【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试题 含答案.docx，共(9)页，627.642 KB，由管理员店铺上传

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2021年哈三中高三学年第四次模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑

色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共6

0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,),,}AxyxyNyx=∣，{(,)6}Bxyxy=+=∣，则AB中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．52.已知复数11zi=−+，22z=，在复平面内，复数1z和2z所对应的两点之间的距离是（

）A．2B．2C．10D．43.下列函数中，周期为，且在区间,2单调递增的是（）A．cos2yx=B．tan2yx=C．|sin|yx=D．sin2yx=4.圆22:21Cxyy+−=的圆心到双曲线221

4xy−=的渐近线的距离为（）A．55B．255C．355D．4555.甲乙两人进行扑克牌积分比赛.比赛规则为：甲乙两人先各抽三张扑克牌，每局比赛双方同时各出一张牌，牌大者得2分，牌小者得0分，牌一样大两人各得1分，每张牌只能出一次，共比赛三局.若甲抽到

的三张扑克牌分别是213,,AAA，乙抽到的三张扑克牌分别是123,,BBB，且这六张扑克牌的大小顺序为311223ABBAAB，则三局比赛结束后甲得4分的概率为（）A．16B．13C．12D．236.ABC的内角,,ABC的对边分别为a，b，c，已知cos3sinaBbAa+=

，则B=（）A．6B．3C．2D．237.已知sin3a=，3logsin3b=，sin13c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．bacC．cabD．cba8.在ABC中，2AB=，1AC=，点D是BC边的中点，则ADBC的值为（）A．32B．3C．3

2−D．3−9.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．12C．18D．2410.早在17世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率

，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中rand（）是产生0,1内的均匀随机数的函数，*kN

），则的值约为（）A．mkB．2mkC．4mk−D．4mk11.已知点P是抛物线24yx=上的动点，点P到y轴的距离为d，()3,3Q−，则PQd+的最小值为（）A．4B．301+C．301−D．512.若存在正数x使()1

xexa+成立，则a的取值范围是（）A．(,)−+B．(,1)−C．1,1e−−D．(),1−−第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函

数()cos22sin2fxxx=+−的最小值为．14.若变量x，y满足约束条件02336xyxy+−，则2zxy=+的最小值为．15.已知()()tanee6xxfxx−=++，()8ft

=，则()ft−=．16.体积为8的四棱锥PABCD−的底面是边长为22的正方形，底面ABCD的中心为1O，四棱锥PABCD−的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，则点P的轨迹长度为.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文

字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列na是各项均为正数的等比数列，记其前n项和为nS，已知133,39aa==.（1）求na的通项公式；（2）设32log1nnnbaa

=+−，求数列nb的前n项和为nT.18.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“33+”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目.选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级，并以此打分得到最后得分.假定某省

规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按照占总体15%、35%、35%、13%和2%划定A、B、C、D、E五个等级，并分别赋分为90分、80分、70分、60分和50分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，该省某高中高一（1）班（共40人）举行了一次摸底考试

（选考科目全考，单科全班排名），已知这次摸底考试中的历史成绩（满分100分）频率分布直方图，地理成绩（满分100分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中历史82分，地理70多分．（1）采用赋分制后，求小明历史成绩的

最后得分；（2）若小明的地理成绩最后得分为80分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选历史，其它两科从地理、政治、物理、化学、生物五科中任选，求小明考试选考科目包括地理的概率.19.如图，三棱锥PABC−中，平面PAB⊥平面ABC，32PAPBCACB===

=，6AB=，13AEAP=，O为线段AB中点，点F线段AB上，点F，Q分别在线段AB，AC上.（1）若平面//EFQ平面POC，求线段OF的长；（2）在（1）的条件下，求点E到平面CBP的距离.20.定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个端点组成的三角形

称为该椭圆的“特征三角形”.若两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将“特征三角形”的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆221:142xyC+=，椭圆2C与1C是“相似椭圆”，已知椭圆2C的短半轴长为b.（

1）写出椭圆2C的方程（用b表示）；（2）若椭圆2C的焦点在x轴上，且2C上存在两点M，N关于直线21yx=+对称，求实数b的取值范围.21.已知函数()1(0)fxaxx=+，1()ln2agxxax−=−+.（1）若12a=，

比较函数()fx与()gx的大小；（2）若1x时，()()fxgx，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xO

y中，直线l的参数方程为133xtyt=−+=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已

知点P的直角坐标为()2,0，过点P作直线l的垂线l交曲线C于D、E两点（D在x轴上方），求PDPE−的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数24()(1)(2)fxxxx=+−，函数2()log(3)2gxax=+−.

（1）求函数()fx的最小值；（2）若对于任意1(1,)x+，都存在2(1,)x+，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：BCABD6-10：DCCBD11、12：AB二、填空题13.

32−14.315.416.2三、解答题17.（1）由已知2120qq+−=，(4)(3)0qq+−=.0na，3q=.3nna=.（2）321nnbn=+−，()12313(121)331322nnnnnTn+−+−−=+=+−.18.（1）因为此次考试历史

成绩落在(80,90，(90,100内的频率依次为0.1，0.05，频率之和为0.15，且小明的历史成绩为82分，大于80分，处于前15%，所以小明历史成绩的最后得分为90分.（2）因为40名学生中，地

理赋分为90分的有4015%6=人，这六人的原始成绩分别为96，93，93，92，91，89；赋分为80分的有4035%14=人，其中包含原始成绩为80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为76，76，77，78；因为小明的地理成绩最后得

分为80分，且原始成绩为70多分，所以小明的原始成绩的可能值为76，77，78.（3）记地理、政治、物理、化学、生物依次为A、a、b、c、d，小明从这五科中任选两科的所有可能选法有(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ad，()

,ab，(),ac，(),ad，(),bc，(),bd，(),cd共10种，其中包括地理的有(),Aa，(),Ab，(),Ac，(),Ad共4种，所以小明选考科目包括地理的概率为：42105P==.19.（1）因为////EFQPOCEFQPABEFEFPOPOCPABPO==平面

平面平面平面平面平面.因为13AEAP=，所以13AFAO=，由于O为线段AB中点，且6AB=，所以2OF=.（2）因为PAPB=，且O为线段AB中点，所以POAB⊥.PABABCPABABCABPOABCPOPABPOAB⊥=⊥⊥平面平面平面平面平面平面.同理

，CO⊥平面PAB.由于POCO⊥，3POCO==，故32PC=，因为EPBCCPBEVV−−=，且932PBCS=，6PBES=，3CO=，所以点E到平面CBP的距离为433.20.（1）由椭圆2C与1C是相似椭圆，得224221ab==，所以

椭圆2C的方程为222212xybb+=或222212yxbb+=.（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，M，N的中点为E，1:2MNlyxm=−+.()222222212344012yxmxmxmbxybb=−+−+−=+=，22203bm，1242

3Emxxx+==，23Emx=，1223EEmyxm=−+=，由于22,33mmE在直线21yx=+，解得32m=−.于是222332bm=，所以62b.21.（1）12a=，()12xfx=+，1()ln12gxxx=++.1()()()ln22xFxf

xgxxx=−=−−，222111(1)()0222xFxxxx−=−+=，所以()Fx在()0,+单调递增，且()10F=，综上1x=，()0Fx=，()()fxgx=(0,1)x，()0Fx，()()fxgx(1,)x+

，()0Fx，()()fxgx（2）设1()1ln2(1)ahxaxxaxx−=+−+−，211()ahxaxx−=−−=222(1)(1)(1)axxaxaxaxx−−−−+−=2(1)[(1)1]xaxx−+−=，①当12a时，又1x

，故有12,(1)1xax++，所以()0hx，()hx在)1,+单调递增，所以()(1)0hxh=，()()fxgx.②当102a时，令()0hx，得11xa−，所以()hx在11,1a−单

调递减，所以()()10hxh=，不合题意，舍；③当0a时，()0hx，()hx在)1,+单调递减，不合题意，舍.综上，12a.22.（1）:310lxy−+=；2:4Cyx=（2）直线l的一个参数方程为12232xtyt=−=（t为参数）代入2:4Cy

x=到中得232804tt+−=设D、E对应的参数分别为()110tt、()220tt则1283tt+=−，12128||||3PDPEtttt−=−=+=−23.（1）2224()222(2)xxfxx−−=+++−3222432522(2)xxx−−+=−当且仅当222422(2

)xxx−−==−即4x=时“=”成立（2）由题意可知()fx值域为()gx值域的子集且())5,fx+，则0a，()gx在()1,+单调递增()(1)22gxga=−即225a−解得72a综上，702a.