【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（理）试题 含答案.docx，共(10)页，612.323 KB，由管理员店铺上传

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2021年哈三中高三学年第四次模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，

字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一

、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{(,),,}AxyxyNyx=∣，{(,)6}Bxyxy=+=∣，则AB中的元素个数为

（）A．2B．3C．4D．52.已知复数11zi=−+，22z=，在复平面内，复数1z和2z所对应的两点之间的距离是（）A．2B．2C．10D．43.圆22:21Cxyy+−=的圆心到双曲线22:14xEy−=的渐近线的距离为

（）A．55B．255C．355D．4554.已知函数3()sin2fxx=，[,]xab，则“存在12,[,]xxab使得()()123fxfx−=”是“ba−”的（）A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5.早在17

世纪人们就知道用事件发生的频率来估计事件的概率.18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中ran

d（）是产生0,1内的均匀随机数的函数，*kN），则的值约为（）A．mkB．2mkC．4mk−D．4mk6.已知sin3a=，3logsin3b=，sin33c=，则a，b，c的大小关系是（）A．abcB．bacC．cabD．c

ba7.在ABC中，2AB=，1AC=，点D是BC边的中点，则ADBC的值为（）A．32B．3C．32−D．3−8.函数23()sinsincos34fxxxx=++−的图象的一个对称中心是（）A．,012−B．3,124−−C．,

06D．3,64−9.已知点P是抛物线2:4Cyx=上的动点，点P到y轴的距离为d，()3,3Q−，则PQd+的最小值为（）A．5B．301+C．301−D．410.我校为弘扬中华传统中

医药文化，在一块边长为30m的正方形空地中开辟出如图所示的总面积为2750m的矩形中药园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间三个矩形区域将种植益母草、板蓝根、苦参（其中两个小矩形区域形状、大小相同）．中药种植的总面积为2Sm．当S取得最

大值时，x的值为（）A．15mB．20mC．25mD．30m11.锐角ABC中，内角,,ABC的对边分别为a，b，c，若222,2bcabcb+=+=，则ABC的面积的取值范围是（）A．(1,)+B．3,232C．(1,23)D．

3,2+12.已知函数11,0()2ln,0xxxfxxexxx+=−−，若关于x的方程()1fxmx=+无实数解，则实数m的取值范围是（）A．ln21,ee−B．ln2,0e−C．1ln2,ee−

D．(ln2,0)e−第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.()222sin4xxdx−+−=．14.甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为35，乙同学一次投篮命中的概率为12，假设两人投篮

命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是．15.如果数列na满足122,1aa==，且1111(2)nnnnnnnnaaaanaaaa−+−+−−=，则这个数列的第2021项等于．16.体积为8的四棱锥PABCD−的底面

是边长为22的正方形，底面ABCD的中心为1O，四棱锥PABCD−的外接球球心O到底面ABCD的距离为1，则点P的轨迹长度为；异面直线1PO与AB所成角的余弦值的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步

骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.如图，三棱锥PABC−中，平面PAB⊥平面ABC，32PAPBCACB====，6AB=，13AEAP=，O为线段AB中点，点

F线段AB上，且//PO平面CEF.（1）求线段OF的长；（2）求直线CF与平面CBP所成角的正弦值.18.2021年4月23日我校高三学生参加了高考体检，为了解我校高三学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在

较好的线性关系，体检机构搜集了7位我校男生的数据，得到如下表格：序号1234567身高x（cm）166180174183178173185体重y（kg）57675975716278根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为ˆˆ1.15yxa

=+.（1）求a；（2）已知()()22121ˆ1niiiniiyyRyy==−=−−，且当20.9R时，回归方程的拟合效果非常好；当20.80.9R时，回归方程的拟合效果良好.试问该线性回归

方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由.（2R的结果保留到小数点后两位）参考数据：()721ˆ52.36iiiyy=−=.19.已知数列na中，121,2aa==，且2123nnnaaa++=+，设数列1nnnbaa+=+.（1）求证

：数列nb是等比数列，并求数列nb的通项公式；（2）若数列nb的前n项和为nS，数列194nnnbSS+的前n项和为nT，求证：14nT.20.已知函数()1(0)fxaxx=+，1()ln2agxxax−=−+.（1）

若12a=，比较函数()fx与()gx的大小；（2）若0mn，求证lnlnmnmnmn−−；（3）若()()fxgx在)1,+上恒成立，求实数a的取值范围.21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为1F、2F，过点2F的直线l交椭

圆C于,PQ两点.（1）若1FPQ的周长为8，12FPF面积的最大值为3，求椭圆C的标准方程；（2）设,AB分别为椭圆的左、右顶点，直线PA，QB的斜率分别为1221,,kkkk=，若()3,4，

求椭圆C的离心率的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为133xtyt=−+=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程为2sin4cos=.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的直角坐标为()2,0，过点P作直线l的垂线l交曲线C于D、E两点（D在x轴上方），求PDPE−的值.2

3.[选修4-5：不等式选讲]已知函数24()(1)(2)fxxxx=+−，函数2()log(3)2gxax=+−.（1）求函数()fx的最小值；（2）若对于任意1(1,)x+，都存在2(1,)x+，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围.20

21年哈三中高三学年第四次模拟考试理科数学答案一、选择题1-5：BCBAD6-10：CCADC11、12：BD二、填空题13.214.4515.2202116.10210三、解答题17.（1）//PO平面CEFPO平面APB且平面APB平面CEF

EF=//POEF13AEAP=13AFAO=2OF=（2）平面PAB⊥平面ABC且平面PAB平面ABCAB=POAB⊥且PO平面PABPO⊥平面ABC以O为坐标原点，OA、OC、OP分别为x轴、y

轴、z轴正方向建系(2,0,0)(0,3,0)(3,0,0)(0,0,3)FCBP−(2,3,0)CF=−(3,3,0)BC=(0,3,3)CP=−设平面CBP的一个法向量为(),,nxyz=则00nBCnCP=

=解得(1,1,1)n=−−设直线CF与平面CBP所成角为23539sin|cos,|39133CFn+===18.（1）177x=67y=1.15671.15177136.55ayx=

−=−=−.（2）()721407iiyy=−=252.3610.870.9407R=−该线性回归方程的拟合效果是良好的19.（1）21133nnnnaaaa++++=+13nnbb+=且121213baa=+=+

=nb是以3为首项3为公比的等比数列；3nnb=（2）()133133132nnnS+−−==−；()()111931114231313131nnnnnnnnbSS+++==−−−−−

223111111112313131313131nnnT+=−+−++−−−−−−−1111122314n+=−−20.（1）12a=，()12xfx=+，1()ln12gxxx=

++1()()()ln22xFxfxgxxx=−=−−222111(1)()0222xFxxxx−=−+=()Fx在()0,+单调递增，且()10F=，综上1x=，()0Fx=，()()fxgx=(0,1)x，()0Fx，()()fxgx(1,)x+，()0

Fx，()()fxgx（2）0mn，1mn，要证lnlnmnmnmn−−，即证lnlnmnmnmn−−，即证lnmnmnmn−，设mtn=，且1t则即证21ln2lntttt−=，即证1ln0(1)22tttt−−

由（1）知，(1,)x+，()0Fx成立，所以不等式成立，证毕.（2）11ln2aaxxax−+−+在[1,)+上恒成立，则112ln1axxxx+−+−在[1,)+上恒

成立，①1x=时，aR使得上式成立，②()1,x+时，120xx+−则1ln112xxaxx+−+−在()1,+上恒成立，设1ln1()(1)12xxhxxxx+−=+−()1,x+时，有1111ln11122

22xxxxxxx+−−+−=+−，则11ln-1-1122()112-2-2xxxxhxxxxx++==++，所以12a21.（1）11||48PFQFPQa++==，2a=，123FPFSbc==解得①3,1bc==时，椭圆的标准方程

为22143xy+=，②1,3bc==时，椭圆的标准方程为2214xy+=.（2）设(,0)Aa−，(,0)ba，()11,Pxy，()22,Qxy由题意知直线斜率不为0，设:lxmyc=+，22221xmycxyab=++=，整理得()22222222220bmaym

cbybcba+++−=，()212222222122222mcbyybmabcayybma−+=+−=+（*）121212,yykkxaxa==+−，由题知21kk=，则有()()()()21211221212121()()yxaymycamyycayyxaymycamyyc

ay+++++===−+−+−，将（*）代入整理得21212221212()()mcbmyycaybmamyycay−++−+==+−()()()222212222221222()2()()mbcacamcbcay

bmambcacaybma−++−−++−+−+()()()2222212222221222()2()()mbcacamccacaybmambcacaybma−++−−++==−+−+()()222122222212222

()()()cambmccacaybmambcacaybma−++−++−+−+()()()222122222221222()()()camaccaybmamaccacaybma−+−++==−−+−+()()221221()11()maccay

acaceacacemaccay+−−+++==−−−+−−12111e−==−++，(3,4)13,25e22.（1）:310lxy−+=；2:4Cyx=（2）直线l的一个参数

方程为12232xtyt=−=（t为参数）代入2:4Cyx=到中得232804tt+−=设D、E对应的参数分别为()110tt、()220tt则1283tt+=−，12128||||3PDPEtttt−=−=+=

−23.（1）2224()222(2)xxfxx−−=+++−3222432522(2)xxx−−+=−当且仅当222422(2)xxx−−==−即4x=时“=”成立（2）由题意可知()fx值域为()gx值域的子集且())5,fx+则0a，()gx在()1

,+单调递增()(1)22gxga=−即225a−解得72a