−++=+−−=.令()0fx=，即2(1)0xaxa−++=，解得1x=或xa=.（1）当0a时，当x变化时，(),()fxfx的变化状态

如下表：x(0,1)1(1,)+()fx－0＋()fx极小值所以当1x=时，()fx取得极小值.所以0a成立.（2）当01a时，当x变化时，(),()fxfx的变化状态如下表：x(0,)aa(,1)a1(1,)+()fx＋0－0＋【()fx极大值极小值所以当1x=

时，()fx取得极小值.所以01a成立.（3）当1a=时，()0fx在(0,+∞)上恒成立，所以函数()fx在(0,+∞)上单调递增，没有极小值，不成立.（4）当1a时，当x变化时，(),()fxfx的变化状态如下表：x(0,1)1(1,)aa(,)a+()f

x＋0－0＋()fx极大值极小值所以当1x=时，()fx取得极大值.所以1a不成立.综上所述，1a.【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a，但需讨论a的范

围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.21.已知数集()*123123,,,,1,2,nnAaaaaaaaannN=.如果对任意的i，j(1ijn且*,,ijnN)，ijaa与jiaa两数中至少有一个属于A.则称数集A具有性质P.（1）分

别判断数集{2,3,6},{1,3,4,12}是否具有性质P，并说明理由：（2）设数集*123123,,,,(1,,)2nnAaaaaaaaannN=具有性质P.①若*(1,2,3,)kaNk=，证明：对任意()*1,ininN都有ia是n

a的因数；②证明：2222123nnnaaaaa=.【答案】（1）{2,3,6}不具有性质P，{1,3,4,12}具有性质P，理由见解析；（2）①证明见解析，②证明见解析.【解析】【分析】（1）根据具有性质P数集的定义，即可判断{2,3,6},{1,3,4,1

2}是否具有性质P；（2）①由性质P数集定义，讨论()*1,ijijN时ijnaaaA=和()*1,ininN时njiaaAa=，结合已知条件即可证对任意()*1,ininN都有ia是na的因数；②在1in任取一个ia，则nniaaaA且

njiaaAa=(1)jn，即知niaa可取到12{,,...,}naaa所有元素且各一次，进而可证结论.【详解】（1）{2,3,6},{1,3,4,12}都具有性质P，对于数集1{2,3,6}A=，有66636,16

==均不属于A1，∴根据定义知：1{2,3,6}A=不具有性质P，对于数集2{1,3,4,12}A=，有1223aaA=，2213aAa=；1324aaA=，3214aAa=；14212aaA=，42112aAa=；23

212aaA=，32243aAa=；24236aaA=，4224aAa=；34248aaA=，3412422312343,1aaaaaAAaaaaa=====；∴根据定义知：2{1,3,4,12}A=具有性质P.（2）①123,,,,nAaa

aa=具有性质P，对任意()*1,ijijN有ijaa与jiaa至少有一个属于A，∵*1231,2,naaaannN，∴当()*1,ijijN有jiaa，若1ijnaaaA=

(𝑛∈𝑁∗)，此时niaa且1ni，ia是na的因数；当()*1,ininN有niaa，若1njiaaAa=*()jN，此时ia是na的因数；综上，对任意()*1,ininN都有ia是na的因数，得证.②若对任

意()*1,ininN有inaa与niaa至少有一个属于A，的∵*1231,2,naaaannN，在1in任取一个ia1(1)a，则nniaaaA，若11a=则11nnnaaaaAa==，∴必有njiaaAa

=(1)jn，又1,2,...,in=时，niaa均不相等，即niaa可以取到12{,,...,}naaa所有元素且各一次，∴1212......nnnnaaaaaaa=，即22212...nnnaaaa==得证.【点睛】关键点点睛：第二问，①注意分

ijnaaaA=或njiaaAa=两种情况，结合已知条件证明结论；②关键是明确在1in任取一个ia，有nniaaaA且njiaaAa=(1)jn.